CN116480754A - 端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，属于齿轮传动领域，端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构包括轴线平行的外啮合小轮和大轮组成，小轮和大轮的齿面均具有抛物线齿线结构，均由端面组合齿廓曲线随接触点运动而成，接触线沿圆柱面展开后均为抛物线，抛物线由啮合线参数方程和重合度、齿数、传动比等基本设计参数共同确定；正确安装时小轮和大轮至少一对轮齿在节点实现纯滚动啮合接触，在驱动器带动下小轮和大轮旋转，实现两轴间的传动。本发明的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，具有摩擦磨损低、传动效率高、单级传动比大、承载能力强等优点，可广泛应用于机械装备的传动系统设计。

Description

端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构

技术领域

本发明涉及传动齿轮技术领域，尤其涉及一种端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构。

背景技术

齿轮广泛应用于机器人关节减速机、汽车变速箱、风电齿轮箱、机床床头箱等工业装备，传递运动和动力，被视为机器中的“心脏”。目前常规的渐开线直齿轮、斜齿轮以及圆弧齿轮等平行轴圆柱齿轮传动，均难以克服齿面相对滑动引发的摩擦磨损、胶合、塑性变形等传动失效以及热变形、振动、噪声等问题。同时，齿轮润滑系统增加了整机重量和成本，并且在高温、低温、高压、真空、强辐射等极端环境，润滑剂可能失效，其排放也对环境造成不可逆的污染。随着智能制造产业的高速发展，常规的齿轮产品已经不能满足汽车自动变速器、机器人减速器、风电齿轮箱以及高铁轨道交通等高端装备的精密传动需求，高性能齿轮产品大量依赖进口。高性能齿轮设计制造技术已成为制约高端装备制造领域发展的关键因素，而如何避免齿面相对滑动提升齿轮传动性能是本领域亟需解决的关键问题之一。

为了解决上述平行轴齿轮传动存在的种种问题，国内外研究人员相继发明了单圆弧齿轮和双圆弧齿轮和圆弧齿线圆柱齿轮，如申请号为202110318591.7的中国专利文献公开了“一种双圆弧少齿差减速传动装置及双圆弧齿形成方法”，申请号为202123012746.9的中国专利文献公开了“一种变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副结构”等。但是上述双圆弧齿轮的小轮和大轮的齿廓是基于同一把滚刀由范成法切制而成，而且为了保证大小齿轮正确啮合，滚刀齿廓两个啮合点的压力角被设置为相等的值。因此，现有双圆弧齿轮机构的局限性在于，由于限定了齿廓两个啮合点的压力角相等，使得其结构并非最佳承载设计结构，在所装备的机械装备承担重载传动时，可能会导致轮齿折断从而引发生成事故；上述双曲圆弧齿线圆柱齿轮副齿面设计受到加工刀盘参数的限制，两端齿顶会变尖，齿面有效接触区域只集中在齿宽中心的有限区域，因此在应用于大载荷传动时，存在轮齿折断的风险，同时齿面相对滑动较大导致摩擦磨损严重。

发明内容

有鉴于此，为了解决现有技术中齿轮机构中齿面有效接触区域只集中在齿宽中心的有限区域，存在轮齿折断的风险，齿面相对滑动较大，摩擦磨损严重的问题，本发明的实施例提供了一种端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构。

本发明的实施例提供端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，包括轴线平行的小轮和大轮组成的一对齿轮副，所述小轮和所述大轮之间纯滚动啮合传动，所述小轮和所述大轮的端面齿廓曲线由端面工作齿廓曲线和齿根过渡曲线组成，且所述小轮和所述大轮的端面齿廓曲线均左右两侧对称；所述小轮和所述大轮的端面工作齿廓为端面圆弧与抛物线的组合齿廓；所述小轮和所述大轮的齿面具有抛物线齿线结构；所述小轮和所述大轮至少一对轮齿啮合点位于节点以实现纯滚动啮合接触，所述小轮和所述大轮相对转动啮合点形成啮合线分别在所述小轮和所述大轮的齿面形成两条接触线。

进一步地，所述小轮和所述大轮的齿面结构分别由小轮和大轮端面齿廓曲线随接触点沿齿面接触线运动形成，且接触线沿小轮和大轮的节圆柱面展开后均为轴对称的抛物线。

进一步地，所述小轮和所述大轮的端面左侧工作齿廓曲线由圆弧和抛物线两种平面曲线在齿间控制点P_bi光滑连接而成，小轮和大轮安装时右侧齿廓的齿间控制点G_bi与节点P_i重合，控制点G_bi由左侧工作齿廓曲线齿间控制点P_bi轴对称得到；端面工作齿廓曲线形状由齿顶控制点P_ai、齿间控制点P_bi和齿底控制点P_ci决定；具体而言，小轮和大轮工作齿廓曲线从齿顶到齿根的组合类型均为CP，其中C、P分别代表圆弧和抛物线，圆弧为工作齿廓上部曲线，抛物线为工作齿廓下部曲线；齿根过渡曲线为齿底控制点P_ci与齿根控制点P_di所确定的Hermite曲线，且齿根过渡曲线与工作齿廓下部曲线在齿底控制点P_ci光滑连接。

进一步地，所述小轮和所述大轮的左侧工作齿廓的齿顶控制点P_ai由齿顶圆半径R_ai和偏移角χ_ai确定，χ_ai为小轮和大轮的齿顶基准点J_ai绕圆心顺时针转动的角度；齿底控制点P_ci由齿底圆半径R_ci和偏移角χ_ci确定，χ_ci为小轮和大轮的齿底基准点J_ci绕圆心顺时针转动的角度；其中，小轮和大轮齿顶基准点J_ai为与小轮和大轮分别具有相同基圆半径、端面压力角的渐开线和相同半径R_ai齿顶圆的交点；小轮和大轮齿底基准点J_ci为与小轮和大轮分别具有相同基圆半径、端面压力角的渐开线和相同半径R_ci齿底圆的交点。

进一步地，所述小轮和所述大轮齿面接触线由如下方法确定：

在o_p-x_p,y_p,z_p、o_k-x_k,y_k,z_k及o_g-x_g,y_g,z_g三个空间坐标系中，z_p轴与小轮的回转轴线重合，z_g轴与大轮的回转轴线重合，z_k轴与通过啮合点M_a和M_b的啮合线K-K重合，且z_k轴与z_p、z_g轴互相平行，x_p与x_g轴重合，x_k与x_g轴平行，o_p o_g的距离为a；坐标系o₁-x₁,y₁,z₁与小轮固联，坐标系o₂-x₂,y₂,z₂与大轮固联，小轮、大轮坐标系o₁-x₁,y₁,z₁和o₂-x₂,y₂,z₂在起始位置分别与坐标系o_p-x_p,y_p,z_p及o_g-x_g,y_g,z_g重合，此时啮合点M_a和M_b重合并记为M，小轮以匀角速度ω₁绕z_p轴顺时针旋转，大轮以匀角速度ω₂绕z_g轴逆时针旋转，从起始位置经一段时间后，坐标系o₁-x₁,y₁,z₁及o_2-x₂,y₂,z₂分别旋转，小轮绕z_p轴转过角，大轮绕z_g轴转过/>角；

