CN115935770A - 针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法，通过构建全连接神经网络预测各能群中子角通量密度，接着基于加扰低差异序列在空间位置和飞行方向上进行采样形成相应的配点数据集，然后结合最小二乘法和优化算法对构建的全连接神经网络进行混合分步式训练充分降低中子输运平均损失函数和边界平均损失函数，最终使全连接神经网络可以准确预测核反应堆屏蔽中任意空间位置和飞行方向的各能群中子角通量密度。本发明方法相比传统中子输运计算方法，具有不依赖网格、复杂几何适应性强等优点，计算结果的硬件存储大小也仅与神经网络规模相关，可拓展应用于精细化屏蔽计算、屏蔽智能优化设计及可视化等场景。

Description

针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法

技术领域

本发明属于核反应堆工程技术领域，具体涉及一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法。

背景技术

屏蔽设计是核反应堆设计中重要的一大环节，其核心是获得核反应堆屏蔽中各能群中子角通量密度的分布，但由于核反应堆屏蔽里中子各向异性严重，必须进行中子输运计算。针对核反应堆屏蔽中子输运计算，目前经典方法可分为概率论方法和确定论方法两类。

概率论方法，即蒙特卡罗方法，不需要对变量进行离散且复杂几何适应性强，理论上能够精确进行连续能量中子输运计算，但由于屏蔽计算中容易出现“深穿透”问题，再加上如果需要获取精细的统计结果，需要海量的粒子进行模拟来降低统计方差，导致计算效率严重低下。

确定论方法，常对能量变量采用多群近似，对角度变量常采用离散纵标法或者球谐函数展开法，对空间变量则进行网格离散，其求解速度虽然比概率论方法快，但是高度依赖网格，复杂几何适应性差，而且屏蔽输运计算的结果以离散网格节点表示，如果精细化计算则网格量巨大，导致结果存储占用巨大。此外，其在空间变量离散时常采用差商近似微分的数值梯度形式，导致计算时还有一定的精度损失。

发明内容

为解决上述问题，本发明提供了一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法，此方法通过构建全连接神经网络预测核反应堆屏蔽中各位置处的各能群中子角通量密度，在空间位置以及飞行方向上使用加扰低差异序列进行配点采样，然后结合最小二乘法和优化算法对全连接神经网络进行训练，最小化基于物理信息的中子输运平均损失函数和边界平均损失函数，使训练完成后的全连接神经网络能够准确预测核反应堆屏蔽中任意空间位置和飞行方向上各能群中子角通量密度。此方法不依赖于网格，复杂几何适应性强，而且采用基于链式法则原理的反向自动微分可精确获得各能群中子角通量密度的梯度，最后计算结果的硬件存储占用也仅与全连接神经网络规模相关，实现了计算结果的压缩表示。

为了实现上述目的，本发明采用了以下技术方案予以实施：

一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法，包括如下步骤：

步骤1：构建一个具有输入层、输出层和多层隐藏层的全连接神经网络预测核反应堆屏蔽中的各能群中子角通量密度并采用Xavier初始化方法初始化所构建的全连接神经网络所有层的权重和偏置；

步骤2：读取核反应堆屏蔽的几何信息、材料信息和外中子源信息：

(a)几何信息包括描述核反应堆屏蔽的最终几何体的几何参数和边界参数、基本几何体的几何参数和边界参数以及基本几何体的组合方式；

(b)材料信息包括核反应堆屏蔽材料的空间分布、各个能群下相应空间位置材料的总截面和散射截面；

(c)外中子源信息包括各能群外中子源的空间分布和角度分布；

步骤3：根据步骤2读取的几何信息，使用低差异序列在最终几何体的内部空间位置与中子飞行方向上随机均匀采样N_Γ个内部配点，在最终几何体的边界空间位置与中子飞行方向上随机均匀采样N_B个边界配点，再结合步骤2读取的材料信息和外中子源信息，根据每个内部配点对应的中子空间位置和中子飞行方向，判断并存储N_Γ个内部配点对应的材料信息和外中子源信息，由此生成内部配点数据集S_Γ；根据每个边界配点对应的中子空间位置，判断并存储N_B个边界配点对应的边界外法向量信息和边界条件信息，由此生成边界配点数据集

