CN116050046A - 一种基于聚类分析的大地电磁模糊约束反演方法 - Google Patents

一种基于聚类分析的大地电磁模糊约束反演方法 Download PDF

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CN116050046A CN202211154537.4A CN202211154537A CN116050046A CN 116050046 A CN116050046 A CN 116050046A CN 202211154537 A CN202211154537 A CN 202211154537A CN 116050046 A CN116050046 A CN 116050046A
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Abstract

本发明公开了一种基于聚类分析的大地电磁模糊约束反演方法，具体涉及地球物理探测领域，具体步骤如下：S1建立大地电磁正则化反演目标函数；S2在非线性共轭梯度算法中引入模糊聚类思想，得到一个改进的NLCG算法，即模糊约束反演算法：S2.1、聚类中心与隶属度计算、S2.2、模糊约束反演中的模型更新和S3对构建好的大地电磁目标函数利用模糊约束反演算法求得最优解，得到更符合地下构造的反演结果。本发明拟合大地电磁观测数据的同时对模型的电阻率值进行约束，反演结果即符合观测到的大地电磁数据又满足先验的统计岩石物理信息；可以得到清晰的边界，反演可靠性得到提高的同时也更易于进行地质解释。

Description

一种基于聚类分析的大地电磁模糊约束反演方法
技术领域
本发明涉及地球物理探测技术领域，更具体地说，本发明涉及一种基于聚类分析的大地电磁模糊约束反演方法。
背景技术
大地电磁测深法(Magnetotelluric Sounding)，简称MT，是苏联学者Tikhonov和法国学者Cagniard 50年代初提出来的利用天然交变电磁场研究地球电性结构的一种地球物理勘探方法。由于它不用人工供电，成本低，工作方便，不受高阻层的屏蔽，对低阻层分辨率高，而且勘探深度随电磁场的频率而异，浅可以几十米，深可达数百公里，因此，近年来在许多领域都得到了成功的应用，引起了地球物理学家的广泛兴趣和极大的重视。
对于大地电磁法，学者们已经提出多种日趋成熟的反演算法，传统大地电磁反演得到的“平滑”的电阻率模型可以较好地拟合观测到的大地电磁数据。但是，该电阻率模型不一定与真实的地质信息一致。例如，跨不同地质单元的尖锐边界通常被模糊化为模糊特征。另一方面，与真实值相比，反演的电阻率值的对比度较小，这使得基于岩石样本的地质解释变得困难。即传统的大地电磁反演对电性界面成像精度不足，且不易于进行地质解释。
发明内容
为了克服现有技术的上述缺陷，本发明的实施例提供一种基于聚类分析的大地电磁模糊约束反演方法，本发明所要解决的技术问题是：如何解决传统的大地电磁反演对电性界面成像精度不足。
为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：一种基于聚类分析的大地电磁模糊约束反演方法，包括具体步骤如下：
S1、构建传统的大地电磁正则化反演目标函数；
S2、在非线性共轭梯度算法中引入模糊聚类思想，得到一个改进的NLCG算法，即模糊约束反演算法(Fuzzy Constrained Inversion，记为FCI)。
改进的非线性共轭梯度算法与非线性共轭梯度算法相比主要的区别是需要在反演迭代过程中进行聚类分析；通常，FCM聚类被用作反演后的独立过程，对反演得到的模型进行聚类分析，以实现地质分类；在基于聚类分析的大地电磁反演策略中，聚类是反演过程不可或缺的一部分，具有两个目的：1.在大地电磁反演过程中对电阻率施加约束；2.实现自动地质分类；具体到算法流程中，即需要求取聚类中心与隶属度，并进一步更新模型参数；
