CN116131799A - 弱耦合分数阶mems谐振器的模拟电路 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种弱耦合分数阶MEMS谐振器的模拟电路，属于谐振器电路设计领域。该电路包括4个比例积分运算电路，4个反相比例电路，14个乘法器，2个直流电源和2个交流电源；其中，比例积分运算电路包括分数阶单元电路、第一运算放大器和1个电阻；分数阶单元电路由三组并联的电容‑电阻结构串联而成。本发明提高了弱耦合分数阶MEMS谐振器模拟电路的准确性，为后续硬件层面的工程开发提供了有力的技术支撑。
Description
技术领域
本发明属于谐振器电路设计领域，涉及一种弱耦合分数阶MEMS谐振器的模拟电路。
背景技术
MEMS谐振器因其低噪声、低功耗、宽动态范围以及可以实现IC电路集成化等特点，已广泛应用于传感器、导航系统、手机、智能车辆和轨道卫星等领域。然而，单晶硅晶体对共模干扰、振动幅值和温度、压力等周围环境非常敏感。系统建模在弱耦合MEMS谐振器的电路实现中起着基础和重要的作用。已经有大量的学者研究了单个MEMS谐振器的整数阶建模和非线性分析。作为这类研究的代表者，Mestrom等人建立了单个MEMS谐振器的力学模型，并通过构建测量电路估计了热噪声的影响，但这些工作不能满足当前高灵敏度和抗噪声能力等性能要求。现有文献中的零星记录验证了分数阶计算在MEMS谐振器中的应用。Fitt等人利用分数阶微分方程求解了MEMS谐振器的控制方程。Aghababa研究了MEMS谐振器中混沌的存在，提出了一种分数阶有限时间控制器来抑制其内在的振荡。这些有益的尝试为本研究提供了一些思考。但他们没有建立耦合强度与振荡器耗散等级之间的结构，没有深入研究电路设计。
在硬件层面构建合理的电子电路是一种时效性和可控性的方法。所构造的电路能对参数空间进行全面扫描，并能检测机电系统动态性能的相关值。正因为如此，它在实验验证和快速应用开发中得到了极大的重视。Sabarathinam和Thamilmaran利用模拟电路搭建了Duffing系列MEMS谐振器，并证明了其固有的混沌振荡。Zhang等人构造了模拟电路，提出了四种Duffing型MEMS谐振器的神经网络反演控制方法。Luo等人设计了耦合分数阶自维持机电地震仪系统的电子电路，并提供了一种神经自适应的最优固定时间同步方案。然而，这种模拟电路容易受到电子仪器误差和外界干扰的影响，对数据传输的实时性有很大影响。同时，较大的信号幅值会导致乘法器和运算放大器的饱和失真，缺乏通用性和灵活性。
因此，亟需一种新的模拟电路来解决以上问题。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的在于提供一种弱耦合分数阶MEMS谐振器的模拟电路，提高模拟电路的准确性。
为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：
一种弱耦合分数阶MEMS谐振器的模拟电路，该电路包括4个基于TL074CN运放的比例积分运算电路，4个基于TL074CN运放的反相比例电路，14个AD633JN乘法器(A1～A14)，2个直流电源和2个交流电源。
所述比例积分运算电路与所述反相比例电路之间通过电阻(R4、R7和R10，或者，R19、R22和R24)串联连接；其中，第一～第四个比例积分运算电路的输出端分别连接至电压信号-x2、-x1、-x4或-x3，第一～第四个反相比例电路输出端连接至电压信号x2、x1、x4或x3。
所述乘法器A2的x输入端与乘法器A1的输出端、乘法器A5和A7的y输入端连接，乘法器A2的y输入端与电压信号-x1连接，乘法器A2的输出端通过电阻R2连接至第一个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A1的两个输入端均与电压信号x1连接，还通过电阻R13连接至第一个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A3的x输入端与乘法器A4和A5的x输入端、乘法器A6的y输入端以及交流电源V1连接，乘法器A3的y输入端与直流电源V5连接，乘法器A3的输出端通过电阻R15连接至第一个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A4的y输入端与电压信号x1连接，乘法器A4的输出端通过电阻R16连接至第一个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A5的输出端通过电阻R17连接至第一个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A6的x输入端与电压信号x1连接，乘法器A6的输出端与乘法器A7的x输入端连接；所述乘法器A7的输出端通过电阻R18连接至第一个比例积分运算电路输入端；第一个比例积分运算电路的输入端分别通过电阻R1和R9与电压信号-x2和x1连接。
