CN116050247A - 用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络 - Google Patents
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Abstract
一种用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络，提出一种新的PINN，称为C‑PINN，用于求解有界振动杆在具有较少或甚至没有任何先验信息的外部驱动力作用下的位移分布。包含两个神经网络，NetU和NetG。NetU逼近满足所研究有界振动杆的位移分布；NetG用于正则化NetU中的u以满足NetU逼近的位移分布。将两个网络集成为一个数据‑物理混合的损失函数中。此外，利用所提出的分层训练策略对该损失函数进行优化，实现两个网络的耦合。最后，验证C‑PINN在求解有界振动杆在外部驱动力作用时位移分布的性能。本发明的C‑PINN适用于解决具有外部驱动作用下并与时间空间具有依赖关系的多类动态系统，即包括求解在外部热源作用下的温度分布，电磁波在外源影响下的电磁分布等。
Description
技术领域
本发明属于利用神经网络求解偏微分方程领域，涉及一种用于求解具有未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络。
背景技术
偏微分方程(PDE)是用于描述时空依存性的表示方式之一。因此偏微分方程被广泛应用于对医疗、工程、经济、天气等物理现象建模。目前，有几种经典的成功求解PDE的数值方法，例如有限差分法(G.D.Smith,G.D.Smith,and G.D.S.Smith,Numerical solutionofpartial differential equations:finite difference methods.Oxforduniversitypress,1985.)、有限元法(G.Dziuk and C.M.Elliott,“Finite element methods forsurface pdes,”Acta Numerica,vol.22,pp.289–396,2013.)。值得注意的是，数值求解方法是在计算复杂度方面的棘手问题。
在求解PDE的数值方法中，Galerkin方法是一种著名的计算方法，其中使用基函数的线性组合来逼近PDE的解(Ciarlet P G.The finite element method for ellipticproblems[M].Society for Industrial andApplied Mathematics,2002.)。受此启发，一些工作如Zobeiry等人，Cuomo等人和Chen等人使用机器学习模型来代替基函数的线性组合，(Zobeiry N,Humfeld K D.A physics-informed machine learning approach forsolving heat transfer equation in advanced manufacturing and engineeringapplications[J].Engineering Applications of Artificial Intelligence,2021,101:104232.Cuomo S,Di Cola V S,Giampaolo F,et al.Scientific Machine Learningthrough Physics-Informed Neural Networks:Where we are and What's next[J].arXiv preprint arXiv:2201.05624,2022.Chen W,Wang Q,Hesthaven J S,etal.Physics-informed machine learning for reduced-order modeling ofnonlinearproblems[J].Journal ofcomputational physics,2021,446:110666.)，以构建用于求解PDE的数据高效和物理信息学习方法。深度学习方法在图像(M.Ye,J.Shen,G.Lin,T.Xiang,L.Shao,and S.C.Hoi,“Deep learning for person re-identification:A survey andoutlook,”IEEEtransactions on pattern analysis and machine intelligence,vol.44,no.6,pp.2872–2893,2021.)、文字(D.Nurseitov,K.Bostanbekov,M.Kanatov,A.Alimova,A.Abdallah,and G.Abdimanap,“Classification of handwritten names ofcitiesand handwritten text recognition using various deep learning models,”arXiv preprint arXiv:2102.04816,2021.)语音识别(L.Deng,J.Li,J.-T.Huang,K.Yao,D.Yu,F.Seide,M.Seltzer,G.Zweig,X.He,J.Williams et al.,“Recent advances indeep learningfor speech research at microsoft,”in 2013IEEE internationalconference on acoustics,speech and signal processing.IEEE,2013,pp.8604–8608.)等各个领域的成功应用确保它们能够替代基函数线性组合，用于求解偏微分方程。