当小轮和大轮啮合传动时，设定啮合点M_a和M_b分别从坐标原点o_k开始沿啮合线K-K上下运动，描述啮合点运动的参数方程为：

式(1)中t为啮合点M_a和M_b的运动参数变量，0≤t≤Δt；b为齿宽；“+”对应啮合点M_a，“-”对应啮合点M_b；

为了确保定传动比啮合，小轮和大轮的转角与啮合点的运动必须是线性关系，它们的关系式如下：

式(2)中为啮合点运动的线性比例系数；i₁₂为小轮与大轮之间的传动比；

当啮合点M_a和M_b沿啮合线K-K运动时，它们同时在小轮齿面和大轮齿面分别形成接触线C_p和C_g；根据坐标变换，得到坐标系o_p-x_p,y_p,z_p、o_k-x_k,y_k,z_k及o_g-x_g,y_g,z_g、o₁-x₁,y₁,z₁和o₂-x₂,y₂,z₂之间的齐次坐标变换矩阵为：

其中，

式(4)和(5)中，R₁为小轮的节圆柱半径，R₂为大轮的节圆柱半径，α_t为啮合点的端面压力角；

由式(1)和(4)求得小轮齿面的接触线C_p的参数方程为：

由式(1)和(5)求得大轮齿面的接触线C_g的参数方程为：

进一步地，所述小轮和所述大轮的左侧端面齿廓具体结构由如下方法确定：

分别在大轮和小轮的齿间控制点P_bi建立局部坐标系S_pbi(o_pbi-x_pbiy_pbiz_pbi)，i＝1，2，其中i＝1表示小轮，i＝2表示大轮，得到用于工作齿廓曲线组合的上部圆弧曲线的参数方程为：

式(8)中，i＝1，2，其中i＝1表示小轮，i＝2表示大轮；ξ_ai为圆弧曲线的角度参数，ξ_aimin和ξ_aimax分别是ξ_ai取值的最小值和最大值，ρ_ai是小轮和大轮的圆弧半径，当确定偏移角χ_ai、齿顶圆半径R_ai，ρ_ai、ζ_aimin和ζ_aimax均可求解，从而确定上部圆弧齿廓曲线；

得到用于工作齿廓曲线组合的下部抛物线曲线的参数方程为：

式(9)中，i＝1，2，其中i＝1表示小轮，i＝2表示大轮；a_pi为小轮和大轮的抛物线曲线的二次项系数，x_pi是坐标轴x_pbi的参变量，x_pimin和x_pimax分别是x_pi取值的最小值和最大值；当确定齿底圆半径R_ci、偏移角χ_ci时，a_pi、x_pimin和x_pimax均可求解，从而确定下部抛物线齿廓曲线；

根据坐标变换，可以得到坐标系S_pbi(o_pbi-x_pbiy_pbiz_pbi)和S_Invi(o_Invi-x_Inviy_Inviz_Invi)之间的齐次坐标变换矩阵为：

其中，γ_i为节点P_i的径矢与坐标轴y_Ihvi正向所夹的锐角；

坐标系S_Inv1(o_Inv1-x_Inv1y_Inv1z_Inv1)和o_p-x_p,y_p,z_p之间的齐次坐标变换矩阵为：

坐标系S_Inv2(o_Inv2-x_Inv2y_Inv2z_Inv2)和o_g-x_g,y_g,z_g之间的齐次坐标变换矩阵为：

其中，λ_i为小轮和大轮分度圆齿厚对应的圆心角；

小轮和大轮轮齿端面左侧齿根过渡曲线，即Hermite曲线，由点P_ci和P_di及其切矢量T_ci和T_di决定，P_di由齿根圆半径R_di和角δ_i共同决定，δ_i为点P_di的径矢与坐标轴x_k所夹的锐角，求得齿根控制点P_ci与齿底控制点P_di所确定的左侧齿根过渡曲线即Hermite曲线的参数方程为：

式(13)和(14)中，x_p(P_ci)，y_p(P_ci)，z_p(P_ci)分别为点P_ci的三坐标轴分量，x_p(P_di)，y_p(P_di)，z_p(P_di)分别为点P_di的三坐标轴分量，x_p(T_ci)，y_p(T_ci)，z_p(T_ci)分别为点P_ci的单位切矢量T_ci的三坐标轴分量，x_p(T_di)，y_p(T_di)，z_p(T_di)分别为点P_di的单位切矢量T_di的三坐标轴分量，m_t为端面模数，b₁，b₂，b₃，b₄为计算参数，T_H为齿根过渡曲线形状控制参数，0.2≤T_H≤1.5，t_H为计算参数，0≤t_H≤1；

上述所有式中：

t—啮合点M_a和M_b的运动参数变量，且t∈[0,Δt]；

Δt—啮合点的运动参数变量的最大取值；

—为啮合点运动的线性比例系数；

m_t—端面模数；

Z₁—小轮齿数；

Z₂—大轮齿数；

a_pi—小轮和大轮的抛物线齿廓曲线的二次项系数；

x_pimin—x_pi取值的最小值；

x_pimax—x_pi取值的最大值；

b—小轮和大轮的轮齿宽度；

α_t—端面压力角；

J_ai—小轮和大轮齿顶基准点

J_ci—小轮和大轮齿底基准点

χ_a1—小轮的齿顶基准点绕圆心顺时针转动的角度；

χ_a2—大轮的齿顶基准点绕圆心顺时针转动的角度；

χ_c1—小轮的齿底基准点绕圆心顺时针转动的角度；

χ_c2—大轮的齿底基准点绕圆心顺时针转动的角度；

ρ_a1—小轮端面齿廓上部圆弧齿廓半径；

ρ_a2—大轮端面齿廓上部圆弧齿廓半径；

k_c—小轮和大轮根部过渡曲线起始点P_ci的半径变动系数；

R₁—为小轮的节圆柱半径，R₁＝m_tZ₁/2； (15)