步骤4：将步骤3获得的内部配点数据集中每个内部配点对应的中子空间位置和中子飞行方向输入到步骤1构建的全连接神经网络中，输出得到核反应堆屏蔽内每个内部配点对应的各能群中子角通量密度。然后计算得到核反应堆屏蔽的中子输运平均损失函数loss_Γ：

消失算子L作用在φ_g(r,Ω)上的具体形式定义为：

式(2)中等号右边从左至右，三个物理项依次为泄漏项、移出项和散射项。

r—中子空间位置；

r_i—内部配点数据集S_Γ中第i个内部配点对应的中子空间位置；

Ω—中子飞行方向；

Ω′—物理过程使中子状态发生变化前的中子飞行方向；

Ω_i—内部配点数据集S_Γ中第i个内部配点对应的中子飞行方向；

g—中子能群编号；

g′—物理过程使中子状态发生变化前的中子能群编号；

φ_g(r,Ω)—中子空间位置r处沿Ω方向飞行的第g能群中子角通量密度；

φ_g′(r,Ω′)—物理过程使中子状态发生变化前的中子空间位置r处沿Ω′方向飞行的第g′能群中子角通量密度；

φ_g(r_i,Ω_i)—内部配点数据集S_Γ中第i个内部配点对应的中子空间位置r_i处沿Ω_i方向飞行的第g能群中子角通量密度；

G—中子能群的总数；

Σ_t,g(r)—中子空间位置r处材料的第g能群的总截面；

Σ_s,g′→g(r,Ω′→Ω)—中子空间位置r处材料使沿Ω′方向飞行的第g′能群中子散射至飞行方向为Ω、能量处于第g能群的状态的散射截面；

Q_g(r_i,Ω_i)—内部配点数据集S_Γ中第i个内部配点对应的中子空间位置r_i处发射飞行方向为Ω_i、能量处于第g能群状态的外中子源；

步骤5：将步骤3获得的边界配点数据集

中每个边界配点对应的中子空间位置和中子飞行方向信息输入到步骤1构建的全连接神经网络中，输出得到核反应堆屏蔽边界上每个边界配点对应的各能群中子角通量密度；并根据每个边界配点对应的边界外法向量信息和边界条件信息，计算得到核反应堆屏蔽的边界平均损失函数loss_B；

步骤6：固定步骤1构建的全连接神经网络中输入层和多层隐藏层的权重和偏置不变，使用最小二乘法获得使步骤5构建的边界平均损失函数loss_B的值最小时全连接神经网络输出层的权重和偏置大小，并对原输出层的权重和偏置进行相应更新；

步骤7：固定步骤6基于最小二乘法获得并更新后的全连接神经网络输出层的权重和偏置大小不变，采用优化算法更新调整全连接神经网络的输入层和多层隐藏层的权重和偏置，使得步骤4构建的中子输运平均损失函数loss_Γ与步骤5构建的边界平均损失函数loss_B之和最小化；

步骤8：在进行基于神经网络的中子输运计算时，先执行步骤3之后重复执行N_grad次步骤4至步骤7为输运计算的一大步，反复执行若干次大步输运计算，直至相邻输运计算大步的全连接神经网络在内部配点数据集和边界配点数据集上，以每个配点对应的中子空间位置和中子飞行方向作为输入，输出得到的各能群中子角通量密度的L₂范数相对误差小于10^-3，则全连接神经网络训练完成且整个基于神经网络的中子输运计算结束；此时将核反应堆屏蔽内任意中子空间位置和中子飞行方向输入到训练完成的全连接神经网络中，即可输出得到对应的各能群中子角通量密度。

所述步骤1中的全连接神经网络输入层的神经元个数为6个，前3个神经元对应中子空间位置r，即三维直角坐标系下x、y、z坐标，后3个神经元对应中子飞行方向Ω，即Ω沿三维直角坐标系的三个轴XYZ的投影Ω_x、Ω_y、Ω_z：