所述乘法器A9的x输入端与乘法器A12和A14的y输入端，以及乘法器A8的输出端连接，乘法器A9的x输入端y输入端与电压信号-x3连接，乘法器A9的输出端通过电阻R30连接至第三个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A8的两个输入端均与电压信号x3连接；所述乘法器A10的x输入端与乘法器A11和A12的x输入端，以及A13的y输入端连接，乘法器A10的y输入端与直流电源V5连接，乘法器A10的输出端通过电阻R33连接至第三个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A11的y输入端与电压信号x3连接，乘法器A11的输出端通过电阻R34连接至第三个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A12的输出端通过电阻R35连接至第三个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A14的x输入端与乘法器A13的输出端连接，乘法器A14的输出端通过电阻R36连接至第三个比例积分运算电路输入端；第三个比例积分运算电路的输入端分别通过电阻R27、R29、R31和R32与电压信号-x4、x3、-x1和x3连接。
优选的，所述比例积分运算电路包括分数阶单元电路、运算放大器Ⅰ(U1A、U3A、U5A或U7A)和1个电阻(R3、R8、R28或R23)；所述分数阶单元电路一端与运算放大器Ⅰ的负极输入端连接，另一端与运算放大器Ⅰ的输出端连接；电阻(R3、R8、R28或R23)一端与运算放大器Ⅰ的正极输入端连接，另一端接地。
所述分数阶单元电路由三组并联的电容(C1～C3、C4～C5、C7～C9或C10～C12)-电阻(R37～R39、R40～R42、R43～R45或R46～R48)结构串联而成。
优选的，所述反相比例电路包括运算放大器Ⅱ(U2A、U4A、U6A或U8A)、2个电阻(R5～R6、R11～R12、R20～R21或R25～R26)；电阻(R5、R11、R20或R25)一端与运算放大器Ⅱ的正极输入端连接，另一端接地；电阻(R6、R12、R21或R26)一端与运算放大器Ⅱ的负极输入端连接，另一端与运算放大器Ⅱ的输出端连接。
优选的，电压信号(x1,x2,x3,x4)为弱耦合MEMS谐振器状态变量(x1,x2,x3,x4)的映射；利用基尔霍夫电路定律和本构关系，将相关电路方程写成
其中，F(s)表示分数阶单元电路的传递函数。
进一步，分数阶单元电路的传递函数F(s)的表达式为：
其中，Co为比电容，Ca、Cb和Cc为所选电容，Ra、Rb和Rc为所选电阻，s为复频率。
本发明的有益效果在于：本发明提高了弱耦合分数阶MEMS谐振器模拟电路的准确性，为后续硬件层面的工程开发提供了有力的技术支撑。
本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。
附图说明
为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作优选的详细描述，其中：
图1为弱耦合MEMS谐振器原理图(a)以及其等效的弹簧-质量-阻尼模型(b)；
图2为在α＝0.993，VAC＝0.4和VAC＝0.4下弱耦合MEMS谐振器的分数阶模拟电路图；
图3为弱耦合MEMS谐振器分数阶模拟电路的相图。
具体实施方式
以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。
其中，附图仅用于示例性说明，表示的仅是示意图，而非实物图，不能理解为对本发明的限制；为了更好地说明本发明的实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；对本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。
本发明实施例的附图中相同或相似的标号对应相同或相似的部件；在本发明的描述中，需要理解的是，若有术语“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此附图中描述位置关系的用语仅用于示例性说明，不能理解为对本发明的限制，对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。
请参阅图1～图3：
1、系统建模：