R₂—为大轮的节圆柱半径，R₂＝i₁₂R₁； (16)

i₁₂—为小轮与大轮的传动比，

a—小轮和大轮的轴线安装相对位置：a＝R₁+R₂； (18)

r_b1—小轮基圆半径，r_b1＝R₁cosα_t； (19)

r_b2—大轮基圆半径，r_b2＝R₂cosα_t； (20)

R_a1—小轮齿顶圆半径，R_a1＝R₁+m_t； (21)

R_c1—小轮齿底圆半径，即根部过渡曲线起始点P_c1到小轮转动中心的半径，R_c1＝R₁-k_cm_t； (22)

R_d1—小轮齿根圆半径，R_d1＝R₁-1.25m_t； (23)

R_a2—大轮齿顶圆半径，R_a2＝R₂+m_t； (24)

R_c2—大轮齿底圆半径，即根部过渡曲线起始点P_c2到大轮转动中心的半径，R_c2＝R₂-k_cm_t； (25)

R_d2—大轮齿根圆半径，R_d2＝R₂-1.25m_t； (26)

γ₁—小轮端面节点P₁的径矢与坐标轴y_Inv1正向所夹的锐角，

γ₂—大轮端面节点P₂的径矢与坐标轴y_Inv2正向所夹的锐角，

λ₁—小轮分度圆齿厚对应的圆心角，

λ₂—大轮分度圆齿厚对应的圆心角，

δ₁—小轮左侧端面齿廓点P_d1的径矢与坐标轴x_k所夹的锐角，

δ₂—大轮左侧端面齿廓点P_d2的径矢与坐标轴x_k所夹的锐角，

端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构的重合度需大于2，其重合度计算公式为

根据重合度的数值ε，线性比例系数和小轮齿数Z₁，求得端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构啮合点的运动参数变量的最大取值为/>

当确定小轮齿数Z₁、传动比i₁₂、端面模数m_t、重合度ε、线性比例系数端面压力角α_t、齿宽b、齿根过渡曲线形状控制参数T_H、小轮的齿顶基准点绕圆心顺时针转动的角度χ_a1、大轮的齿顶基准点绕圆心顺时针转动的角度χ_a2、小轮的齿底基准点绕圆心顺时针转动的角度χ_c1、大轮的齿底基准点绕圆心顺时针转动的角度χ_c2、小轮和大轮根部过渡曲线起始点P_ci的半径变动系数k_c时，啮合点的运动参数变量的最大取值Δt、接触线和啮合线、小轮和大轮的端面组合齿廓和它们的正确安装距离也相应确定，小轮和大轮的齿面抛物线齿线结构也可以确定，从而得到端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构。

进一步地，所述小轮用于连接输入轴，所述大轮用于连接输出轴。

进一步地，所述小轮与所述大轮连接的输入轴、输出轴具有互换性。

进一步地，所述小轮和所述大轮中的一个连接输入轴，所述输入轴连接驱动器，所述驱动器可驱动所述小轮或所述大轮正反转传动。

本发明的实施例提供的技术方案带来的有益效果是：

1、本发明的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，基于啮合点运动规律的主动设计，构造节点啮合的接触线，且接触线在节圆柱面展开后为轴对称的抛物线，实现接触线上所有啮合点的相对滑动速度理论值均为零，从而有效减小齿面间的相对滑动和摩擦磨损，同时本发明的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构无齿顶变尖现象，接触区域遍布轮齿宽度，可以设计利用更大的齿宽，以传动更大的载荷，运动平稳性更好；另外，本发明的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构正反转传动时的齿面最大接触应力和齿根最大弯曲应力的相对差值极小。

2、本发明的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构理论上为纯滚动啮合，摩擦磨损小，且无轴向力，具有良好的自对中性，便于安装，对安装误差的敏感性小；与现有传统渐开线人字齿轮传动机构相比，本发明的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构还具有无需退刀槽设计，可一次成型，加工工艺简单，便于装配的优点。

3、本发明的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构的端面齿廓不是单一的圆弧等平面曲线，而是多曲线组合型，实现接触椭圆和接触区域的有效调控，避免边缘接触，增大相对曲率半径，提升齿面接触强度和齿根弯曲强度，提升承载能力。

4、本发明的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，其接触线的圆柱面开展后为轴对称的抛物线，而不是倾斜的直线，因此传动时无轴向力，轴系安装条件更为简易，结构简单；

5、本发明的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构无根切，最小齿数为1，相比现有平行轴渐开线齿轮等机构和弧线齿线圆柱齿轮传动机构，可以实现单级大传动比高重合度传动，同时由于齿数可设计更小，相同齿轮节圆直径时可设计更大的齿厚和模数，从而具有更高的弯曲强度，具备更大的承载能力，适合于微小/微型机械、常规机械传动和高速重载传动领域的推广应用。

6、本发明的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，可以通过调整齿根过渡曲线形状控制参数的优化设计来使得小轮和大轮具有相近的齿根弯曲强度，实现传动机构的等强度设计，进一步提升设备的使用寿命。

附图说明

图1为本发明的一种端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构的结构示意图。

图2为本发明的一种端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构的空间啮合坐标系示意图。

图3为本发明图1和图2中的大轮和小轮端面齿廓组成结构及其坐标系。

图4为本发明的组合齿廓局部坐标系关系示意图。

图5为本发明的组合齿廓的齿顶基准点及其转角示意图。

图6为本发明图1中小轮的三维空间视图。

图7为本发明图1中大轮的三维空间视图。

图8为本发明中当大轮连接输入轴带动小轮增速传动时的结构示意图。

上述图中：1-驱动器，2-联轴器，3-输入轴,4-小轮，5-输出轴，6-大轮，7-啮合线K-K，8-小轮节圆柱，9-小轮接触线Cp，10-大轮接触线Cg，11-大轮节圆柱，12-大轮端面齿廓左侧齿根过渡曲线，13-大轮端面工作齿廓左侧下部抛物线，14-大轮端面工作齿廓左侧上部圆弧曲线，15-小轮端面齿廓左侧齿根过渡曲线，16-小轮端面工作齿廓左侧下部抛物线，17-大轮端面工作齿廓左侧上部圆弧曲线。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明实施方式作进一步地描述。下面介绍的是本发明的多个可能实施例中的较优的一个，旨在提供对本发明的基本了解，但并不旨在确认本发明的关键或决定性的要素或限定所要保护的范围。

