CN116401913A - 一种水凝胶基负水化膨胀超材料的设计与优化方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种水凝胶基负水化膨胀超材料的设计与优化方法，该方法将机器学习方法引入水凝胶基超材料优化设计中，可用于精确设计具有特定负水化膨胀效应的超材料结构，有效提高了水凝胶基超材料的设计效率且降低了计算成本。本发明公开了一种水凝胶基负水化膨胀超材料的优化设计方案，采用有限元模拟构建初始数据集并基于机器学习方法建立初始设计参数与超材料力学性能参数之间的映射关系，在优化设计过程中采用训练的机器学习模型预测超材料力学性能。此外，本发明还结合多种群遗传算法在全局范围内搜索最优解，提升了算法的鲁棒性。本发明所提出的方法可以作为一种新的优化设计方法，可以高效准确地设计水凝胶基负水化膨胀超材料。
Description
技术领域
本发明属于结构优化与设计技术领域，具体涉及一种水凝胶基负水化膨胀超材料的设计与优化方法。
背景技术
超材料是一类人工设计的复合结构，具备天然材料中没有的特殊物理性能。超材料的特性通常不取决于组成材料的特性，而是取决于人工结构。因此，通过巧妙的结构设计，超材料可以具有特殊的力学性能，例如：负泊松比、负刚度、负压缩性、负热膨胀、负水化膨胀效应等。由于这些特性，超材料在医学、微电子、航空航天、海洋工程等方面发挥着重要作用。因此，发展超材料优化设计方法对解决我国关键技术“卡脖子”难题和保障人民群众生命财产安全具有重要的意义。
水凝胶基负水化膨胀超材料是利用水凝胶的正膨胀行为实现结构收缩效应的超材料，其设计和制备也是未来的研究热点。目前，水凝胶基负水化膨胀超材料的结构设计主要采用实验的方式，这会消耗大量的时间和精力，而且很难实现具备特定负水化膨胀效应的超材料的精确设计。机器学习方法作为新兴高性能数值计算技术为深入探究超材料的结构设计提供了一种可行的方案，其在选用合理的训练参数和初始数据集训练机器学习模型后，即可快速、准确地预测结构的力学行为。因此，发展基于机器学习的负水化膨胀超材料设计与优化方法尤为重要。
研究表明，水凝胶基负水化膨胀超材料力学行为与传统超材料力学行为具有很大的不同。首先，绝大多数超材料是受外部载荷驱动来实现特定的力学性能，而水凝胶基负水化膨胀超材料是一种由聚合物框架及响应性水凝胶材料组合而成的主动变形超材料，当其处于溶液中时，水凝胶会吸水发生溶胀变形进而导致整体结构发生收缩变形，所以针对水凝胶溶胀大变形行为的精确分析具有重要的意义。其次，因为聚合物和水凝胶材料的模量较低，所以负水化膨胀材料容易发生接触，这是一个高度非线性的力学问题。由于存在上述特点，使得水凝胶基负水化膨胀超材料的力学行为分析及结构优化设计仍然存在巨大挑战，因而具有重要的研究价值。
目前，水凝胶基负水化膨胀超材料设计与优化存在设计和输出参数如何选取、计算效率不高的问题。在设计和输出参数的选取方面，由于二者的选取会直接影响机器学习模型的训练效果，因此如何选取合适的设计参数描述超材料的特征结构以及选取合适的输出参数描述超材料的负水化膨胀效应仍存在许多问题。而在计算效率方面，由于传统的拓扑优化方法一般基于单元密度进行优化且在优化过程中需要进行反复的有限元模拟，而水凝胶基超材料的变形过程中经常会发生接触，接触问题的模拟会消耗大量的计算资源，以上问题都会对优化设计的计算效率产生影响。
最近的研究表明，反向传播神经网络是一种构建输入参数和输出参数之间映射关系的有效方法，其通过给定的初始数据集训练机器学习模型，对于训练好的机器学习模型，只要输入设计参数便可以快速给出对应的输出参数，从而实现高效的数值求解。反向传播神经网络最早于1986年由Rumelhart等人提出，是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一。经过30多年的快速发展，反向传播神经网络因其不依赖于物理模型且具有简单易行、计算量小和并行性强等优点而得到了越来越多学者的青睐，已经被应用于多个研究领域。近年来反向传播神经网络也被应用于结构力学性能的分析，并结合优化算法进行结构优化设计。因此，本发明将使用反向传播神经网络理论来探究水凝胶基负水化膨胀超材料结构的力学行为，并结合优化算法设计具备特定负水化膨胀效应的超材料结构。