因此，利用神经网络出色的近似能力来解决偏微分方程是一个自然的想法，并且之前已经以各种形式进行了研究(A.J.Meade Jr and A.A.Fernandez,“The numerical solution of linearordinary differential equations by feedforward neural networks,”Mathematicaland Computer Modelling,vol.19,no.12,pp.1–25,1994.I.E.Lagaris,A.Likas,andD.I.Fotiadis,“Artificial neural networks for solvingordinary and partialdifferential equations,”IEEE transactions on neural networks,vol.9,no.5,pp.987–1000,1998.I.E.Lagaris,A.C.Likas,and D.G.Papageorgiou,“Neural-networkmethods for boundary value problems with irregular boundaries,”IEEETransactions onNeural Networks,vol.11,no.5,pp.1041–1049,2000.)。Raissi等人引入了物理信息神经网络(PINN)的框架来解决正向问题(Raissi M,Perdikaris P,Karniadakis G E.Physics-informed neural networks:A deep learning frameworkfor solving forward and inverse problems involving nonlinear partialdifferential equations[J].Journal of Computational physics,2019,378:686-707.)，同时尊重由PDE控制的任何给定物理定律，包括非线性算子、初始条件和边界条件。在PINN框架内，Mao等人(Mao Z,JagtapAD,Karniadakis G E.Physics-informed neuralnetworks for high-speed flows[J].Computer Methods in Applied Mechanics andEngineering,2020,360:112789.)和He等人(He Q Z,Barajas-Solano D,Tartakovsky G,et al.Physics-informed neural networks for multiphysics data assimilationwith application to subsurface transport[J].Advances in Water Resources,2020,141:103610.)充分考虑稀疏观测数据和物理知识来构建损失函数。通过训练损失函数获得关于任何时空依存性的解决方案。通过对损失函数的训练，得到了关于时空依存性的解。通过机器学习和深度学习得到的近似解是无网格的，在平衡精度和形成网格的效率上没有问题。
Raissi等人也提出使用PINN解决逆问题是有潜力的((Raissi M,Perdikaris P,Karniadakis G E.Physics-informed neural networks:A deep learning frameworkfor solving forward and inverse problems involving nonlinear partialdifferential equations[J].Journal ofComputational physics,2019,378:686-707.)。Fang提出了一种混合PINN来求解PDE，其中将局部拟合方法与神经网络相结合来求解PDE(Fang Z.A high-efficient hybrid physics-informed neural networks based onconvolutional neural network[J].IEEE Transactions on Neural Networks andLearning Systems,2021.)。该混合PINN用于识别PDE中的未知常数参数。由Goodfellow等人提出的生成对抗网络(GAN)也是基于物理的，可以解决逆问题。研究了随机物理信息GAN以估计PDE中未知参数的分布(Goodfellow I,Pouget-Abadie J,Mirza M,etal.Generative adversarial networks[J].Communications oftheACM,2020,63(11):139-144.)。Yang等人将控制物理定律编码到GAN的架构中，以解决随机PDE的逆问题(YangL,Zhang D,Karniadakis G E.Physics-informed generative adversarial networksfor stochastic differential equations[J].SIAM Journal on ScientificComputing,2020,42(1):A292-A317.)。Yang等人还将PINN与贝叶斯方法相结合，以解决噪声数据中的逆问题(Yang L,Meng X,Karniadakis G E.B-PINNs:Bayesian physics-informed neural networks for forward and inverse PDE problems with noisy data[J].Journal ofComputational Physics,2021,425:109913.)。
PDE可分为齐次和非齐次两种类型。没有外力的系统可以用齐次偏微分方程来描述。非齐次偏微分方程可用于揭示源的连续能量传播行为，因此非齐次偏微分方程对于描述由外力驱动的实际系统是有效的。Yang等人将解和源项的函数形式都被假定为未知，其中源项的测量应该与解的测量分别获得。需要注意的是，在此研究中源项的稀疏测量和边界解的测量是必要的。然而，外力的独立测量并不总是容易从实际应用中获得(Yang M,Foster J T.Multi-output physics-informed neural networks for forward andinverse PDE problems with uncertainties[J].Computer Methods in AppliedMechanics and Engineering,2022:115041.)。