θ—中子飞行方向Ω与Z轴的夹角；

—中子飞行方向Ω在XY平面上的投影与X轴的夹角；

式(3)中θ∈[0，π)，

全连接神经网络的输出层的神经元个数为G个，每个神经元对应某一能群的中子角通量密度，输出层的激活函数为平方函数或以自然常数e为底的指数函数以保证输出各能群中子角通量密度为正值；中间的多层隐藏层层数若干且可根据计算精度需要自行调整，激活函数为可微函数tanh函数或者Swish函数。

所述步骤2中基本几何体包括球体、圆柱体、长方体、椭球体、椎体；所述最终几何体和基本几何体的几何参数为符号距离函数，边界参数为边界外法向量信息和边界条件信息；所述基本几何体的组合方式为交、并、补三种布尔运算，最终几何体由基本几何体通过布尔运算中的一种或多种组合得到。

所述步骤3中采用的低差异序列为加扰Halton序列或者加扰Sobol序列；所述内部配点数据集S_Γ内容具体包括内部配点中子相空间坐标(r_i,Ω_i)、内部配点对应的中子空间位置r_i处各能群总截面和散射截面、各能群外中子源，i＝1,…,N_Γ；所述边界配点数据集

内容具体包括边界配点中子相空间坐标(r_j,Ω_j)、边界配点对应的中子空间位置r_j处的边界外法向量n_j和边界条件类型，j＝1,…,N_B。

内部配点对应的中子空间位置的采样范围为最终几何体的内部空间，边界配点对应的中子空间位置的采样范围为最终几何体的边界空间；对于内部配点对应的中子飞行方向和边界配点对应的中子飞行方向均包含的θ和

θ和

的采样范围分别为[0，π)和[0，2π)。

所述边界条件类型为真空边界条件或者反射边界条件。

若边界条件为真空边界条件，则核反应堆屏蔽的边界平均损失函数loss_B的具体形式为：

若边界条件为反射边界条件，则核反应堆屏蔽的边界平均损失函数loss_B的具体形式为：

r_j—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子空间位置；

Ω_j—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子飞行方向；

Ω′_j—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子沿Ω_j方向入射，在边界外法向量为n_j的中子空间位置r_j处发生反射后的中子飞行方向；

φ_g(r_j,Ω_j)—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子空间位置r_j处沿Ω_j方向飞行的第g能群中子角通量密度；

φ_g(r_j,Ω′_j)—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子空间位置r_j处发生反射后沿Ω′_j方向飞行的第g能群中子角通量密度；

N_B′—边界配点数据集

中满足Ω_j·n_j＜0的边界配点数目；

其中，N_B′≤N_B；α为反射系数且0＜α≤1，Ω′_j＝Ω_j-2(Ω_j·n_j)n_j。

所述步骤4中式(2)里泄漏项里的各能群中子角通量密度的梯度使用深度学习框架PyTorch或TensorFlow中的反向自动微分计算获得；散射项中针对物理过程使中子状态发生变化前的中子飞行方向的积分使用全对称求积组进行计算，全对称求积组阶数N为偶数且8≤N≤20。

所述步骤7中的优化算法为一阶梯度下降优化算法Adam算法或者拟牛顿法L-BFGS算法。

与现有针对核反应堆屏蔽设计的中子输运计算方法相比，本发明有如下突出优点：

1、本发明进行中子输运计算时不需要剖分网格，仅基于加扰低差异序列在空间位置以及飞行方向上进行随机均匀采样即可获取计算用的配点数据集，不存在如传统确定论方法在复杂几何中网格剖分困难、网格映射复杂等问题，具有较好的复杂几何适应性，而且配点数据集可方便与CAD等工程建模系统相结合。此外，在求解过程中还采用了现有深度学习框架中基于求导链式法则的反向自动微分计算各能群中子角通量密度的梯度，实现方便且相比于传统确定论求解方法采用差商近似微分的数值梯度形式精度可以得到提高；

2、本发明在训练全连接神经网络时采用混合分步式训练模式，即对边界平均损失函数采用最小二乘法，对边界平均损失函数与中子输运平均损失函数之和采用优化算法，通过先后固定全连接神经网络其他层及输出层的权重和偏置分别进行参数计算更新，能够有效避免不同损失函数项在训练过程中出现的刚性问题，减缓优化难度，提高优化效率及进一步降低优化误差和各能群中子角通量密度的预测误差；

