CN115803744A - 物理系统的计算分析 - Google Patents

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Abstract

为了使用离散节点的网格来执行物理系统的计算分析，对于一些节点，从表示各个代数体积和每个相邻体积之间的通量的离散化微分通量方程的解中在网格中从与每个代数体积节点相关联的代数体积和相邻体积之间导出面域向量。表示物理系统的物理特性之间关系的建模方程的积分形式被离散为与各个节点相关联的关于体积的体积方程，使用代数体积的导出的面域向量，而不是几何地导出的有限体积。体积方程的解提供了有关物理系统的物理性质的信息。该方法保留了非结构化网格的优点，即体积方程的解是鲁棒、稳定和准确的，同时避免了任意复杂配置的网格划分失败。

Description

物理系统的计算分析
技术领域
本发明涉及物理系统的计算分析。
背景技术
物理系统的计算分析对于广泛技术领域的基础研究至关重要，因此对于依赖于此的广泛实际应用至关重要。这种计算分析已经变得流行，并且已经用于广泛物理领域，例如分子动力学、原子核、流体力学、气象学和海洋学等。通常地，通过表示物理系统的物理特性之间的关系的建模方程(通常为偏微分方程(partial differential equation,PDE))来建模物理系统。
一般来说，这种计算分析包括两个关键程序，即网格生成和数值离散化。
网格生成是将连续几何空间细分为离散节点的网格，该离散节点可以与几何和拓扑元素相关联。其质量和数量会显著地影响后续计算。
数值离散化是将建模方程离散为与每个节点相关联的方程。它高度依赖于网格生成的质量，例如数值格式、精度和稳定性等。
网格划分对于复杂配置仍然是瓶颈，即使它已经快速发展了几十年。构造合适的网格来表示计算域是一项耗时的任务。此外，需要大量人工干预来处理几何结构的细节，这对工程师来说既耗时又困难。四面体(2D中的三角剖分)网格生成方法已经得到了很好的发展。但当涉及边界层流动模拟时，网格划分变得具有挑战性。高纵横比各向异性网格被经常用于边界层，因为这对求解边界层流动大有好处。在复杂配置(例如拐角、锋利边缘、移动结构等)的这一层中，网格划分失败发生得非常频繁。工程师必须反复调整网格参数，例如单元大小、网格分布、初始高度、高度比，以获得网格。这花费了长时间和大量劳动。因此，网格划分方法是一个重要而困难的课题。
现在将讨论已知的网格方法。
目前，模拟中常用的只有三种网格类型，即结构化网格、非结构化网格和无网格点。为了阐明描述，本文中的两个词语“节点”和“点”分别用于网格方法和无网格方法，但每个都是空间中的点。
结构化网格和非结构化网格利用需要拓扑连接的节点的几何网格，而无网格方法放弃了对点网格的此种约束。“无网格”一词意味着放弃此种约束，但从数学角度来看，无网格方法在本文中被视为一种特殊类型的网格，因为无网格方法确实使用了点网格。
在开发了每种网格方法之后，需要相应的数值方法来离散建模方程。每种类型的网格都有自己的优点和缺点。下面将简要的进行讨论。
例如如图1(a)所例示的结构化网格是最重要和最流行的网格方法之一。结构化网格的每个节点具有唯一且连续的整数集(i，j，k)(或2D的(i，k))以记录位置信息和与相邻点的关系。这种严格约束的网格划分便于设计偏微分方程的离散化的数值格式。结构化网格的基本拓扑是O型、C型和H型。如今，结构化网格方法仍在快速发展，包括例如参考文献[1]中披露的多块方法、参考文献[2]中披露的嵌合体方法、参考文件[3]中披露的自动块方法等示例。
尽管结构化网格方法被广泛使用，但要生成高质量的网格仍需要付出显著的努力。原因是网格拓扑要求严格。这一缺点使得结构化网格的网格生成不太灵活，特别是对于复杂的几何结构。现在描述的非结构化网格减轻了这个问题。
如图1(b)所例示的非结构化网格是具有无序非规则拓扑的节点网格。这增加了网格生成的灵活性，明显减少了生成时间和难度。因此，这已成为最流行的网格方法。参考文献[4]回顾了非结构化网格生成方法，参考文献[5]、[6]讨论了一些最近的方法。一种用于无粘性流动模拟的更简单的和自动的网格划分方法是笛卡尔网格。遗憾的是，如参考文献[7]所讨论的，当该方法被用于粘性流动模拟时会变得更加复杂。另一个非结构化网格的增强是参考文献[8]中讨论的任意拓扑网格。
另一种解决方案是共同使用结构化网格和非结构化网格。参考文献[9，10]中讨论的一个示例是使用“直接替换任意方格重叠的非结构化”方格和相应的流动求解方法。结构化网格主要用于网格划分，而非结构化网格被利用以处理重叠区域。因此，结构化网格和非结构化网格采用了不同的求解器代码。参考文献[11]中讨论的另一个示例应用了混合结构化网格和笛卡尔网格方法来研究音爆传播，这两个网格由不同的求解器求解。
对于结构化网格或非结构化网格，数值离散化涉及将建模方程的积分形式离散为关于与网格的各个节点相关联的体积的方程，为便于参考，本文将其称为“体积方程”。关于每个体积的体积方程表示体积大小、网格中各个体积和相邻体积之间的面域向量以及穿过面域的通量之间的关系。关于节点的、在体积方程中表示的大小和面域向量是从描述有限体积的几何结构的几何方程的解中导出的。通过求解体积方程，导出了物理系统的物理性质的信息。
非结构化网格通过打破结构化网格的严格拓扑约束，促进了计算分析的快速发展。但非结构化网格仍然需要节点之间的连接。此要求可能会导致一些问题。例如，当两个连接的实体彼此分离时，网格连接性使得难以避免负大小(负体积)。因此，研究人员开发了放弃网格连接的无网格方法，例如如图1(c)所例示的。这进一步增加了网格划分的灵活性，允许对极其复杂的几何结构进行网格划分，并处理固体边界的动态响应，例如爆炸、昆虫飞行等。
以下是一些示例。参考文献[12]提出了一种用于模拟不可压缩流动的稳定无网格方法。该稳定方法是基于有限增量演算程序。参考文献[13]讨论了使用无网格欧拉求解器的存储分离，该无网格欧拉求解器采用了基于熵变量的最小二乘动力学迎风方案。参考文献[14]提出了一种隐式无网格方法以求解其空间导数通过最小二乘法近似的2D欧拉和纳维-斯托克斯方程。参考文献[15]提出了一种多级方法来加速径向基函数生成的有限差分无网格离散化的收敛。展现了加性校正多云和平滑约束多云方法。
另一种方法是使用混合无网格/基于网格的方法。例如，参考文献[16，17]披露了不可压缩的纳维-斯托克斯方程的耦合无网格/基于网格的方法。建立了用于无网格区域的无网格伽辽金法，而网格区域使用有限元法。不同的形状函数被应用于相应的方法。为了模拟高雷诺数流动，参考文献[18]提出了一种混合无网格和有限体积方法。该方法对边界层采用有限体积方法，并且对外部区域采用无网格方法。
一个特殊的挑战是如在广泛的技术应用中发现的复杂配置，例如复杂的生物器官几何结构、核反应堆模拟和高压涡轮叶片的冷却系统等。这一挑战使结构化网格或非结构化网格的网格生成难以自动化，并且人工干预耗时且困难。在实践中，网格生成代表了工程师将数值分析应用于实际情况的瓶颈。无网格方法是网格划分复杂配置的一种可能的解决方案，因为它们可以容易地生成任意物理域的点。然而，数值方法对于求解复杂的PDE(例如纳维-斯托克斯(Navier-Stokes,NS)方程)具有挑战性。因此，与相对准确和鲁棒的结构化网格和非结构化网格相比，精度、效率和鲁棒性较低，限制了无网格方法的有效性。迄今为止，很少发现有研究采用无网格方法来求解复杂的配置。
解决这些问题将是非常令人向往的。
