CN116015967B - 基于改进鲸鱼算法优化delm的工业互联网入侵检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于改进鲸鱼算法优化DELM的工业互联网入侵检测方法，属于工业物联网安全技术领域，包括以下步骤：S1：获取并预处理工业互联网入侵检测的样本数据，拆分训练集和测试集；S2：构建DELM分类模型，并初始化模型参数；S3：利用反向学习机制优化鲸鱼算法WOA的初始化方法，引入非线性曲线来更新线性收敛因子，形成改进的鲸鱼优化算法IWOA；S4：将DELM的实际输出结果与期望输出结果的误差作为IWOA的适应度函数，通过改进的鲸鱼优化算法迭代寻优获得深度极限学习机最优的权值和阈值；S5：构建IWOA‑DELM分类模型，用测试集数据对模型进行测试，得到分类结果。

Description

基于改进鲸鱼算法优化DELM的工业互联网入侵检测方法

技术领域

本发明属于工业物联网安全技术领域，涉及一种基于改进鲸鱼算法优化DELM的工业互联网入侵检测方法。

背景技术

工业互联网是以网络为基础，平台为中枢，数据为要素的新一代互联网通信技术与人工智能工业经济深度融合的应用模式，在工业生产中实现万物互联，人机交互，环境感知和智能分析等。随着工业互联网的发展及应用，在工业生产效率提高的同时，工业互联网安全也面临着严峻的挑战，高风险攻击给工业互联网安全带来了巨大的隐患，如何有效检测和防御恶意攻击是亟待解决的问题。入侵检测是一种预防网络攻击的有效手段，入侵检测通对数据进行分析处理，来判断系统中是否存在恶意流量，并生成警报信息。

近年来，深度学习在分类领域取得了不错效果，传统的深度学习算法由多隐层的神经网络组成，所有隐含层参数都需要通过多次反向传播进行微调，这对模型的学习训练速度造成了很大影响。深度极限学习机(Deep Extreme Learning Machine,DELM)由多层ELM-AE及ELM组成，由于其隐层的输入参数是在给定范围内随机生成的，不需要经过训练来反复调整，因此DELM具有学习速度快、计算效率高的优点，然而初始参数随机性较大导致算法易陷入局部最优，因此，本发明通过改进的鲸鱼算法(IWOA)对深度极限学习机隐含层的输入权值和阈值进行优化，利用DELM对工业互联网数据集进行分类，以降低入侵检测中模型检测的误报率，提高对攻击类数据识别的准确率。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种使用DELM模型提高入侵检测的准确率，并对DELM的权值及阈值进行优化，提供一种基于改进鲸鱼算法优化DELM的入侵检测方法。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种基于改进鲸鱼算法优化DELM的工业互联网入侵检测方法，包括以下步骤：

S1：获取并预处理工业互联网入侵检测的样本数据，拆分训练集和测试集；

S2：构建DELM分类模型，并初始化模型参数；

S3：利用反向学习机制优化鲸鱼算法WOA的初始化方法，引入非线性曲线来更新线性收敛因子，形成改进的鲸鱼优化算法IWOA；

S4：将DELM的实际输出结果与期望输出结果的误差作为IWOA的适应度函数，通过改进的鲸鱼优化算法迭代寻优获得深度极限学习机最优的权值和阈值；

S5：构建IWOA-DELM分类模型，用测试集数据对模型进行测试，得到分类结果。

进一步，步骤S1中所述预处理包括数值清洗、数值化和归一化；

所述数据清洗包括对缺失值或格式内容有错误的数据进行修改去除，删除无效数据，以及对数据的一致性进行检验；

所述数值化包括使用One-hot将数据集中存在的非数值特征转换为连续特征；

所述归一化为使用Min-Max方法将数据归一化到[0,1]区间，公式为：

进一步，DELM分类模型的每个隐含层由一个ELM-AE训练，ELM-AE的输入输出相同，通过输入数据X计算得到隐含层的输出权值矩阵β₁，然后将训练得到的作为DELM模型的第一个隐层的输入权值，求得输出矩阵h₁，再将h₁输入下一个ELM-AE进行训练，以此类推，通过逐层训练提取特征，最后一层使用ELM进行分类。