为了高效地优化设计水凝胶基负水化膨胀超材料结构，使其实现特定的负水化膨胀效应，本发明拟使用多种群遗传算法在全局范围内搜索最优解。由于标准遗传算法只有一个包含多个个体的种群，采用随机方法进行最优解搜索，通过选择、交叉、变异操作迅速排除与最优解相差较大的个体。当设计参数范围较大且初始个体取值不合理时，标准遗传算法可能会出现陷入局部最优、过早收敛和稳定性差等问题。为了解决这些问题，多种群遗传算法被提出。它的主要特征是包含多个种群，且每个种群采用不同的交叉率和变异率进行标准遗传算法，通过移民算子建立起各个种群之间的联系。因此，多种群遗传算法可以更准确的在全局范围内搜索最优解并避免了过早收敛和稳定性差等问题。
目前，水凝胶基超材料的研究主要通过试验的方法，关于水凝胶基超材料结构的力学行为分析及优化设计方面的研究尚未充分开展。因此，本发明提出了一种基于机器学习和多种群遗传算法的水凝胶基超材料的优化设计方法，采用反向传播神经网络构建机器学习模型代替传统的有限元模拟来分析超材料的力学行为，并结合多种群遗传算法在全局范围内搜索最优解，为水凝胶基负水化膨胀超材料的精确设计提供了一种行之有效的途径。
发明内容
本发明要解决的技术问题：本发明基于反向传播神经网络和多种群遗传算法，并结合提出的水凝胶基超材料结构设计方案，针对具有特定负水化膨胀效应的水凝胶基超材料的优化设计展开研究，创新性地提出了一种水凝胶基负水化膨胀超材料的优化设计方法，其目的在于解决现有技术存在的以下问题：采用反向传播神经网络构建机器学习模型预测超材料的力学性能以克服传统有限元模拟在计算接触问题时消耗大量计算资源的缺点；采用多种群遗传算法以克服标准遗传算法陷入局部最优、过早收敛和稳定性差等不足，并提高优化求解的效率；采用考虑不可压的水凝胶本构模型以避免不可压材料在有限元分析时出现体积自锁等问题；定义无量纲设计参数及输出参数分别表征超材料的结构特征属性和负水化膨胀效应，使得设计的超材料结构不依赖于模型尺寸。
本发明的技术方案：
一种水凝胶基负水化膨胀超材料的设计与优化方法，根据上述理论构建了水凝胶基负水化膨胀超材料的优化求解框架，采用反向传播神经网络，再结合多种群遗传算法即可实现本发明提出的水凝胶基负水化膨胀超材料的优化设计方法，结合图1所示本发明提出的水凝胶基超材料优化设计方法示意图，其具体实施步骤如下：
步骤1：建立水凝胶基超材料几何模型及有限元模型，根据设计需要定义结构参数及设计参数的取值范围。
首先，受水凝胶的环境响应性和溶胀变形特性启发，本发明提出了一种由溶液化学势驱动的水凝胶基负水化膨胀超材料，具体设计方案如下：
图2中的(a)展示二维水凝胶基各向同性超材料的晶胞和构建要素，是一种由聚合物软材料和响应性水凝胶材料组成的复合结构。当超材料处于溶液中时，由于水凝胶的水化作用，结构会发生收缩变形并实现负水化膨胀效应；当结构与溶液分离时，由于水凝胶的脱水，结构会发生膨胀变形并恢复至初始构型，如图2中的(b)所示。
图3中的(a)展示了超材料晶胞初始构型的几何参数。其中，方形聚合物框架的边长为l，宽度为d0，框架直杆部分的长度为l0，倒角的半径为r0。四个水凝胶模块的长度均为l1，宽度为d1。任意两个相邻聚合物框架之间的连杆长度为b，宽度为d2。整体结构的厚度为t。当结构处于溶液中时，由于水凝胶模块的膨胀变形，方形聚合物框架会收缩，如图3中的(b)所示。通过超材料变形后的等效线性应变ε对超材料的负水化膨胀效应进行表征。设水化变形后结构的边长为L，则超材料晶胞的有等效线性应变ε为
其中H是变形后连杆向内收缩的深度，H≥b。对式(1)中的b求导，得
因此，当b＝H时，超材料的晶胞会实现最大的负水化膨胀变形，对应的等效线性应变εmin为
在明确了聚合物框架的边长l和宽度d0以及结构的厚度t后，对于任意的晶胞都可以有三个无量纲设计参数(k1,k2,k3)进行表示，定义为
其中k1表示聚合物框架中直杆与总体的长度比，k2表示水凝胶模块与聚合物框架直杆的长度比，k3表示水凝胶模块的宽度与聚合物框架宽度的比值。
二维水凝胶基各向异性超材料晶胞的结构与各向同性超材料晶胞结构一致，区别在于x和y方向的水凝胶模块的尺寸不同。因此，对于二维水凝胶基各向异性超材料应采用五个设计参数(k1,k2x,k2y,k3x,k3y)进行描述，其中k2x和k2y分别表示x和y方向上水凝胶模块与聚合物框架直杆部分的长度比，k3x和k3y分别表示x和y方向上水凝胶模块的宽度与聚合物框架宽度的比值。
三维水凝胶基超材料晶胞是由三个互相垂直的二维超材料晶胞组合而成。对于三维水凝胶基各向同性超材料，可直接采用三个设计参数(k1,k2,k3)进行描述。对于三维水凝胶基各向异性超材料，采用五个设计参数(k1,k2x,k2y,k2z,k3)进行描述，其中k2z表示z方向上水凝胶模块与聚合物框架直杆的长度比。基于上述二维/三维各向同性及各向异性水凝胶基负水化膨胀超材料结构设计方式，通过灵活调整超材料设计参数便可以使其实现特定的负吸湿膨胀效应。