3、本发明最终结果以训练好的全连接神经网络表示，相比传统确定论方法，可以预测核反应堆屏蔽中任意空间位置和飞行方向下高精度各能群中子角通量密度且预测相互独立，可实现硬件高并行度，其存储占用大小仅与神经网络的结构规模大小相关，可拓展应用于未来精细化屏蔽设计计算、屏蔽智能优化设计及数据可视化等场景。

附图说明

图1是本发明方法整体流程图。

图2是预测各能群中子角通量密度的全连接神经网络示意图。

图3是单次混合分步式训练模式流程示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步详细说明。

为便于以下具体实施方式的描述，中子空间位置r由三维直角坐标系下x、y、z坐标表示，中子飞行方向Ω由Ω沿三维直角坐标系的三个轴XYZ的投影Ω_x、Ω_y、Ω_z表示，Ω_x、Ω_y、Ω_z的具体形式为：

θ—中子飞行方向Ω与Z轴的夹角；

—中子飞行方向Ω在XY平面上的投影与X轴的夹角；

且θ∈[0，π)，

中子相空间坐标(r,Ω)表示为：

(r,Ω)＝(x,y,z,Ω_x,Ω_y,Ω_z)

本发明一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法，方法整体流程如图1所示，具体步骤如下：

步骤1：构建一个具有输入层、输出层和多层隐藏层的全连接神经网络预测核反应堆屏蔽中的各能群中子角通量密度，此网络的网络结构及输入输出参数如图2所示，其中“+1”神经元与其他神经元连线上的学习参数为偏置，其余神经元连线上的学习参数为权重，输入层框选范围内的权重和偏置为输入层的权重和偏置，多层隐藏层和输出层的权重和偏置定义同理，σ表示隐藏层的激活函数。此神经网络采用Xavier初始化方法初始化所有层的权重和偏置，以保证所构建的全连接神经网络每一层输出的方差尽量相等。

全连接神经网络输入层的神经元个数为6个，前3个神经元对应中子空间位置r，即x、y、z，后3个神经元对应中子飞行方向Ω，即Ω_x、Ω_y、Ω_z。全连接神经网络的输出层的神经元个数为G个，每个神经元对应某一能群的中子角通量密度，输出层的激活函数σ_out为平方函数或以自然常数e为底的指数函数以保证输出各能群中子角通量密度为正值；中间的多层隐藏层层数若干且可根据计算精度需要自行调整，激活函数为可微函数tanh函数或者Swish函数以满足一般物理场分布是连续的情形和提高神经网络非线性表达能力。

步骤2：读取核反应堆屏蔽的几何信息、材料信息和外中子源信息：

(a)几何信息包括描述核反应堆屏蔽的最终几何体的几何参数和边界参数、基本几何体的几何参数和边界参数以及基本几何体的组合方式；

(b)材料信息包括核反应堆屏蔽材料的空间分布、各个能群下相应空间位置材料的总截面和散射截面；

(c)外中子源信息包括各能群外中子源的空间分布和角度分布；

其中，基本几何体包括球体、圆柱体、长方体、椭球体、椎体；所述最终几何体和基本几何体的几何参数为符号距离函数，采用符号距离函数描述几何便于后续采样过程在计算机硬件上并行执行；边界参数为边界外法向量信息和边界条件信息；所述基本几何体的组合方式为交、并、补三种布尔运算，最终几何体由基本几何体通过布尔运算中的一种或多种组合得到。

步骤3：根据步骤2读取的几何信息，使用低差异序列在最终几何体的内部空间位置与中子飞行方向上随机均匀采样N_Γ个内部配点，在最终几何体的边界空间位置与中子飞行方向上随机均匀采样N_B个边界配点，再结合步骤2读取的材料信息和外中子源信息，根据每个内部配点对应的中子空间位置和中子飞行方向，判断并存储N_Γ个内部配点对应的材料信息和外中子源信息，由此生成内部配点数据集S_Γ，其内容具体包括内部配点中子相空间坐标(r_i,Ω_i)、内部配点对应的中子空间位置r_i处各能群总截面和散射截面、各能群外中子源，i＝1,…,N_Γ；根据每个边界配点对应的中子空间位置，判断并存储N_B个边界配点对应的边界外法向量信息和边界条件信息，由此生成边界配点数据集

