CN116127612B - 利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供一种利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法，包括：建立水体晃动、主提升机扭振和承船厢纵向倾覆的耦合动力学微分方程；根据拉普拉斯变化法，将所述耦合动力学微分方程转化为特征代数方程；将承船厢设计参数代入代数方程，求解特征根，根据特征值实部的正负，判定承船厢纵向倾覆稳定性，解决了钢丝绳卷扬式升船机承船厢纵向倾覆稳定性的判定问题，使承船厢纵向倾覆稳定性的判定更加精确。

Description

利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法
技术领域
本发明涉及水利水电工程领域，具体涉及一种利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法。
背景技术
全平衡钢丝绳卷扬式垂直升船机作为一种技术经济性能较高的升船机通航设施，在水利枢纽得到日益广泛的应用，已经成为水利枢纽通航升船机的主要应用型式。承船厢纵向倾覆稳定性是全平衡钢丝绳卷扬式垂直升船机特有的安全问题。
本申请的发明人在实现本发明的过程中经过研究发现：承船厢主要由提升钢丝绳支承，由于外载的变化会引起钢丝绳弹性伸长量的改变，引起承船厢倾斜，而承船厢内的水体具有流动性，当承船厢倾斜时水体的流动会产生相对于承船厢重心的倾覆力矩，该倾覆力矩会进一步导致承船厢下沉一侧的悬吊钢丝绳继续伸长，而承船厢上扬一侧的悬吊提升钢丝绳伸长量会减少，承船厢两侧钢丝绳变形的变化进一步加剧了承船厢的进一步倾覆的趋势。此外，在承船厢升降过程中，钢丝绳张力的相对改变会导致升船机主提升机同步轴受力扭转变形，该变形所产生的上下游卷筒输出转角的差值，进一步加剧了承船厢的纵向倾覆趋势；另一方面，承船厢上下游悬吊钢丝绳的变形以及同步轴的扭转变形又在相对应的传力环节形成了对承船厢纵向倾覆的抵制。对于全平衡钢丝绳卷扬式升船机，由于升船机主提升机和承船厢设备布置的原因，提升绳数目较少，当承船厢长度较长，或升船机提升高度较高，如果上下游两侧钢丝绳合力作用点的距离较短，或者同步轴扭转刚度过小，均有可能使承船厢在水体的扰动下发生动态失稳。因此，对承船厢纵向倾覆稳定性的研究，综合考虑水体晃动、主提升机扭振和承船厢纵向倾覆运动的影响，能提高承船厢纵向倾覆稳定性判定的精度，对保证承船厢安全运行具有重要意义。
发明内容
本发明的目的是提出一种利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法，可提高承船厢纵向倾覆稳定性判定的精度。
一种利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法，包括如下步骤：
建立包含承船厢纵向倾覆、水体晃动、主提升机扭振和阻尼的耦合动力学微分方程；
根据拉普拉斯变化法，将所述耦合动力学微分方程转化为代数方程；
将承船厢设计参数代入代数方程，求解特征根，并根据求解的特征值以及常微分线性微分方程稳定性理论判定承船厢纵向倾覆稳定性。
进一步的，所述包含承船厢纵向倾覆、水体晃动、主提升机扭振和阻尼的耦合动力学微分方程由承船厢与水体的流固耦合动力学方程、承船厢上的水体倾覆力矩、引入主提升机阻尼力矩的主提升机扭振和承船厢纵向倾覆运动的动力学方程综合而成，所述耦合动力学微分方程如下：
Figure SMS_1
；
式中，Jh为主提升机所有转动部件相对于主提升机低速轴的转动惯量的二分之一；
Figure SMS_3
为上下游侧卷筒的转角差；/>
Figure SMS_6
为上下游侧卷筒转动角速度差；/>
Figure SMS_8