步骤2：基于考虑不可压的水凝胶溶胀大变形行为数值模拟方法分析水凝胶基超材料的变形行为，构建初始数据集。基于反向传播神经网络训练机器学习模型，并测试机器学习模型的计算效果以满足精度要求；
其次，为了准确模拟水凝胶基超材料的力学行为并为机器学习提供初始数据集，本发明采用考虑不可压的水凝胶溶胀大变形行为数值模拟方法，具体方案如下：
如图4所示，设初始构型
中水凝胶材料点的坐标为X。当其处于溶液中时，水凝胶会发生溶胀变形，当前构型/>
下水凝胶材料点的坐标为/>
水凝胶材料点从初始构型/>
到当前构型/>
的变化，可通过变形梯度F进行表征，定义为
水凝胶的溶胀大变形行为模拟需要考虑化学势场，平衡方程具体形式如下
其中
是单位体积的自由能密度函数，μ是溶液的化学势，u是材料点的位移场，b和t分别为内力场和边界上的外力场。
未考虑化学势μ作用及不可压假设的水凝胶自由能函数W(F,Ｃ)可以表示为如下形式
其中Ｃ是溶剂分子浓度，N是单位体积干燥水凝胶中聚合物链的数量，kB是玻尔兹曼常数，T是环境温度，I1＝tr(ＦT·F)是变形梯度F的第一不变量，J＝det(F)是变形梯度F的行列式，v是溶剂分子体积，χ是表征聚合物网络和溶剂分子之间混合焓的无量纲参数。此外，引入不可压条件解决体积自锁问题。设水凝胶中的聚合物网络和溶液中的溶剂分子都是不可压的，当前构型
中的水凝胶体积等于初始构型/>
中干燥水凝胶网络的体积与吸收的溶剂分子的体积之和，即
J＝1+vC(8)
当水凝胶溶胀至平衡状态时，水凝胶和溶液的化学势为
通过勒让德变换，可以得到以下方程
将式(7)和(8)带入到式(10)中，水凝胶的自由能函数
可以表示为
基于上述平衡方程和本构模型，便可以实现水凝胶基超材料变形行为的数值模拟。
再次，为了高效的预测水凝胶基超材料的力学行为，采用反向传播神经网络训练机器学习模型。二维水凝胶基各向同性超材料具体方案如下：
本发明中采用的机器学习模型，输入层包含三个无量纲设计参数(k1,k2,k3)，两个隐含层各包含8个神经元，输出层为超材料的等效线性应变ε。通过多次有限元模拟构建机器学习模型的初始数据集，包含设计参数(k1,k2,k3)和对应的等效线性应变ε。机器学习模型训练过程：当输入参数(k1,k2,k3)被传递到第一个隐含层的第j个神经元时，神经元将通过非线性激活函数获得一个近似的输出值
即
其中
是第i个输入参数与第一个隐含层中第j个神经元的权重系数，/>
第一个隐含层中第j个神经元的偏置系数，f是第一个隐含层的非线性激活函数。类似地，当数据被传输到第二个隐藏层的每个神经元时，会获得近似值/>
其中
是第一个隐含层中第j个神经元和第二个隐含层中第k个神经元之间的权重系数，/>
是第二个隐含层中第k个神经元的偏置系数，g是第二个隐含层的非线性激活函数。进一步，通过线性传递函数ω获得预测值/>
其中
是第二个隐含层中第k个神经元与输出值之间的权重系数，q3是输出层的偏置系数。
预测值
与真实值ε之间的误差为
通过反向传播的误差来校正每个权重系数。重复机器学习模型训练过程过程，直到满足收敛要求，即可获得最终的机器学习模型。对于训练后的机器学习模型，给定任意一组输入参数(k1,k2,k3)，便可以直接预测出超材料的等效线性应变
进而替代优化过程中的有限元模拟。
为使二维各向同性水凝胶基超材料可实现特定负水化膨胀效应，建立了如下的优化问题列式
寻找最优的(k1,k2,k3)使得
取最大值约束：
其中
是为使等效线性应变ε趋近于目标值/>
所构建的目标函数，/>
是在位移边界Γu上的位移约束，Uk表示设计参数的取值范围。对于二维各向异性水凝胶基超材料，上式中的无量纲设计参数(k1,k2,k3)应替换为(k1,k2x,k2y,k3x,k3y)；对于三维各向同性水凝胶基超材料，上式中的无量纲设计参数仍为(k13,k2,k3)；对于三维横观各向同性水凝胶基超材料，上式中的无量纲设计参数应替换为(k1,k2x,k2z,k3)；对于三维各向异性水凝胶基超材料，上式中的无量纲设计参数应替换为(k1,k2x,k2y,k2z,k3)。
步骤3：采用步骤2中训练的机器学习预测超材料的力学行为，基于多种群遗传算法在全局范围内进行优化求解，直至优化结果满足收敛条件。