发明内容
根据本发明的一个方面，提供了一种物理系统的计算分析方法，该物理系统通过建模表示物理系统的物理属性之间的关系的方程来建模，该方法包括：生成离散节点的网格；关于被称为代数体积节点的至少一些节点，从表示该网格中各个代数体积和每个相邻体积之间的通量的每个代数体积的离散化微分通量方程的解导出与每个代数体积节点相关联的代数体积和该网格中的相邻体积之间的面域向量；将该建模方程的积分形式离散化为关于与该网格的各个节点相关联的体积的体积方程，关于每个体积的该体积方程表示该体积的大小、该网格中的各个体积和相邻体积之间的面域向量以及穿过该面域的通量之间的关系，其中关于该代数体积节点的在该体积方程中表示的该面域向量是从该离散化微分通量方程的解导出的面域向量；以及求解该体积方程并导出该物理系统的该物理性质的信息。
类似于结构化网格或非结构化网格，该方法涉及将建模方程的积分形式离散化为关于与网格的各个节点相关联的体积的体积方程。关于每个体积的体积方程表示体积的大小、网格中各个体积和相邻体积之间的面域向量以及穿过面域的通量之间的关系，但大小和面域向量不一定是从表示有限体积的几何结构的几何方程的解中导出的。相反，关于在本文中被称为“代数体积”的至少一些体积，大小和面域向量是使用不同的代数技术导出的。
特别地，关于代数体积，面域向量是从表示网格中各个代数体积和每个相邻体积之间的通量的每个代数体积的离散化微分通量方程的解导出的。这种离散化微分通量方程可以被视为类似为无网格方法中使用的方程，但与无网格方法不同，求解这种离散化微分通量方程没有导出有关物理系统的物理性质的信息。相反，求解这种离散化微分通量方程以提供面域向量。以此方式，可以以显著减少与上述结构化网格或非结构化网格相关联的问题的方式导出代数体积。例如，代数体积的推导避免了几何推导可能提供低质量或负大小的体积的问题。这允许网格生成具有好得多的几何灵活性，因此其可以像无网格方法一样通用、自动化、高效和灵活。这转而大大减少了在网格生成中人工干预的需要，为执行计算分析的工程师节省了时间并提高了生产率。
然而，关于每个代数体积生成的体积方程与针对结构化网格或非结构化网格生成的体积方程具有相同的类型。因此，本方法保留了结构化网格或非结构化网格的优点，即体积方程的解是鲁棒、稳定和准确的。此外，数值方法有潜力达到更好的收敛性能。
总之，因此，本方法既提供了(无几何连通性的)无网格方法点的几何灵活性，也提供了(有节点连通性的)结构化网格和非结构化网格的物理精度，因为对于任意复杂的配置，即使在移动边界的情况下，也能固有地避免网格失败。这些优点对于具有复杂配置的物理系统的分析特别有益。
有利地，代数体积的大小可以是相同的，例如统一的。这简化了面域向量的推导。可选地，代数体积的大小可以具有不同的预定值，例如与局部节点密度的倒数成比例。
在本方法中，代数体积可能仅与某些节点相关联。被称为“有限体积”的体积与其他节点相关联。每个体积方程的大小和面域向量都是从几何方程的解中导出的。将建模方程的积分形式离散为关于有限体积的体积方程。关于每个有限体积的体积方程表示体积的几何学的推导的大小、网格中各个体积和相邻体积之间的几何学的推导的面域向量以及穿过面域的通量之间的关系。
因此，以类似于与上述结构化网格和非结构化网格中的节点相关联的体积的方式来处理有限体积。以此方式，代数体积和有限体积可以一起用于生成的网格的不同节点。
关于代数体积节点的体积方程和关于有限体积节点的体积方程可以具有统一的表示。这允许在求解体积方程时以相同的方式处理代数体积节点和体积方程。这提高了计算分析的效率。例如，求解体积方程的步骤可以使用用于代数体积节点和有限体积节点的通用求解器。
与现有方格方法和无方格方法相比，统一的网格/无网格方法本质上具有(无几何连通性的)点的几何灵活性和(有节点连通性的)网格的物理精度：对于任意复杂的配置，即使在移动边界的情况下，也能固有地避免网格划分失败；
在一个示例中，将节点选择为有限体积节点或代数节点可以按如下执行。在该示例中，可以导出与每个节点相关联的有限体积的至少一个质量度量，然后可以选择由该至少一个质量度量指示为低质量的节点作为代数体积节点，并且可以选择其他节点作为有限体积节点。有利地，这种选择方法允许上述代数节点的优点在特别是低质量的节点上实现。然而，选择节点作为有限体积节点或代数节点的选择可以基于其他标准，例如基于与移动对象的距离或基于用户输入。
在此示例中，该至少一个质量度量可以包括以下一个或多个：有限体积的大小；有限体积的纵横比的度量；在节点所在地中网格的偏度的度量；与节点所在地中的相邻节点相关联的有限体积的大小中的过渡的平滑度的度量；以及有限体积的正交质量。
本方法可以应用于广泛的物理系统。
物理系统可以是流体系统，并且本方法特别适用于计算流体动力学(computational fluid dynamics,CFD)。作为非限制性示例，在这种情况下，建模方程可以是纳维-斯托克斯方程，可选地包括无粘性流动的修改。然而，本方法不限于流体系统，并且可以应用于其他物理系统，通常是具有守恒的物理性质的物理系统。
可以应用本方法的物理系统的一些非限制性示例包括非牛顿流体系统、磁流体力学系统、共轭传热和等离子体系统、由PDE表示的固体力学系统以及其他平流-扩散系统。
根据本发明的进一步的方面，提供了一种能够由计算机设备执行并且在执行时被配置为使计算机设备执行类似的方法的计算机程序、存储这种计算机程序的计算机可读存储介质以及被布置为执行类似的方法的计算机设备。
附图说明
为了更好地理解，现在将参考以下附图以非限制性示例的方式描述本发明的实施例。
图1是a)结构化网格、b)非结构化网格和c)无网格点的集合的一组示意图。
图2是物理系统的计算分析方法的流程图。
图3(a)是有限体积的2D示例并且图3(b)是代数体积的2D示例。
图4是四个切片(a)到(d)以及四面体网格(I)和混合网格(II)的网格生成演示的视图集合。
图5(a)至图5(g)每组三张图是围绕翼型示例生成的相应网格，图5(a)是传统几何网格，图5(b)是无网格点，图5(c)是具有内网格区和外网格区的分区通用网格，图5(d)是具有内部点区域和外部网格区的区域通用网格，图5(e)是具有50％网格节点和50％点的融合通用网格，图5(f)是具有99％网格节点和1％点的融合通用网格，并且图5(g)是具有99.9％网格节点和0.1％点的融合通用网格。
图6(a)和图6(b)分别是在Ma＝0.15时最大残差和平均残差的收敛历史曲线图。
图7(a)和图7(b)分别是在Ma＝0.775时最大残差和平均残差的收敛历史图。
图8(a)至图8(d)分别是在Ma＝0.15时图5(a)至图5(d)的方法的流场图。
图9(a)至图9(d)分别是在Ma＝0.775时图5(a)至图5(d)的方法的流场图。
图10(a)和图10(b)分别是在Ma＝0.15和Ma＝0.775时的表面压力系数的曲线图。
图11(a)和图11(b)是在Ma＝0.15时残差收敛历史的曲线图，图11(a)显示了最大残差，并且图11(b)显示了平均残差。
图12(a)和图12(b)是在Ma＝0.775时残差收敛历史的曲线图，图12(a)显示了最大残差，并且图12(b)显示了平均残差。
图13(a)至图13(c)分别是在Ma＝0.15时图5(e)至图5(g)的方法的流场图。
图14(a)至图14(c)分别是在Ma＝0.775时图5(e)至图5(g)的方法的流场图。
图15(a)和图15(b)分别是在Ma＝0.15和Ma＝0.775时的表面压力系数的曲线图。