S2.1、聚类中心与隶属度计算
为了使反演得到的物性值聚类更接近已知的岩石物性值，本文使用Sun和Li提出的引导模糊c均值聚类技术：
Figure BDA0003856261520000021
分别对聚类中心和隶属度求微分，并使其等于零，得到聚类中心和隶属度。
S2.2、模糊约束反演中的模型更新
在大地电磁模糊约束反演过程中，第(i+1)次迭代中获得模型mi+1之后，分别计算第k个聚类中心
Figure BDA0003856261520000022
及其对应的隶属度值
Figure BDA0003856261520000023
此外，使用聚类中心和FCM的最大隶属度将模型mi+1分为C个聚类，以计算第(i+1)次迭代的模型参数(修改后的模型)；
S3、对构建好的大地电磁目标函数利用模糊约束反演算法求得最优解，得到更符合地下构造的反演结果。
基于引导模糊c均值聚类分析技术的模糊约束技术使得反演过程中实现反演与地质分类的互相改进，得到的电阻率模型不仅可以拟合观测到的大地电磁数据，同时更接近真实地下电阻率值并且更易于进行地质解释；
在一个优选的实施方式中，所述步骤S1中：
反演结果需要同时满足正演拟合的数值与观测数据吻合，并且模型参数应该与真实情况相符，通常在目标函数中施加模型约束项来实现这一目标；因此，传统的大地电磁正则化反演目标函数写作如下形式：
Φ(m)＝Φd(m)+λΦm(m)             (2-1)
其中，Φ(m)表示总的大地电磁反演目标函数，Φd(m)表示数据拟合项，Φm(m)表示模型约束项，λ表示拉格朗日算子(正则化参数)，用以平衡数据拟合项和模型约束项；
展开(2-1)式，可得：
Figure BDA0003856261520000031
其中，m是模型参数，d是实测MT数据，Cd是数据误差的协方差，
Figure BDA0003856261520000032
f(m)是正演的MT数据，m0是初始模型,λ是拉格朗日算子(正则化参数)，Cm是模型协方差，也称为平滑算子，
Figure BDA0003856261520000033
它在指示反演期间模型元素之间的平滑度方面起着关键作用；从理论上讲，Cm的每个元素都可以针对m中的所有成对元素进行独立配置，从而可以对相邻单元之间的平滑度进行相当大的微调；
在一个优选的实施方式中，所述步骤S2.1中：
为了使反演得到的物性值聚类更接近已知的岩石物性值，使用Sun和Li提出的FCM聚类的改进形式，即引导模糊c均值聚类技术：
Figure BDA0003856261520000041
其中，N表示要进行聚类的模型参数个数；C表示聚类数；mj表示第j个模型参数，当模型参数表示电阻率时，mj记为ρj；ck表示第k类岩石的聚类中心；μjk表示隶属度值，度量第j个模型参数划分到第k个岩石种类的概率；参数q表示模糊参数，并确定所得隶属度值的模糊性；pk是根据岩石样本测量确定的先验物性值；ηk为评价第k类岩石聚类中心是否有已知参考值的系数；该策略的一个优势是，它不会损害FCM算法的良好收敛性，同时，它会根据先验的岩石物理信息将搜索聚类中心引导到所需位置；
对式(2-3)，分别对聚类中心ck和隶属度μki求微分，并使其等于零，得到下式来更新聚类中心ck和隶属度μki:
Figure BDA0003856261520000042
Figure BDA0003856261520000043
到目前为止，假定可用的先验岩石物理信息是完整且准确的，如果该信息描述了所调查区域中所有地质单元的物性值的分布，则该信息被认为是完整的；如果在收集岩石物理数据时未引入任何误差或错误信息，则该信息是准确的；然而，实际上，岩石物理数据总是被噪声污染，因此是不准确的；同样，我们获得的某些先验信息(例如聚类数)可能是错误的；除此之外，我们可能仅对地下岩石物理信息有部分了解；