进一步，ELM-AE由输入层、隐含层、输出层组成，隐含层输出矩阵计算方式如下：

h＝g(a^Tx+b) (2)

式中a、b分别为正交化的隐含层输入权值及阈值，且满足a^Ta＝1，b^Tb＝1；g为sigmoid激活函数；ELM-AE的输出等于输入，可得：

X＝Hβ (3)

引入正则化项，目标函数为：

当输入节点大于或小于隐含层节点数目时，实现对数据的高维或低维特征映射，计算得到ELM-AE的输出权值矩阵：

式中，H＝[h₁,…,h_N]为经过非线性激活函数变换得到的隐层输出矩阵，C是一个正则化系数。

进一步，步骤S3具体包括以下步骤：

S31：针对鲸鱼算法随机化的初始化方法，采用反向学习机制对随机初始化种群进行有先验的重构，将当前种群按适应度进行排序，并将适应度靠前的一半种群组成精英个体，构造其反向种群，再将原种群与反向种群进行合并得到新种群，最后选取适应度最优的前N个鲸鱼个体组成新的种群；假设{x_i,j},i＝1,2,…,N；j＝1,2,…,D为搜索维度为D的空间中的一组精英个体，N为鲸鱼种群的规模，鲸鱼种群N代表N个可行解，则其反向学习种群为：

x'_i,j＝λ(x_min,j+x_max,j-x_i,j) (6)

其中λ为反向学习因子，是区间[0,2]上的随机数；x_min,j和x_max,j分别为精英种群中距离最优解最近和最远的个体；

S32：引入非线性曲线来更新收敛因子具体表达式为：

其中，t为当前迭代次数，T_max为设定的最大迭代次数，β＝1,β为非线性收敛系数；随迭代次数的增加，/>呈非线性递减，即衰减速度由慢到快，在迭代初期，鲸鱼以大步长游走，游动较快，进行全局搜索最优解，迭代后期，鲸鱼以小步长游走，游动较慢，在局部精细搜索。

进一步，步骤S31的具体步骤如下：

S311：对种群x随机初始化，将当前种群按适应度进行排序，并将适应度靠前的一半种群组成精英个体

S312：构造精英种群的反向种群x′；

S313：将原随机初始化的种群x和反向种群x′合并得到新种群，将适应度靠前的前N个体组成新的初始种群。

进一步，步骤S4中，IWOA对DELM的隐含层权值和阈值优化的步骤如下：

S41：初始化算法参数，包括鲸鱼的种群数量N,搜索空间维度D,并确定最大迭代次数T；

S42：利用反向学习初始化鲸鱼种群{X_i,i＝1,2,…,n}，并对初始值进行编码，使鲸鱼个体位置X(t)与DELM的隐含层输入权值和阈值对应，其表示如下：

X(t)＝{a₁₁,a₁₂,…,a_1M,…,a_L1,a_L2,…a_LM,b₁,b₂,…,b_L}

S43：确定适应度函数，将DELM的实际输出结果与期望输出结果的误差作为IWOA的适应度函数来评价算法的性能，适应度函数的表达式为：

式中，y_i为实际输出结果，y'_i为预测输出结果，M为神经元个数；

S44：对IWOA算法传入的参数进行解码，得到对应的隐含层权值和阈值，构建DELM分类模型，并用训练集对模型进行训练，计算适应度值，将当前种群个体按适应度排序，更新当前最优解，即适应度最优个体位置X^*；