图1所示了弱耦合分数阶MEMS谐振器的建模过程，采用绝缘体上硅片标准工艺制备的弱耦合MEMS谐振器原理如图1(a)所示。相应的工艺包括光刻胶沉积和刻蚀、深反应离子刻蚀、金属电极刻蚀和载流子晶片粘接等多个步骤。从图1(a)中可以看出，两个由梳状驱动与传感的MEMS谐振器通过顶部和底部两侧刚度较小的桥式耦合梁耦合。在MEMS谐振器1和MEMS谐振器2的左右两侧分别放置两个相同的惯性质量块，并悬挂在折叠的悬挂梁上。驱动梳齿电容可以使MEMS谐振器产生较大的线性位移，并被传感梳齿电容感知，从而获得较大的输出信号。交流驱动端口可以使MEMS谐振器具有异相静电驱动力。当加速度作用于惯性质量时，弱耦合MEMS谐振器会产生微分负刚度扰动。模型局部化导致弱耦合MEMS谐振器的幅值比发生剧烈变化。通过测量振幅比的位移来感知加速度，具有较好的灵敏度。
弱耦合MEMS谐振器的质量-弹簧-阻尼器模型如图1(b)所示。Westerlund和Ekstam利用实验结果揭示了不同电容器介质固有的分数阶特性。在此基础上，定义弱耦合MEMS谐振器的总动能为
其中，m1和m2分别表示第一、二个MEMS谐振器的总质量，z1和z2表示弯曲位移，α和
表示分数阶系数和时间。
弱耦合分数阶MEMS谐振器的势能为
其中，k′c表示两个MEMS谐振器之间的耦合刚度，k′1(z1)和k′2(z2)表示每一个谐振器的非线性刚度。
包含二阶项的非线性刚度为
其中，k′i1和k′i2分别表示线性弹簧常数和线性刚度的二阶修正项。
弱耦合MEMS谐振器的灵敏度与静电负刚度的摄动密切相关。当惯性质量块开始加速时，静电负刚度表示为
其中，ε、SA、ΔV、g0、mp、a和kp分别表示介电常数、感应平行板电容的横截面积、感应质量与弱耦合MEMS谐振器之间的电位差、感应平行板电容的初始间隙、感应质量块的质量、感应质量悬架的加速度和刚度。并且kΔ＝-εSAΔV2/g0。
静电驱动力写为
其中，
Vd＝VDC为每个MEMS谐振器施加的上、下电极电压。C0，d0，zi和
分别表示电容、初始间隙宽度、弯曲位移和频率。VDC和VAC表示偏置电压和交流电压。
静电驱动力的泰勒展开形式为：
其中，h.o.t表示高阶项。
拉格朗日力L和广义力Qi为
其中，ci表示阻尼。
于是得到弱耦合MEMS谐振器的拉格朗日运动方程为
其中，
表示以原点为起点的Caputo导数，在微分摄动下
引入一些无量纲变量简化数学模型，如：
Ai＝2riVAC/VDC，
μi＝ci/miω0，
x1＝z1/d0，
x3＝z2/d0和
假设VAC远小于VDC且引入控制输入，式(8)改写为
其中，u2和u4表示控制输入。
备注1：与单个谐振器相比，弱耦合MEMS谐振器能更好地提高系统灵敏度。并且，合理选择与耦合刚度和静电刚度密切相关的本征态或幅值比能进一步提高系统灵敏度。同时，弱耦合MEMS谐振器的微分摄动方案在提高系统灵敏度方面明显优于单边摄动方案。同时，弱耦合MEMS谐振器的分数阶模型式(8)具有较长的记忆依赖性和较高的设计自由度。如果α＝1，分数阶模型将退化为整数阶模型。
2、电路设计与分析：
为了在硬件层面实现对上述系统进行硬件验证，便于后续的工程开发。由于分数阶微积分算子不能直接在时域仿真和实验中直接计算出来，为了获得解析解，在误差允许的范围内，采用频率近似对分数阶系统进行表征。
当角速度范围为[10-2 102]rad/s，最大差异为0.2dB的频域下1/s0.993的近似传递函数定义为：
其中，s为复频率。
为了实现模拟电路中F(s)的单元电路，将其由电阻和电容组成的传递函数定义为
其中，Co为比电容，Ca、Cb和Cc为所选电容，Ra、Rb和Rc为所选电阻。
利用式(9)和式(10)建立弱耦合MEMS谐振器的分数阶模拟电路，如图2所示，其中有4个基于TL074CN运放的比例积分运算电路，4个基于TL074CN运放的反相比例电路，14个AD633JN乘法器，2个直流电源和2个交流电源。为了构建F(s)的单元电路，取Ca＝9.93018nF，Cb＝208.9nF，Cc＝199.7nF，Ra＝983.949MΩ，Rb＝62.0449kΩ和Rc＝86.096Ω。显然，存在四种分数阶单元电路，如C1-R37-C2-R38-C3-R39，C4-R40-C5-R41-C6-R42，C7-R43-C8-R44-C9-R45和C10-R46-C11-R47-C12-R48。所有电子元件的参数如图2所示。
电压信号(x1,x2,x3,x4)为弱耦合MEMS谐振器状态变量(x1,x2,x3,x4)的映射。利用基尔霍夫电路定律和本构关系，将相关电路方程写成
图3通过示波器展示了弱耦合MEMS谐振器分数阶模拟电路的相图，表明所构建模拟电路的正确性。
最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。
Claims (6)
1.一种弱耦合分数阶MEMS谐振器的模拟电路，其特征在于，该电路包括4个比例积分运算电路，4个反相比例电路，14个乘法器(A1～A14)，2个直流电源和2个交流电源；