其内容具体包括边界配点中子相空间坐标(r_j,Ω_j)、边界配点对应的中子空间位置r_j处的边界外法向量n_j和边界条件类型，j＝1,…,N_B。其中，边界条件类型为真空边界条件或者反射边界条件。

为使此方法在理论上具有较高的收敛效率，采样过程需要较好的随机均匀分布特性，因此低差异序列优选为加扰Halton序列(scrambled Halton Sequence)或者加扰Sobol序列(scrambled Sobol Sequence)。

在进行采样时，内部配点对应的中子空间位置的采样范围为最终几何体的内部空间，边界配点对应的中子空间位置的采样范围为最终几何体的边界空间；对于内部配点对应的中子飞行方向和边界配点对应的中子飞行方向均包含的θ和

θ和

的采样范围分别为[0，π)和[0，2π)。

步骤4：将步骤3获得的内部配点数据集中每个内部配点对应的中子空间位置和中子飞行方向输入到步骤1构建的全连接神经网络中，输出得到核反应堆屏蔽内每个内部配点对应的各能群中子角通量密度。然后计算得到核反应堆屏蔽的中子输运平均损失函数：

消失算子L定义为：

式(2)中等号右边从左至右，三个物理项依次为泄漏项、移出项和散射项。

r—中子空间位置；

r_i—内部配点数据集S_Γ中第i个内部配点对应的中子空间位置；

Ω—中子飞行方向；

Ω′—物理过程使中子状态发生变化前的中子飞行方向；

Ω_i—内部配点数据集S_Γ中第i个内部配点对应的中子飞行方向；

g—中子能群编号；

g′—物理过程使中子状态发生变化前的中子能群编号；

φ_g(r,Ω)—中子空间位置r处沿Ω方向飞行的第g能群中子角通量密度；

φ_g′(r,Ω′)—物理过程使中子状态发生变化前的中子空间位置r处沿Ω′方向飞行的第g′能群中子角通量密度；

φ_g(r_i,Ω_i)—内部配点数据集S_Γ中第i个内部配点对应的中子空间位置r_i处沿Ω_i方向飞行的第g能群中子角通量密度；

G—中子能群的总数；

Σ_t,g(r)—中子空间位置r处材料的第g能群的总截面；

Σ_s,g′→g(r,Ω′→Ω)—中子空间位置r处材料使沿Ω′方向飞行的第g′能群中子散射至飞行方向为Ω、能量处于第g能群的状态的散射截面；

Q_g(r_i,Ω_i)—内部配点数据集S_Γ中第i个内部配点对应的中子空间位置r_i处发射飞行方向为Ω_i、能量处于第g能群状态的外中子源；

其中，为提高方法硬件并行执行效率以及高精度的梯度估计值，泄漏项里的各能群中子角通量密度的梯度使用现有深度学习框架如PyTorch或TensorFlow中的反向自动微分计算获得；为保证屏蔽输运计算结果与角度坐标轴的取向无关，散射项中针对物理过程使中子状态发生变化前的中子飞行方向的积分使用全对称求积组进行计算获得，全对称求积组阶数N为偶数且8≤N≤20。

步骤5：将步骤3获得的边界配点数据集中每个边界配点对应的中子空间位置和中子飞行方向信息输入到步骤1构建的全连接神经网络中，输出得到核反应堆屏蔽边界上每个边界配点对应的各能群中子角通量密度。并根据每个边界配点对应的边界外法向量信息和边界条件信息，计算得到核反应堆屏蔽的边界平均损失函数loss_B。边界平均损失函数loss_B的具体形式根据边界条件的类型不同而不同。

若边界条件为真空边界条件，则核反应堆屏蔽的边界平均损失函数loss_B的具体形式为：

若边界条件为反射边界条件，则核反应堆屏蔽的边界平均损失函数loss_B的具体形式为：

r_j—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子空间位置；

Ω_j—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子飞行方向；

Ω′_j—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子沿Ω_j方向入射，在边界外法向量为n_j的中子空间位置r_j处发生反射后的中子飞行方向；

φ_g(r_j,Ω_j)—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子空间位置r_j处沿Ω_j方向飞行的第g能群中子角通量密度；

