CN116047104A - 一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法 - Google Patents

一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法 Download PDF

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CN116047104A CN202310026727.6A CN202310026727A CN116047104A CN 116047104 A CN116047104 A CN 116047104A CN 202310026727 A CN202310026727 A CN 202310026727A CN 116047104 A CN116047104 A CN 116047104A
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尚永健
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Abstract

本发明公开了一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法，首先选取两帧图像，并通过两张图像计算出运动目标在不同时刻的三维坐标，接着将运动目标都位于同一个平面，再构建平面三维点在两个视角下的相机投影点约束，随后利用空间中同一平面上的3D点在一台相机上的像素坐标和单应矩阵H求出该3D点在另一张图像中唯一对应的像素坐标；本发明通过利用背景信息计算运动目标的虚拟视差图，再实现对运动目标特征点的三维重建，接着根据标定数据计算出目标在世界坐标系中的真实三维坐标，从而能计算出目标的位移量，进而能结合相机帧率计算目标的运动速度，实现了具有拍摄出大视场高分辨率的目标运动过程功能，适合被广泛推广和使用。

Description

一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法
技术领域
本发明涉及运动目标速度测量技术领域，具体涉及一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法。
背景技术
双目相机系统是利用两台相机拍摄同一个目标，得到目标的视差图并进行特征点匹配对，可求得两台相机的外参矩阵，再利用三角化对目标上的特征点进行三维重建。对于一个刚性物体，其位移是物体形状不发生变化的位移，可以看作一个质点的位移，位移量可以用在物体在世界坐系中两个不同时刻的三维坐标的差值表示。
目前，通过视觉方法测量高速运动目标的速度一般利用双目相机系统进行拍摄和分析，但这种方法受相机视场限制使得能拍摄的范围较小，且由于相机质量较大，想要实现对高速运动目标的跟踪拍摄，直接移动相机本体是不现实的；因此，需要设计一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法。
发明内容
本发明的目的是克服现有技术的不足，为更好的解决目前受相机视场限制使得能拍摄的范围较小，且由于相机质量较大，想要实现对高速运动目标的跟踪拍摄，直接移动相机本体是不现实的问题，提供了一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法，其通过利用背景信息计算运动目标的虚拟视差图，再实现对运动目标特征点的三维重建，接着根据标定数据计算出目标在世界坐标系中的真实三维坐标，从而能计算出目标的位移量，进而能结合相机帧率计算目标的运动速度，实现了具有拍摄出大视场高分辨率的目标运动过程功能。
为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案是：
一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法，包括以下步骤，
步骤(A)，选取两帧图像，并通过两张图像计算出运动目标在不同时刻的三维坐标；
步骤(B)，将运动目标都位于同一个平面，再构建平面三维点在两个视角下的相机投影点约束；