例如，地下地震波场的真实分布是未知的(S.Karimpouli and P.Tahmasebi,“Physics informed machine learning:Seismic waveequation,”Geoscience Frontiers,vol.11,no.6,pp.1993–2001,2020.)；发动机内部具有大量信号表征发动机的运行状态，无法得到有效隔离(T.Verhulst,D.Judt,C.Lawson,Y.Chung,O.Al-Tayawe,and G.Ward,“Review for state-of-the-art health monitoringtechnologies on airframe fuel pumps,”International Journal of Prognostics andHealth Management,vol.13,no.1,2022.)。Gao可以直接解决稳态PDE的正反问题，其中源项被假定为常数。因此，该研究对于具有外力的非稳态系统是不可行的，应该用动态函数来描述。(Gao H,Zahr M J,Wang J X.Physics-informed graph neural Galerkinnetworks:A unified framework for solving PDE-governed forward and inverseproblems[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2022,390:114502.)
尽管上述方法在未知参数上的研究上取得了很大进展，但针对在实际应用中并不总是容易获得外力的先验信息的问题。此外，现有的具有恒定源项假设的方法不能容易地扩展到描述复杂动态系统行为的时空依存性。在先验信息较少甚至没有任何先验信息的情况下确定动态源项是一个研究不足的问题。
发明内容
针对目前存在的问题，本申请提出一种利用稀疏测量和用于描述有界振动杆位移分布的PDE先验知识，求解具有外部驱动力作用下的有界振动杆的位移分布情况的耦合PINN(C-PINN)方法。在我们的方法中，利用网络NetU和NetG两个神经网络，NetU用于生成满足所研究的未知外部驱动力作用下的有界振动杆的位移分布；NetG用于正则化NetU的训练。然后，将这两个网络集成到一个数据-物理混合的损失函数中。此外，我们提出了一种分层训练策略来优化和耦合两个网络。最后，将所提出的C-PINN用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布情况，并利用评价指标均方根误差(RMSE)和皮尔逊相关系数(CC)验证了所提方法的有效性。
为了达到上述目的，本发明采用的技术方案为：
一种用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络，包括以下步骤：
具有未知外部作用力的有界振动杆的位移分布情况可以用如下具有一般形式的偏微分方程描述，即所提出的耦合物理信息神经网络C-PINN用于求解如下偏微分方程：
即x是有界杆的空间变量，t是振动时间变量，t＝0时为初始状态，ut(x,t)是位移关于t的一阶微分，
为方程解，即为位移分布，
是具有一般形式的源项，即为外部驱动力，包括线性、非线性以及稳态或动态。Ω为有界杆所属的开集空间，
是一系列偏微分算子，即为有界振动杆随时间和空间变化的一系列状态。
式(1)可写为如下残差函数的形式：
当外部驱动力g(x,t)完全已知时，通过(2)的自动微分获得的
可直接用于正则化位移分布u(x,t)的近似值。然而，未知的外部驱动力g(x,t)，即有界振动杆在未知外部驱动力作用下时，将导致未知的fN(x,t)，这使得上述要求式(1)形式已知，即要求描述系统的控制方程已知的正则化方式是不可行的。
因此，本发明所要构建的耦合物理信息神经网络C-PINN的目标是近似求解有界振动杆在未知外部驱动力作用下时的位移分布情况，即求解具有(1)中描述的未知源项的偏微分方程的解。为此，C-PINN中包含两个神经网络，NetU和NetG，其中：(a)NetU用于逼近满足(1)的解；(b)NetG用于正则化NetU的训练。
步骤1：构建用于训练C-PINN的损失函数。
为了训练C-PINN，从未知外部驱动力作用下的有界振动杆中均匀随机采样获得训练集。针对采样获得的训练集。其中训练数据集用D表示，D由边界和初始训练数据DB和内部训练数据DI构成，且
E表示对应(x,t,u)∈DI的的配置点集(x,t)。采用如公式(3)所示的数据-物理混合损失函数训练C-PINN。
MSE＝MSED+MSEPN (3)
其中，MSED和MSEPN分别表示给定的式(1)一般非齐次偏微分方程式的数据损失和物理损失。
其中MSED由下式得到
MSEPN由下式得到
步骤2：利用阶层式训练策略优化耦合C-PINN，进行预测有界振动杆在外部驱动力作用下的位移随时间变化在任意位置处的位移情况，即为求解(2)式在意点(x,t)的预测值
考虑到(3)式中损失函数MSE中的网络NetU和网络NetG的联系，提出阶层式训练策略。有界杆的振动在实际应用中，难以获得外部驱动力的具体形式，甚至是稀疏测量均无法获得，即在式(1)中的g(x,t)的确切表达式甚至是稀疏测量都无法获得。然而可以通过在有界杆内部便于安装位移传感器位置处，利用位移传感器采集有界杆在外力驱动下的稀疏位移分布，即获得的区域内部的稀疏测量数据DI施加在PDEs的结构上进而获得
因此ΘU和ΘG应该是相互依赖的迭代估计。假设k为现在的迭代的步数，分层训练策略的核心问题可由以下两个优化问题描述。
和
基于上述分层训练策略的两个核心优化问题，利用算法1进行具体描述阶层式策略具体细节：
算法1C-PINN的阶层式优化耦合策略：
-初始化：在有界杆振动系统中随机采样训练数据(x,t,u)∈D和配置点(x,t)∈E。随机产生网络NetU和网络NetG的初始化参数集
和
-Step 0：假设第k步迭代已经获得参数集
和
重复以下步骤：
-Stepk-1：通过求解优化问题(6)获得
此时MSEPN中的
来自前一步的迭代结果
-Stepk-2：通过求解优化问题(7)获得
利用
预测MSEp中的
-直到满足停止条件，即达到规定的迭代次数或者达到误差精度。
-返回
用于预测式(2)关于Ω中任意点(x,t)的预测值
注意，
和
分别用作NetU的给定参数集和-Step 0时NetG的参数集初始化。此外，算法中还进行了NetG和NetU参数集的迭代传输。
步骤3：评价所提C-PINN方法在求解有界振动杆在未知外部驱动力作用下的位移分布的性能，即为求解式(1)描述的具有未知源项PDE时的性能。