φ_g(r_j,Ω′_j)—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子空间位置r_j处发生反射后沿Ω′_j方向飞行的第g能群中子角通量密度；

N_B′—边界配点数据集

中满足Ω_j·n_j＜0的边界配点数目；

其中，N_B′≤N_B；α为反射系数且0＜α≤1，Ω′_j＝Ω_j-2(Ω_j·n_j)n_j。

考虑到深度学习常见的神经网络训练方式存在优化困难、损失函数不同项之间容易出现刚性问题等情况，因此基于最小二乘法和优化算法的混合分步式训练模式对全连接神经网络的权重和偏置进行优化更新，单次此训练模式流程如图3所示，其中θ和θ^*分别为更新前和更新后的除输出层之外的所有权重和偏置，ξ和ξ^*分别为更新前和更新后的输出层的权重和偏置。

步骤6：固定步骤1构建的全连接神经网络中输入层和多层隐藏层的权重和偏置θ不变，使用最小二乘法求解使步骤5构建的边界平均损失函数loss_B的值最小时全连接神经网络输出层的权重和偏置ξ大小，并对原输出层的权重和偏置进行相应更新得到ξ^*。

步骤7：固定步骤6基于最小二乘法获得并更新后的全连接神经网络输出层的权重和偏置ξ^*大小不变，采用优化算法更新调整全连接神经网络的输入层和多层隐藏层的权重和偏置θ，使得步骤4构建的中子输运平均损失函数loss_Γ与步骤5构建的边界平均损失函数loss_B之和最小化。更新后的全连接神经网络的输入层和多层隐藏层的权重和偏置为θ^*。其中，优化算法优选为鲁棒性好、收敛速率较快的一阶梯度下降优化算法Adam算法或者拟牛顿法L-BFGS算法。

步骤8：在进行基于神经网络的中子输运计算时，先执行步骤3之后重复执行N_grad次步骤4至步骤7为输运计算的一大步，反复执行若干次大步输运计算，直至相邻输运计算大步的全连接神经网络在内部配点数据集和边界配点数据集上，以每个配点对应的中子空间位置和中子飞行方向作为输入，输出得到的各能群中子角通量密度的L₂范数相对误差

小于10^-3，则全连接神经网络训练完成且整个基于神经网络的中子输运计算结束。此时将核反应堆屏蔽内任意中子空间位置和中子飞行方向输入到训练完成的全连接神经网络中，即可输出得到对应的各能群中子角通量密度。用于判断收敛用的L₂范数相对误差具体形式为：

其中，

和

分别表示在第k个和第k+1个输运计算大步完成后，将内部配点对应的中子空间位置r_i和中子飞行方向Ω_i输入到步骤1构建的用于预测各能群中子角通量密度的全连接神经网络后，预测输出的第g能群的中子角通量密度；

和

分别表示在第k个和第k+1个输运计算大步完成后，将边界配点对应的中子空间位置r_j和中子飞行方向Ω_j输入到步骤1构建的用于预测各能群中子角通量密度的全连接神经网络后，预测输出的第g能群的中子角通量密度。

其中，在若干次大步输运计算中步骤3被重复执行以消除“射线效应”问题，提高求解准确度。

最后应当说明的是，尽管已经描述示意了本发明的具体实施方式，本领域的普通技术人员可以理解：在不脱离本发明的目的和宗旨的情况下可以对这些实施方式进行多种修改和变型，例如真空和反射边界条件的组合、修改，基本几何体参数的修改及组合等，本发明的范围由权利要求及其等同物限定。

Claims (8)

1.一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：构建一个具有输入层、输出层和多层隐藏层的全连接神经网络预测核反应堆屏蔽中的各能群中子角通量密度并采用Xavier初始化方法初始化所构建的全连接神经网络所有层的权重和偏置；