图16(a)至图16(f)是HIRENASD通用网格图，图16(a)显示了计算域，图16(b)显示了表面网格，图16(c)显示了机翼/机身接合处的特写；图16(d)显示了翼尖的特写；图16(e)显示了FV网格；并且图16(f)显示了被选为AV节点的节点。
图17(a)和图17(b)分别是残差和空气动力的收敛历史曲线图。
图18(a)和图18(b)分别是通过通用网格方法获得的表面压力和流场切片的图。
图19(a)至图19(f)是在20％、37％、49％、68％、82％和96％的不同站点处(按跨度标准化)的压力系数图。
图20(a)至图20(l)是双壁积液冷却配置的一个示例的通用网格图，图20(a)显示了计算域，图20(b)显示了一个重复出现的单元，图20(c)显示了双壁的特写，图20(d)显示了双壁的侧视图，图20(e)显示了外壁的顶部，图20(f)显示了外壁的底部，图20(g)显示了内壁的顶部，图20(h)显示了图20(e)至图20(g)组装在一起的区域，图20(i)显示了混合FV网格，图20(j)显示了双壁的特写，图20(k)显示了双壁的侧视图，并且图20(l)显示了被选为AV节点的节点。
图21(a)是模拟残差的收敛历史图，并且图21(b)是模拟中质量流动速率的图。
图22(a)和图22(b)分别是包括在两个壁之间流动的冷却剂的系统的被着色以显示湍流动能的3D流线图。
图23(a)和图23(b)是不同吹风比下的温度场图，图23(a)显示了一个壁和中心切片，并且图23(b)显示了每个膜下游的切片。
图24(a)和图24(b)分别是受吹风比影响的等表面温度和膜效率的图。
具体实施方式
图2显示了一种物理系统的计算分析方法。
该方法可以在计算机设备中实施。为了达到这一点，可以提供能够由计算机设备执行的计算机程序。该计算机程序被配置为使得在执行时，使计算机设备执行该方法。
在使用计算机设备的情况下，该计算机设备可以是任何类型的计算机系统，但通常是常规结构。计算机程序可以用任何合适的编程语言编写。计算机程序可以存储在计算机可读存储介质上，该计算机可读存储介质可以是任何类型的，例如：可插入计算系统的驱动器中并且可以磁性地、光学地或光磁性地存储信息的记录介质；计算机系统的固定记录介质，例如硬盘驱动器；或计算机存储器。
物理系统通过表示物理系统的物理特性之间的关系的建模方程来建模。
物理系统可以是广泛物理系统中的任何一种。
物理系统可以是流体系统，并且本方法特别适用于计算流体动力学(CFD)。
作为非限制性示例，物理系统可以是非牛顿流体系统、磁流体力学系统、共轭传热和等离子体系统、由PDE表示的固体力学系统。
物理系统可以是另一个具有守恒物理性质的平流-扩散系统，例如由以下形式的建模方程表示：
Figure BDA0004040741690000071
其中u是守恒量，
Figure BDA0004040741690000072
是这个守恒量的通量并且
Figure BDA0004040741690000073
是梯度运算符。
作为说明，本文中将描述一个示例，其中物理系统是流体系统，并且建模方程是纳维-斯托克斯(NS)方程，包括无粘性流动的修改。在本示例中，建模方程可以采用以下形式。
NS方程表示经典的计算物理模型。NS方程是描述牛顿流体运动的典型平流-扩散方程。纳维-斯托克斯(NS)方程的积分形式可以写成如下：
Figure BDA0004040741690000074
其中t是时间。Ω和
Figure BDA0004040741690000075
分别是离散控制体积的体积和边界，n代表控制体积面
Figure BDA0004040741690000076
的单位外向法向量，V是Ω的体积(2D中为面积)，S标志着
Figure BDA0004040741690000077
的面积(2D中为长度).
守恒流动变量向量Q、无粘性通量向量F(Q)和粘性通量向量Fvis(Q)分别由下式给出。
Figure BDA0004040741690000078
Figure BDA0004040741690000081
Figure BDA0004040741690000082
ρ、P和e0分别标志着密度、静压和每单位质量的比总能量。v标志着速度向量，u、v和w是其分量。nx、ny和nz是法向量n的分量。粘性压力张量如下：
Figure BDA0004040741690000083
缩写σx、σy和σz由下式给出
Figure BDA0004040741690000084
其中κ表示导热系数
Figure BDA0004040741690000085
其中Pr和Prt是层流和湍流普朗特数，其值分别为0.72和0.9。T代表静态温度。γ是比热系数的比值。R表示比气体常数。μ和μt分别标志着分子粘度和湍流粘度。前者是根据萨瑟兰定律计算的：
Figure BDA0004040741690000086
需要额外湍流模型来获得湍流涡流粘度μt，例如参考文献[19]中披露的SpalartAllmaras(SA)，或参考文献[20]中披露的k-ωSST等。
此外，对于理想气体
Figure BDA0004040741690000087
图2的方法执行如下。
在步骤S1中，生成离散节点的网格。这是对计算域，即连续几何空间的空间分解。该域被网格划分为一系列的、大量的离散节点。
对于大多数实际应用，节点在三维(3D)中空间分布。可选地，对于一些应用，节点可以在二维(2D)中空间分布。
如下所述，体积与每个节点相关联。本文中的术语“体积”用于指控制体积，即几何单元(空间区域)。在上下文中，术语“体积”指的是实体，而不是该实体的大小。为了清楚起见，术语“大小”而不是“体积”用于指体积的大小。
当节点在三维中空间分布时，体积是三维空间区域，并且以体积为单位测量大小。这样的体积可以采取任何合适的形式，例如四面体、棱柱、金字塔、六面体或任何任意多面体。
当节点在二维中空间分布时，体积是二维空间区域(即面积)，并且以面积为单位测量大小。这样的体积可以采取任何合适的形式，例如三角形、四边形或任何任意多边形。
与每个节点相关联的体积的参数是以两种不同的方式之一导出的，下面将对此进行更详细的描述。为了便于参考，其参数是从几何方程的解中导出的体积将被称为“有限体积”，并且与之相关联的节点将被称为“有限体积节点”。作为替代，术语“有限体积”可以被“几何结构积”代替。
类似地，其参数是从使用下面描述的代数技术导出的体积将被称为“代数体积”，并且与之相关联的节点将被称为“代数体积节点”。
该方法使用建模方程的积分形式，该建模方程被离散为关于与网格的各个节点相关联的体积的方程。为了便于参考，关于与各个节点相关联的体积的这些方程将被称为“体积方程”。
关于每个体积的体积方程表示体积大小、网格中各个体积和相邻体积之间的面域向量以及穿过面域的通量之间的关系。
在体积的封闭面上设计并实施了体积方程的数值格式，以计算通量。作为说明性示例，图3(a)说明了与节点m相关联的基于顶点的有限体积的2D示例。在该示例中，有六个相邻节点n,n1,…,n5。显示了节点m和每个对应的相邻节点n,n1,…,n5之间的几何连接。该体积以节点m和每个相邻节点n,n1,…,n5之间的各个面域为边界，用实线描绘。面域向量ΔSm,p与每个面域相关联，其中m表示节点，p表示通过第p个边缘为基于边缘的数据结构记录的第p个面。
对于一般情况，节点m被记录在集合Ξ(m)中的N(m)个面(即n,n1,…,n(m-1))封闭，并且节点np表示节点m的第p个相邻点。