利用均方根误差(RMSE)
评价所提C-PINN方法在预测有界振动杆在未知外部驱动力作用下的位移分布的性能，|T|是关于测试配置点集(x,t)∈T的势，u(x,t)和
分别表示实际位移分布值和相对应的预测位移分布值。通过计算测试集的RMSE以及快照图的RMSE进行评价C-PINN在求解有界振动杆在未知外部驱动力作用下的位移分布的性能。RMSE的数值越接近于0说明C-PINN性能越好。
为了更进一步的验证C-PINN的性能，利用皮尔逊相关系数：
计算实际位移分布值和预测位移分布值之间的相似性。CC是u(x,t)和
的相关系数，cov(u(x,t),
是u(x,t)和
的协方差。Varu(x,t)和
分别是u(x,t)和
的方差。与RMSE相同，通过计算测试集的CC以及快照图的CC进行评价C-PINN在求解有界振动杆在未知外部驱动力作用下的预测位移分布的性能。CC数值越接近于1说明C-PINN性能越好。
不失一般性，具有外部驱动作用下并与时间空间具有依赖关系的多类动态系统均可以用式(1)描述，除上述所述的具有外部驱动力作用的有界振动杆的位移分布，还包括：(a)热传导系统：当有界杆内部温度分布不均匀时，热量在有界杆内部进行流动并引入外热源时，描述有界杆内部温度分布的有源热传导方程，如航空发动机内部在实际运行过程对于热源的产生量并无法测量，而要获得任意点的温度分布情况，求解具有未知外部热源的热传导方程；(b)三维亥姆霍兹方程：描述电磁波在外源的影响下的分布情况，利用三维亥姆霍兹方程描述，如航空发动机内部在运行过程中的部件级之间的电磁影响，并无法获得所研究对象的外部电磁源，而要获得所研究对象的任意点的电磁波分布情况，求解在未知外部电磁源下的亥姆霍兹方程。
本发明的有益效果为：本发明提出了一种新的PINN，称为C-PINN，用于求解有界振动杆在具有较少或甚至没有任何先验信息的外部驱动力作用下的位移分布。在本发明中，包含两个神经网络，NetU和NetG。NetU逼近满足所研究有界振动杆的位移分布；NetG用于正则化NetU中的u以满足NetU逼近的位移分布。然后，将两个网络集成为一个数据-物理混合的损失函数中。。此外，利用所提出的分层训练策略对该损失函数进行优化，实现两个网络的耦合。。最后，用RMSE和CC验证了C-PINN在求解有界振动杆在外部驱动力作用时位移分布的性能，其结果分别趋近于0和趋近于1，说明C-PINN在求解有界杆在具有较少或甚至没有任何先验信息的外部驱动力作用下的位移分布时，具有较好的性能。并且所提出的C-PINN适用于解决具有外部驱动作用下并与时间空间具有依赖关系的多类动态系统，即包括求解在外部热源作用下的温度分布，电磁波在外源影响下的电磁分布等。
附图说明
图1C-PINN的架构图；
图2描述一维有界振动杆位移分布的一维波动方程的预测值
的热力图。
图3对应图2中t＝1.5快照图对应的预测值与实际值；
图4对应图2中t＝3快照图对应的预测值与实际值；
图5对应图2中t＝4.5快照图对应的预测值与实际值；
图6描述一维有界杆，两端为绝热端的温度分布，具有Dirichlet边界条件的一维热传导方程的预测值
的热力图。
图7对应图6中t＝1.5快照图对应的预测值与实际值；
图8对应图6中t＝3快照图对应的预测值与实际值；
图9对应图6中t＝4.5快照图对应的预测值与实际值；
图10描述一维有界杆，一端为绝热端，一端为散热端的温度分布，具有Neumann边界条件的一维热传导方程的预测值
的热力图。
图11对应图10中t＝3快照图对应的预测值与实际值；
图12对应图10中t＝6快照图对应的预测值与实际值；
图13对应图10中t＝9快照图对应的预测值与实际值；
图14描述薄片温度分布的二维泊松方程的预测值
的热力图。
图15对应图14中y＝0.2快照图对应的预测值与实际值；
图16对应图14中y＝0.4快照图对应的预测值与实际值；
图17对应图14中y＝0.6快照图对应的预测值与实际值；
图18描述电磁波在空间分布的三维亥姆霍兹方程,(x,y,z＝0.12)的快照图
的热力图。
图19对应图18中(x＝0.05，z＝0.12)快照图对应的预测值与实际值；
图20对应图18中(x＝0.15，z＝0.12)快照图对应的预测值与实际值；
图21对应图18中(x＝0.2，z＝0.12)快照图对应的预测值与实际值。
具体实施方式
本发明提供一种用于求解具有未知源项偏微分方程的耦合物理信息神经网络。所论述的具体实施例仅用于说明本发明的实现方式，而不限制本发明的范围。下面结合附图对本发明的实施方式进行详细说明，具体包括以下步骤：
实施例1求解描述外部驱动力作用下的有界一维振动杆的位移分布，即求解具有如下一般形式的一维波动偏微分方程。
u|x＝0＝0,u|x＝L＝0,t>0
在该有界杆中振动波速a＝1，长度L＝π，振动波传播时间t＝6，在有界杆(x,t)区域处外部驱动力为
位移为
将表示一维有界振动杆位移分布的波动方程转换为如式(2)的残差形式的PDE方程
因此，本实施例所要构建的耦合物理信息神经网络C-PINN的目标是近似求解有界振动杆在未知外部驱动力作用下时的位移分布情况，即求解具有(10)中描述的未知源项的一维波动偏微分方程的解。为此，C-PINN中包含两个神经网络，NetU和NetG，其中：(a)NetU用于逼近满足(10)的解，即求解一维有界振动杆在外部驱动力作用下的位移分布；(b)NetG用于正则化NetU的训练。
1.构建损失函数。
从由式(10)表示的一维波动方程控制的一维有界杆振动系统中均匀随机采样获得训练集。本实施方式中，在区域[0,π]×[0,6]中随机均匀采样获得含有210个训练样本的训练集，包括120个满足边界条件的训练数据和50个满足初始条件的训练数据，获取40个内部训练数据(x,t,u)∈DI和配置点(x,t)∈E配置点，训练集如图2所示，利用配置点确保式(10)的结构。采用如式(3)的损失函数训练C-PINN。MSED和MSEP分别表示式(10)的数据损失和物理损失。其中MSED由式(4)得到，
是网络NetU的函数，它的训练参数集为
MSEp由式(5)得到，
是网络NetG的函数，它的训练参数集为
是网络NetU对未知外部驱动力g的近似。MSEp对应于(11)在有限配置点集(x,t)∈E上(10)的物理损失，用于正则化网络NetU中的u以满足式(10)。
2.阶层式训练策略。
考虑到损失函数MSE中的网络NetU和网络NetG的联系，提出阶层式训练策略。在实际应用的很多情况下，外部驱动力即