S45：根据式(3)中的非线性曲线公式计算收敛因子a，并更新控制鲸鱼走位的系数向量A、C、及参数l和概率p,其中公式为：

其中，为[0,1]间的随机向量，l为[-1,1]间的随机数，p为[0,1]间的随机数；

S46：根据概率p和系数对鲸鱼个体位置进行更新；

当p<0.5，且此时种群中鲸鱼个体的位置更新规则为：

其中，t为当前迭代次数，向量表示鲸鱼个体的位置，/>向量表示当前最优解的位置，/>向量是鲸鱼个体与猎物之间的距离；

当p>0.5，且此时种群中鲸鱼个体的位置更新规则为：

其中，rand是指从种群中随机选取的鲸鱼个体；

当p≥0.5，此时种群中鲸鱼个体的位置更新规则为：

其中，b为定义对数螺旋形状的一个常数，鲸鱼种群以螺旋搜索的形式更新位置；l为[-1,1]间的随机数；

S47：判断算法是否达到设定的最大迭代次数，若未达到，算法转至步骤S44，继续进行迭代，否则输出鲸鱼最优个体位置X^*与适应度

S48：输出最优个体X^*与当前适应度值，输出得到的DELM最优隐含层输入权值和阈值。

本发明的有益效果在于：本发明使用DELM作为工业互联网入侵检测的分类模型，DELM相较于传统神经网络具有训练速度快，学习能力强的特点，其中ELM-AE模块通过将输入复制到输出，可以学习到更为有用的特征，改进的鲸鱼算法具有收敛速度快，全局寻优能力强以及参数量少的优点，通过改进的鲸鱼算法对DELM模型的输入权值和阈值进行优化，得到的IWOA-DELM模型相较于DELM模型，提高了入侵检测的准确率。

本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作优选的详细描述，其中：

图1ELM-AE结构图；

图2改进的鲸鱼优化算法流程图；

图3线性收敛因子与非线性因子取值对比图；

图4基于IWOA-DELM的入侵检测分类模型。

具体实施方式

以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。

其中，附图仅用于示例性说明，表示的仅是示意图，而非实物图，不能理解为对本发明的限制；为了更好地说明本发明的实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；对本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。

本发明实施例的附图中相同或相似的标号对应相同或相似的部件；在本发明的描述中，需要理解的是，若有术语“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此附图中描述位置关系的用语仅用于示例性说明，不能理解为对本发明的限制，对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。

请参阅图1～图4，为一种基于改进鲸鱼算法优化DELM的工业互联网入侵检测方法，包括以下步骤：

(1)获取工业互联网入侵检测的样本数据，针对数据集的特点对数据集进行预处理操作，将预处理后的数据按随机选取的方式选取70％作为训练集，其余30％作为测试集。

预处理采用的方法有包括数值清洗、数值化和归一化。其中数据清洗：包括对缺失值或格式内容有错误的数据进行修改去除，删除无效数据，以及对数据的一致性进行检验。数值化：对于数据集中存在的非数值特征，如离散型或者字符串等，需要对其进行数值化处理，以提高模型的训练效率和训练精度，使用One-hot使其转换为连续特征。归一化：数据集中，每个流量特征可能具有不同的量纲关系，为了避免特征与特征之间的差异较大影响分类结果，提高模型的收敛速度，将数据归一化到[0,1]区间，使用Min-Max方法，公式为：

(2)构建DELM分类模型，并初始化模型参数。

DELM的结构由两部分组成：通过多个无监督的ELM-AE逐层训练，进行特征优化提取，提取更加有用的特征，最后通过有监督的ELM对特征进行分类。DELM每个隐含层由一个ELM-AE训练，ELM-AE模块的输入输出相同，通过输入数据X可计算得到隐含层的输出权值矩阵β₁，然后将训练得到的作为DELM模型的第一个隐层的输入权值，求得输出矩阵h₁，再将h₁输入下一个ELM-AE模块进行训练，以此类推，通过逐层训练提取特征，最后一层使用ELM进行分类。

其中，ELM-AE由输入层、隐含层、输出层三部分组成，隐含层输出矩阵计算方式如下：

h＝g(a^Tx+b) (2)

式中a、b分别为正交化的隐含层输入权值及阈值，且满足a^Ta＝1，b^Tb＝1,g为激活函数，使用sigmoid激活函数。ELM-AE的输出等于输入，可得：

X＝Hβ (3)