作为对建模方程为NS方程(1)的情况的示例，对于任意多边形的有限体积m(3D中为多面体)，通过NS方程(1)的离散化导出的体积方程可以表达如下：
Figure BDA0004040741690000091
其中Qm是控制体积的质心处的守恒流动变量向量，表示控制体积m的平均值，Qm,p代表其第p个面的质心处的重构流动变量的向量，代表面平均值，Ξ(m)代表控制体积m的面集合，并且Vm是控制体积m的大小。ΔSm,p标志着控制体积m的第p个面的面域向量。向量ΔSm,p＝nm,pΔSm,p，其中ΔSm,p表示第p个面的面积。
通常，步骤S1可以利用任何技术来选择节点。各种方法是已知的，并且可以在这里应用。步骤S1可以采用对于结构化网格和非结构化网格已知的任何网格生成方法，包括在介绍中承认的讨论结构化网格和非结构网格的文献中教导的任何方法。
可以结合应用于以下描述的建模方程的解的数值方法来选择网格划分策略。
网格生成可以适用于正在建模的物理系统。作为示例，粘性壁的建模可以如下执行。可以在粘性壁附近生成高纵横比棱柱网格以求解边界层，并且可以在其他区域生成传统的四面体网格。
四面体网格生成方法可以使用已经被很好地开发的已知技术。
边界层的网格划分可以使用推进层方法，例如如参考文献[21]中所披露的在壁附近生成高纵横比网格的有效方法。然而，处理边界层元素的碰撞问题并不容易。可能使用几种方法来解决网格碰撞问题，例如如参考文献[22，23]中所披露的。本文呈现了一种有效且简单的替代策略。
主要思想如下：首先，生成四面体网格来分解整个计算域；然后采用推进层方法在(一个或多个)粘性壁附近创建高纵横比边界层网格。由于计算域的空间已被四面体网格填充，因此在生成棱柱边界层网格的过程中，应用经常用于具有边界运动的非定常流动模拟的动态网格方法来连续移动四面体网格。采用任意拓扑网格和无网格点来处理网格划分失败，提高网格质量。
算法概述如下。
(1)使用四面体网格对整个计算域进行网格划分。这是初始网格；
(2)从四面体网格中提取粘性壁上的三角形元素。记录单元和节点；
(3)计算每个粘性边界节点的理想生长方向(向量)；
(4)采取推进层方法以生成高纵横比元素。粘性壁上的所有节点都是推进层的初始集合。逐层生成边界层网格。停止边界层元素生长的标准是生长高度达到设置或者相应元素的网格质量低于用户定义。循环直到推进层集合的所有节点达到停止标准：
(a)如果节点i未达到推进层上的停止标准，则为该节点i生成新层。
(b)使用边界层网格的设置计算推进高度，并记录新节点inew的相应位置；
(c)新节点inew的位置被用作移动的边界节点，以使用动态网格方法来推动四面体网格。然后对移动的四面体网格进行优化和平滑。如果某些元素的体积为负或质量低于用户设置，则一个过程将尝试局部移除这些元素，并重新连接相应的节点以重新生成四面体元素。如果尝试重新生成网格失败，则将删除新添加的节点inew。这意味着节点i及其相邻点已满足停止标准。将他们标记并从推进层集合删除。
(d)在推进层中，节点i被新节点inew替换。
图4显示了生成非常高推进层网格的情况。几何结构是航天飞机的前机身。边界层网格的高度设置高于整个域的大小。将其应用于测试所提出的推进层方法的性能。最终的网格在机身的法向方向上具有结构化网格的一些特征。随着边界层元素的增长，网格划分可以自动地平滑、删除和重新生成一些四面体元素。最终层已连接到不允许删除或移动边界网格的远场边界。因此，推进层实际上达到了最大高度。这些演示表明，网格生成方法是鲁棒的。
因此，在开始时在整个计算域中生成传统的四面体网格。棱柱的网格划分在边界层中逐层推进。因此，随着新的棱柱网格层的添加，四面体网格的边界也会移动。这种行为类似于壁边界的膨胀。其逐渐推动四面体网格。动态网格的思想是将边界(新添加的网格和旧的现有四面体网格之间的界面)的运动有效地传输到内场的网格节点中。因为移动边界附近的元素的体积可能由于边界的移动而变为负值。当与壁相邻的第一单元的大小较小时，这变得更有可能。
边界节点的位置是已知的。该位置为边界层网格的外层。因此，可以根据先前位置和当前位置之间的位置变化来获得每个边界节点的位移。可以采用如参考文献[24-27]中披露的基于径向基函数(Radial Basis Function,RBF)的动态网格方法。
在步骤S2中，存在与每个节点相关联的有限体积的导出的参数。这些参数是与每个有限体积节点相关联的有限体积的大小，以及网格中各个有限体积和相邻体积(通常可以是有限体积或代数体积)之间的面域向量。这些参数是从表示有限体积几何结构的几何方程的解导出的。该步骤可以以对于结构化网格和非结构化网格已知的常规方式执行。
作为说明，当体积方程采用以上方程(12)所示的形式时，该步骤涉及控制体积m的大小Vm和面域向量ΔSm,p的导出。
需要注意的是，在下面描述的后续步骤中，代数体积与一些节点相关联。因此，关于那些代数体积节点，在以下步骤S7中执行的数值解中不使用在步骤S2中导出的大小和面域向量。步骤S3和S4使用网格质量的度量来选择与节点相关联的体积是有限体积还是代数体积，如下。
在步骤S3中，导出与每个节点相关联的有限体积的至少一个质量度量。
网格质量显著地影响数值模拟的精度、稳定性和收敛性。网格质量有很多不同的定义，例如纵横比、斜度、平滑度和正交质量，其中任何一个都可以应用于此。
一个示例是，使用体积的大小是可能的，因为低或负的大小指示质量差的体积。这种质量度量是特别重要的，并且最好是与一种或多种其他度量一起使用的度量之一。
参考文献[28]中描述了其他度量，其中任何度量均可应用。参考文献[28]中更详细描述的可以使用的非限制性质量度量是(a)有限体积的纵横比度量，这是体积拉伸的度量；(b)在节点所在地中网格的偏度的度量；(c)与节点所在地中的相邻节点相关联的有限体积的大小中的过渡的平滑度的度量；和/或(d)有限体积的正交质量，可以例如基于正交于每个面的向量、从体积质心到每个相邻体积的质心的向量以及从体积质心到其每个面的向量来确定该有限体积的正交质量。
在步骤S4中，由至少一个质量度量指示为低质量的节点被选择为代数体积节点，而其他节点被选择作为有限体积节点。该选择可以基于可以以任何合适的方式一起使用的质量度量，例如使用组合单独的度量并将其与阈值进行比较的总体质量度量，和/或通过将单独的度量与各个阈值进行比较。更一般地，可以使用任何分类技术来将质量度量的集合分类为指示节点具有高质量或低质量。
基于在步骤S3中导出的质量度量，作为在步骤S4中选择节点作为代数体积节点的替代，可以基于其他标准将节点选择为代数体积节点。一些非限制性示例如下。
在一个示例中，位于移动对象周围的节点可以被选择为代数体积节点。用于实施这一点的一个选择是调整步骤S3以导出与物理系统中的对象的距离度量，并且调整步骤S4以基于在步骤S3中导出的距离度量，例如距离是否为阈值或阈值以下，来选择节点作为代数体积节点。
在另一示例中，可以基于用户输入将节点选择为代数体积节点。这允许工程师决定在哪些节点上获得本方法的益处。
重要的一点是，下面描述的以下步骤的数值技术可以应用于作为代数体积节点或有限体积节点的节点的任何任意选择。
在步骤S5中导出代数体积的参数。这些参数是与每个有限体积节点相关联的代数体积的大小，以及网格中各个代数体积和相邻体积(通常可以是有限体积或代数体积)之间的面域向量。