引导模糊c均值聚类的优势是可以处理仅对地下岩石物理信息有部分了解的情况；假设地下存在三个不同的岩石单元，并且基于岩石样本的测量获得了其中两个岩石单元的岩石物理信息；在这种情况下，C＝3，假设仅p1和p2的值是已知的，因此，等式(2-3)中的最后一项将变为以下表达式：
Figure BDA0003856261520000051
其中，ck表示第k类岩石的聚类中心；pk是根据岩石样本测量确定的先验物性值；ηk为评价第k类岩石聚类中心是否有已知参考值的系数；
在岩石物理数据不完整的情况下，引导模糊c均值聚类，等式(2-3)将变为以下表达式：
Figure BDA0003856261520000052
其中，
Figure BDA0003856261520000053
表示已知的聚类中心数，N表示要进行聚类的模型参数个数；C表示聚类数；mj表示第j个模型参数，当模型参数表示电阻率时，mj记为ρj；ck表示第k类岩石的聚类中心；μjk表示隶属度值，它度量第j个模型参数划分到第k个岩石种类的概率；参数q也称为模糊参数，并确定所得隶属度值的模糊性；pk是根据岩石样本测量确定的先验物性值；ηk为评价第k类岩石聚类中心是否有已知参考值的系数。
在一个优选的实施方式中，所述步骤S2.2中：
模糊约束技术的额外输入是：1.聚类中心的数量和2.聚类中心的值(比如每种岩性的电阻率平均值)；
在大地电磁模糊约束反演过程中，第(i+1)次迭代中获得模型mi+1之后，我们分别计算第k个聚类中心
Figure BDA0003856261520000054
及其对应的隶属度值
Figure BDA0003856261520000055
此外，使用聚类中心和FCM的最大隶属度将模型mi+1分为C个聚类，以计算第(i+1)次迭代的模型参数(修改后的模型)为：
Figure BDA0003856261520000061
其中，C表示聚类数；
Figure BDA0003856261520000062
表示第(i+1)次迭代中第j个模型参数，
Figure BDA0003856261520000063
表示第(i+1)次迭代中第k类岩石的聚类中心；
Figure BDA0003856261520000064
表示从0到1的隶属度值，它度量第(i+1)次迭代中第j个模型参数划分到第k个岩石种类的概率；
通过以这种方式执行反演，一起迭代地优化了三个参数，即模型m，聚类中心c和隶属度μ。
本发明的技术效果和优点：
1、本发明在NLCG算法中引入FCM聚类思想，拟合大地电磁观测数据的同时对模型的电阻率值进行约束，反演结果即符合观测到的大地电磁数据又满足先验的统计岩石物理信息；当实际的岩石物理信息不足时，执行一维大地电磁块状反演，快速获得更可靠的先验聚类中心与聚类数。
2、本发明可以得到清晰的边界，反演可靠性得到提高的同时也更易于进行地质解释。
附图说明
图1为本发明的改进的非线性共轭梯度算法流程图。
图2为本发明的用于生成测试的数据的电阻率模型和相应的直方图。
图3为本发明的理论MT数据图。
图4为本发明的使用均匀半空间模型作为初始模型时反演得到的电阻率模型和相应的直方图。
图5为本发明的以三层模型作为起始模型时无FCM聚类约束反演得到的电阻率模型和相应的直方图。
图6为本发明的以三层模型作为起始模型且c＝5时FCM聚类约束反演得到的电阻率模型和相应的直方图。
图7为本发明的模拟约束反演模型的正演结果图。
图8为本发明的聚类中心选择不当的情况时FCM聚类约束反演得到的电阻率模型和相应的直方图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明提供了一种基于聚类分析的大地电磁模糊约束反演方法，在NLCG算法中引入模糊聚类思想，得到一个改进的非线性共轭梯度算法(模糊约束反演算法)，不但可以增加先验的电阻率信息作为约束得到更接近真实情况的电阻率模型，并且实现了在反演的同时进行地质分类；不仅将反演与地质分类相融合，在迭代的过程中相互修正，同时有利于引入先验信息对反演进行约束，包括具体步骤如下：