步骤2：读取核反应堆屏蔽的几何信息、材料信息和外中子源信息：

(a)几何信息包括描述核反应堆屏蔽的最终几何体的几何参数和边界参数、基本几何体的几何参数和边界参数以及基本几何体的组合方式；

(b)材料信息包括核反应堆屏蔽材料的空间分布、各个能群下相应空间位置材料的总截面和散射截面；

(c)外中子源信息包括各能群外中子源的空间分布和角度分布；

步骤3：根据步骤2读取的几何信息，使用低差异序列在最终几何体的内部空间位置与中子飞行方向上随机均匀采样N_Γ个内部配点，在最终几何体的边界空间位置与中子飞行方向上随机均匀采样N_B个边界配点，再结合步骤2读取的材料信息和外中子源信息，根据每个内部配点对应的中子空间位置和中子飞行方向，判断并存储N_Γ个内部配点对应的材料信息和外中子源信息，由此生成内部配点数据集S_Γ；根据每个边界配点对应的中子空间位置，判断并存储N_B个边界配点对应的边界外法向量信息和边界条件信息，由此生成边界配点数据集

步骤4：将步骤3获得的内部配点数据集中每个内部配点对应的中子空间位置和中子飞行方向输入到步骤1构建的全连接神经网络中，输出得到核反应堆屏蔽内每个内部配点对应的各能群中子角通量密度；然后计算得到核反应堆屏蔽的中子输运平均损失函数loss_Γ：

消失算子L作用在φ_g(r,Ω)上的具体形式定义为：

式(2)中等号右边从左至右，三个物理项依次为泄漏项、移出项和散射项。

r—中子空间位置；

r_i—内部配点数据集S_Γ中第i个内部配点对应的中子空间位置；

Ω—中子飞行方向；

Ω′—物理过程使中子状态发生变化前的中子飞行方向；

Ω_i—内部配点数据集S_Γ中第i个内部配点对应的中子飞行方向；

g—中子能群编号；

g′—物理过程使中子状态发生变化前的中子能群编号；

φ_g(r,Ω)—中子空间位置r处沿Ω方向飞行的第g能群中子角通量密度；

φ_g′(r,Ω′)—物理过程使中子状态发生变化前的中子空间位置r处沿Ω′方向飞行的第g′能群中子角通量密度；

φ_g(r_i,Ω_i)—内部配点数据集S_Γ中第i个内部配点对应的中子空间位置r_i处沿Ω_i方向飞行的第g能群中子角通量密度；

G—中子能群的总数；

Σ_t,g(r)—中子空间位置r处材料的第g能群的总截面；

Σ_s,g′→g(r,Ω′→Ω)—中子空间位置r处材料使沿Ω′方向飞行的第g′能群中子散射至飞行方向为Ω、能量处于第g能群的状态的散射截面；

Q_g(r_i,Ω_i)—内部配点数据集S_Γ中第i个内部配点对应的中子空间位置r_i处发射飞行方向为Ω_i、能量处于第g能群状态的外中子源；

步骤5：将步骤3获得的边界配点数据集

中每个边界配点对应的中子空间位置和中子飞行方向信息输入到步骤1构建的全连接神经网络中，输出得到核反应堆屏蔽边界上每个边界配点对应的各能群中子角通量密度；并根据每个边界配点对应的边界外法向量信息和边界条件信息，计算得到核反应堆屏蔽的边界平均损失函数loss_B；

步骤6：固定步骤1构建的全连接神经网络中输入层和多层隐藏层的权重和偏置不变，使用最小二乘法获得使步骤5构建的边界平均损失函数loss_B的值最小时全连接神经网络输出层的权重和偏置大小，并对原输出层的权重和偏置进行相应更新；

步骤7：固定步骤6基于最小二乘法获得并更新后的全连接神经网络输出层的权重和偏置大小不变，采用优化算法更新调整全连接神经网络的输入层和多层隐藏层的权重和偏置，使得步骤4构建的中子输运平均损失函数loss_Γ与步骤5构建的边界平均损失函数loss_B之和最小化；

步骤8：在进行基于神经网络的中子输运计算时，先执行步骤3之后重复执行N_grad次步骤4至步骤7为输运计算的一大步，反复执行若干次大步输运计算，直至相邻输运计算大步的全连接神经网络在内部配点数据集和边界配点数据集上，以每个配点对应的中子空间位置和中子飞行方向作为输入，输出得到的各能群中子角通量密度的L₂范数相对误差小于10^-3，则全连接神经网络训练完成且整个基于神经网络的中子输运计算结束；此时将核反应堆屏蔽内任意中子空间位置和中子飞行方向输入到训练完成的全连接神经网络中，即可输出得到对应的各能群中子角通量密度。