的确切表达式甚至是稀疏测量都无法获得，然而可以通过将获得的区域内部的稀疏测量数据DI施加在(10)的结构上进而获得
因此ΘU和ΘG相互依赖利交互估计的方式进行估计。假设k为现在的迭代的步数，分层训练策略的核心问题可由(6)和(7)两个优化问题描述。
算法1：C-PINN的分层优化耦合策略
-初始化：随机采样训练数据(x,t,u)∈D和配置点(x,t)∈E。随机产生网络NetU和网络NetG的初始化参数集
和
-Step 0：假设第k步迭代已经获得参数集
和
重复以下步骤：
-Stepk-1：通过求解优化问题(6)获得获得
此时MSEp中的
来自前一步的迭代结果
-Stepk-2：通过求解优化问题(7)获得
利用
预测MSEp中的
-直到满足停止条件，即达到规定的迭代次数或者达到误差精度。
-返回
用于预测式(11)关于Ω中任意点(x,t)的预测值
注意，
和
分别用作NetU的给定参数集和第1步时NetG的参数集初始化。此外，算法中还进行了NetG和NetU参数集的迭代传输。
步骤4：利用(8)评价所提C-PINN方法在求解具有未知外部驱动力作用下的一维有界振动杆的位移分布性能，即求解具有未知源项一维波动方程时的性能，u(x,t)和
分别表示实际位移分布值和相对应的预测位移分布值，RMSE＝7.068626e-02，可得预测误差接近于0，预测性能较好。
为了更进一步的验证C-PINN的性能，利用皮尔逊相关系数式(9)进一步评价，本实施例中，实际位移分布值和相对应的预测位移分布值之间的相似性为9.864411e–01，相关性较高。本实施例中，C-PINN的相关设置为，隐藏层数为3，每层有30个神经元。预测的尺度情况如图2所示，具体在t＝1.5，3和4.5的快照图的预测与实际数值的对比情况分别如图3-图5所示。
在t＝1.5，3和4.5时候的预测效果评价指标如表1所示。
表1图2中虚线所示的三个时间快照的评价标准
通过表1可得，RMSE接近0和CC接近1，C-PINN在求解具有未知外部驱动力作用下的一维有界杆的位移分布具有较好性能。
不失一般性，具有外部驱动作用下并与时间空间具有依赖关系的多类动态系统均可以用式(1)描述，除上述所述的具有外部驱动力作用的有界振动杆的位移分布，还包括：(a)热传导系统：当有界杆内部温度分布不均匀时，热量在有界杆内部进行流动并引入外热源时，描述有界杆内部温度分布的有源热传导方程，如航空发动机内部在实际运行过程对于热源的产生量并无法测量，而要获得任意点的温度分布情况，求解具有未知外部热源的热传导方程；(b)三维亥姆霍兹方程：描述电磁波在外源的影响下的分布情况，利用三维亥姆霍兹方程描述，如航空发动机内部在运行过程中的部件级之间的电磁影响，并无法获得所研究对象的外部电磁源，而要获得所研究对象的任意点的电磁波分布情况，求解在未知外部电磁源下的亥姆霍兹方程。
实施例2求解一维有界杆在两侧均为绝热端的未知外部热源作用下的温度分布，即求解具有Dirichlet边界条件的未知外部源项的一维热传导方程：
热扩散率a＝1，u(x,t)为任意(x,t)处的温度，有界杆的长度L＝π，初始温度φ(x)＝0，g(x,t)是外部未知热源。温度分布解析表达式为
获得残差形式的PDE方程
本实施例所要构建的耦合物理信息神经网络C-PINN的目标是近似求解有界杆在未知外部热源作用时的温度分布情况，即求解具有(12)中描述的未知源项的一维热传导偏微分方程的解。为此，C-PINN中包含两个神经网络，NetU和NetG，其中：(a)NetU用于逼近满足(12)的解，即求解一维有界杆在外部热源作用下的温度分布；(b)NetG用于正则化NetU的训练。
1.构建损失函数：
从系统式(12)控制的具有绝热端和未知外部热源的有界杆中，均匀随机采样获得训练集。本实施方式中，在[0,π]×[0,6]中随机均匀采样获得训练集，包括110个边界和初始训练数据(x,t,u)∈DB和10个内部训练数据(x,t,u)∈DI，且DB∩DI＝Φ。10个配置点(x,t)∈E配置点集，训练集如图6所示。利用配置点确保PDE的结构。采用(3)的损失函数训练C-PINN。MSED和MSEP分别表示给定的(12)式的数据损失和物理损失。其中MSED由下式(4)得到，
是网络NetU的函数，它的训练参数集为
MSEp由式(5)得到，
是网络NetG的函数，它的训练参数集为
是网络NetU对g的近似。MSEp对应于(13)在有限配置点集(x,t)∈E上(12)的物理损失，用来正则化网络NetU中的u以满足(12)。
2.阶层式训练策略。
考虑到损失函数MSE中的网络NetU和网络NetG的联系，提出阶层式训练策略。在实际应用的很多情况下，例如在发动内部的外部热源
的确切表达式甚至是稀疏测量都无法获得，然而可以通过将获得的区域内部的稀疏测量数据DI施加在(12)的结构上进而获得
因此ΘU和ΘG相互依赖利用交估计的方式进行估计。假设k为现在的迭代的步数，分层训练策略的核心问题可由(6)和(7)以下两个优化问题描述。
算法1：C-PINN的分层优化耦合策略
-初始化：随机采样训练数据(x,t,u)∈D和配置点(x,t)∈E。随机产生网络NetU和网络NetG的初始化参数集
和
-Step 0：假设第k步迭代已经获得参数集
和
重复以下步骤：
-Stepk-1：通过求解优化问题(6)获得
此时MSEp中的
来自前一步的迭代结果
-Stepk-2：通过求解优化问题(7)获得
利用
预测MSEp中的
-直到满足停止条件，即达到规定的迭代次数或者达到误差精度。
-返回
用于预测式(13)关于Ω中任意点(x,t)的预测值
注意，
和
分别用作NetU的给定参数集和第1步时NetG的参数集初始化。此外，算法中还进行了NetG和NetU参数集的迭代传输。
3.评价性能
利用(8)式RMSE评价所提C-PINN方法在求解具有Dirichlet边界条件和未知源项的一维热传导方程时的性能，RMSE＝4.225390e-02，为了更进一步的验证C-PINN的性能，利用皮尔逊相关系数式(9)进一步评价，本实施例中，实际温度分布值和相对应的预测温度分布值之间的相似性为9.785444e-01，相关性较高。本实施例中，C-PINN的相关设置为，隐藏层数为10，每层有20个神经元。预测的尺度情况如图6所示，具体在t＝1.5，3和4.5的快照图的预测与实际数值的对比情况分别如图7-图9所示。
在t＝1.5，3和4.5时候的预测效果评价指标如表2所示。
表2图6中虚线所示的三个时间快照的评价标准
通过表2可得，RMSE接近0和CC接近1，C-PINN在求解具有未知外部热源作用下的一维有界杆的温度分布具有较好性能。