大小和面域向量被导出以提供关于代数体积节点的体积方程，该代数体积节点具有与关于有限体积节点的体积方程统一的表示。因此，通过与图3(a)中显示的有限体积相比，图3(b)中显示了与相同节点m相关联的代数体积。代数体积以节点m和每个相邻节点n,n1,…,n5之间的各个面域为边界，在这种情况下由曲线描绘以说明这些面域的位置不是几何定义或已知的事实。尽管如此，面域向量ΔSm,p与每个面域相关联。
对于一般情况，以与有限体积相同的方式，在代数体积的情况下，对于被记录在集合Ξ(m)中的N(m)个面(即n,n1,…,n(m-1))封闭的节点m以及对于表示节点m的第p个相邻点的节点np，通过与每个面域相关联的大小Vm和面域向量ΔSm,p保留了代数体积具有统一的表示的情况。
作为说明，当有限体积的体积方程采用以上方程(12)显示的形式时，几何参数Ξ(m)、Vm和ΔSm,p是构建有限体积方法的数值格式的关键变量，这些参数固有地被包含在几何控制体积中。虽然几何参数Ξ(m)与节点本身的几何结构有关，但对于代数体积，大小Vm和面域向量ΔSm,p没有被几何地定义，这可能被认为是由于节点之间缺少几何连接造成的。因此，这些参数的推导如下。
在步骤S5中，从表示网格中各个代数体积和每个相邻体积之间的通量的每个代数体积的离散化微分通量方程的解中导出与每个有限体积节点相关联的代数体积的大小以及网格中各个代数体积与相邻体积之间的面域向量，如下。
步骤S5可以使用参考文献[29]中提出的代数体积方法，现在将对此进行描述。以下示例涉及建模方程为NS方程的情况。然而，这仅仅是为了说明，如上所述，这些方法可以被推广到本方法应用的任何其他形式的建模方程。
NS方程的微分形式可以写成如下：
Figure BDA0004040741690000131
与方程(12)相比，我们可以发现控制体积的面域向量等同于将面通量转换为导数(微分形式)的转换器。面域向量在有限体积方法中起着关键作用。代数-体积无网格方法提出了一种为离散点构造这种转换器的方法。
假设计算域由点分解。对于点m，其点云集为
Figure BDA0004040741690000132
相邻点的总数是Nm，并且Nm>d+1，其中d是维数。xm＝(xm,ym,zm)T表示点m的坐标。点m及其第p个相邻点n的中点由下式给出
Figure BDA0004040741690000133
中点通量Fm,p在点m处的泰勒级数展开式为
Figure BDA0004040741690000134
对于粘性流动模拟，高纵横比点分布通常在粘性壁附近生成。在方程的两边增加了权重ω以提高求解逆矩阵的数值精度。忽略高阶部分，我们得到所有Nm相邻点的线性方程
AmBm＝Cm (16)
缩写如下：
Figure BDA0004040741690000135
Figure BDA0004040741690000136
Figure BDA0004040741690000137
可以选择距离的倒数作为权重ω。方程通过以下求解：
Figure BDA0004040741690000138
这是方程(16)的最小二乘解。如果矩阵
Figure BDA0004040741690000139
是奇异的，则移动点m以避免该问题。因此，我们得到解：
Figure BDA00040407416900001310
由
Figure BDA00040407416900001311
表示矩阵
Figure BDA00040407416900001312
第i行的第p个元素，其中上标i代表向量的第i行。我们获得：
Figure BDA00040407416900001313
根据关系式(18)，向量Bm的前三个元素是通量的导数。因此，我们得到了点m处的通量的导数
Figure BDA0004040741690000141
由
Figure BDA0004040741690000142
我们得到了无粘通量导数的和：
Figure BDA0004040741690000143
与有限体积离散化(方程(12))相比，我们称重构向量
Figure BDA0004040741690000144
为代数面积向量。
类似地，我们可以得到粘性通量导数的和。因此，通过代数体积无网格方法对NS方程(13)的微分形式的离散化如下：
Figure BDA0004040741690000145
其中，
Figure BDA0004040741690000146
表示代数体积的“体积”，这里
Figure BDA0004040741690000147
在此基础上，与每个有限体积节点相关联的代数体积的大小和网格中各个代数体积与相邻体积之间的面域向量是从表示网格中各个代数体积和每个相邻体积之间通量的每个代数体积的离散化微分通量方程的解中导出的，例如由方程(20)表示的解。
在此示例中，离散化微分通量方程是网格中各个代数体积和每个相邻体积之间的通量之间的中点处的通量的泰勒级数展开。然而，也可以使用其他形式的离散化微分通量方程。
因此，在此示例中，通过以下方程定义关于第m个代数体积节点的矩阵Am：
Figure BDA0004040741690000148
其中，(xm,ym,zm)是第m个代数体积节点的坐标，(xm,p,ym,p,zm,p)是第m个代数体积节点及其第p个相邻节点的中点的坐标，并且ωm,p是关于第m个代数体积节点及其第p个相邻节点的权重，可选地取值为1。尽管也可以使用其他形式的矩阵Am。
导出面域向量的步骤包括求解矩阵
Figure BDA0004040741690000149
并且导出关于第m个代数体积节点及其第p个相邻节点的面域向量
Figure BDA00040407416900001410
如下：
Figure BDA00040407416900001411
其中，
Figure BDA00040407416900001412
是求解后的矩阵
Figure BDA00040407416900001413
第i行的第p个元素。
离散化微分通量方程的权重可以用于增强解的数值精度，例如通过合并以上权重ω，或实际上任何其他形式或权重。
在上述方法中，代数体积的大小
Figure BDA0004040741690000151
被认为是相同的，即在上述方法中是统一的。更一般地，这不是必需的，代数体积可以具有变化的大小
Figure BDA0004040741690000152
例如，代数体积的大小
Figure BDA0004040741690000153
可以与局部节点密度的倒数成正比。当代数体积的大小
Figure BDA0004040741690000154
变化时，这些
Figure BDA0004040741690000155
具有预定值，并且上面列出的方程会相应地改变。
在步骤S5中，将建模方程的积分形式离散为关于与网格的各个节点相关联的体积的体积方程。如上所述，关于每个体积的体积方程表示体积大小、网格中各个体积和相邻体积之间的面域向量以及穿过面域的通量之间的关系。在步骤S2中从几何方程的解导出的关于有限体积节点的大小和面域向量用于有限体积节点的体积方程。在步骤S5中从离散化微分通量方程的解导出的关于代数体积节点的大小和面域向量用于代数体积节点的体积方程中。
作为上述统一表示的结果，在有限体积方法的表达式(方程(12))和代数体积无网格方法的表达式之间没有本质区别(方程(26))。因此，NS方程的离散化可以用统一表示表达如下：
Figure BDA0004040741690000156
这是体积方程的一般形式，其固有地涵盖有限体积和代数体积。
在这种一般形式中，点集合可以被认为是一个特殊的“网格”，其中有限体积方法的几何特征是通过加权最小二乘解重建的。符号给出如下。
1.