最后，为了避免优化结果陷入局部最优解，在本发明中采用多种群遗传算法求解水凝胶基超材料的优化设计问题，具体方案如下：
在多种群遗传算法中，所有个体被划分为多个种群，每个种群都同时通过不同的控制参数在全局范围内进行优化和搜索最优解，各个种群之间通过移民算子进行联系。在每一次优化搜索后，通过人工选择算子在每个种群中保留最优个体并形成精英种群。并将精英种群作为判断优化计算是否收敛的依据。优化计算得到的最优结果是多种群共同进化的综合结果。因此，多种群遗传算法具有标准遗传算法的所有优点，且具有更好的全局搜索能力。此外，与标准遗传算法相比，多种群遗传算法具有更高的计算效率，可以有效地避免过早收敛等问题。
在步骤1中，为了避免采用不同设计参数时需要反复建立有限元模型，采用参数化建模方法构建了几何模型，只需给定设计参数值便可生成相应的几何模型。参数化建模过程中所需要的结构参数，包括：根据所需模型的规模确定的聚合物框架的长度l和宽度d0以及结构的厚度t，以及无量纲设计参数。此外，为了确保有限元模拟的准确性，使用六面体网格对模型进行离散，生成最终的有限元模型。并根据实际需求，确定每个无量纲设计参数的取值范围。需要注意的是，参数k1的取值范围为0<k1<1，参数k2(k2x,k2y,k2z)的取值范围为0<k2≤1，参数k3(k3x,k3y)的取值范围为k3>0。
在步骤2中，根据步骤1中的设计参数取值范围，通过生成范围内的随机数来构建M组随机的初始设计参数，分别对每一组设计参数对应的超材料构型进行有限元模拟得到超材料的等效线性应变，将每组设计参数和对应的等效线性应变组合，最终生成初始数据集。采用反向传播神经网络训练机器学习模型，共设置两个隐含层每个隐含层中包括8个神经元。值得注意的是，机器学习模型的精度与初始数据集和隐含层的设置有一定的关系，对于本发明中所提出的超材料结构力学行为分析选取M(优选为1000)组随机参数作为初始数据集和双层每层8个神经元的隐含层可以满足计算精度的需求。
在步骤3中，为了使水凝胶基超材料可以实现特定的负水化膨胀效应，构建了式(16)作为优化列式并结合多种群遗传算法在全局范围内搜索最优解。
结合图1所示的水凝胶基超材料优化设计方法的操作流程图，本发明所提出的特定负水化膨胀效应的水凝胶基超材料优化设计方法的具体实现过程如下：
(1)建立水凝胶基超材料的几何模型及有限元模型，定义尺寸和材料参数(聚合物框架的长度l、宽度d0、结构的厚度t、水凝胶材料参数(Nν，χ)、聚合物材料的弹性模量E、泊松比v等)，定义无量纲设计参数的取值范围，定义位移约束及化学势载荷。
(2)基于有限元模拟生成初始数据集，并采用反向传播神经网络训练机器学习模型。
(3)优化迭代求解开始。
(3.1)随机生成Y(优选为400)个初始个体并划分为m(优选为10)个种群，令s＝0，
Z＝-1；
(3.2)若s<smax，开始循环；
(3.2.1)通过移民算子，进行各种群间信息交换；
(3.2.2)各种群分别通过标准遗传算法更新个体信息；
(3.2.3)通过人工选择算法，生成精英种群；
(3.2.4)若最优个体
大于Z，则将s置0且/>
返回步骤(3.2.1)继续循环；若最优个体/>
等于Z，则s＝s+1。
(4)输出最优设计参数及计算文件，进行后处理。
本发明的有益效果：
采用本发明提供的技术方案与现有技术相比，具有如下显著效果：
(1)本发明提供一种二维/三维各向同性及各向异性水凝胶基超材料的设计方案，为负水化膨胀超材料的设计提供了一种简易的设计方案。不同于大多数传统的超材料通过外力驱动实现反常的力学行为，所设计的超材料是一种由聚合物材料和响应性水凝胶材料组合的主动变形超材料，当其处于溶液中时，由于水凝胶材料的水化作用，结构会收缩并实现负水化膨胀效应。且聚合物边框的倒角可以避免结构在收缩变形时过早发生接触，从而使其可以实现更大的负水化膨胀效应。
(2)本发明提供基于机器学习的水凝胶基负水化膨胀超材料的优化设计方法，为特定负水化膨胀效应的水凝胶基超材料的结构设计提供了一种简便的数值求解方法，并且扩宽了机器学习方法在主动变形超材料领域的应用范围。通过采用机器学习方法预测超材料的力学行为，可以有效克服有限元模拟在计算接触问题时消耗大量计算资源的问题。此外，使用机器学习方法还降低了数值实施过程的复杂度，且显著提高优化求解的计算效率。
(3)本发明提供基于机器学习的水凝胶基负水化膨胀超材料的优化设计方法，采用多种群遗传算法在全局范围内搜索最优解，为特定负水化膨胀效应的水凝胶基超材料的结构设计提供了一种高效的数值求解方法。通过使用多种群遗传算法进行优化搜索，有效地避免标准遗传算法带来的陷入局部最优、过早收敛和稳定性差等不足，为精确搜索全局最优解奠定了坚实的基础。此外，多种群遗传算法相当于多个标准遗传算法并行计算，因此多种群遗传算法具有更高的计算效率。