实施例3求解一维有界杆在一端为绝热端，另一端为散热端的未知外部热源作用下的温度分布，即求解具有Neumann边界条件的未知外部源项的一维热传导方程：
构建C-PINN两个神经网络NetU和NetG，用于求解如下一般形式的偏微分方程的解。为说明C-PINN不失一般性，以具有未知外部热源的具有Neumann边界条件的一维热传导方程热传导方程为例
热扩散率a＝1，u(x,t)为任意(x,t)位置处的温度，有界杆的长度L＝π，初始温度
是外部未知热源。温度分布的解析表达式为
获得残差形式的PDE方程
为此，C-PINN中包含两个神经网络，NetU和NetG，其中：(a)NetU用于逼近满足(14)的解，即求解一维有界振动杆在外部驱动力作用下的位移分布；(b)NetG用于正则化NetU的训练。
1.构建损失函数：
从由式(14)控制的系统中均匀随机采样获得训练集。本实施方式中，在[0,π]×[0,10]中随机均匀采样获得训练集，包括130个边界和初始训练数据(x,t,u)∈DB，其中有10个初始条件训练数据，60个左边界条件训练数据和60个右边界条件训练数据，20个内部训练数据(x,t,u)∈DI。20个配置点x,t)∈E配置点集，训练集如图10所示，利用配置点确保式(14)的结构。采用式(3)的损失函数训练C-PINN。MSED和MSEP分别表示给定的(14)式的数据损失和物理损失。其中MSED由式(5)得到
是网络NetU的函数，它的训练参数集为
MSEp由式(6)得到，
是网络NetG的函数，它的训练参数集为
是网络NetU对g的近似。MSEp对应于(15)在有限配置点集(x,t)∈E(14)上的物理损失，用来正则化网络NetU中的u以满足(14)。
2.阶层式训练策略。
考虑到损失函数MSE中的网络NetU和网络NetG的联系，提出阶层式训练策略。在实际应用的很多情况下，例如在发动内部的外部热源
的确切表达式甚至是稀疏测量都无法获得，然而可以通过将获得的区域内部的稀疏测量数据DI施加在(14)的结构上进而获得
因此ΘU和ΘG相互依赖利用交互迭代的方式进行估计。假设k为现在的迭代的步数，分层训练策略的核心问题可由(6)和(7)两个优化问题描述。
算法1：C-PINN的分层优化耦合策略
-初始化：随机采样训练数据(x,t,u)∈D和配置点(x,t)∈E。随机产生网络NetU和网络NetG的初始化参数集
和
-Step 0：假设第k步迭代已经获得参数集
和
重复以下步骤：
-Stepk-1：通过求解优化问题(6)获得
此时MSEp中的
来自前一步的迭代结果
-Stepk-2：通过求解优化问题(7)获得
利用
预测MSEp中的
-直到满足停止条件，即达到规定的迭代次数或者达到误差精度。
-返回返回
用于预测式(15)关于Ω中任意点(x,t)的预测值
注意，
和
分别用作NetU的给定参数集和第1步时NetG的参数集初始化。此外，算法中还进行了NetG和NetU参数集的迭代传输。
3评价性能
利用(8)RMSE评价所提C-PINN方法在求解一维有界杆在一端为绝热端，另一端为散热端的未知外部热源作用下的温度分布，即求解具有Neumann边界条件的未知外部源项的一维热传导方程时的性能，RMSE＝5.748950e-02，u(x,t)和
分别表示实际温度值和相对应的预测温度值。为了更进一步的验证C-PINN的性能，利用(9)CC＝9.988286e–01进一步说明C-PINN方法在求解一维有界杆在一端为绝热端，另一端为散热端的未知外部热源作用下的温度分布，即求解具有Neumann边界条件的未知外部源项的一维热传导方程时获得较好性能。
本实施例中，C-PINN的相关设置为，隐藏层数为3，每层有30个神经元。预测的尺度情况如图10所示，具体在t＝3，6和9的快照图的预测与实际数值的对比情况分别如图11-图13所示。
在t＝3，6和9时候的预测效果评价指标如表3所示。
表3图10中虚线所示的三个时间快照的评价标准
通过表3可得，RMSE接近0和CC接近1，C-PINN在求解具有未知外部热源作用下的一维有界杆的温度分布具有较好性能。
实施例4求解二维薄片在未知外部热源作用下的温度分布，即求解如下未知外部源项的二维泊松方程：
u(x,0)＝0,u(x,b)＝T,0≤x≤1
u(0,y)＝0,u(a,y)＝0,0≤y≤1, (16)
T＝1，源项T0为常数，解析解为
获得残差形式的PDE方程
为此，C-PINN中包含两个神经网络，NetU和NetG，其中：(a)NetU用于逼近满足(16)的解，即求解一维有界振动杆在外部驱动力作用下的位移分布；(b)NetG用于正则化NetU的训练。
1.构建损失函数：
从由式(16)控制的系统中均匀随机采样获得训练集。本实施方式中，在[0,1]×[0,1]中随机均匀采样获得含有30个边界数据训练集和3个内部配置点，训练集如图14所示，利用配置点确保式(16)的结构。采用式(3)的损失函数训练C-PINN。MSED和MSEP分别表示给定的(16)式的数据损失和物理损失。其中MSED由式(4)得到
是网络NetU的函数，它的训练参数集为
MSEp由式(5)得到，
是网络NetG的函数，它的训练参数集为
是利用网络NetU对g的近似。MSEp对应于(17)在有限配置点集(x,y)∈E上(16)的物理损失，用来正则化网络NetU中的u以满足(16)。
2.阶层式训练策略。
考虑到损失函数MSE中的网络NetU和网络NetG的联系，提出阶层式训练策略。在实际应用的很多情况下，
的的确切表达式甚至是稀疏测量都无法获得，然而可以通过将获得的区域内部的稀疏测量数据DI施加在(16)的结构上进而获得
因此ΘU和ΘG相互依赖利用交估计的方式进行估计。假设k为现在的迭代的步数，分层训练策略的核心问题可由(6)和(7)两个优化问题描述。
算法1：C-PINN的分层优化耦合策略
-初始化：随机采样训练数据(x,y,u)∈D和配置点(x,y)∈E。随机产生网络NetU和网络NetG的初始化参数集
和
-Step 0：假设第k步迭代已经获得参数
和
重复以下步骤：
-Stepk-1：通过求解优化问题(6)获得
此时MSEp中的
来自前一步的迭代结果
-Stepk-2：通过求解优化问题(7)获得
利用
预测MSEp中的
-直到满足停止条件，即达到规定的迭代次数或者达到误差精度。
-返回
用于预测式(17)关于Ω中任意点(x,y)的预测值
注意，
和
分别用作NetU的给定参数集和第1步时NetG的参数集初始化。此外，算法中还进行了NetG和NetU参数集的迭代传输。