在这里示出和讨论的所有示例中，任何具体值应被解释为仅仅是示例性的，而不是作为限制。因此，示例性实施例的其它示例可以具有不同的值。

对于相关领域普通技术人员已知的技术、方法和设备可能不作详细讨论，但在适当情况下，所述技术、方法和设备应当被视为授权说明书的一部分。

应注意到：相似的标号和字母在下面的附图中表示类似项，因此，一旦某一项在一个附图中被定义，则在随后的附图中不需要对其进行进一步讨论。同时，应当明白，为了便于描述，附图中所示出的各个部分的尺寸并不是按照实际的比例关系绘制的。

在本发明的描述中,需要说明的是,本发明中涉及到电路和电子元器件以及模块均为现有技术，本领域技术人员完全可以实现，无需赘言，本发明保护的内容也不涉及对于内部结构和方法的改进。

进一步需要说明的是,除非另有明确的规定和限定,术语“安装”、“连接”应做广义理解,例如,可以是固定连接,也可以是可拆卸连接,或一体地连接；可以是机械连接,也可以是电连接；可以是直接相连,也可以通过中间媒介间接相连,可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言,可以具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

实施例1：

请参考图1，本发明的实施例提供了一种端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，应用于平行轴之间传动比为3的减速传动，设计它们的重合度为ε＝2.4。其结构如图1所示，包括小轮4和大轮6，小轮4和大轮6组成一对齿轮副，小轮4连接输入轴3，输入轴3通过联轴器2和驱动电机1固连，大轮6连接输出轴5，即大轮6通过输出轴5与被驱动负载相连；所述的小轮4和大轮6的轴线互相平行。图2为本发明一种端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构的空间啮合坐标系示意图。

参见图1、2、3、4、5、6，小轮的节圆柱8半径为R₁，小轮齿顶圆半径为R_a1，齿根圆半径为R_d1，小轮齿根圆柱体外表面均布有抛物线齿线结构的轮齿，其结构由小轮端面齿廓曲线随接触点沿齿面接触线运动形成，且接触线沿小轮节圆柱面展开后为轴对称的抛物线。小轮轮齿的端面齿廓为轴对称形式，即端面左侧齿廓和右侧齿廓轴对称。以小轮左侧端面齿廓为例，从齿顶到齿根依次均由小轮轮齿左侧端面工作齿廓上部圆弧曲线17、左侧端面工作齿廓下部抛物线16和左侧端面齿根过渡曲线即Hermite曲线15组成。

参见图1、2、3、4、5、7，大轮的节圆柱11半径为R₂，大轮齿顶圆半径为R_a2，齿根圆半径为R_d2，大轮齿根圆柱体外表面均布有抛物线齿线结构的轮齿,其结构由大轮端面齿廓曲线随接触点沿齿面接触线运动形成，且接触线沿大轮节圆柱面展开后为轴对称的抛物线。大轮轮齿的端面齿廓为轴对称形式，即端面左侧齿廓和右侧齿廓轴对称。以大轮左侧端面齿廓为例，从齿顶到齿根依次均由小轮轮齿左侧端面工作齿廓上部圆弧曲线14、左侧端面工作齿廓下部抛物线13和左侧端面齿根过渡曲线即Hermite曲线12组成。

所述小轮和所述大轮的端面工作齿廓为端面圆弧与抛物线的组合齿廓，且呈左右侧轴对称形式，端面右侧齿廓可由端面左侧齿廓轴对称得到；左侧工作齿廓曲线由圆弧和抛物线两种平面曲线在齿间控制点P_bi光滑连接而成，小轮和大轮安装时右侧齿廓的齿间控制点G_bi与节点P_i重合，控制点G_bi由左侧工作齿廓曲线齿间控制点P_bi轴对称得到；端面工作齿廓曲线形状由齿顶控制点P_ai、齿间控制点P_bi和齿底控制点P_ci决定；具体而言，小轮和大轮工作齿廓曲线从齿顶到齿根的组合类型均为CP，其中“C、P”分别代表圆弧(Ci r)和抛物线(Par)，圆弧为工作齿廓上部曲线，抛物线为工作齿廓下部曲线；齿根过渡曲线为齿底控制点P_ci与齿根控制点P_di所确定的Hermite曲线(Her)，且齿根过渡曲线与工作齿廓下部曲线在齿底控制点P_ci光滑连接。。

所述小轮和所述大轮的左侧工作齿廓的齿顶控制点P_ai由齿顶圆半径R_ai和偏移角χ_ai确定，χ_ai为小轮和大轮的齿顶基准点J_ai绕圆心顺时针转动的角度；齿底控制点P_ci由齿底圆半径R_ci和偏移角χ_ci确定，χ_ci为小轮和大轮的齿底基准点J_ci绕圆心顺时针转动的角度；其中，小轮和大轮齿顶基准点J_ai为与小轮和大轮分别具有相同基圆半径、端面压力角的渐开线和相同半径R_ai齿顶圆的交点；小轮和大轮齿底基准点J_ci为与小轮和大轮分别具有相同基圆半径、端面压力角的渐开线和相同半径R_ci齿底圆的交点。

小轮4连接输入轴3，输入轴3通过联轴器2和驱动电机1固连，在驱动电机1的带动下旋转，使小轮和大轮至少一对轮齿啮合点位于节点以实现纯滚动啮合接触，实现平行轴之间的运动和动力的传动，本实施例中驱动器1为电动机。

其中，所述小轮和所述大轮齿面接触线9、10由如下方法确定：在o_p-x_p,y_p,z_p、o_k-x_k,y_k,z_k及o_g-x_g,y_g,z_g三个空间坐标系中，z_p轴与小轮的回转轴线重合，z_g轴与大轮的回转轴线重合，z_k轴与通过啮合点M_a和M_b的啮合线K-K重合，且z_k轴与z_p、z_g轴互相平行，x_p与x_g轴重合，x_k与x_g轴平行，o_p o_g的距离为a；坐标系o₁-x₁,y₁,z₁与小轮固联，坐标系o₂-x₂,y₂,z₂与大轮固联，小轮、大轮坐标系o₁-x₁,y₁,z₁和o₂-x₂,y₂,z₂在起始位置分别与坐标系o_p-x_p,y_p,z_p及o_g-x_g,y_g,z_g重合，此时啮合点M_a和M_b重合并记为M，小轮以匀角速度ω₁绕z_p轴顺时针旋转，大轮以匀角速度ω₂绕z_g轴逆时针旋转，从起始位置经一段时间后，坐标系o₁-x₁,y₁,z₁及o_2-x₂,y₂,z₂分别旋转，小轮绕z_p轴转过角，大轮绕z_g轴转过/>角；