通过在原有模型上引入正则化项，使得模型的泛化性能获得提升，同时避免过拟合问题，目标函数为：

当输入节点大于或小于隐含层节点数目时，实现对数据的高维或低维特征映射，可计算得到ELM-AE的输出权值矩阵：

式中，H＝[h₁,…,h_N]为经过非线性激活函数变换得到的隐层输出矩阵，C是一个正则化系数。

(3)对WOA算法进行改进以提高算法的性能，包括利用反向学习优化WOA算法的初始化方法，同时引入非线性曲线来更新线性收敛因子以提升算法的搜索精度和收敛速度，平衡算法寻优的搜索性能。

①针对鲸鱼算法随机化的初始化方法，先验的随机初始化种群容易存在多样性差的问题，易使算法过早的进入局部探索，导致算法陷入局部最优，全局性差，以及收敛性能差的问题。因此，通过采用反向学习机制对随机初始化种群进行有先验的重构，将当前种群按适应度进行排序，并将适应度靠前的一半种群组成精英个体，构造其反向种群，再将原种群与反向种群进行合并得到新种群，最后选取适应度最优的前N个鲸鱼个体组成新的种群，从而提升种群的多样性和种群质量。

假设{x_i,j},i＝1,2,…,N；j＝1,2,…,D为搜索维度为D的空间中的一组精英个体(其中N为鲸鱼种群的规模)，鲸鱼种群N代表N个可行解，则其反向学习种群为：

x'_i,j＝λ(x_min,j+x_max,j-x_i,j) (6)

其中：λ为反向学习因子，是区间[0,2]上的随机数；x_min,j和x_max,j分别为精英种群中距离最优解最近和最远的个体。

基本步骤如下：

1)对种群x随机初始化，将当前种群按适应度进行排序，并将适应度靠前的一半种群组

成精英个体

2)构造精英种群的反向种群x′；

3)将原随机初始化的种群x和反向种群x′合并得到新种群，将适应度靠前的前N个体组成新的初始种群。

②引入非线性曲线来更新收敛因子，从而更好地平衡算法的全局和局部搜索性能。具体如下：

在原始WOA算法中，鲸鱼的游走方式控制系数决定了全局搜索和局部开发之间的协调能力，当系数/>时，种群个体会进行全局游走搜索最优解，当系数/>时，种群将缩小搜索范围，以小步长游走，在局部精细搜索。系数/>由/>决定，/>是在2到0之间线性递减的，而鲸鱼的智能搜索过程可视为复杂的非线性行为。因此，引入非线性曲线来更新收敛因子/>具体表达式为：

其中，β＝1,β为非线性收敛系数。随迭代次数的增加，/>呈非线性递减，即衰减速度由慢到快，在迭代初期，鲸鱼以大步长游走，游动较快，进行全局搜索最优解，迭代后期，鲸鱼以小步长游走，游动较慢，在局部精细搜索，从而更好地平衡算法的全局和局部搜索性能。

(4)将DELM的实际输出结果与期望输出结果的误差作为IWOA的适应度函数，通过改进的鲸鱼优化算法迭代寻优获得深度极限学习机最优的权值和阈值。

IWOA对DELM的隐含层权值和阈值优化的步骤如下：

步骤1：初始化算法参数，包括鲸鱼的种群数量N,搜索空间维度D,并确定最大迭代次数T；

步骤2：利用反向学习初始化鲸鱼种群{X_i,i＝1,2,…,n}，并对初始值进行编码，使鲸鱼个体位置X(t)与DELM的隐含层输入权值和阈值对应，其表示如下：

X(t)＝{a₁₁,a₁₂,…,a_1M,…,a_L1,a_L2,…a_LM,b₁,b₂,…,b_L}

步骤3：确定适应度函数，将DELM的实际输出结果与期望输出结果的误差作为IWOA的适应度函数来评价算法的性能，适应度函数的表达式为：

式中，y_i为实际输出结果，y′_i为预测输出结果，M为神经元个数。

步骤4：对鲸鱼算法传入的参数进行解码，得到对应的隐含层权值和阈值，构建DELM分类模型，并用训练集对模型进行训练，计算适应度值，将当前种群个体按适应度排序，更新当前最优解，即适应度最优个体位置X^*；