所述比例积分运算电路与所述反相比例电路之间通过电阻(R4、R7和R10，或者，R19、R22和R24)串联连接；其中，第一～第四个比例积分运算电路的输出端分别连接至电压信号-x2、-x1、-x4或-x3，第一～第四个反相比例电路输出端连接至电压信号x2、x1、x4或x3；
所述乘法器A2的x输入端与乘法器A1的输出端、乘法器A5和A7的y输入端连接，乘法器A2的y输入端与电压信号-x1连接，乘法器A2的输出端通过电阻R2连接至第一个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A1的两个输入端均与电压信号x1连接，还通过电阻R13连接至第一个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A3的x输入端与乘法器A4和A5的x输入端、乘法器A6的y输入端以及交流电源V1连接，乘法器A3的y输入端与直流电源V5连接，乘法器A3的输出端通过电阻R15连接至第一个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A4的y输入端与电压信号x1连接，乘法器A4的输出端通过电阻R16连接至第一个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A5的输出端通过电阻R17连接至第一个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A6的x输入端与电压信号x1连接，乘法器A6的输出端与乘法器A7的x输入端连接；所述乘法器A7的输出端通过电阻R18连接至第一个比例积分运算电路输入端；第一个比例积分运算电路的输入端分别通过电阻R1和R9与电压信号-x2和x1连接；
所述乘法器A9的x输入端与乘法器A12和A14的y输入端，以及乘法器A8的输出端连接，乘法器A9的x输入端y输入端与电压信号-x3连接，乘法器A9的输出端通过电阻R30连接至第三个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A8的两个输入端均与电压信号x3连接；所述乘法器A10的x输入端与乘法器A11和A12的x输入端，以及A13的y输入端连接，乘法器A10的y输入端与直流电源V5连接，乘法器A10的输出端通过电阻R33连接至第三个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A11的y输入端与电压信号x3连接，乘法器A11的输出端通过电阻R34连接至第三个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A12的输出端通过电阻R35连接至第三个比例积分运算电路输入端；所述乘法器A14的x输入端与乘法器A13的输出端连接，乘法器A14的输出端通过电阻R36连接至第三个比例积分运算电路输入端；第三个比例积分运算电路的输入端分别通过电阻R27、R29、R31和R32与电压信号-x4、x3、-x1和x3连接。
2.根据权利要求1所述的弱耦合分数阶MEMS谐振器的模拟电路，其特征在于，所述比例积分运算电路包括分数阶单元电路、运算放大器Ⅰ(U1A、U3A、U5A或U7A)和1个电阻(R3、R8、R28或R23)；所述分数阶单元电路一端与运算放大器Ⅰ的负极输入端连接，另一端与运算放大器Ⅰ的输出端连接；电阻(R3、R8、R28或R23)一端与运算放大器Ⅰ的正极输入端连接，另一端接地。
3.根据权利要求2所述的弱耦合分数阶MEMS谐振器的模拟电路，其特征在于，所述分数阶单元电路由三组并联的电容(C1～C3、C4～C5、C7～C9或C10～C12)-电阻(R37～R39、R40～R42、R43～R45或R46～R48)结构串联而成。
4.根据权利要求1所述的弱耦合分数阶MEMS谐振器的模拟电路，其特征在于，所述反相比例电路包括运算放大器Ⅱ(U2A、U4A、U6A或U8A)、2个电阻(R5～R6、R11～R12、R20～R21或R25～R26)；电阻(R5、R11、R20或R25)一端与运算放大器Ⅱ的正极输入端连接，另一端接地；电阻(R6、R12、R21或R26)一端与运算放大器Ⅱ的负极输入端连接，另一端与运算放大器Ⅱ的输出端连接。
5.根据权利要求1～4中任意一项所述的弱耦合分数阶MEMS谐振器的模拟电路，其特征在于，电压信号(x1,x2,x3,x4)为弱耦合MEMS谐振器状态变量(x1,x2,x3,x4)的映射；利用基尔霍夫电路定律和本构关系，将相关电路方程写成
其中，F(s)表示分数阶单元电路的传递函数。
6.根据权利要求5所述的弱耦合分数阶MEMS谐振器的模拟电路，其特征在于，分数阶单元电路的传递函数F(s)的表达式为：
其中，Co为比电容，Ca、Cb和Cc为所选电容，Ra、Rb和Rc为所选电阻，s为复频率。
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