当小轮和大轮啮合传动时，设定啮合点M_a和M_b分别从坐标原点o_k开始沿啮合线K-K上下运动，描述啮合点运动的参数方程为：

式(1)中t为啮合点M_a和M_b的运动参数变量，0≤t≤Δt；b为齿宽，单位为毫米(mm)；“+”对应啮合点M_a，“-”对应啮合点M_b；

为了确保定传动比啮合，小轮和大轮的转角与啮合点的运动必须是线性关系，它们的关系式如下：

式(2)中为啮合点运动的线性比例系数，其单位为弧度(rad)；i₁₂为小轮与大轮之间的传动比；

当啮合点M_a和M_b沿啮合线K-K运动时，它们同时在小轮齿面和大轮齿面分别形成接触线C_p和C_g；根据坐标变换，得到坐标系o_p-x_p,y_p,z_p、o_k-x_k,y_k,z_k及o_g-x_g,y_g,z_g、o₁-x₁,y₁,z₁和o₂-x₂,y₂,z₂之间的齐次坐标变换矩阵为：

其中，

式(4)和(5)中，R₁为小轮的节圆柱半径，R₂为大轮的节圆柱半径，α_t为啮合点的端面压力角；

由式(1)和(4)求得小轮齿面的接触线C_p的参数方程为：

由式(1)和(5)求得大轮齿面的接触线C_g的参数方程为：

所述小轮和所述大轮的左侧端面齿廓具体结构由如下方法确定：

分别在大轮和小轮的齿间控制点P_bi建立局部坐标系S_pbi(o_pbi-x_pbiy_pbiz_pbi)，i＝1，2，其中i＝1表示小轮，i＝2表示大轮，得到用于工作齿廓曲线组合的上部圆弧曲线的参数方程为：

式(8)中，i＝1，2，其中i＝1表示小轮，i＝2表示大轮；ξ_ai为圆弧曲线的角度参数，ξ_aimin和ξ_aimax分别是ξ_ai取值的最小值和最大值，ρ_ai是小轮和大轮的圆弧半径，当确定偏移角χ_ai、齿顶圆半径R_ai，ρ_ai、ξ_aimin和ξ_aimax均可求解，从而确定上部圆弧齿廓曲线；

得到用于工作齿廓曲线组合的下部抛物线曲线的参数方程为：

式(9)中，i＝1，2，其中i＝1表示小轮，i＝2表示大轮；a_pi为小轮和大轮的抛物线曲线的二次项系数，x_pi是坐标轴x_pbi的参变量，x_pimin和x_pimax分别是x_pi取值的最小值和最大值；当确定齿底圆半径R_ci、偏移角χ_ci时，a_pi、x_pimin和x_pimax均可求解，从而确定下部抛物线齿廓曲线；

根据坐标变换，可以得到坐标系S_pbi(o_pbi-x_pbiy_pbiz_pbi)和S_Invi(o_Invi-x_Inviy_Inviz_Invi)之间的齐次坐标变换矩阵为：

/>

其中，γ_i为节点P_i的径矢与坐标轴y_Invi正向所夹的锐角；

坐标系S_Inv1(o_Inv1-x_Inv1y_Inv1z_Inv1)和o_p-x_p,y_p,z_p之间的齐次坐标变换矩阵为：

坐标系S_Inv2(o_Inv2-x_Inv2y_Inv2z_Inv2)和o_g-x_g,y_g,z_g之间的齐次坐标变换矩阵为：

其中，λ_i为小轮和大轮分度圆齿厚对应的圆心角；

小轮和大轮轮齿端面左侧齿根过渡曲线，即Hermite曲线(Her)，由点P_ci和P_di及其切矢量T_ci和T_di决定，P_di由齿根圆半径R_di和角δ_i共同决定，δ_i为点P_di的径矢与坐标轴x_k所夹的锐角，求得齿根控制点P_ci与齿底控制点P_di所确定的左侧齿根过渡曲线即Hermite曲线的参数方程为：

式(13)和(14)中，x_p(P_ci)，y_p(P_ci)，z_p(P_ci)分别为点P_ci的三坐标轴分量，x_[(P_di)，y_p(P_di)，z_p(P_di)分别为点P_di的三坐标轴分量，x_p(T_ci)，y_p(T_ci)，z_p(T_ci)分别为点P_ci的单位切矢量T_ci的三坐标轴分量，x_p(T_di)，y_p(T_di)，z_p(T_di)分别为点P_di的单位切矢量T_di的三坐标轴分量，m_t为端面模数，b₁，b₂，b₃，b₄为计算参数，T_H为齿根过渡曲线形状控制参数，0.2≤T_H≤1.5，t_H为计算参数，0≤t_H≤1；

上述所有式中：

t—啮合点M_a和M_b的运动参数变量，且t∈[0,Δt]；

Δt—啮合点的运动参数变量的最大取值；

—为啮合点运动的线性比例系数；

m_t—端面模数；

Z₁—小轮齿数；

Z₂—大轮齿数；

a_pi—小轮和大轮的抛物线齿廓曲线的二次项系数；

x_pimin—x_pi取值的最小值；

x_pimax—x_pi取值的最大值；

b—小轮和大轮的轮齿宽度；

α_t—端面压力角；

J_ai—小轮和大轮齿顶基准点

J_ci—小轮和大轮齿底基准点

χ_a1—小轮的齿顶基准点绕圆心顺时针转动的角度；

χ_a2—大轮的齿顶基准点绕圆心顺时针转动的角度；

χ_c1—小轮的齿底基准点绕圆心顺时针转动的角度；

χ_c2—大轮的齿底基准点绕圆心顺时针转动的角度；

ρ_a1—小轮端面齿廓上部圆弧齿廓半径；

ρ_a2—大轮端面齿廓上部圆弧齿廓半径；

k_c—小轮和大轮根部过渡曲线起始点P_ci的半径变动系数；

R₁—为小轮的节圆柱半径，R₁＝m_tZ₁/2； (15)

R₂—为大轮的节圆柱半径，R₂＝i₁₂R₁； (16)

i₁₂—为小轮与大轮的传动比，

a—小轮和大轮的轴线安装相对位置：a＝R₁+R₂； (18)

r_b1—小轮基圆半径，r_b1＝R₁cosx_t； (19)

r_b2—大轮基圆半径，r_b2＝R₂cosα_t； (20)

R_a1—小轮齿顶圆半径，R_a1＝R₁+m_t； (21)

R_c1—小轮齿底圆半径，即根部过渡曲线起始点P_c1到小轮转动中心的半径，R_c1＝R₁-k_cm_t； (22)

R_d1—小轮齿根圆半径，R_d1＝R₁-1.25m_t； (23)

R_a2—大轮齿顶圆半径，R_a2＝R₂+m_t； (24)