步骤(C)，利用空间中同一平面上的3D点在一台相机上的像素坐标和单应矩阵H求出该3D点在另一张图像中唯一对应的像素坐标；
步骤(D)，基于相机投影点约束，计算目标平面在两台虚拟相机上的投影对应单应矩阵HT，再根据单应矩阵H求出虚拟对应点；
步骤(E)，根据求得的虚拟对应点对目标点的三维进行重建；
步骤(F)，基于目标点的三维坐标计算目标的实际位移，完成运动目标的速度测量作业。
优选的，步骤(A)，选取两帧图像，并通过两张图像计算出运动目标在不同时刻的三维坐标，其中两帧图像分别选取由转镜形成的虚拟相机Oc1和Oc2拍摄而得，且高速运动目标从M1运动到M2，而运动目标上的特征点P由P1运动至P2，同时运动目标在相机Oc1和Oc2上的投影分别为p1和p2。
优选的，步骤(B)，将运动目标都位于同一个平面，再构建平面三维点在两个视角下的相机投影点约束，其中平面三维点在两个视角下的相机投影点p(u，v，1)和p'(u＇，v，1)之间满足的约束关系如公式(1)所示，
p＝Hp'(1)
其中，H为单应矩阵。
优选的，步骤(C)，利用空间中同一平面上的3D点在一台相机上的像素坐标和单应矩阵求出该3D点在另一张图像中唯一对应的像素坐标，其中单应矩阵H如公式(2)所示，
Figure BDA0004045357680000031
其中，K为相机的内参矩阵，R和t分别为虚拟相机间的旋转和平移矩阵，nT为目标所在平面的单位法向量，d为平面到世界坐标系原点的距离。
优选的，步骤(D)，基于相机投影点约束，计算目标平面在两台虚拟相机上的投影对应单应矩阵HT，再根据单应矩阵H求出虚拟对应点，其中虚拟对应点p1＇与p2＇的求得具体步骤如下，
步骤(D1)，计算虚拟相机间的旋转和平移矩阵，其中虚拟相机间的旋转矩阵RB和平移矩阵tB具体计算步骤如下，
步骤(D11)，选取图像静态背景上的特征点进行特征匹配，若背景上的特征点不是来自于一个平面，其在相机上的投影点满足如公式(3)和公式(4)所示的关系，
x'TFx＝0(3)
F＝K-Tt×RK-1(4)
其中，x和x'为投影点，F为一个3×3秩为2的矩阵；
步骤(D12)，F的矩阵表达式如公式(5)和公式(6)所示，再在两张虚拟相机拍摄图像的背景上寻找对应点，并利用八组对应点根据公式(6)能求得F，再对F进行分解能得到虚拟相机间的旋转矩阵RB和平移矩阵tB，
Figure BDA0004045357680000041
uu'f11+uv'f12+uf13+vu'f21+vv'f22+vf23+u'f31+v'f32+f33＝0(6)；
步骤(D13)，若背景上的特征点来自同一个平面，则三维点在相机上的投影要满足公式(2)，且单应矩阵H如公式(7)和公式(8)所示，
Figure BDA0004045357680000042
Figure BDA0004045357680000043
步骤(D14)，单应矩阵H为3×3的矩阵，并根据Faugeras单应矩阵分解方法进行分解能得到虚拟相机间的旋转矩阵RB和平移矩阵tB；
步骤(D2)，计算目标运动平面的单位法向量和平面到世界坐标系原点的距离，并求解目标投影平面间的单应矩阵，其具体是在图像中选取目标区域进行特征点匹配，并由公式(7)和公式(8)能求解单应矩阵H，再分解单应矩阵能得到目标所在平面的参数单位法向量nT T和平面到世界坐标系原点的距离dT，接着由公式(3)能求得目标平面在两台相机投影平面间的对应单应矩阵HT，如公式(9)所示，
Figure BDA0004045357680000044
步骤(D3)，求得虚拟对应点p1＇与p2＇，具体步骤如下，
步骤(D31)，由公式(2)能求得特征点P在虚拟相机Oc1中的投影点p1以及在虚拟相机Oc2中的虚拟对应点p1＇像素坐标，如公式(10)所示，
p1＇＝HTp1(10)；
步骤(D32)，由公式(2)能求得特征点P在虚拟相机Oc2中的投影点p2以及在虚拟相机Oc1中的虚拟对应点p2＇像素坐标，如公式(11)所示，
p2＇＝HTp2(11)。
优选的，步骤(E)，根据求得的虚拟对应点对目标点的三维进行重建，具体步骤如下，
步骤(E1)，设世界坐标系与以Oc1为坐标系原点的相机坐标系重合，则由小孔呈像模型得三维点P到像素点p1(u，v，1)，p2(u＇，v＇，1)的映射关系如公式(12)所示，
Figure BDA0004045357680000051