3.评价性能
评价所提C-PINN方法在求解具有未知源项二维泊松方程时的性能，式(8)RMSE＝1.594000e-02表明C-PINN方法在求解具有未知外部热源时具有较好的性能，u(x,y)和
分别表示实际薄片温度分布值和相对应的预测温度分布值,利用CC＝9.864411e–01更进一步验证C-PINN的性能，
本实施例中，C-PINN的相关设置为，隐藏层数为3，每层有30个神经元。预测的
尺度情况如图14所示，具体在y＝0.2，0.4和0.6的快照图的预测与实际数值的对比情况分别如图15-图17所示。
在y＝0.2，0.4和0.6时候的预测效果评价指标如表4所示。
表4图14中虚线所示的三个时间快照的评价标准
通过表4可得，RMSE接近0和CC接近1，C-PINN在求解具有未知外部热源作用下的二维薄片的温度分布具有较好性能。
实施例5求解电磁波在外源的影响下的分布情况，即求解如下的三维亥姆霍兹方程：
u(x)＝(0.1sin(2πx)+tanh(10x))sin(2πy)sin(2πz)
获得残差形式的PDE方程
fs(x)＝Δu(x)+k2u(x)-g(x) (19)
为此，C-PINN中包含两个神经网络，NetU和NetG，其中：(a)NetU用于逼近满足(18)的解，即求解一维有界振动杆在外部驱动力作用下的位移分布；(b)NetG用于正则化NetU的训练
1.构建损失函数：
从由式(18)控制的系统中均匀随机采样获得训练集。本实施方式中，在
中随机均匀采样获得训练集，包括60个训练数据(x,y,z)∈DB，120个配置点(x,y,z)∈E，训练集如图18所示，利用配置点确保式(18)的结构。采用(3)的损失函数训练C-PINN。MSED和MSEP分别表示给定的(18)式的数据损失和物理损失。其中MSED由式(4)得到，
是网络NetU的函数，它的训练参数集为
MSEp由式(5)得到，
是网络NetG的函数，它的训练参数集为
是网络NetU对g的近似。MSEp对应于(19)在有限配置点集(x,y,z)∈E上的(18)的物理损失，用来正则化网络NetU中的u以满足(18)。
2.阶层式训练策略。
考虑到损失函数MSE中的网络NetU和网络NetG的联系，提出阶层式训练策略。在实际应用的很多情况下，
的确切表达式甚至是稀疏测量都无法获得，然而可以通过将获得的区域内部的稀疏测量数据DI施加在(18)的结构上进而获得
因此ΘU和ΘG相互依赖利用交估计的方式进行估计。假设k为现在的迭代的步数，分层训练策略的核心问题可由(6)和(7)两个优化问题描述。
算法1C-PINN的分层优化耦合策略
-初始化：随机采样训练数据(x,y,z,u)∈D和配置点(x,y,z)∈E。随机产生网络NetU和网络NetG的初始化参数集
和
-Step 0：假设第k步迭代已经获得参数集
和
重复以下步骤：
-Stepk-1：通过求解优化问题(6)获得
此时MSEp中的
来自前一步的迭代结果
-Stepk-2：通过求解优化问题(7)获得
利用
预测MSEp中的
-直到满足停止条件，即达到规定的迭代次数或者达到误差精度。
-返回
用于预测式(19)关于Ω中任意点(x,y,z)的预测值
注意，
和
分别用作NetU的给定参数集和第1步时NetG的参数集初始化。此外，算法中还进行了NetG和NetU参数集的迭代传输。
3.评价性能：
评价所提C-PINN方法在求解具有未知源项三维亥姆霍兹方程时的性能，式(8)RMSE＝1.192859e-02表明C-PINN方法在求解具有未知外部热源时具有较好的性能，u(x,y,z)和
分别表示实际三维空间电磁波分布值和相对应的预测电磁波分布值，利用CC＝9.057524e-01更进一步验证C-PINN的性能。
本实施例中，C-PINN的相关设置为，隐藏层数为3，每层分别包含有100，50和50个神经元。预测的
的快照图如图18所示，在(x＝0.05,z＝0.12),(x＝0.15,z＝0.12)和(x＝0.2,z＝0.12)的快照图的预测与实际数值的对比情况分别如图19-图21所示。
在(x＝0.05,z＝0.12),(x＝0.15,z＝0.12)和(x＝0.2,z＝0.12)时的预测效果评价指标如表5所示。
表5图18中虚线所示的三个时间快照的评价标准
通过表5可得，RMSE接近0和CC接近1，C-PINN在求解具有未知外部电磁源作用下的三维电磁波分布具有较好性能。
以上所述实施例仅表达本发明的实施方式，但并不能因此而理解为对本发明专利的范围的限制，应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些均属于本发明的保护范围。
Claims (5)
1.一种用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络，其特征在于，所提出的耦合物理信息神经网络C-PINN用于求解如下偏微分方程：
即x是有界杆的空间变量，t是振动时间变量，t＝0时为初始状态，ut(x,t)是位移关于t的一阶微分，
为方程解，即为位移分布，
是具有一般形式的源项，即为外部驱动力，包括线性、非线性以及稳态或动态；Ω为有界杆所属的开集空间，
是一系列偏微分算子，即为有界振动杆随时间和空间变化的一系列状态；
式(1)可写为如下残差函数的形式：
所构建的耦合物理信息神经网络C-PINN的目标是近似求解有界振动杆在未知外部驱动力作用下时的位移分布情况，即求解具有(1)中描述的未知源项的偏微分方程的解；为此，C-PINN中包含两个神经网络，NetU和NetG，其中：(a)NetU用于逼近满足(1)的解；(b)NetG用于正则化NetU的训练；
步骤1：构建用于训练C-PINN的损失函数；
为了训练C-PINN，从未知外部驱动作用下的有界振动杆中均匀随机采样获得训练集，其中训练数据集用D表示，D由边界和初始训练数据DB和内部训练数据DI构成，且
E表示对应(x,t,u)∈DI的的配置点集(x,t)；采用如公式(3)所示的数据-物理混合损失函数训练C-PINN；
MSE＝MSED+MSEPN (3)
其中，MSED和MSEPN分别表示给定的式(1)一般非齐次偏微分方程式的数据损失和物理损失；
所述MSED由下式得到：
其中，
是网络NetU的函数，它的训练参数集为
所述MSEPN由下式得到：
其中，
是网络NetG的函数，它的训练参数集为
是网络NetU对g的近似；MSEPN对应于(2)在有限配置点集(x,t)∈E上的非齐次偏微分方程的(1)的物理损失，用来正则化NetU中的u以满足式(1)；