S1、构建传统的大地电磁正则化反演目标函数；
Φ(m)＝Φd(m)+λΦm(m)             (2-1)
其中，Φ(m)表示总的大地电磁反演目标函数，Φd(m)表示数据拟合项，Φm(m)表示模型约束项，λ表示拉格朗日算子(正则化参数)，用以平衡数据拟合项和模型约束项；
展开(2-1)式，可得：
Figure BDA0003856261520000071
其中，m是模型参数，d是实测MT数据，Cd是数据误差的协方差，
Figure BDA0003856261520000081
f(m)是正演的MT数据，m0是初始模型,λ是拉格朗日算子(正则化参数)，Cm是模型协方差，也称为平滑算子，
Figure BDA0003856261520000082
它在指示反演期间模型元素之间的平滑度方面起着关键作用；从理论上讲，Cm的每个元素都可以针对m中的所有成对元素进行独立配置，从而可以对相邻单元之间的平滑度进行相当大的微调；
S2、在非线性共轭梯度算法中引入模糊聚类思想，得到一个改进的NLCG算法，即模糊约束反演算法(Fuzzy Constrained Inversion，记为FCI)。
如图1可知，改进的非线性共轭梯度算法与非线性共轭梯度算法相比主要的区别是需要在反演迭代过程中进行聚类分析；通常，FCM聚类被用作反演后的独立过程，对反演得到的模型进行聚类分析，以实现地质分类；在基于聚类分析的大地电磁反演策略中，聚类是反演过程不可或缺的一部分，具有两个目的：1.在大地电磁反演过程中对电阻率施加约束；2.实现自动地质分类；具体到算法流程中，即需要求取聚类中心与隶属度，并进一步更新模型参数；
S2.1、聚类中心与隶属度计算
为了使反演得到的物性值聚类更接近已知的岩石物性值，使用Sun和Li提出的FCM聚类的改进形式，即引导模糊c均值聚类技术：
Figure BDA0003856261520000083
其中，N表示要进行聚类的模型参数个数；C表示聚类数；mj表示第j个模型参数，当模型参数表示电阻率时，mj记为ρj；ck表示第k类岩石的聚类中心；μjk表示隶属度值，度量第j个模型参数划分到第k个岩石种类的概率；参数q表示模糊参数，并确定所得隶属度值的模糊性；pk是根据岩石样本测量确定的先验物性值；ηk为评价第k类岩石聚类中心是否有已知参考值的系数；该策略的一个优势是，它不会损害FCM算法的良好收敛性，同时，它会根据先验的岩石物理信息将搜索聚类中心引导到所需位置；
对式(2-3)，分别对聚类中心ck和隶属度μki求微分，并使其等于零，得到下式来更新聚类中心ck和隶属度μki:
Figure BDA0003856261520000091
Figure BDA0003856261520000092
到目前为止，假定可用的先验岩石物理信息是完整且准确的，如果该信息描述了所调查区域中所有地质单元的物性值的分布，则该信息被认为是完整的；如果在收集岩石物理数据时未引入任何误差或错误信息，则该信息是准确的；然而，实际上，岩石物理数据总是被噪声污染，因此是不准确的；同样，我们获得的某些先验信息(例如聚类数)可能是错误的；除此之外，我们可能仅对地下岩石物理信息有部分了解；
引导模糊c均值聚类的优势是可以处理仅对地下岩石物理信息有部分了解的情况；假设地下存在三个不同的岩石单元，并且基于岩石样本的测量获得了其中两个岩石单元的岩石物理信息；在这种情况下，C＝3，假设仅p1和p2的值是已知的，因此，等式(2-3)中的最后一项将变为以下表达式：
Figure BDA0003856261520000093