其中，K为相机的内参矩阵；
步骤(E2)，设K[I 0]＝[m1m2m3]，K[R t]＝[m1'm2'm3']，则公式(12)能变换成如公式(13)所示，
Figure BDA0004045357680000052
优选的，步骤(F)，基于目标点的三维坐标计算目标的实际位移，完成运动目标的速度测量作业，具体步骤如下，
步骤(F1)，由目标在不同时刻的三维坐标p1(x1，y1，z1)和p2(x2，y2，z2)，再求得两个点之间的距离d，如公式(14)所示，
Figure BDA0004045357680000053
步骤(F2)，根据计算出的目标特征点间距离d1和测量出的目标物特征点间的实际距离d1＇计算尺度因子s，其中d1＇采用K个特征点的平均位移计算如公式(15)所示，而尺度度因子s如公式(16)所示，
Figure BDA0004045357680000061
Figure BDA0004045357680000062
本发明的有益效果是：
(1)、首先是将高速旋转的振镜放置在高速相机前，并根据目标的运动规律，再控制镜子使振镜实时对准目标，接着通过镜子的转动改变相机的视角实现对目标的跟踪拍摄，这样就相当于产生一系列虚拟相机对运动目标进行多角度拍摄，有效的实现了该测量方法具有拍摄出大视场高分辨率的目标运动过程功能，这为图像分析提供了条件。
(2)、通过利用背景信息计算运动目标的虚拟视差图，再实现对运动目标特征点的三维重建，接着根据标定数据计算出目标在世界坐标系中的真实三维坐标，从而能计算出目标的位移量，进而能结合相机帧率计算目标的运动速度，有效的实现了该测量方法具有能快速测量运动目标速度的功能，且测量速度较快和效果较好。
(3)、本发明具有对场地要求低、实验设备搭建简单和鲁棒性较高等优点，且在较为简单的条件下依然能以较高的精度测量目标速度，这在环境较为恶劣的武器靶场、工场和球类比赛的场景下测量目标速度奠定了基础，本发明方法在进行位移测量的实验平均相对误差为2.03％，有效的实现了该方法的可行性和精确性，具有方法科学合理、适用性强和效果佳等优点。
附图说明
图1是本发明的转镜式高速相机模型图；
图2是本发明的运动目标投影模型图；
图3是本发明的虚拟对应点像素坐标计算流程图；
图4是本发明的静态实验平台实验图；
图5是本发明的转镜式高速相机平台实验图；
图6是本发明的高速运动目标图像实验结果图；
图7是本发明的目标速度曲线实验结果图。
具体实施方式
下面将结合说明书附图，对本发明作进一步的说明。
本发明的一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法，包括以下步骤，
如图2所示，步骤(A)，选取两帧图像，并通过两张图像计算出运动目标在不同时刻的三维坐标，其中两帧图像分别选取由转镜形成的虚拟相机Oc1和Oc2拍摄而得，且高速运动目标从M1运动到M2，而运动目标上的特征点P由P1运动至P2，同时运动目标在相机Oc1和Oc2上的投影分别为p1和p2。
如图1所示，本发明的转镜式相机模型包括高速振镜、振镜控制系统和高速摄像机。
步骤(B)，将运动目标都位于同一个平面，再构建平面三维点在两个视角下的相机投影点约束，其中平面三维点在两个视角下的相机投影点p(u，v，1)和p'(u＇，v，1)之间满足的约束关系如公式(1)所示，
p＝Hp'(1)
其中，H为单应矩阵，在拍摄运动目标时，目标的表面深度远小于相机距目标的距离，也就是拍摄时相对场景深度远小于其与相机的距离时，视场较小；单应矩阵H约束了同一平面内3D空间点在两个像素平面的2D坐标。
步骤(C)，利用空间中同一平面上的3D点在一台相机上的像素坐标和单应矩阵求出该3D点在另一张图像中唯一对应的像素坐标，其中单应矩阵H如公式(2)所示，
Figure BDA0004045357680000081
其中，K为相机的内参矩阵，R和t分别为虚拟相机间的旋转和平移矩阵，nT为目标所在平面的单位法向量，d为平面到世界坐标系原点的距离。
如图3所示，步骤(D)，基于相机投影点约束，计算目标平面在两台虚拟相机上的投影对应单应矩阵HT，再根据单应矩阵H求出虚拟对应点，其中虚拟对应点p1＇与p2＇的求得具体步骤如下，
步骤(D1)，计算虚拟相机间的旋转和平移矩阵，其中虚拟相机间的旋转矩阵RB和平移矩阵tB具体计算步骤如下，