附图说明
图1为本发明的一种水凝胶基负水化膨胀超材料优化设计方法的操作流程图；
图2为本发明的二维各向同性水凝胶基超材料的(a)基本结构和(b)主动变形原理示意图；
图3为本发明的二维各向同性水凝胶基超材料的(a)初始构型和(b)当前构型的模型尺寸示意图；
图4为本发明的水凝胶材料溶胀大变形示意图；
图5为本发明的实施例1二维各向同性水凝胶基超材料机器模型预测结果与(a)测试集和(b)随机70组样本对比；
图6为本发明的实施例1分别以（a）
和（b）/>
为设计目标的优化迭代曲线和最优超材料晶胞；
图7为本发明的实施例1等效线性应变为（a）
和（b）/>
的二维多级超材料变形后的x方向位移；
图8为本发明的实施例2三维水凝胶基超材料机器模型预测结果与(a)测试集和(b)随机70组样本对比；
图9为本发明的实施例2以负水化碰着效应最大为目标的三维各向同性超材料的(a)优化迭代曲线和(b)最优超材料晶胞；
图10为本发明的实施例3以(a)特定等效线性应变和(b)z方向等效线性应变最小化为目标的三维横观各向同性超材料的优化迭代曲线和最优超材料晶胞；
图11为本发明的实施例4以(a)特定等效线性应变和(b)z方向等效线性应变最小化为目标的三维各异同性超材料的优化迭代曲线和最优超材料晶胞；
图12为本发明的实施例2、3、4中以等效线性应变最小化为优化目标的三维(a)各向同性和(b)横观各项同性(c)各向异性多级超材料的Mises应力分布。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明的性能做出进一步详细说明。以下实施例用于说明本发明，但不能用来限制本发明的适用范围。
为了使本发明的目的、技术方案和具体实施效果展示更加清晰明了，下面通过四个具体实施例结合附图5～12对本发明提出的基于机器学习的负水化膨胀超材料优化设计方法的准确性和有效性作进一步的详细说明。首先，通过二维和三维各向同性水凝胶基超材料的优化设计算例验证方法对于单目标优化问题求解的准确性和有效性。然后，通过采用三维横观各向同性及各向异性超材料设计算例说明本发明提出的方法可以适用于多目标优化问题的求解。
在以下实施例中，超材料的整体厚度为t＝1mm，聚合物框架的长为l＝100mm，宽为d0＝1mm。水凝胶本构模型中的材料参数为：Nv＝0.095，χ＝1.20，T＝300K。聚合物的材料参数为：杨氏模量E＝65MPa，泊松比ν＝0.4。超材料的变形由化学势载荷驱动，初始化学势为μ＝-0.10，最终化学势为μ＝0.00。多种群遗传算法中种群数量为10，每个种群的个体数为40。
实施例1：二维各向同性水凝胶基超材料优化设计(附图3、5～7)
本实施例为具备特定负水化膨胀效应的二维各向同性水凝胶基超材料的优化设计。超材料结构由三个设计参数(k1,k2,k3)控制，三个设计参数的取值范围分别为：k1∈[0.50,0.95]、k2∈[0.20,1.00]、k3∈[1.00,5.00]，输出参数为等效线性应变ε。图5展示了通过反向传播神经网络训练的机器学习模型的预测结果与测试集和随机70组样本的对比结果，预测结果与数值模拟结果吻合良好。这也表明反向传播神经网络可以用来分析水凝胶基超材料的力学行为。图6显示了分别以
和/>
为设计目标的优化迭代曲线和最优超材料晶胞。如图6中的(a)所示，优化迭代共计102步，若采用传统优化方法，则需进行40800次有限元模拟，而采用本发明所提出的方法仅需进行1000次有限元模拟，显著降低了数值计算的成本。图7展示了二维超材料晶胞扩展到二维多级超材料变形后的x方向位移。此实施例有效地说明了本发明提出基于机器学习的优化方法在二维各向同性水凝胶超材料设计时的准确性和高效性，并验证了基于二维超材料晶胞的优化结果可直接拓展至二维多级超材料。
实施例2：最大负水化膨胀效应的三维各向同性水凝胶基超材料优化设计(附图8～9)
本实施例为具备最大负水化膨胀效应的三维各向同性水凝胶基超材料的优化设计。由于机器学习不依赖于物理模型，仅通过初始数据集构建输入参数和输出参数的映射关系，可以在一定程度上克服传统有限元方法在模拟接触问题时消耗大量计算资源的问题。因此，机器学习方法在预测水凝胶基超材料超大负水化膨胀效应方面具有显著优势。下面通过一个数值算例来说明机器学习方法在极大负水化膨胀超材料力学行为模拟方面的优势和基于机器学习的优化方法的适用性。