2.根据权利要求1所述的一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法，其特征在于：所述步骤1中的全连接神经网络输入层的神经元个数为6个，前3个神经元对应中子空间位置r，即三维直角坐标系下x、y、z坐标，后3个神经元对应中子飞行方向Ω，即Ω沿三维直角坐标系的三个轴XYZ的投影Ω_x、Ω_y、Ω_z：

θ—中子飞行方向Ω与Z轴的夹角；

—中子飞行方向Ω在XY平面上的投影与X轴的夹角；

式(3)中θ∈[0，π)，

全连接神经网络的输出层的神经元个数为G个，每个神经元对应某一能群的中子角通量密度，输出层的激活函数为平方函数或以自然常数e为底的指数函数以保证输出各能群中子角通量密度为正值；中间的多层隐藏层层数若干且根据计算精度需要自行调整，激活函数为可微函数tanh函数或者Swish函数。

3.根据权利要求1所述的一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法，其特征在于：所述步骤2中基本几何体包括球体、圆柱体、长方体、椭球体、椎体；所述最终几何体和基本几何体的几何参数为符号距离函数，边界参数为边界外法向量信息和边界条件信息；所述基本几何体的组合方式为交、并、补三种布尔运算，最终几何体由基本几何体通过布尔运算中的一种或多种组合得到。

4.根据权利要求1所述的一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法，其特征在于：所述步骤3中采用的低差异序列为加扰Halton序列或者加扰Sobol序列；所述内部配点数据集S_Γ内容具体包括内部配点中子相空间坐标(r_i,Ω_i)、内部配点对应的中子空间位置r_i处各能群总截面和散射截面、各能群外中子源，i＝1,…,N_Γ；所述边界配点数据集

内容具体包括边界配点中子相空间坐标(r_j,Ω_j)、边界配点对应的中子空间位置r_j处的边界外法向量n_j和边界条件类型，j＝1,…,N_B。

5.根据权利要求4所述的一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法，其特征在于：内部配点对应的中子空间位置的采样范围为最终几何体的内部空间，边界配点对应的中子空间位置的采样范围为最终几何体的边界空间；对于内部配点对应的中子飞行方向和边界配点对应的中子飞行方向均包含的θ和

θ和

的采样范围分别为[0，π)和[0，2π)。

6.根据权利要求4所述的一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法，其特征在于：所述边界条件类型为真空边界条件或者反射边界条件。

若边界条件为真空边界条件，则核反应堆屏蔽的边界平均损失函数loss_B的具体形式为：

若边界条件为反射边界条件，则核反应堆屏蔽的边界平均损失函数loss_B的具体形式为：

r_j—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子空间位置；

Ω_j—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子飞行方向；

Ω′_j—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子沿Ω_j方向入射，在边界外法向量为n_j的中子空间位置r_j处发生反射后的中子飞行方向；

φ_g(r_j,Ω_j)—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子空间位置r_j处沿Ω_j方向飞行的第g能群中子角通量密度；

φ_g(r_j,Ω′_j)—边界配点数据集

中第j个边界配点对应的中子空间位置r_j处发生反射后沿Ω′_j方向飞行的第g能群中子角通量密度；

N_B′—边界配点数据集

中满足Ω_j·n_j＜0的边界配点数目；

其中，N_B′≤N_B；α为反射系数且0＜α≤1，Ω′_j＝Ω_j-2(Ω_j·n_j)n_j。

7.根据权利要求1所述的一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法，其特征在于：所述步骤4中式(2)里泄漏项里的各能群中子角通量密度的梯度使用深度学习框架PyTorch或TensorFlow中的反向自动微分计算获得；散射项中针对物理过程使中子状态发生变化前的中子飞行方向的积分使用全对称求积组进行计算，全对称求积组阶数N为偶数且8≤N≤20。

8.根据权利要求1所述的一种针对核反应堆屏蔽设计的基于神经网络的中子输运方法，其特征在于：所述步骤7中的优化算法为一阶梯度下降优化算法Adam算法或者拟牛顿法L-BFGS算法。

Images