步骤(D11)，选取图像静态背景上的特征点进行特征匹配，若背景上的特征点不是来自于一个平面，其在相机上的投影点满足如公式(3)和公式(4)所示的关系，
x'TFx＝0(3)
F＝K-Tt×RK-1(4)
其中，x和x'为投影点，F为一个3×3秩为2的矩阵；由于SIFT特征点对于旋转和尺度均具有不变性，并且对于噪声、视角变换和光照变化具有良好的鲁棒性，本发明优先选择SIFT特征点作为匹配点。
步骤(D12)，F的矩阵表达式如公式(5)和公式(6)所示，再在两张虚拟相机拍摄图像的背景上寻找对应点，并利用八组对应点根据公式(6)能求得F，再对F进行分解能得到虚拟相机间的旋转矩阵RB和平移矩阵tB，
Figure BDA0004045357680000091
uu'f11+uv'f12+uf13+vu'f21+vv'f22+vf23+u'f31+v'f32+f33＝0(6)；
其中，F矩阵的求解可以通过直接线性解法；
步骤(D13)，若背景上的特征点来自同一个平面，则三维点在相机上的投影要满足公式(2)，且单应矩阵H如公式(7)和公式(8)所示，
Figure BDA0004045357680000092
Figure BDA0004045357680000093
其中，h9尺度因子可记为1，则H是自由度为8的矩阵，且每一组对应点有两个方程，同时知求解单应矩阵至少需要4组对应点，能求出单应矩阵H；
步骤(D14)，单应矩阵H为3×3的矩阵，并根据Faugeras单应矩阵分解方法进行分解能得到虚拟相机间的旋转矩阵RB和平移矩阵tB；
步骤(D2)，计算目标运动平面的单位法向量和平面到世界坐标系原点的距离，并求解目标投影平面间的单应矩阵，其具体是在图像中选取目标区域进行特征点匹配，并由公式(7)和公式(8)能求解单应矩阵H，再分解单应矩阵能得到目标所在平面的参数单位法向量nT T和平面到世界坐标系原点的距离dT，接着由公式(3)能求得目标平面在两台相机投影平面间的对应单应矩阵HT，如公式(9)所示，
Figure BDA0004045357680000101
步骤(D3)，求得虚拟对应点p1＇与p2＇，具体步骤如下，
步骤(D31)，由公式(2)能求得特征点P在虚拟相机Oc1中的投影点p1以及在虚拟相机Oc2中的虚拟对应点p1＇像素坐标，如公式(10)所示，
p1＇＝HTp1(10)；
步骤(D32)，由公式(2)能求得特征点P在虚拟相机Oc2中的投影点p2以及在虚拟相机Oc1中的虚拟对应点p2＇像素坐标，如公式(11)所示，
p2＇＝HTp2(11)。
步骤(E)，根据求得的虚拟对应点对目标点的三维进行重建，具体步骤如下，
步骤(E1)，设世界坐标系与以Oc1为坐标系原点的相机坐标系重合，则由小孔呈像模型得三维点P到像素点p1(u，v，1)，p2(u＇，v＇，1)的映射关系如公式(12)所示，
Figure BDA0004045357680000102
其中，K为相机的内参矩阵；
步骤(E2)，设K[I 0]＝[m1m2m3]，K[R t]＝[m1'm2'm3']，则公式(12)能变换成如公式(13)所示，
Figure BDA0004045357680000103
其中，由公式(13)能求得空间三维点在两张图像上的对应投影点和相机内外参数矩阵，从而能求得像素点在世界坐标系下的三维坐标，因此可以求得图2中特征点P1和P2的三维坐标。
步骤(F)，基于目标点的三维坐标计算目标的实际位移，完成运动目标的速度测量作业，具体步骤如下，
步骤(F1)，由目标在不同时刻的三维坐标p1(x1，y1，z1)和p2(x2，y2，z2)，再求得两个点之间的距离d，如公式(14)所示，
Figure BDA0004045357680000111
步骤(F2)，根据计算出的目标特征点间距离d1和测量出的目标物特征点间的实际距离d1＇计算尺度因子s，其中d1＇采用K个特征点的平均位移计算如公式(15)所示，而尺度度因子s如公式(16)所示，
Figure BDA0004045357680000112
Figure BDA0004045357680000113
为了更好的阐述本发明的使用效果，下面阐述本发明的一个具体实施例；