Figure BDA0004040741690000157
表示计算中的贡献集合。它是有限体积方法中相邻控制体积的集合Ξ(m)，同时表示无网格方法中的点云集合
Figure BDA0004040741690000158
(即相邻代数体积)。
2.
Figure BDA0004040741690000159
表示一般的体积。它是由有限体积方法中的几何公式计算的控制体积的体积Vm，而在无网格方法中代数体积的大小
Figure BDA00040407416900001510
是常数。
3.
Figure BDA00040407416900001511
代表一般的面域向量。它是有限体积方法中控制体积的几何面域向量ΔSm,p，而无网格方法经由加权最小二乘法计算代数面积向量
Figure BDA00040407416900001512
此外，研究发现，网格和点的所有几何结构相关参数
Figure BDA00040407416900001513
和
Figure BDA00040407416900001514
是在预处理器中计算的基本信息。基于网格的信息通过几何公式获得，而无网格点采用加权最小二乘重建。
尽管在该示例中离散化微分通量方程的解是最小二乘解，但是可以替代地应用其他解，例如使用最小二乘法、径向基函数方法或有限差分方法等。
类似地，空间和时间离散化的所有流动参数(Qm、t、F(Qm,p)，和Fvis(Qm,p))和数值格式对于基于网格方法和无网格方法都是相同的。因此，大多数数值代码可以共享。
在步骤S7中，求解体积方程以导出有关物理系统的物理性质的信息。鉴于统一表示，步骤S7可以使用用于代数体积节点和有限体积节点的公共求解器。与使用无网格方法相比，这种共享大部分数值代码的能力大大简化了方法。也就是说，步骤S7可以采用对于结构化网格和非结构化网格已知的任何数值技术，包括在介绍中所承认的讨论结构化网格和非结构网格的文献中所教导的任何技术。
现在考虑对流通量。
由于对流的特征，对流通量的离散化方案显著地影响了稳定性。其通过以下评估：
Figure BDA0004040741690000161
其中，
Figure BDA0004040741690000162
和
Figure BDA0004040741690000163
分别表示普通面的左手侧和右手侧的值。Fc代表对流通量的数值离散化格式，例如具有人工耗散的中心格式(如参考文献[30]中所披露的)、通量-向量分裂(如参考文件[31，32]中所披露的)、通量-差分裂(如参考文献[33]中所披露的)等。
如果我们直接取每个体积的流动解，这只是第一阶。为了达到二阶精确度，我们必须在一般面的中心重建左右手流动解。假设解在每个控制/代数体积中分段线性分布。对于流动变量，左手侧和右手侧的值推测如下
Figure BDA0004040741690000164
其中，xm,p是面中心的坐标向量，xm代表控制体积m的质心的坐标向量；下标n表示控制体积m的第p个相邻点，并且φ是限制器函数。其值在平滑区域中应趋向于1，在不连续区域中应趋向于0。采取了两种流行的限制器，即参考文献[34]中披露的Barth&Jespersen限制器和参考文献[35]中披露的Venkatakrishnan限制器。
Figure BDA0004040741690000165
代表变量q的梯度，其是通过如参考文献[36]中披露的格林-高斯方法和加权最小二乘重建获得的。前者通过以下求解：
Figure BDA0004040741690000166
粘性通量通过中心差分方法求解。
在步骤S7中应用如下的时间推进方法。
NS方程(27)的半离散形式可以写成如下：
Figure BDA0004040741690000167
其中，R表示NS方程的残差。对上述方程收益的残差项的隐式离散化得到：
Figure BDA0004040741690000168
其中，k是时间步长的数量，Δt是时间步长的大小，并且
Figure BDA0004040741690000169
由于无法直接获得下一时间步长(k+1)的残差值，因此隐式表达的残差项R通过以下进行时间线性化：
Figure BDA00040407416900001610
其中，J代表雅可比(Jacobian)矩阵，
Figure BDA00040407416900001611
在通量分裂后，我们可以获得通过多次对称高斯-塞德尔迭代求解的代数方程。每次迭代都作为一对扫描操作：一个向前，一个向后。参考文献[39]中披露了时间推进方法的更多细节，并且可以在这里应用。
总之，因此，本文披露的统一的网格/无网格方法引入了特殊的控制体积，即代数体积，以描述离散点。有限体积方法的控制体积和无网格方法的代数体积都包含相邻点、面和边缘等。有限体积方法的控制体积和无网格方法的代数体积可以在统一的网格/无网格方法的框架中共享基于边的有限体积方法的数据结构。此外，当我们同时使用网格节点和无网格点时，很容易发现网格节点和无网格点之间没有界面。因此，统一的网格/无网格方法与非结构化方法一样统一和紧凑。这对于解决复杂配置的应用是有吸引力的。
实际上，本文披露的方法可用于网格任意复杂的配置。这些方法自然地将网格和点合并在一起，以解决即使具有移动部件的复杂的配置。网格划分失败被固有地避免了。这些方法利用统一的方式来定义具有几何控制体积和不需要节点之间的连接的无网格点的网格元素，并且允许传统的有限体积求解器使用统一的网格/无网格方法并且在预处理器和边界条件中进行微小修改。对于复杂几何结构的网格划分，统一的网格/无网格方法与无网格方法一样灵活，但解变得更加稳定和准确。
特别地，本文披露的方法不同于混合网格方法的思想，例如参考文献[28-32]中披露的混合结构化网格/非结构化网格和参考文献[40-42]中披露的混合无网格/基于网格的方法。这些方法需要两种不同的数值方法(求解器)来处理相关的网格类型，并对两种类型的界面进行特殊处理。这种混合方法论极大地增加了开发和维护计算分析代码的难度和工作量，因为其总体规模很大。本文披露的方法在数据结构和数值方法方面都是统一和紧凑的，这与基于顶点的有限体积方法的那些方法相似。
可应用本文披露的方法的复杂配置的一个示例是正被研究用于下一代燃气轮机的双壁积液冷却系统。这样的系统可以包括内壁和外壁以及连接两个壁的基座。这是一种多尺度几何结构，叶片的尺度大约是冷却孔直径的100倍。大量的孔和基座也是难以处理的。孔、基座和叶片壁的接合处容易产生奇点。因此，使用传统的网格生成方法对于这种几何结构的网格划分是一个巨大的挑战，但使用本文披露的方法是可以解决的。