R_c2—大轮齿底圆半径，即根部过渡曲线起始点P_c2到大轮转动中心的半径，R_c2＝R₂-k_cm_t； (25)

R_d2—大轮齿根圆半径，R_d2＝R₂-1.25m_t； (26)

γ₁—小轮端面节点P₁的径矢与坐标轴y_Inv1正向所夹的锐角，

γ₂—大轮端面节点P₂的径矢与坐标轴y_Inv2正向所夹的锐角，

λ₁—小轮分度圆齿厚对应的圆心角，

λ₂—大轮分度圆齿厚对应的圆心角，

δ₁—小轮左侧端面齿廓点p_d1的径矢与坐标轴x_k所夹的锐角，

δ₂—大轮左侧端面齿廓点p_d2的径矢与坐标轴x_k所夹的锐角，

端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构的重合度需大于2，其重合度计算公式为

根据重合度的数值ε，线性比例系数和小轮齿数Z₁，求得端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构啮合点的运动参数变量的最大取值为/>

当确定小轮齿数Z₁、传动比i₁₂、端面模数m_t、重合度ε、线性比例系数端面压力角α_t、齿宽b、齿根过渡曲线形状控制参数T_H、小轮的齿顶基准点绕圆心顺时针转动的角度χ_a1、大轮的齿顶基准点绕圆心顺时针转动的角度χ_a2、小轮的齿底基准点绕圆心顺时针转动的角度χ_c1、大轮的齿底基准点绕圆心顺时针转动的角度χ_c2、小轮和大轮根部过渡曲线起始点P_ci的半径变动系数k_c时，啮合点的运动参数变量的最大取值Δt、接触线和啮合线7、小轮和大轮的端面组合齿廓和它们的正确安装距离也相应确定，小轮和大轮的齿面抛物线齿线结构也可以确定，从而得到端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构；

上述式中：各坐标系轴，a，b，m_t，ρ_a1，ρ_a2，x_pimin，x_pimax，R₁和R₂等长度、半径或距离单位均为毫米(mm)；ξ_ai，ξ_aimin，ξ_aimax，δ₁，δ₂，χ_a1，χ_c1，χ_a2和χ_c2等角度的单位为弧度(rad)；压力角α_t的单位为度(°)。

当上述式中，相关参数分别取值为：Z₁＝24，i₁₂＝3，m_t＝4毫米(mm)，ε＝2·4，弧度(rad)，b＝80毫米(mm)，α_t＝20°，T_H＝0.5，χ_a1＝0.08rad，χ_a2＝0.04rad，代入式(15)-(34)求得Δt＝0.1，a＝192毫米(mm)；

然后把上述数值代入式(1)-式(14)可以得到本实例中小轮和大轮的接触线参数方程和端面齿廓参数方程，然后根据螺旋运动，从而得到小轮和大轮的轮齿齿面结构，并可以按照正确的中心距进行装配。

当驱动电机1带动输入轴3、小轮2旋转时，由于在正确安装小轮2和大轮5时，预先设定的这对端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线纯滚动外啮合齿轮的重合度ε＝2.4，其中两对相邻轮齿均处于啮合状态，因此保证了在每一个瞬时，至少有两对轮齿同时参与啮合传动，从而实现了端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构在旋转运动中连续稳定的啮合传动。本实施例电机连接的输入轴旋转方向为顺时针，对应于端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线纯滚动外啮合齿轮的减速传动方式，用以实现大轮的逆时针转的减速增扭传动。

实施例2：

将本发明的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构应用于平行轴的增速传动。如图8所示，采用大轮6连接输入轴3，输入轴3通过联轴器2和驱动电机1固连，小轮4连接输出轴5，即小轮4通过输出轴5与被驱动负载相联；小轮4和大轮6的轴线平行。本实施例中大轮5的齿数为63，小轮2的齿数为21，设计重合度ε＝2.4。输入轴3带动大轮6旋转时，由于在安装大轮6和小轮4时，两对相邻轮齿均处于啮合状态，预先设定的这对端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线纯滚动外啮合齿轮的重合度ε＝2.4，因此保证了在每一个瞬时，至少有两对轮齿同时参与啮合传动，从而实现了端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构在旋转运动中连续稳定的啮合传动。此时，大轮对小轮的增速比为3，即小轮对大轮的角速度比为3。

相关参数分别取值为：Z₁＝21，i₁₂＝3，m_t＝3毫米(mm)，ε＝2.4，弧度(rad)，b＝80毫米(mm)，α_t＝25°，T_H＝0.6，χ_a1＝0.06rad，χ_a2＝0.03rad代入式(16)-(36)求得Δt＝0.1，a＝126毫米(mm)；

然后把上述数值代入式(1)-式(14)可以得到本实例中小轮和大轮的接触线参数方程和端面齿廓参数方程，然后分别根据螺旋运动，从而得到小轮和大轮的轮齿结构，并可以按照正确的中心距进行装配。

本实施例驱动器连接的输入轴旋转方向为逆时针，对应于端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构的增速传动方式，用以实现小轮的顺时针旋转的传动。

本发明一种端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构的设计基于啮合线参数方程的主动设计方法并采用圆弧曲线和抛物线组合形成端面工作齿廓，实现理论纯滚动啮合传动，并实现接触区域和接触椭圆的主动调控，减小齿面摩擦摩擦，提升综合曲率半径，增大齿面接触强度和齿根弯曲强度；本发明端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构无根切，最小齿数为1，相比现有平行轴渐开线齿轮等机构，可以实现单级大传动比高重合度传动，同时由于齿数小，相同齿轮节圆直径时可设计更大的齿厚，从而具有更高的强度，具备更大的承载能力，适合于微小/微型机械、常规机械传动和高速重载传动领域的推广应用；本发明端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构还可以通过根部过渡曲线参数值的优化设计来使得小轮和大轮具有相近的齿根弯曲强度，实现传动机构的等强度设计，进一步提升设备的使用寿命；本发明端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构正反转传动的最大齿面接触应力和最大齿根弯曲应力差值极小，具有近似的正反转双向传动的强度。在实际使用时，所述小轮4和所述大轮6中的一个连接输入轴，所述输入轴连接驱动器1，所述驱动器1可驱动所述小轮4或所述大轮6进行正转传动或反转传动。

在本文中，所涉及的前、后、上、下等方位词是以附图中零部件位于图中以及零部件相互之间的位置来定义的，只是为了表达技术方案的清楚及方便。应当理解的是，它们是相对的概念，可以根据使用、放置的不同方式而相应地变化，所述方位词的使用不应限制本申请请求保护的范围。