三维各向同性超材料由三个设计参数(k1,k2,k3)控制，三维各向异性超材料结构由五个设计参数(k1,k2x,k2y,k2z,k3)控制。当各向异性超材料的设计参数k2x＝k2y＝k2z时，即可看作各向同性超材料。因此，可以采用五个设计参数作为输入层训练机器学习模型。五个设计参数的取值范围分别为：k1∈[0.50,0.95]、k2x,k2y,k2z∈[0.20,0.80]、k3∈[1.00,5.00]，输出参数为三个方向的等效线性应变εx、εy、εz。图8展示了对于三维超材料通过反向传播神经网络训练的机器学习模型的预测结果与测试集和随机70组样本的对比结果，预测结果与数值模拟结果吻合良好。图9展示了以负水化膨胀效应最大(等效线性应变最小化)为设计目标的优化迭代曲线和最优超材料晶胞。如图9中的(b)所示，左侧为优化计算得到的最优设计，右侧为水化膨胀后的超材料结构，水凝胶模块发生充分接触以使超材料结构实现最大的负水化膨胀效应。
上述两算例验证了本发明所提出的水凝胶基超材料优化设计方法的有效性和高效性，机器学习模型可以准确地预测超材料的力学行为，从而结合优化算法高效地在全局范围内搜索最优解，为后续各向异性超材料的优化设计奠定了良好的基础。
实施例3：三维横观各向同性水凝胶基超材料优化设计(附图10)
本实施例为具有特定和最大负水化膨胀效应的三维横观各向同性水凝胶基超材料的优化设计。当各向异性超材料的设计参数k2x＝k2y≠k2z时，即可看作横观各向同性超材料，因此可采用实施例2中构建的机器学习模型预测横观各向同性超材料的力学行为。对于特定负水化膨胀效应的横观各向同性超材料，以
为优化目标；对于最大负水化膨胀效应的横观各向同性超材料，以
且z方向等效线性应变最小化为优化目标。图10展示了具有特定和最大负水化膨胀效应的三维横观各向同性水凝胶基超材料的优化迭代曲线和最优超材料晶胞，可以看出提出的优化方法同样适用于多目标水凝胶基超材料的优化设计。
实施例4：三维各向异性水凝胶基超材料优化设计(附图11～12)
最后一个实施例将考察基于机器学习的优化方法在三维各向异性水凝胶基超材料优化设计中的有效性。同样采用实施例2中构建的机器学习模型预测各向异性超材料的力学行为。对于特定负水化膨胀效应的各向异性超材料，以
为优化目标；对于最大负水化膨胀效应的各向异性超材料，以/>
且z方向等效线性应变最小化为优化目标。图11展示了具有特定和最大负水化膨胀效应的三维各向异性水凝胶基超材料的优化迭代曲线和最优超材料晶胞，进一步验证了本发明说提出的方法对三维各向异性超材料优化设计的适用性。图12展示了实施例2～4中所优化设计的具有最大负水化膨胀效应的三维各向同性、横观各向同性及各向异性超材料晶胞扩展至三维多级超材料变形后的Mises应力分布，可以看出基于三维超材料晶胞的优化设计结果同样可以直接用于三维多级超材料的构建。
综上所述，首先通过实施具有特定负水化膨胀效应的二维各向同性性水凝胶基超材料的优化设计验证了本发明所提出的基于机器学习的优化设计方法在水凝胶基超材料力学行为分析及优化设计中的准确性和高效性。随后优化设计了具有最大负水化膨胀效应的三维各向同性水凝胶基超材料，有效说明了机器学习在三维超材料接触问题力学行为分析中的准确性，并可结合优化方法高效设计三维各向同性超材料。接着，通过对具有特定及最大负水化膨胀效应的三维横观各向同性水凝胶基超材料的优化设计，有效说明了提出的优化方法在处理多目标超材料优化设计时的准确性。最后，基于该方法优化设计了三维各向异性水凝胶基超材料，进一步验证了该方法的有效性且基于超材料的晶胞的优化设计结果可以直接扩展至多级超材料的构建，同时为基于机器学习的优化方法在主动变形超材料优化设计方面奠定了坚实的基础。因此，本发明提出的水凝胶基负水化膨胀超材料的优化设计方法是一种极具发展前景的超材料优化设计方法。
本发明的实施例是为了示例和描述起见而给出的，而并不是无遗漏的或者将本发明限于所公开的形式。很多修改和变化对于本领域的普通技术人员而言是显而易见的。选择和描述实施例是为了更好的说明本发明的原理和实际应用，并且使本领域的普通技术人员能够理解本发明从而设计适于特定用途的带有各种修改的各种实施例。
Claims (4)
1.一种水凝胶基负水化膨胀超材料的设计与优化方法，其特征在于，通过构建基于机器学习的水凝胶基负水化膨胀超材料的优化求解框架，采用反向传播神经网络，再结合多种群遗传算法来实现水凝胶基负水化膨胀超材料的优化设计方法，步骤如下，