如图4所示，将标定板安装在高精度机械臂上平移，每移动一次变换相机角度拍摄一张图片，模拟转镜式相机对目标的拍摄，通过本发明提出的方法测量目标的位移量。平均相对误差为2.03％，实验结果如表1所示，
表1
Figure BDA0004045357680000114
Figure BDA0004045357680000121
如图5所示，在实验室搭建转镜式高速相机平台，并利用该平台拍摄模拟高速运动目标。实验图像如图6所示，图6中黑色点和白色点分别表示目标上的特征点在相机上的真实投影以及计算出的虚拟投影。
测速时选取相邻两帧图片为一组进行分析，选取12组相邻两帧共24张图片进行分析，计算目标的位移，结合每组图像之间相机的帧率计算目标的运动速度并绘制跟踪范围内目标的速度变换曲线，曲线如图7所示。
综上所述，本发明的一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法，通过利用背景信息计算运动目标的虚拟视差图，再实现对运动目标特征点的三维重建，接着根据标定数据计算出目标在世界坐标系中的真实三维坐标，从而能计算出目标的位移量，进而能结合相机帧率计算目标的运动速度，有效的实现了该测量方法具有能快速测量运动目标速度的功能，且测量速度较快和效果较好；本发明具有对场地要求低、实验设备搭建简单和鲁棒性较高等优点，且在较为简单的条件下依然能以较高的精度测量目标速度，这在环境较为恶劣的武器靶场、工场和球类比赛的场景下测量目标速度奠定了基础，本发明方法在进行位移测量的实验平均相对误差为2.03％，有效的实现了该方法的可行性和精确性。
以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征及优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (7)

1.一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法，其特征在于：包括以下步骤，
步骤(A)，选取两帧图像，并通过两张图像计算出运动目标在不同时刻的三维坐标；
步骤(B)，将运动目标都位于同一个平面，再构建平面三维点在两个视角下的相机投影点约束；
步骤(C)，利用空间中同一平面上的3D点在一台相机上的像素坐标和单应矩阵H求出该3D点在另一张图像中唯一对应的像素坐标；
步骤(D)，基于相机投影点约束，计算目标平面在两台虚拟相机上的投影对应单应矩阵HT，再根据单应矩阵H求出虚拟对应点；
步骤(E)，根据求得的虚拟对应点对目标点的三维进行重建；
步骤(F)，基于目标点的三维坐标计算目标的实际位移，完成运动目标的速度测量作业。
2.根据权利要求1所述的一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法，其特征在于：步骤(A)，选取两帧图像，并通过两张图像计算出运动目标在不同时刻的三维坐标，其中两帧图像分别选取由转镜形成的虚拟相机Oc1和Oc2拍摄而得，且高速运动目标从M1运动到M2，而运动目标上的特征点P由P1运动至P2，同时运动目标在相机Oc1和Oc2上的投影分别为p1和p2。
3.根据权利要求1所述的一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法，其特征在于：步骤(B)，将运动目标都位于同一个平面，再构建平面三维点在两个视角下的相机投影点约束，其中平面三维点在两个视角下的相机投影点p(u，v，1)和p'(u＇，v，1)之间满足的约束关系如公式(1)所示，
p＝Hp'(1)
其中，H为单应矩阵。
4.根据权利要求3所述的一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法，其特征在于：步骤(C)，利用空间中同一平面上的3D点在一台相机上的像素坐标和单应矩阵求出该3D点在另一张图像中唯一对应的像素坐标，其中单应矩阵H如公式(2)所示，
Figure FDA0004045357670000021
其中，K为相机的内参矩阵，R和t分别为虚拟相机间的旋转和平移矩阵，nT为目标所在平面的单位法向量，d为平面到世界坐标系原点的距离。