在不冲突的情况下，本文中上述实施例及实施例中的特征可以相互结合。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，包括轴线平行的小轮和大轮组成的一对齿轮副，所述小轮和所述大轮之间纯滚动啮合传动，其特征在于：所述小轮和所述大轮的端面齿廓曲线由端面工作齿廓曲线和齿根过渡曲线组成，且所述小轮和所述大轮的端面齿廓曲线均左右两侧对称；所述小轮和所述大轮的端面工作齿廓为端面圆弧与抛物线的组合齿廓；所述小轮和所述大轮的齿面具有抛物线齿线结构；所述小轮和所述大轮至少一对轮齿啮合点位于节点以实现纯滚动啮合接触，所述小轮和所述大轮相对转动啮合点形成啮合线分别在所述小轮和所述大轮的齿面形成两条接触线。

2.如权利要求1所述的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，其特征在于：所述小轮和所述大轮的齿面结构分别由小轮和大轮端面齿廓曲线随接触点沿齿面接触线运动形成，且接触线沿小轮和大轮的节圆柱面展开后均为轴对称的抛物线。

3.如权利要求1所述的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，其特征在于：所述小轮和所述大轮的端面左侧工作齿廓曲线由圆弧和抛物线两种平面曲线在齿间控制点P_bi光滑连接而成，小轮和大轮安装时右侧齿廓的齿间控制点G_bi与节点P_i重合，控制点G_bi由左侧工作齿廓曲线齿间控制点P_bi轴对称得到；端面工作齿廓曲线形状由齿顶控制点P_ai、齿间控制点P_bi和齿底控制点P_ci决定；具体而言，小轮和大轮工作齿廓曲线从齿顶到齿根的组合类型均为CP，其中C、P分别代表圆弧和抛物线，圆弧为工作齿廓上部曲线，抛物线为工作齿廓下部曲线；齿根过渡曲线为齿底控制点P_ci与齿根控制点P_di所确定的Hermite曲线，且齿根过渡曲线与工作齿廓下部曲线在齿底控制点P_ci光滑连接。

4.如权利要求3所述的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，其特征在于：所述小轮和所述大轮的左侧工作齿廓的齿顶控制点P_ai由齿顶圆半径R_ai和偏移角χ_ai确定，χ_ai为小轮和大轮的齿顶基准点J_ai绕圆心顺时针转动的角度；齿底控制点P_ci由齿底圆半径R_ci和偏移角χ_ci确定，χ_ci为小轮和大轮的齿底基准点J_ci绕圆心顺时针转动的角度；其中，小轮和大轮齿顶基准点J_ai为与小轮和大轮分别具有相同基圆半径、端面压力角的渐开线和相同半径R_ai齿顶圆的交点；小轮和大轮齿底基准点J_ci为与小轮和大轮分别具有相同基圆半径、端面压力角的渐开线和相同半径R_ci齿底圆的交点。

5.如权利要求1所述的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，其特征在于：所述小轮和所述大轮齿面接触线由如下方法确定：

在o_p-x_p，y_p，z_p、o_k-x_k，y_k，z_k及o_g-x_g，y_g，z_g三个空间坐标系中，z_p轴与小轮的回转轴线重合，z_g轴与大轮的回转轴线重合，z_k轴与通过啮合点M_a和M_b的啮合线K-K重合，且z_k轴与z_p、z_g轴互相平行，x_p与x_g轴重合，x_k与x_g轴平行，o_p o_g的距离为a；坐标系o₁-x₁，y₁，z₁与小轮固联，坐标系o₂-x₂，y₂，z₂与大轮固联，小轮、大轮坐标系o₁-x₁，y₁，z₁和o₂-x₂，y₂，z₂在起始位置分别与坐标系o_p-x_p，y_p，z_p及o_g-x_g，y_g，z_g重合，此时啮合点M_a和M_b重合并记为M，小轮以匀角速度ω₁绕z_p轴顺时针旋转，大轮以匀角速度ω₂绕z_g轴逆时针旋转，从起始位置经一段时间后，坐标系o₁-x₁，y₁，z₁及o_2- x₂，y₂，z₂分别旋转，小轮绕z_p轴转过角，大轮绕z_g轴转过/>角；

当小轮和大轮啮合传动时，设定啮合点M_e和M_b分别从坐标原点o_k开始沿啮合线K-K上下运动，描述啮合点运动的参数方程为：

式(1)中t为啮合点M_a和M_b的运动参数变量，0≤t≤Δt；b为齿宽；“+”对应啮合点M_a，“-”对应啮合点M_b；

为了确保定传动比啮合，小轮和大轮的转角与啮合点的运动必须是线性关系，它们的关系式如下：

式(2)中为啮合点运动的线性比例系数；i₁₂为小轮与大轮之间的传动比；

当啮合点M_a和M_b沿啮合线K-K运动时，它们同时在小轮齿面和大轮齿面分别形成接触线C_p和C_g；根据坐标变换，得到坐标系o_p-x_p，y_p，z_p、o_k-x_k，y_k，z_k及o_g-x_g，y_g，z_g、o₁-x₁，y₁，z₁和o₂-x₂，y₂，z₂之间的齐次坐标变换矩阵为：

其中，

式(4)和(5)中，R₁为小轮的节圆柱半径，R₂为大轮的节圆柱半径，α_t为啮合点的端面压力角；

由式(1)和(4)求得小轮齿面的接触线C_p的参数方程为：

由式(1)和(5)求得大轮齿面的接触线C_g的参数方程为：

6.如权利要求1所述的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，其特征在于：所述小轮和所述大轮的左侧端面齿廓具体结构由如下方法确定：

分别在大轮和小轮的齿间控制点P_bi建立局部坐标系S_pbi(o_pbi-x_pbiy_pbiz_pbi)，i＝1，2，其中i＝1表示小轮，i＝2表示大轮，得到用于工作齿廓曲线组合的上部圆弧曲线的参数方程为：

式(8)中，i＝1，2，其中i＝1表示小轮，i＝2表示大轮；ξ_ai为圆弧曲线的角度参数，ξ_aimin和ξ_aimax分别是ξ_ai取值的最小值和最大值，ρ_ai是小轮和大轮的圆弧半径，当确定偏移角χ_ai、齿顶圆半径R_ai，ρ_ai、ξ_aimin和ξ_aimax均可求解，从而确定上部圆弧齿廓曲线；

得到用于工作齿廓曲线组合的下部抛物线曲线的参数方程为：

式(9)中，i＝1，2，其中i＝1表示小轮，i＝2表示大轮；a_pi为小轮和大轮的抛物线曲线的二次项系数，x_pi是坐标轴x_pbi的参变量，x_pimin和x_pimax分别是x_pbi取值的最小值和最大值；当确定齿底圆半径R_ci、偏移角χ_ci时，a_pi、x_pimin和x_pimax均可求解，从而确定下部抛物线齿廓曲线；