其中，ck表示第k类岩石的聚类中心；pk是根据岩石样本测量确定的先验物性值；ηk为评价第k类岩石聚类中心是否有已知参考值的系数；
在岩石物理数据不完整的情况下，引导模糊c均值聚类，等式(2-3)将变为以下表达式：
Figure BDA0003856261520000101
其中，
Figure BDA0003856261520000102
表示已知的聚类中心数，N表示要进行聚类的模型参数个数；C表示聚类数；mj表示第j个模型参数，当模型参数表示电阻率时，mj记为ρj；ck表示第k类岩石的聚类中心；μjk表示隶属度值，它度量第j个模型参数划分到第k个岩石种类的概率；参数q也称为模糊参数，并确定所得隶属度值的模糊性；pk是根据岩石样本测量确定的先验物性值；ηk为评价第k类岩石聚类中心是否有已知参考值的系数；
S2.2、模糊约束反演中的模型更新
所使用模糊约束反演(Fuzzy Constrained Inversion，记为FCI)技术的基本思想是在反演的每一次迭代过程中利用引导模糊c均值聚类技术引入已知的电阻率信息来约束模型参数；
模糊约束技术的额外输入是：1.聚类中心的数量和2.聚类中心的值(比如每种岩性的电阻率平均值)；
在大地电磁模糊约束反演过程中，第(i+1)次迭代中获得模型mi+1之后，我们分别计算第k个聚类中心
Figure BDA0003856261520000103
及其对应的隶属度值
Figure BDA0003856261520000104
此外，使用聚类中心和FCM的最大隶属度将模型mi+1分为C个聚类，以计算第(i+1)次迭代的模型参数(修改后的模型)为：
Figure BDA0003856261520000111
其中，C表示聚类数；
Figure BDA0003856261520000112
表示第(i+1)次迭代中第j个模型参数，
Figure BDA0003856261520000113
表示第(i+1)次迭代中第k类岩石的聚类中心；
Figure BDA0003856261520000114
表示从0到1的隶属度值，它度量第(i+1)次迭代中第j个模型参数划分到第k个岩石种类的概率；
通过以这种方式执行反演，一起迭代地优化了三个参数，即模型m，聚类中心c和隶属度μ；
S3、对构建好的大地电磁目标函数利用模糊约束反演算法进行多次迭代反演求得最优解，得到更符合地下构造的反演结果。
基于引导模糊c均值聚类分析技术的模糊约束技术使得反演过程中实现反演与地质分类的互相改进，得到的电阻率模型不仅可以拟合观测到的大地电磁数据，同时更接近真实地下电阻率值并且更易于进行地质解释；
实施方式具体为：为了证明大地电磁模糊约束反演的效果，设计了一个三层模型，从浅至深电阻率值为：30Ω.m，500Ω.m，2000Ω.m，并包含两个异常体，电阻率分别1000Ω.m和10Ω.m，图2显示了真实的电阻率模型和电阻率值的分布情况；模型被剖分为30×30×20个单元格，并在Z方向上加上地球表面上方的6个空气层；MT数据在0.01s到10000s的周期范围内共有20个频率，以及测点100个；图3中显示了示例周期(s＝0.78s)的合成大地电磁数据(阻抗的xy和yx分量)；首先，进行无FCM约束的常规大地电磁反演，保持相同的反演参数，应用上文详述的大地电磁模糊约束反演策略对相同的大地电磁数据进行反演；
当使用均匀半空间模型作为初始模型时，反演时模型的剖分网格与正演一致，无FCM约束反演得到的电阻率模型(结果如图4a,b所示)表明背斜构造的整体存在，但是该模型无法描述详细的几何形状；同样使用作为初始模型，反演参数与无FCM约束反演相同，但是将先验岩石物理信息(五个地质单元)引入反演过程进行FCI反演，得到的电阻率模型如图4c,d所示；FCI结果及其电阻率分布直方图虽然更聚焦，但是仍然无法准确地描述地质体的几何形状；