步骤5：根据(3)中的非线性曲线公式计算收敛因子a，并更新控制鲸鱼走位的系数向量A、C、及参数l和概率p,其中公式为：

其中，为[0,1]间的随机向量，l为[-1,1]间的随机数，p为[0,1]间的随机数。

步骤6：根据概率p和系数对鲸鱼个体位置进行更新。

当p<0.5，且此时种群中鲸鱼个体的位置更新规则为：

其中，t为当前迭代次数，向量表示鲸鱼个体的位置，/>向量表示当前最优解的位置，/>向量是鲸鱼个体与猎物之间的距离；

当p>0.5，且此时种群中鲸鱼个体的位置更新规则为：

其中，rand是指从种群中随机选取的鲸鱼个体；

当p≥0.5，此时种群中鲸鱼个体的位置更新规则为：

其中，b为定义对数螺旋形状的一个常数，鲸鱼种群以螺旋搜索的形式更新位置；l为[-1,1]间的随机数；

步骤7：判断算法是否达到设定的最大迭代次数，若未达到，算法转至步骤4，继续进行迭代，否则输出鲸鱼最优个体位置X^*与适应度

步骤8：输出最优个体X^*与当前适应度值，输出得到的DELM最优隐含层输入权值和阈值。

(5)构建IWOA-DELM分类模型，用测试集数据对模型进行测试，得到分类结果。

利用改进的鲸鱼优化算法得到的最优权值和阈值对DELM模型进行参数更新，将测试集数据作为IWOA-DELM模型的输入，得到分类结果。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (4)

1.一种基于改进鲸鱼算法优化DELM的工业互联网入侵检测方法，其特征在于：包括以下步骤：

S1：获取并预处理工业互联网入侵检测的样本数据，拆分训练集和测试集；

S2：构建DELM分类模型，并初始化模型参数；

S3：利用反向学习机制优化鲸鱼算法WOA的初始化方法，引入非线性曲线来更新线性收敛因子，形成改进的鲸鱼优化算法IWOA；

S4：将DELM的实际输出结果与期望输出结果的误差作为IWOA的适应度函数，通过改进的鲸鱼优化算法迭代寻优获得深度极限学习机最优的权值和阈值；

S5：构建IWOA-DELM分类模型，用测试集数据对模型进行测试，得到分类结果；

步骤S3具体包括以下步骤：

S31：针对鲸鱼算法随机化的初始化方法，采用反向学习机制对随机初始化种群进行有先验的重构，将当前种群按适应度进行排序，并将适应度靠前的一半种群组成精英个体，构造其反向种群，再将原种群与反向种群进行合并得到新种群，最后选取适应度最优的前N个鲸鱼个体组成新的种群；假设{x_i，j}，i＝1，2，…，N；j＝1，2，…，D为搜索维度为D的空间中的一组精英个体，N为鲸鱼种群的规模，鲸鱼种群N代表N个可行解，则其反向学习种群为：

x′_i,j＝λ(x_min,j+x_max,j-x_i,j) (1)

其中λ为反向学习因子，是区间[0,2]上的随机数；x_min，j和x_max，j分别为精英种群中距离最优解最近和最远的个体；

S32：引入非线性曲线来更新收敛因子具体表达式为：

其中，t为当前迭代次数，T_max为设定的最大迭代次数，β＝1，β为非线性收敛系数；随迭代次数的增加，/>呈非线性递减，即衰减速度由慢到快，在迭代初期，鲸鱼以大步长游走，游动较快，进行全局搜索最优解，迭代后期，鲸鱼以小步长游走，游动较慢，在局部精细搜索；