步骤1：建立水凝胶基超材料几何模型及有限元模型，根据设计需要定义结构参数及设计参数的取值范围；
一种由溶液化学势驱动的水凝胶基负水化膨胀超材料的具体设计方案如下：
二维水凝胶基各向同性超材料可看作由晶胞和构建要素组合而成，是一种由聚合物软材料和响应性水凝胶材料组成的复合结构，当超材料处于溶液中时，由于水凝胶的水化作用，结构会发生收缩变形并实现负水化膨胀效应；当结构与溶液分离时，由于水凝胶的脱水，结构会发生膨胀变形并恢复至初始构型；
超材料晶胞初始构型的几何参数设置如下：方形聚合物框架的边长为l，宽度为d0，框架直杆部分的长度为l0，倒角的半径为r0；四个水凝胶模块的长度均为l1，宽度为d1；任意两个相邻聚合物框架之间的连杆长度为b，宽度为d2，整体结构的厚度为t；当结构处于溶液中时，由于水凝胶模块的膨胀变形，方形聚合物框架会收缩；通过超材料变形后的等效线性应变ε对超材料的负水化膨胀效应进行表征；设水化变形后结构的边长为L，则超材料晶胞的有等效线性应变ε为
其中H是变形后连杆向内收缩的深度，H≥b；对式(1)中的b求导，得
因此，当b＝H时，超材料的晶胞会实现最大的负水化膨胀变形，对应的等效线性应变εmin为
在明确了聚合物框架的边长l和宽度d0以及结构的厚度t后，对于任意的晶胞都可以有三个无量纲设计参数k1,k2,k3进行表示，定义为
其中k1表示聚合物框架中直杆与总体的长度比，k2表示水凝胶模块与聚合物框架直杆的长度比，k3表示水凝胶模块的宽度与聚合物框架宽度的比值；
二维水凝胶基各向异性超材料晶胞的结构与各向同性超材料晶胞结构一致，区别在于x和y方向的水凝胶模块的尺寸不同；因此，对于二维水凝胶基各向异性超材料应采用五个设计参数k1,k2x,k2y,k3x,k3y进行描述，其中k2x和k2y分别表示x和y方向上水凝胶模块与聚合物框架直杆部分的长度比，k3x和k3y分别表示x和y方向上水凝胶模块的宽度与聚合物框架宽度的比值；
三维水凝胶基超材料晶胞是由三个互相垂直的二维超材料晶胞组合而成，对于三维水凝胶基各向同性超材料，可直接采用三个设计参数k1,k2,k3进行描述；对于三维水凝胶基各向异性超材料，采用五个设计参数k1,k2x,k2y,k2z,k3进行描述，其中k2z表示z方向上水凝胶模块与聚合物框架直杆的长度比；基于上述二维/三维各向同性及各向异性水凝胶基负水化膨胀超材料结构设计方式，通过灵活调整超材料设计参数便可以使其实现特定的负吸湿膨胀效应；
步骤2：基于考虑不可压的水凝胶溶胀大变形行为数值模拟方法分析水凝胶基超材料的变形行为，构建初始数据集，基于反向传播神经网络训练机器学习模型，并测试机器学习模型的计算效果以满足精度要求；
水凝胶溶胀大变形行为数值模拟方法具体如下：
设初始构型
中水凝胶材料点的坐标为X；当其处于溶液中时，水凝胶会发生溶胀变形，当前构型/>
下水凝胶材料点的坐标为/>
水凝胶材料点从初始构型/>
到当前构型/>
的变化，可通过变形梯度F进行表征，定义为
水凝胶的溶胀大变形行为模拟需要考虑化学势场，平衡方程具体形式如下
其中
是单位体积的自由能密度函数，μ是溶液的化学势，u是材料点的位移场，b和t分别为内力场和边界上的外力场；
未考虑化学势μ作用及不可压假设的水凝胶自由能函数W(F,Ｃ)可以表示为如下形式
其中Ｃ是溶剂分子浓度，N是单位体积干燥水凝胶中聚合物链的数量，kB是玻尔兹曼常数，T是环境温度，I1＝tr(ＦT·F)是变形梯度F的第一不变量，J＝det(F)是变形梯度F的行列式，v是溶剂分子体积，χ是表征聚合物网络和溶剂分子之间混合焓的无量纲参数；此外，引入不可压条件解决体积自锁问题；设水凝胶中的聚合物网络和溶液中的溶剂分子都是不可压的，当前构型
中的水凝胶体积等于初始构型/>
中干燥水凝胶网络的体积与吸收的溶剂分子的体积之和，即
J＝1+vC (8)
当水凝胶溶胀至平衡状态时，水凝胶和溶液的化学势为
通过勒让德变换，可以得到以下方程
将式(7)和(8)带入到式(10)中，水凝胶的自由能函数
可以表示为
基于上述平衡方程和本构模型，便可以实现水凝胶基超材料变形行为的数值模拟；
二维水凝胶基各向同性超材料的反向传播神经网络训练机器学习模型具体方案如下：
对于所采用的机器学习模型，输入层包含三个无量纲设计参数k1,k2,k3，两个隐含层各包含8个神经元，输出层为超材料的等效线性应变ε；通过多次有限元模拟构建机器学习模型的初始数据集，包含设计参数k1,k2,k3和对应的等效线性应变ε；机器学习模型训练过程：当输入参数k1,k2,k3被传递到第一个隐含层的第j个神经元时，神经元将通过非线性激活函数获得一个近似的输出值