离散的选择了10个大地电磁数据点进行一维块状反演，反演结果表明模型应该有三层，因此选择三层模型作为初始反演模型；无FCM约束反演得到的电阻率模型(如图5所示)基本恢复了三个地层和两个异常；但是反演结果并不易于进行可靠的地质解释，且存在一些假象，并且反演得到的电阻率值与真实的电阻率存在差异；
具有完整的岩石物理信息的大地电磁模糊约束反演
为了分析不同岩石物理信息对大地电磁模糊约束反演的影响，首先假设先验岩石物理信息是完整且准确的，然后再分析岩石物理信息不完整或者不准确时的效果；如图2d所示，与该电阻率模型相对应的直方图清楚地表明存在五个地质单位，平均电阻率值为10Ω.m、30Ω.m、500Ω.m、1000Ω.m和2000Ω.m；将正确的先验岩石物理信息引入反演过程，即c＝5且对于i＝1、2、3、4和5，pi分别等于10Ω.m、30Ω.m、500Ω.m、1000Ω.m和2000Ω.m；
当使用岩石物理信息进行大地电磁模糊约束反演时，反演得到电阻率模型的假象减少，并且模型的边界更接近于真实模型；图6d反演得到的电阻率值分布的直方图显示存在五个不同的地质单位，其电阻率值分别约为10Ω.m、30Ω.m、500Ω.m、1000Ω.m和2000Ω.m；相反，无聚类约束反演得到的电阻率值分散，难以分辨出地质单元的数量及其各自的电阻率值(如图5d)；
反演模型的正演模拟结果(图7)与理论大地电磁数据(图3)一致；
聚类中心选择不当的大地电磁模糊约束反演
假设聚类的数量选择是准确的，进一步探讨聚类中心选择不当的影响；假设扰动的聚类中心为10Ω.m，40Ω.m，400Ω.m，1000Ω.m，1300Ω.m，而不是10Ω.m，30Ω.m，500Ω.m，1000Ω.m，2000Ω.m；具有扰动聚类中心反演结果(图8)清楚地表明，虽然反演得到的电阻率值有一些变化，但是地质单位的形状几乎不变，仍然可以清晰的识别出模型的边界；
模型测试实验显示了所提出的大地电磁模糊约束反演的效果，即便在聚类中心选择不当的情况下，模糊约束反演结果也比常规反演更接近真实情况；Sun和Li,Yang等的研究也说明了即使只有部分聚类中心或对聚类中心的选择不适当，引入聚类方法对反演效果的改进也是显而易见的；同时他们也指出聚类数对反演效果的影响要比聚类中心更大，特殊是如果指定的聚类数太少，反演得到的结果可能与真实情况相差较大；
当实际的岩石物理信息不足时，考虑大地电磁数据的特征，首先执行一维大地电磁块状反演，因为一维块状反演可以快速且清楚地识别具有不同电特性对比的界面，然后从一维块状反演中获得聚类中心的数量和数值。
理论模型测试说明了单一的大地电磁模糊约束反演的有效性，但单一反演不可避免地存在片面性，对于更复杂的地质情况，需要综合应用不同的地球物理数据。
最后应说明的几点是：首先，在本申请的描述中，需要说明的是，除非另有规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，可以是机械连接或电连接，也可以是两个元件内部的连通，可以是直接相连，“上”、“下”、“左”、“右”等仅用于表示相对位置关系，当被描述对象的绝对位置改变，则相对位置关系可能发生改变；
其次：本发明公开实施例附图中，只涉及到与本公开实施例涉及到的结构，其他结构可参考通常设计，在不冲突情况下，本发明同一实施例及不同实施例可以相互组合；
最后：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于聚类分析的大地电磁模糊约束反演方法，其特征在于：具体步骤如下：
S1、构建大地电磁正则化反演目标函数；
S2、在非线性共轭梯度(NLCG)算法中引入模糊聚类思想，得到一个改进的NLCG算法，即模糊约束反演算法；
改进的非线性共轭梯度算法与非线性共轭梯度算法相比主要的区别是需要在反演迭代过程中进行聚类分析；具体到算法流程中，即需要求取聚类中心与隶属度，并进一步更新模型参数；