为上下游侧卷筒转动角加速度差；dh为瑞雷阻尼系数；R为卷筒半径；kr为升船机全部提升绳抗拉伸刚度的二分之一；Cs为纵向同步轴的总抗扭刚度；a为主提升机纵向吊点中心距； Js为承船厢相对于质心的转动惯量； Jw为承船厢内水体相对于质心的等效转动惯量；α为承船厢的纵倾角；Cw为承船厢内水体的静水力矩系数；/>
Figure SMS_4
为承船厢纵向倾覆的角加速度；/>
Figure SMS_5
为承船厢纵向倾斜角度与水体自由表面晃动角之差；/>
Figure SMS_7
为/>
Figure SMS_9
对时间的二阶导数；ωw为水体震荡的固有频率，
Figure SMS_2
，其中g为重力加速度，l为承船厢水域的长度，h为承船厢的水深。
进一步的，所述承船厢与水体的流固耦合动力学方程采用豪斯纳尔假定建立：
Figure SMS_10
；
式中，
Figure SMS_11
为承船厢纵向倾斜角度与水体自由表面晃动角之差；/>
Figure SMS_12
为/>
Figure SMS_13
对时间的二阶导数；ωw为水体震荡的固有频率；α为承船厢的纵倾角。
进一步的，所述承船厢上的水体倾覆力矩根据承船厢内水体晃动和水体重力分布变化规律推导：
Figure SMS_14
；
式中， Jw为承船厢内水体相对于质心的等效转动惯量；θ0为中心处水体自由表面晃动角；Cw为承船厢内水体的静水力矩系数；
Figure SMS_15
为中心处水体自由表面的旋转角速度；/>
Figure SMS_16
为承船厢纵向倾覆的角加速度。
进一步的，所述主提升机扭振和承船厢纵向倾覆运动的动力学方程根据拉格朗日方程建立：
Figure SMS_17
；
式中，Jh为主提升机所有转动部件相对于主提升机低速轴的转动惯量的二分之一；
Figure SMS_18
为上游侧卷筒的转角；/>
Figure SMS_19
为下游侧卷筒的转角；dh为瑞雷阻尼系数；R为卷筒半径；kr为升船机全部提升绳抗拉伸刚度的二分之一；Cs为纵向同步轴的总抗扭刚度；a为主提升机纵向吊点中心距； Js为承船厢相对于质心的转动惯量；m为承船厢结构的质量。
进一步的，所述主提升机扭振和承船厢纵向倾覆运动的耦合动力学微分方程，引入了主提升机阻尼力矩：
Figure SMS_20
；
式中，Md1为上游侧主提升机阻尼力矩；Md2为下游侧主提升机阻尼力矩；dh为瑞雷阻尼系数；R为卷筒半径；为上游侧卷筒转动角速度；为下游侧卷筒转动角速度。
进一步的，所述根据拉普拉斯变化法，将所述耦合动力学微分方程转化为代数方程，具体如下：
Figure SMS_21
；
其中，
Figure SMS_22
式中，a0、a1、a2、a3、a4、a5、a6为方程的特征根。
进一步的，根据求解的特征以及常微分线性微分方程稳定性理论判定承船厢纵向倾覆稳定性，具体包括：当耦合动力学微分方程对应的特征值的实部全部为负值时，系统是稳定的，即承船厢纵向倾覆稳定性满足要求；当任一特征值的实部小于零时，系统即是不稳定的，即承船厢会发生纵向倾覆失稳。
本发明具有如下有益效果：
1、本发明充分考虑了水体晃动、主提升机扭振和承船厢纵向倾覆运动的影响，使承船厢纵向倾覆稳定性的判定更加精确，对保证承船厢安全运行具有重要意义。
2、本发明在建立主提升机扭振和承船厢纵向倾覆运动的动力学方程中，引入了主提升机阻尼，一方面与结构系统的物理性质更加吻合，另一方面可保证微分方程特征根实部具有明确的正负号，不会发生微分方程特征根实部为零导致无法根据微分方程特征值进行系统稳定性判断的情况。
附图说明
图1是承船厢纵向倾覆稳定性分析力学模型简图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式，进一步阐述本发明。应理解下述具体实施方式仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。
本发明实施例提供一种利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法，包括如下步骤：