即
其中
是第i个输入参数与第一个隐含层中第j个神经元的权重系数，/>
第一个隐含层中第j个神经元的偏置系数，f是第一个隐含层的非线性激活函数；类似地，当数据被传输到第二个隐藏层的每个神经元时，会获得近似值/>
其中
是第一个隐含层中第j个神经元和第二个隐含层中第k个神经元之间的权重系数，/>
是第二个隐含层中第k个神经元的偏置系数，g是第二个隐含层的非线性激活函数；进一步，通过线性传递函数ω获得预测值/>
其中
是第二个隐含层中第k个神经元与输出值之间的权重系数，q3是输出层的偏置系数；预测值/>
与真实值ε之间的误差为
通过反向传播的误差来校正每个权重系数；重复机器学习模型训练过程，直到满足收敛要求，即可获得最终的机器学习模型；对于训练后的机器学习模型，给定任意一组输入参数k1,k2,k3，便可以直接预测出超材料的等效线性应变
进而替代优化过程中的有限元模拟；
为使二维各向同性水凝胶基超材料可实现特定负水化膨胀效应，建立了如下的优化问题列式
寻找最优的k1,k2,k3使得
取最大值
约束：
其中
是为使等效线性应变ε趋近于目标值/>
所构建的目标函数，/>
是在位移边界Γu上的位移约束，Uk表示设计参数的取值范围；对于二维各向异性水凝胶基超材料，公式(16)中的无量纲设计参数k1,k2,k3应替换为k1,k2x,k2y,k3x,k3y；对于三维各向同性水凝胶基超材料，公式(16)中的无量纲设计参数仍为k1,k2,k3；对于三维横观各向同性水凝胶基超材料，公式(16)中的无量纲设计参数应替换为k1,k2x,k2z,k3；对于三维各向异性水凝胶基超材料，公式(16)中的无量纲设计参数应替换为k1,k2x,k2y,k2z,k3；
步骤3：采用步骤2中训练的机器学习预测超材料的力学行为，基于多种群遗传算法在全局范围内进行优化求解，直至优化结果满足收敛条件；
具体方案如下：
在多种群遗传算法中，所有个体被划分为多个种群，每个种群都同时通过不同的控制参数在全局范围内进行优化和搜索最优解，各个种群之间通过移民算子进行联系；在每一次优化搜索后，通过人工选择算子在每个种群中保留最优个体并形成精英种群，并将精英种群作为判断优化计算是否收敛的依据，优化计算得到的最优结果是多种群共同进化的综合结果。
2.根据权利要求1所述的水凝胶基负水化膨胀超材料的设计与优化方法，其特征在于，
为了确保有限元模拟的准确性，使用六面体网格对模型进行离散，生成最终的有限元模型；并根据实际需求，确定每个无量纲设计参数的取值范围；需要注意的是，参数k1的取值范围为0<k1<1，参数k2,k2x,k2y,k2z的取值范围为0<k2≤1，参数k3,k3x,k3y的取值范围为k3>0。
3.根据权利要求1所述的水凝胶基负水化膨胀超材料的设计与优化方法，其特征在于，
在步骤2中，根据步骤1中的设计参数取值范围，通过生成范围内的随机数来构建M组随机的初始设计参数，分别对每一组设计参数对应的超材料构型进行有限元模拟得到超材料的等效线性应变，将每组设计参数和对应的等效线性应变组合，最终生成初始数据集。
4.根据权利要求1所述的水凝胶基负水化膨胀超材料的设计与优化方法，其特征在于，
在步骤3中，构建式(16)作为优化列式并结合多种群遗传算法在全局范围内搜索最优解，特定负水化膨胀效应的水凝胶基超材料优化设计方法的具体实现过程如下：
(1)建立水凝胶基超材料的几何模型及有限元模型，定义尺寸和材料参数：聚合物框架的长度l、宽度d0、结构的厚度t、水凝胶材料参数、聚合物材料的弹性模量E、泊松比v，定义无量纲设计参数的取值范围，定义位移约束及化学势载荷；
(2)基于有限元模拟生成初始数据集，并采用反向传播神经网络训练机器学习模型；
(3)优化迭代求解开始；
(3.1)随机生成Y个初始个体并划分为m个种群，令s＝0，Z＝-1；
(3.2)若s<smax，开始循环；
(3.2.1)通过移民算子，进行各种群间信息交换；
(3.2.2)各种群分别通过标准遗传算法更新个体信息；
(3.2.3)通过人工选择算法，生成精英种群；
(3.2.4)若最优个体
大于Z，则将s置0且/>
返回步骤(3.2.1)继续循环；若最优个体/>
等于Z，则s＝s+1；
(4)输出最优设计参数及计算文件，进行后处理。
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