S2.1、聚类中心与隶属度计算
为了使反演得到的物性值聚类更接近已知的岩石物性值，本文使用Sun和Li提出的引导模糊c均值聚类技术：
分别对聚类中心和隶属度求微分，并使其等于零，得到聚类中心和隶属度。
S2.2、模糊约束反演中的模型更新
在大地电磁模糊约束反演过程中，第(i+1)次迭代中获得模型mi+1之后，分别计算第k个聚类中心及其对应的隶属度值此外，使用聚类中心和FCM的最大隶属度将模型mi+1分为C个聚类，以计算第(i+1)次迭代的模型参数(修改后的模型)；
S3、对构建好的大地电磁目标函数利用模糊约束反演算法求得最优解，得到更符合地下构造的反演结果。
基于引导模糊c均值聚类分析技术的模糊约束技术使得反演过程中实现反演与地质分类的互相改进，得到的电阻率模型不仅可以拟合观测到的大地电磁数据，同时更接近真实地下电阻率值并且更易于进行地质解释。
2.根据权利要求1所述的一种基于聚类分析的大地电磁模糊约束反演方法，其特征在于：所述步骤S2.1中：
为了使反演得到的物性值聚类更接近已知的岩石物性值，使用Sun和Li提出的FCM聚类的改进形式，即引导模糊c均值聚类技术：
其中，N表示要进行聚类的模型参数个数；C表示聚类数；mj表示第j个模型参数，当模型参数表示电阻率时，mj记为ρj；ck表示第k类岩石的聚类中心；μjk表示隶属度值，度量第j个模型参数划分到第k个岩石种类的概率；参数q表示模糊参数，并确定所得隶属度值的模糊性；pk是根据岩石样本测量确定的先验物性值；ηk为评价第k类岩石聚类中心是否有已知参考值的系数；该策略的一个优势是，它不会损害FCM算法的良好收敛性，同时，它会根据先验的岩石物理信息将搜索聚类中心引导到所需位置；
对式(2)，分别对聚类中心ck和隶属度μki求微分，并使其等于零，得到下式来更新聚类中心ck和隶属度μki:
引导模糊c均值聚类的优势是可以处理仅对地下岩石物理信息有部分了解的情况；假设地下存在三个不同的岩石单元，并且基于岩石样本的测量获得了其中两个岩石单元的岩石物理信息；在这种情况下，C＝3，假设仅p1和p2的值是已知的，因此，等式(2)中的最后一项将变为以下表达式：
其中，ck表示第k类岩石的聚类中心；pk是根据岩石样本测量确定的先验物性值；ηk为评价第k类岩石聚类中心是否有已知参考值的系数；
在岩石物理数据不完整的情况下，引导模糊c均值聚类，等式(2)将变为以下表达式：
其中，表示已知的聚类中心数，N表示要进行聚类的模型参数个数；C表示聚类数；mj表示第j个模型参数，当模型参数表示电阻率时，mj记为ρj；ck表示第k类岩石的聚类中心；μjk表示隶属度值，它度量第j个模型参数划分到第k个岩石种类的概率；参数q也称为模糊参数，并确定所得隶属度值的模糊性；pk是根据岩石样本测量确定的先验物性值；ηk为评价第k类岩石聚类中心是否有已知参考值的系数。
3.根据权利要求1所述的一种基于聚类分析的大地电磁模糊约束反演方法，其特征在于：所述步骤S2.2中：
模糊约束技术的额外输入是：1.聚类中心的数量和2.聚类中心的值(比如每种岩性的电阻率平均值)；
在大地电磁模糊约束反演过程中，第(i+1)次迭代中获得模型mi+1之后，我们分别计算第k个聚类中心及其对应的隶属度值此外，使用聚类中心和FCM的最大隶属度将模型mi+1分为C个聚类，以计算第(i+1)次迭代的模型参数(修改后的模型)为：
其中，C表示聚类数；表示第(i+1)次迭代中第j个模型参数，表示第(i+1)次迭代中第k类岩石的聚类中心；表示从0到1的隶属度值，它度量第(i+1)次迭代中第j个模型参数划分到第k个岩石种类的概率；
通过以这种方式执行反演，一起迭代地优化了三个参数，即模型m，聚类中心c和隶属度μ。
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