步骤一、采用豪斯纳尔假定，建立承船厢与水体的流固耦合动力学方程：
Figure SMS_23
；
式中，α为承船厢的纵倾角，如图1所示；
Figure SMS_24
为承船厢纵向倾斜角度与水体自由表面晃动角之差，/>
Figure SMS_25
=α-θ0，其中θ0为图1所示中心处水体自由表面晃动角；/>
Figure SMS_26
为/>
Figure SMS_27
对时间的二阶导数；ωw为水体震荡的固有频率，由下式确定：
Figure SMS_28
；
式中，g为重力加速度；l为承船厢水域的长度；h为承船厢的水深。
步骤二、根据承船厢内水体晃动和水体重力分布变化规律，推导出作用在承船厢上的水体倾覆力矩：
Figure SMS_29
；
式中， Jw为承船厢内水体相对于质心的等效转动惯量，由式（4）确定；θ0为中心处水体自由表面晃动角（如图1所示）；
Figure SMS_30
为中心处水体自由表面的旋转角速度；/>
Figure SMS_31
为承船厢纵向倾覆的角加速度；Cw为承船厢内水体的静水力矩系数，由式（5）确定。
Figure SMS_32
；
式中，ρ为水体密度；B为承船厢水域宽度。
步骤三、根据拉格朗日方程，建立主提升机扭振和承船厢纵向倾覆运动的耦合动力学微分方程：
Figure SMS_33
；
式中，Jh为主提升机所有转动部件相对于主提升机低速轴的转动惯量的二分之一；
Figure SMS_34
为上游侧卷筒的转角（如图1所示）；/>
Figure SMS_35
为下游侧卷筒的转角（如图1所示）； R为卷筒半径（如图1所示）；kr为升船机全部提升绳抗拉伸刚度的二分之一，由式（7）确定；Cs为纵向同步轴的总抗扭刚度，由式（8）确定；a为主提升机纵向吊点中心距（如图1所示）； Js为承船厢相对于质心的转动惯量；m为承船厢结构的质量。
Figure SMS_36
；式中，nr为提升绳的数目；Er为提升钢丝绳的弹性模量；Ar为钢丝绳钢丝面积之和；H为提升绳的最大悬吊长度，取承船厢在运行最低位置承船厢吊耳中心至卷筒钢丝绳出绳点的垂直距离。
Figure SMS_37
；式中，isd为同步轴转速与卷筒转速之比，G为钢丝绳的剪切模量，Is为同步轴横截面的极惯性矩，as为单侧纵向同步轴的长度，ns为纵向同步轴的根数，对矩形同步轴系统，ns=2，对工字形同步轴系统，ns=1。
步骤四、为使主提升机扭振和承船厢纵向倾覆运动的耦合动力学微分方程与结构系统的物理性质更加吻合，且避免出现微分方程特征根实部为零导致无法根据微分方程特征值进行系统稳定性判断的情况，引入了主提升机阻尼：
Figure SMS_38
；式中，Md1为上游侧主提升机阻尼力矩；Md2为下游侧主提升机阻尼力矩；dh为瑞雷阻尼系数，由式（10）确定；R为卷筒半径；/>
Figure SMS_39
为上游侧卷筒转动角速度；/>
Figure SMS_40
为下游侧卷筒转动角速度。
Figure SMS_41
；
式中，ζ为主提升机系统阻尼比，可取值0.008。
将式（9）、式（10）带入式（6）前三项方程，可得引入主提升机阻尼后，主提升机扭振和承船厢纵向倾覆运动的耦合动力学微分方程：
Figure SMS_42
；
步骤五、令φ=φ1-φ2，ϕ=α-θ0，式（11）简化为：
Figure SMS_43
；
式（12）前两个方程中不包含承船厢铅垂方向位移y，说明该位移与纵向倾覆稳定性没有关联，因此可不考虑式（12）第三个方程。另外，将承船厢与水体的流固耦合动力学方程式（1）补充进来，构成了水体晃动、同步轴扭振和承船厢纵向倾覆的耦合动力学方程：
Figure SMS_44
；
步骤六、根据拉普拉斯变化法，将式（13）微分方程转化为特征代数方程如下：
Figure SMS_45
；
其中，
Figure SMS_46
Figure SMS_47
；
式中，a0、a1、a2、a3、a4、a5、a6为方程的特征根。