步骤2：利用阶层式训练策略优化耦合C-PINN，进行预测有界振动杆在外部驱动力作用下的位移随时间变化在任意位置处的位移情况，即为求解(2)式在意点(x,t)的预测值
通过在有界杆内部便于安装位移传感器位置处，利用位移传感器采集有界杆在外力驱动下的稀疏位移分布，即获得的区域内部的稀疏测量数据DI施加在(1)的结构上进而获得
因此ΘU和ΘG是相互依赖的迭代估计；假设k为现在的迭代步数，分层训练策略的核心问题可由以下两个优化问题描述；
和
其中，
是网络NetU在第k步估计的参数集，
是网络NetG在第k+1步估计的参数集，
用于描述函数
步骤3：评价所提C-PINN方法在求解有界振动杆在未知外部驱动力作用下的位移分布的性能，即为求解式(1)描述的具有未知源项PDE时的性能；
采用均方根误差RMSE评价所提C-PINN方法在预测有界振动杆在未知外部驱动力作用下的位移分布的性能；为了更进一步的验证C-PINN的性能，利用皮尔逊相关系数CC计算实际位移分布值和预测位移分布值之间的相似性。
2.根据权利要求1所述的一种用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络，其特征在于，具有外部驱动作用并与时间空间具有依赖关系的多类动态系统均可以用式(1)描述，除上述所述的具有外部驱动力作用的有界振动杆的位移分布，还包括：(a)热传导系统；(b)三维亥姆霍兹方程。
3.根据权利要求1所述的一种用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络，其特征在于，所述的步骤2中，基于上述分层训练策略的两个核心优化问题，利用算法1进行具体描述阶层式策略，该策略具体如下：
算法1C-PINN的阶层式优化耦合策略：
-初始化：在有界杆振动系统中随机采样训练数据(x,t,u)∈D和配置点(x,t)∈E；随机产生网络NetU和网络NetG的初始化参数集
和
-Step 0：假设第k步迭代已经获得参数集
和
重复以下步骤：
-Stepk-1：通过求解优化问题(6)获得
此时MSEPN中的
来自前一步的迭代结果
-Stepk-2：通过求解优化问题(7)获得
利用
预测MSEp中的
-直到满足停止条件，即达到规定的迭代次数或者达到误差精度；
-返回
用于预测式(2)关于Ω中任意点(x,t)的预测值
注意，
和
分别用作NetU的给定参数集和-Step 0时NetG的参数集初始化；此外，算法中还进行了NetG和NetU参数集的迭代传输。
4.根据权利要求1所述的一种用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络，其特征在于，所述步骤3中，均方根误差RMSE公式如下：
其中，|T|是关于测试配置点集(x,t)∈T的势，u(x,t)和
分别表示实际位移分布值和相对应的预测位移分布值；RMSE的数值越接近于0说明C-PINN性能越好。
5.根据权利要求1所述的一种用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络，其特征在于，所述步骤3中，皮尔逊相关系数CC公式如下：
其中，CC是u(x,t)和
的相关系数，
是u(x,t)和
的协方差；Var u(x,t)和
分别是u(x,t)和
的方差；CC数值越接近于1说明C-PINN性能越好。
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|---|---|---|---|
| CN202211555055.XA CN116050247A (zh) | 2022-12-06 | 2022-12-06 | 用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络 |
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| CN202211555055.XA CN116050247A (zh) | 2022-12-06 | 2022-12-06 | 用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络 |
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| CN (1) | CN116050247A (zh) |
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN116910428A (zh) * | 2023-08-03 | 2023-10-20 | 大连理工大学 | 一种用于自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法 |
Citations (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN114118405A (zh) * | 2021-10-26 | 2022-03-01 | 中国人民解放军军事科学院国防科技创新研究院 | 内嵌物理知识的神经网络的损失函数自适应平衡方法 |
| WO2022192291A1 (en) * | 2021-03-08 | 2022-09-15 | The Johns Hopkins University | Evolutional deep neural networks |
-
2022
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Patent Citations (2)
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| CN116910428A (zh) * | 2023-08-03 | 2023-10-20 | 大连理工大学 | 一种用于自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法 |
| CN116910428B (zh) * | 2023-08-03 | 2024-03-22 | 大连理工大学 | 一种用于自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法 |
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