本文披露的应用于实际物理系统的方法的一些示例如下。
通过用于网格划分的网格节点和无网格点的不同混合思想，研究了统一的网格/无网格方法。采用了国家航空咨询委员会(National Advisory Committee forAeronautics,NACA)0012翼型以全面验证所提出的方法。模拟了两种典型的流动，即低速和跨音速。低速的流动条件为马赫数0.15，攻角为0°，雷诺数为6×106。对于跨音速流动，马赫数为0.775，攻角为2.05°，雷诺数为107。采用了参考文献[62]中披露的方案以用于低速流动模拟，同时采用了参考文献[61]中披露的方案以用于跨音速流动的方案。应用了参考文献[64]中披露的Venkatakrishnan限制器以用于模拟。
基本网格为225×65。通过将部分网格节点转换为无网格点来生成不同的统一网格。利用两种类型的网格/无网格统一思想，即分区网格划分和融合网格划分，以获得统一的网格。前者包括网格区和点区，使得相同类型的网格可以在其自身的区域中彼此良好地连接。调查中强调了两个区域的界面。后者将一定百分比的网格节点转换为无网格点。网格节点和无网格点被充分地混合。界面随处可见以便研究一般体积方法的无界面特征。每个无网格点云收集与当前点共享相同网格元素的所有节点。
图5显示了统一网格的细节。图5(a)显示了传统网格，图5(b)展出了无网格点。后者是从网格节点转换的，以保持一致。对于图5(c)和图5(d)所示的分区网格，内部区域由[x∈(-0.15，1.15)，y∈(-0.15，0.15)]定义。两个区域之间存在明显的界面。对于图5(e)至图5(g)显示的融合网格划分，网格节点和无网格点彼此混合。通过节点ID的数量将网格节点转换为无网格点。例如，在图5(e)显示的50％网格节点和50％无网格点的融合网格划分中，奇数ID的网格节点保持网格连接，而偶数ID的网格节点则被转换为无网格点。因此，在融合网格划分中，网格节点和无网格点被很好地混合。
分区统一网格划分被考虑如下。
通过采用两个不同的网格/点区域可以清楚地显示界面。因此，本节将研究求解的穿过界面的流动的特征。图6和图7分别显示了低速和跨音速流动的最大和平均残差的收敛历史。残差是能量方程的残差。在图中，“FV”表示传统的基于顶点的有限体积方法，“MF”代表代数体积无网格方法，“网格&点”标志着内部区域由网格分解，外部是无网格点，并且“点&网格”指示内部区由无网格点分解，外部是网格。流场由所有模拟的远场设置统一初始化。所有方法都收敛良好。基于两种分区统一网格的通用体积方法的收敛历史彼此之间非常接近，与有限体积方法的收敛历史相似，但略优于无网格方法的收敛历史。结果指示，不连续冲击波不影响存在于两种网格之间的界面处的分区统一网格的收敛。
图8和图9分别呈现了低速和跨音速流动的求解的无维度压力。由两个统一的网格获得的结果看起来非常接近并且与有限体积和无网格方法的结果非常相似。同时，发现网格区和点区之间的穿过不规则界面(红色曲线显示)的压力等值线(用黑色描绘)非常连续。冲击波和相关网格/点的特写展示在图9的右上框中。穿过两个区域的界面的冲击波很好地被求解。图10显示了通过不同方法获得的表面压力系数的比较。对于低速流动，结果非常一致。在图10(b)中，网格密度沿着无网格方法的曲线被描绘为紫色点。结果指示了冲击波在两个节点或点上被准确地捕获而没有任何振荡。由统一的网格/无网格方法获得的解与实验数据吻合良好。由统一的网格/无网格方法获得的解和实验数据与有限体积方法的解非常接近，比无网格方法的解略胜一筹。
融合统一网格划分被考虑如下。
分区网格划分将流域视为两个独立的区域。结果指示了通用体积方法可以成功地求解网格区和点区之间的界面而不会产生任何振荡。因此，本节将进一步介绍测试情况。网格节点和无网格点充分混合在一起。通过网格和点的融合生成统一的网格。例如，在图5(e)所描绘的50％混合的临界融合中，网格和点在任何地方都彼此连接。每个节点由无网格点包围，并且每个点由节点包围(图5(e)的特写中显示)。采用这种特殊的网格划分思想以全面地演示统一的网格/无网格方法的极端情况，并研究了通用体积方法在不进行任何界面处理的情况下求解网格节点和无网格点的能力。应该注意的是，在大多数应用中，例如图5(f)和图5(g)，点的数量仅是统一网格的一小部分。
对于低速和跨音速流动，图11和图12分别显示了收敛历史的比较。对于所有三种情况，统一的网格/无网格方法的最大残差和平均残差都很好地收敛。它们执行的收敛速度与传统的有限体积方法非常类似。如果仅将一小部分网格节点转换为点，则收敛性略优于代数-体积无网格方法。图13和图14显示了无维度压力轮廓。每个小红点表示从网格节点转换的无网格点。
所有求解的流场看起来与图8和图9显示的有限体积方法非常接近。即使对于不连续流动(例如冲击波)，轮廓线(黑色)也相当连续。50％混合的临界研究融合令人印象深刻地演示了统一的网格/无网格方法的无界面特征，该方法经由通用体积方法自然地将两种类型的网格一起求解。
图15比较了获得的表面压力系数。统一的网格/无网格方法的结果与实验、有限体积方法和无网格方法的结果十分一致。50％融合网格划分的结果与无网格方法的结果接近。当点的比例减少时，该50％融合网格划分的结果变得更接近于有限体积方法。结果显示出相当好的一致性。此外，其自动地求解了网格节点/无网格点的界面。获得的流动是准确的，并且没有观察到振荡。
因此，本文披露的方法通过NACA0012翼型被很好地验证。利用亚音速和跨音速高雷诺数流动来研究该能力。通过网格节点和无网格点的不同混合方式生成统一网格。节点的某些部分被转换为点。分区统一网格划分和融合统一网格划分被利用。模拟显示了很好的收敛性和精度。此外，与有限体积方法和无网格方法的比较指示了统一的网格/无网格方法在收敛性和精度上与流行的有限体积方法相当。
改进收敛性的潜力被考虑如下。
很难生成每个元素都能达到高网格质量的网格。低质量元素显著影响模拟的收敛性和精度。这里是利用统一的网格/无网格方法(GM)来改进仿真收敛性的示例。研究了高雷诺兹数航空结构动力学(HIgh REynolds Number AeroStructural Dynamics,HIRENADS)项目的配置。机翼后掠角为34°，并且BAC3-11翼型可利用于任何部分。翼展为1.28857m，参考长度0.3445m，以及参考面积0.3926m2。计算域的远场是参考长度的100倍。