步骤七、将承船厢设计参数代入代数方程式（14）∽式（21），求解得到方程的特征根。根据常微分线性微分方程稳定性理论，当耦合动力学微分方程对应的特征值的实部全部为负值时，系统是稳定的，即承船厢纵向倾覆稳定性满足要求；当任一特征值的实部小于零时，系统即是不稳定的，即承船厢会发生纵向倾覆失稳。
下面以具体实例（构皮滩第二级全平衡钢丝绳卷扬式垂直升船机）来说明本发明的技术方案。
构皮滩第二级全平衡钢丝绳卷扬式升船机，提升高度为127m，是世界上单级提升高度最高的垂直升船机。升船机承船厢结构、设备和水体总重为3320t，转矩平衡重为1170t，重力平衡重为2150t，悬吊承船厢钢丝绳直径为64mm，钢丝绳总数80根，其中提升钢丝绳数量32根，重力平衡绳48根。承船厢水域尺寸为71m×12.4m×2.5m（长×宽×设计水深）。表1为构皮滩第二级升船机承船厢纵向倾覆稳定性计算的相关参数。
表1构皮滩第二级升船机承船厢纵向倾覆稳定性计算参数表
Figure SMS_48
将上述参数代入式（14）～式（21），求得微分方程组式（13）的3对特征根为r12=-6.663×10-2±8.375i， r34=-2.269×10-4±3.528i 和 r56=-1.589×10-7±0.1937i，分别对应于主提升机同步轴扭转振动、承船厢纵向倾覆振动和承船厢内水体的晃动；所有特征值的实部均小于零，说明系统是稳定的。由于船厢纵向吊点中心距越小，船厢纵向倾覆稳定性越弱，如改变承船厢纵向吊点中心距，特征值将发生改变；当承船厢纵向吊点间距为22.012～22.013m时，特征值实部开始出现大于零的值，意味着系统开始发生失稳现象，该中心距称为船厢纵向倾覆稳定性临界纵向吊点中心距。根据表1，承船厢实际纵向吊点中心距36.2m，是临界纵向吊点中心距的1.64倍。因此船厢纵向倾覆稳定性具有充分的保障。
本发明针对全平衡钢丝绳卷扬式垂直升船机纵向倾覆稳定性，提出一种利用微分方程特征值进行判定的方法，经过工程实例验证是可行可靠的。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何属于本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化和替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (7)

1.一种利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法，其特征在于，包括如下步骤：
建立包含承船厢纵向倾覆、水体晃动、主提升机扭振和阻尼的耦合动力学微分方程；
根据拉普拉斯变化法，将所述耦合动力学微分方程转化为代数方程；
将承船厢设计参数代入代数方程，求解特征根，并根据求解的特征值以及常微分线性微分方程稳定性理论判定承船厢纵向倾覆稳定性；
所述包含承船厢纵向倾覆、水体晃动、主提升机扭振和阻尼的耦合动力学微分方程由承船厢与水体的流固耦合动力学方程、承船厢上的水体倾覆力矩、引入主提升机阻尼力矩的主提升机扭振和承船厢纵向倾覆运动的动力学方程综合而成，所述耦合动力学微分方程如下：
Figure QLYQS_1
；
式中，Jh为主提升机所有转动部件相对于主提升机低速轴的转动惯量的二分之一；
Figure QLYQS_3
为上下游侧卷筒的转角差；/>
Figure QLYQS_5
为上下游侧卷筒转动角速度差；/>
Figure QLYQS_7
为上下游侧卷筒转动角加速度差；dh为瑞雷阻尼系数；R为卷筒半径；kr为升船机全部提升绳抗拉伸刚度的二分之一；Cs为纵向同步轴的总抗扭刚度；a为主提升机纵向吊点中心距； Js为承船厢相对于质心的转动惯量； Jw为承船厢内水体相对于质心的等效转动惯量；α为承船厢的纵倾角；Cw为承船厢内水体的静水力矩系数；/>
Figure QLYQS_4
为承船厢纵向倾覆的角加速度；/>
Figure QLYQS_6
为承船厢纵向倾斜角度与水体自由表面晃动角之差；/>