根据坐标变换，可以得到坐标系S_pbi(o_pbi-x_pbiy_pbiz_pbi)和S_Invi(o_Invi-x_Inviy_Inviz_Invi)之间的齐次坐标变换矩阵为：

其中，γ_i为节点P_i的径矢与坐标轴y_Invi正向所夹的锐角；

坐标系S_Inv1(o_Inv1-x_Inv1y_Inv1z_Inv1)和o_p-x_p，y_p，z_p之间的齐次坐标变换矩阵为：

坐标系S_Inv2(o_Inv2-x_Inv2y_Inv2z_Inv2)和o_g-x_g，y_g，z_g之间的齐次坐标变换矩阵为：

其中，λ_i为小轮和大轮分度圆齿厚对应的圆心角；

小轮和大轮轮齿端面左侧齿根过渡曲线，即Hermite曲线，由点P_ci和P_di及其切矢量T_ci和T_di决定，P_di由齿根圆半径R_di和角δ_i共同决定，δ_i为点P_di的径矢与坐标轴x_k所夹的锐角，求得齿根控制点P_ci与齿底控制点P_di所确定的左侧齿根过渡曲线即Hermite曲线的参数方程为：

式(13)和(14)中，x_p(P_ci)，y_p(P_ci)，z_p(P_ci)分别为点P_ci的三坐标轴分量，x_p(P_di)，y_p(P_di)，z_p(P_di)分别为点P_di的三坐标轴分量，x_p(T_ci)，y_p(T_ci)，z_p(T_ci)分别为点P_ci的单位切矢量T_ci的三坐标轴分量，x_p(T_di)，y_p(T_di)，z_p(T_di)分别为点P_di的单位切矢量T_di的三坐标轴分量，m_t为端面模数，b₁，b₂，b₃，b₄为计算参数，T_H为齿根过渡曲线形状控制参数，0.2≤T_H≤1.5，t_H为计算参数，0≤t_H≤1；

上述所有式中：

t-啮合点M_a和M_b的运动参数变量，且t∈[0，Δt]；

Δt-啮合点的运动参数变量的最大取值；

一为啮合点运动的线性比例系数；

m_t-端面模数；

Z₁-小轮齿数；

Z₂-大轮齿数；

a_pi-小轮和大轮的抛物线齿廓曲线的二次项系数；

x_pimin-x_pi取值的最小值；

x_pimax-x_pi取值的最大值；

b-小轮和大轮的轮齿宽度；

α_t-端面压力角；

J_ai-小轮和大轮齿顶基准点

J_ci-小轮和大轮齿底基准点

χ_a1-小轮的齿顶基准点绕圆心顺时针转动的角度；

χ_a2-大轮的齿顶基准点绕圆心顺时针转动的角度；

χ_c1-小轮的齿底基准点绕圆心顺时针转动的角度；

χ_c2-大轮的齿底基准点绕圆心顺时针转动的角度；

ρ_a1-小轮端面齿廓上部圆弧齿廓半径；

ρ_a2-大轮端面齿廓上部圆弧齿廓半径；

k_c-小轮和大轮根部过渡曲线起始点P_ci的半径变动系数；

R₁-为小轮的节圆柱半径，R₁＝m_tZ₁/2； (15)

R₂-为大轮的节圆柱半径，R₂＝i₁₂R₁； (16)

i₁₂-为小轮与大轮的传动比，

a-小轮和大轮的轴线安装相对位置：a＝R₁+R₂； (18)

r_b1-小轮基圆半径，r_b1＝R₁cosα_t； (19)

r_b2-大轮基圆半径，r_b2＝R₂cosα_t； (20)

R_a1-小轮齿顶圆半径，R_a1＝R₁+m_t； (21)

R_c1-小轮齿底圆半径，即根部过渡曲线起始点P_c1到小轮转动中心的半径，

R_c1＝R₁-k_cm_t； (22)

R_d1-小轮齿根圆半径，R_d1＝R₁-1.25m_t； (23)

R_a2-大轮齿顶圆半径，R_a2＝R₂+m_t； (24)

R_c2-大轮齿底圆半径，即根部过渡曲线起始点P_c2到大轮转动中心的半径，

R_c2＝R₂-k_cm_t； (25)

R_d2-大轮齿根圆半径，R_d2＝R₂-1.25m_t； (26)

γ₁-小轮端面节点P₁的径矢与坐标轴y_Inv1正向所夹的锐角，

γ₂-大轮端面节点P₂的径矢与坐标轴y_Inv2正向所夹的锐角，

λ₁-小轮分度圆齿厚对应的圆心角，

λ₂-大轮分度圆齿厚对应的圆心角，

δ₁-小轮左侧端面齿廓点P_d1的径矢与坐标轴x_k所夹的锐角，

δ₂-大轮左侧端面齿廓点P_d2的径矢与坐标轴x_k所夹的锐角，

端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构的重合度需大于2，其重合度计算公式为

根据重合度的数值ε，线性比例系数和小轮齿数Z₁，求得端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构啮合点的运动参数变量的最大取值为/>

当确定小轮齿数Z₁、传动比i₁₂、端面模数m_t、重合度ε、线性比例系数端面压力角α_t、齿宽b、齿根过渡曲线形状控制参数T_H、小轮的齿顶基准点绕圆心顺时针转动的角度χ_a1、大轮的齿顶基准点绕圆心顺时针转动的角度χ_a2、小轮的齿底基准点绕圆心顺时针转动的角度χ_c1、大轮的齿底基准点绕圆心顺时针转动的角度χ_c2、小轮和大轮根部过渡曲线起始点P_ci的半径变动系数k_c时，啮合点的运动参数变量的最大取值Δt、接触线和啮合线、小轮和大轮的端面组合齿廓和它们的正确安装距离也相应确定，小轮和大轮的齿面抛物线齿线结构也可以确定，从而得到端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构。

7.如权利要求1所述的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，其特征在于：所述小轮用于连接输入轴，所述大轮用于连接输出轴。

8.如权利要求7所述的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，其特征在于：所述小轮与所述大轮连接的输入轴、输出轴具有互换性。

9.如权利要求1所述的端面圆弧与抛物线组合齿廓的抛物线齿线齿轮机构，其特征在于：所述小轮和所述大轮中的一个连接输入轴，所述输入轴连接驱动器，所述驱动器可驱动所述小轮或所述大轮正反转传动。