步骤S31的具体步骤如下：

S311：对种群x随机初始化，将当前种群按适应度进行排序，并将适应度靠前的一半种群组成精英个体

S312：构造精英种群的反向种群x′；

S313：将原随机初始化的种群x和反向种群x′合并得到新种群，将适应度靠前的前N个体组成新的初始种群；

步骤S4中，IWOA对DELM的隐含层权值和阈值优化的步骤如下：

S41：初始化算法参数，包括鲸鱼的种群数量N,搜索空间维度D,并确定最大迭代次数T；

S42：利用反向学习初始化鲸鱼种群{X_i，i＝1，2，…，n}，并对初始值进行编码，使鲸鱼个体位置X(t)与DELM的隐含层输入权值和阈值对应，其表示如下：

X(t)＝{a₁₁，a₁₂，…，a_1M，…，a_L1，a_L2，…a_LM，b₁，b₂，…，b_L}

S43：确定适应度函数，将DELM的实际输出结果与期望输出结果的误差作为IWOA的适应度函数来评价算法的性能，适应度函数的表达式为：

式中，y_i为实际输出结果，y′_i为预测输出结果，M为神经元个数；

S44：对IWOA算法传入的参数进行解码，得到对应的隐含层权值和阈值，构建DELM分类模型，并用训练集对模型进行训练，计算适应度值，将当前种群个体按适应度排序，更新当前最优解，即适应度最优个体位置X^*；

S45：根据非线性曲线公式计算收敛因子a：

X＝Hβ (4)

并更新控制鲸鱼走位的系数向量A、C、及参数l和概率p，公式为：

其中，为[0,1]间的随机向量，l为[-1,1]间的随机数，p为[0,1]间的随机数；

S46：根据概率p和系数对鲸鱼个体位置进行更新；

当p<0.5，且此时种群中鲸鱼个体的位置更新规则为：

其中，t为当前迭代次数，向量表示鲸鱼个体的位置，/>向量表示当前最优解的位置，向量是鲸鱼个体与猎物之间的距离；

当p>0.5，且此时种群中鲸鱼个体的位置更新规则为：

其中，rand是指从种群中随机选取的鲸鱼个体；

当p≥0.5，此时种群中鲸鱼个体的位置更新规则为：

其中，b为定义对数螺旋形状的一个常数，鲸鱼种群以螺旋搜索的形式更新位置；l为[-1,1]间的随机数；

S47：判断算法是否达到设定的最大迭代次数，若未达到，算法转至步骤S44，继续进行迭代，否则输出鲸鱼最优个体位置X^*与适应度

S48：输出最优个体X^*与当前适应度值，输出得到的DELM最优隐含层输入权值和阈值。

2.根据权利要求1所述的基于改进鲸鱼算法优化DELM的工业互联网入侵检测方法，其特征在于：步骤S1中所述预处理包括数值清洗、数值化和归一化；

所述数据清洗包括对缺失值或格式内容有错误的数据进行修改去除，删除无效数据，以及对数据的一致性进行检验；

所述数值化包括使用One-hot将数据集中存在的非数值特征转换为连续特征；

所述归一化为使用Min-Max方法将数据归一化到[0,1]区间，公式为：

3.根据权利要求1所述的基于改进鲸鱼算法优化DELM的工业互联网入侵检测方法，其特征在于：DELM分类模型的每个隐含层由一个ELM-AE训练，ELM-AE的输入输出相同，通过输入数据X计算得到隐含层的输出权值矩阵β₁，然后将训练得到的作为DELM模型的第一个隐层的输入权值，求得输出矩阵h₁，再将h₁输入下一个ELM-AE进行训练，以此类推，通过逐层训练提取特征，最后一层使用ELM进行分类。

4.根据权利要求3所述的基于改进鲸鱼算法优化DELM的工业互联网入侵检测方法，其特征在于：ELM-AE由输入层、隐含层、输出层组成，隐含层输出矩阵计算方式如下：

h＝g(a^Tx+b) (11)

式中a、b分别为正交化的隐含层输入权值及阈值，且满足a^Ta＝1，b^Tb＝1；g为sigmoid激活函数；ELM-AE的输出等于输入，可得：

X＝Hβ (12)

引入正则化项，目标函数为：

当输入节点大于或小于隐含层节点数目时，实现对数据的高维或低维特征映射，计算得到ELM-AE的输出权值矩阵：

式中，H＝[h₁，…，h_N]为经过非线性激活函数变换得到的隐层输出矩阵，C是一个正则化系数。