Figure QLYQS_8
为/>
Figure QLYQS_9
对时间的二阶导数；ωw为水体震荡的固有频率，
Figure QLYQS_2
，其中g为重力加速度，l为承船厢水域的长度，h为承船厢的水深。
2.根据权利要求1所述的利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法，其特征在于：所述承船厢与水体的流固耦合动力学方程采用豪斯纳尔假定建立：
Figure QLYQS_10
；
式中，
Figure QLYQS_11
为承船厢纵向倾斜角度与水体自由表面晃动角之差；/>
Figure QLYQS_12
为/>
Figure QLYQS_13
对时间的二阶导数；ωw为水体震荡的固有频率；α为承船厢的纵倾角。
3.根据权利要求1所述的利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法，其特征在于：所述承船厢上的水体倾覆力矩根据承船厢内水体晃动和水体重力分布变化规律推导：
Figure QLYQS_14
；
式中， Jw为承船厢内水体相对于质心的等效转动惯量；θ0为中心处水体自由表面晃动角；Cw为承船厢内水体的静水力矩系数；
Figure QLYQS_15
为中心处水体自由表面的旋转角速度；/>
Figure QLYQS_16
为承船厢纵向倾覆的角加速度。
4.根据权利要求1所述的利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法，其特征在于：所述主提升机扭振和承船厢纵向倾覆运动的动力学方程根据拉格朗日方程建立：
Figure QLYQS_17
；
式中，Jh为主提升机所有转动部件相对于主提升机低速轴的转动惯量的二分之一；
Figure QLYQS_18
为上游侧卷筒的转角；/>
Figure QLYQS_19
为下游侧卷筒的转角；dh为瑞雷阻尼系数；R为卷筒半径；kr为升船机全部提升绳抗拉伸刚度的二分之一；Cs为纵向同步轴的总抗扭刚度；a为主提升机纵向吊点中心距； Js为承船厢相对于质心的转动惯量；m为承船厢结构的质量；y为承船厢铅垂方向位移；α为承船厢的纵倾角，/>
Figure QLYQS_20
为承船厢纵向倾覆的角加速度，θ0为中心处水体自由表面晃动角； />
Figure QLYQS_21
为中心处水体自由表面的旋转角速度。
5.根据权利要求4所述的利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法，其特征在于：所述主提升机扭振和承船厢纵向倾覆运动的耦合动力学微分方程，引入了主提升机阻尼力矩：
Figure QLYQS_22
；
式中，Md1为上游侧主提升机阻尼力矩；Md2为下游侧主提升机阻尼力矩；dh为瑞雷阻尼系数；R为卷筒半径；
Figure QLYQS_23
为上游侧卷筒转动角速度；/>
Figure QLYQS_24
为下游侧卷筒转动角速度。
6.根据权利要求1所述的利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法，其特征在于：所述根据拉普拉斯变化法，将所述耦合动力学微分方程转化为代数方程，具体如下：
Figure QLYQS_25
；
其中，
Figure QLYQS_26
；
式中，a0、a1、a2、a3、a4、a5、a6为方程的特征根。
7.根据权利要求1或6所述的利用微分方程特征值判断承船厢纵向倾覆稳定性的方法，其特征在于：根据求解的特征以及常微分线性微分方程稳定性理论判定承船厢纵向倾覆稳定性，具体包括：当耦合动力学微分方程对应的特征值的实部全部为负值时，系统是稳定的，即承船厢纵向倾覆稳定性满足要求；当任一特征值的实部小于零时，系统即是不稳定的，即承船厢会发生纵向倾覆失稳。
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