5.根据权利要求4所述的一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法，其特征在于：步骤(D)，基于相机投影点约束，计算目标平面在两台虚拟相机上的投影对应单应矩阵HT，再根据单应矩阵H求出虚拟对应点，其中虚拟对应点p1＇与p2＇的求得具体步骤如下，
步骤(D1)，计算虚拟相机间的旋转和平移矩阵，其中虚拟相机间的旋转矩阵RB和平移矩阵tB具体计算步骤如下，
步骤(D11)，选取图像静态背景上的特征点进行特征匹配，若背景上的特征点不是来自于一个平面，其在相机上的投影点满足如公式(3)和公式(4)所示的关系，
x'TFx＝0(3)
F＝K-Tt×RK-1(4)
其中，x和x'为投影点，F为一个3×3秩为2的矩阵；
步骤(D12)，F的矩阵表达式如公式(5)和公式(6)所示，再在两张虚拟相机拍摄图像的背景上寻找对应点，并利用八组对应点根据公式(6)能求得F，再对F进行分解能得到虚拟相机间的旋转矩阵RB和平移矩阵tB，
Figure FDA0004045357670000031
uu'f11+uv'f12+uf13+vu'f21+vv'f22+vf23+u'f31+v'f32+f33＝0(6)；
步骤(D13)，若背景上的特征点来自同一个平面，则三维点在相机上的投影要满足公式(2)，且单应矩阵H如公式(7)和公式(8)所示，
Figure FDA0004045357670000032
Figure FDA0004045357670000033
步骤(D14)，单应矩阵H为3×3的矩阵，并根据Faugeras单应矩阵分解方法进行分解能得到虚拟相机间的旋转矩阵RB和平移矩阵tB；
步骤(D2)，计算目标运动平面的单位法向量和平面到世界坐标系原点的距离，并求解目标投影平面间的单应矩阵，其具体是在图像中选取目标区域进行特征点匹配，并由公式(7)和公式(8)能求解单应矩阵H，再分解单应矩阵能得到目标所在平面的参数单位法向量nT T和平面到世界坐标系原点的距离dT，接着由公式(3)能求得目标平面在两台相机投影平面间的对应单应矩阵HT，如公式(9)所示，
Figure FDA0004045357670000034
步骤(D3)，求得虚拟对应点p1＇与p2＇，具体步骤如下，
步骤(D31)，由公式(2)能求得特征点P在虚拟相机Oc1中的投影点p1以及在虚拟相机Oc2中的虚拟对应点p1＇像素坐标，如公式(10)所示，
p1＇＝HTp1(10)；
步骤(D32)，由公式(2)能求得特征点P在虚拟相机Oc2中的投影点p2以及在虚拟相机Oc1中的虚拟对应点p2＇像素坐标，如公式(11)所示，
p2＇＝HTp2(11)。
6.根据权利要求5所述的一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法，其特征在于：步骤(E)，根据求得的虚拟对应点对目标点的三维进行重建，具体步骤如下，
步骤(E1)，设世界坐标系与以Oc1为坐标系原点的相机坐标系重合，则由小孔呈像模型得三维点P到像素点p1(u，v，1)，p2(u＇，v＇，1)的映射关系如公式(12)所示，
Figure FDA0004045357670000041
其中，K为相机的内参矩阵；
步骤(E2)，设K[I 0]＝[m1m2m3]，K[R t]＝[m1'm2'm3']，则公式(12)能变换成如公式(13)所示，
Figure FDA0004045357670000042
7.根据权利要求6所述的一种基于转镜式高速相机的运动目标速度测量方法，其特征在于：步骤(F)，基于目标点的三维坐标计算目标的实际位移，完成运动目标的速度测量作业，具体步骤如下，
步骤(F1)，由目标在不同时刻的三维坐标p1(x1，y1，z1)和p2(x2，y2，z2)，再求得两个点之间的距离d，如公式(14)所示，
Figure FDA0004045357670000051
步骤(F2)，根据计算出的目标特征点间距离d1和测量出的目标物特征点间的实际距离d1＇计算尺度因子s，其中d1＇采用K个特征点的平均位移计算如公式(15)所示，而尺度度因子s如公式(16)所示，
Figure FDA0004045357670000052
Figure FDA0004045357670000053
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