图16显示了网格。首先，生成传统的混合四面体和棱柱网格。网格元素总数为800万，网格节点数为300万。如图16(c)和图16(d)显示的，在前缘、后缘和翼尖等处对网格进行了细化。将通过传统的有限体积(FV)方法求解该网格的结果与将低质量元素转换为无网格点的统一的网格/无网格方法(GM)的结果进行了比较(在图16(f)中显示)。图像指示了很难提高在前缘、后缘、机翼/机身接合处和翼尖处的网格质量。通常需要对这些区域进行网格细化以求解复杂的几何结构。因此，体积网格的过渡成为一个挑战。这一事实也指示了统一的网格/无网格方法在应用中具有巨大的潜力。
收敛历史的比较在图17中显示。“最大”标志着能量方程的最大残差。“平均”表示平均的残差。“Cl”和“Cd”分别代表升力和阻力系数。自由流马赫数为0.8，基于参考长度的雷诺数为7×106。攻角为1.5°。流动由自由流条件统一地初始化。模拟中利用了SA湍流模型。在开始处，有限体积方法(FV)和统一的网格/无网格方法(GM)的残差收敛历史非常相似。此后他们的区别变得明显。由于低质量元素的影响，传统有限体积(FV)方法的最大残差和平均残差都不能很好地收敛。相反，统一的网格/无网格方法的最大残差和平均残差的收敛性更好。从图17(b)中可以看出，两种方法的空气动力收敛性相当相
图18中显示了通过统一的网格/无网格方法(GM)求解的流场。边界上的压力轮廓在图18(a)中展示，其中“P”表示无维度压力。在超临界机翼的顶部可以发现微弱的冲击波。流场切片在图18(b)中显示，其中“Ma”代表马赫数。在上表面附近可以发现冲击波。边界层也很清楚。图18(b)右上侧显示的特写图片将获得的冲击波与网格单元的规模进行了比较。冲击的宽度在两个单元内被明显地捕捉到。图19显示了机翼不同翼展方向位置上的表面压力系数的比较。由有限体积方法(FV)和统一的网格/无网格方法(GM)获得的结果非常一致。这些结果几乎在所有翼展方向的测站上重合(因此实际上很难在图中看到FV曲线)。比较指示了统一的网格/无网格方法(GM)将低质量元素转换为无网格点，显著提高了模拟的收敛性。
双壁积液冷却配置被考虑如下。
较高的涡轮入口温度可以获得更好的热力学效率。如今，涡轮入口温度远远超过了涡轮叶片材料的熔化温度。良好的冷却技术不仅可以维护叶片，还可以延长涡轮部件的寿命。双壁积液冷却方法可以有效地提高燃气轮机高压涡轮的冷却性能。但对于CFD模拟而言，该方法的配置是复杂的。挑战之一是这种多尺度几何结构的网格划分。很难生成总数不太大且质量不太低的适当网格来模拟流动。如果利用传统的非结构化网格，通常需要大量的人工干预，并且花费很长时间。采用统一的网格/无网格方法来挑战这一复杂的应用。
用于双壁积液冷却配置的统一的网格/无网格方法在图20中显示。图20(a)中描述了计算域和边界条件。入口边界使用总压力和总温度，出口采取静压。冷却剂从底部供给。包括2×5个如图20(b)所描绘的重复单元。重复单元的大小为4.8mm×4.8mm。包含4个冲击孔、9个基座和1个薄膜孔。冲击孔和基座的倾角为90°，而薄膜孔的倾角为30°。冲击孔和薄膜孔的直径为0.4mm，而基座的大小为0.4mm×0.4mm。冲击孔和基座的高度为0.8mm，并且内壁和外壁的厚度也为0.8mm。
首先由四面体网格划分域，其细节如图20(c)至图20(g)所示。可以发现，网格节点分布良好。围绕孔和基座对网格进行了细化。冲击孔与基座的接合处以及基座与薄膜孔的接合处存在奇点。在图20(i)和图20(j)所展出的棱柱边界层网格划分之后，存在许多负-体积元素。对于传统的非结构化网格方法，需要反复调整网格划分参数或修改几何结构，直到这些麻烦元素不再出现。相反，对于统一的网格/无网格方法，网格质量评估处理器将这些元素的节点转换为无网格点，如图20(k)和图20(l)显示的示例。此外，统一的网格生成是自动的和快速的。生成网格只需一天。包括网格节点和无网格点在内的统一的网格元素的总数为1900万。
热主流流动的马赫数为0.7，压力为70bar，温度为2300K。主流/冷却剂的温度比为2.5。模拟的收敛历史在图21中显示。流动由主流入口条件统一地初始化。采用k-ωSST湍流模型。由ρcuc/ρmum定义的吹风比(M)为1。这里下标c代表冷却剂，而m表示主流。仿真收敛良好。图22演示了从增压室到主流的流线。沿线的颜色表示湍流动能。该沿线显示了冷却剂的复杂路径，该冷却剂穿过冲击孔，然后围绕基座移动，经由薄膜孔喷出，最后与主流热气混合。
在图23和图24中研究了吹风比(M)的影响。图23(a)的侧视图中显示的切片是位于薄膜孔中心线且正交于壁的切片。壁温度显示在顶视图上。每个薄膜孔下游的不同切片在图23(b)中演示，其中“D”表示薄膜孔的直径。温度刻度仅显示在图23(a)的底部。吹风比显著地影响温度场。较低的吹风比表示较少的冷却剂喷射。从吹风比0.2到0.5，薄膜由于附加的冷却流动而变得更好。表面获得了更强的保护。当吹风比进一步增加到0.7时，不容易分辨出与吹风比0.5之间的差别。相反，当吹风比增加到1时，薄膜覆盖范围变得更差。清楚地示出了提离冷却剂。同时，上游的薄膜也显著地影响下游的薄膜。薄膜在低吹风比下变得越来越好，在高吹风比下变得更差，因为流动会通过薄膜孔。
图24(a)比较了侧视图和顶视图上温度1250K的等值面。在低吹气比下，等值面很快消失。高冷却剂质量流动速率增强了冷却效果。同时，冷却效果在下游变得越来越强。由(T0-Tw)/(T0-Tc)定义的绝热薄膜效率(η)在图24(b)中显示。T0表示主流的总温度，Tw代表局部壁温，并且Tc标志着冷却剂的温度。η＝0表示无冷却效果，η＝1意味着壁获得最佳冷却效果。当吹风比低于0.5时，吹风比的增加可以提高薄膜的有效性。然而，当吹风比进一步增加时，膜的有效率降低。
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Claims (18)

1.一种物理系统的计算分析方法，所述物理系统通过表示所述物理系统的物理属性之间的关系的建模方程来建模，所述方法包括：
生成离散节点的网格；
关于被称为代数体积节点的至少一些节点，从表示所述网格中各个代数体积和每个相邻体积之间的通量的每个代数体积的离散化微分通量方程的解导出与每个代数体积节点相关联的代数体积和所述网格中的相邻体积之间的面域向量；
将所述建模方程的积分形式离散化为关于与所述网格的各个节点相关联的体积的体积方程，关于每个体积的所述体积方程表示所述体积的大小、所述网格中的各个体积和相邻体积之间的面域向量以及穿过所述面域的通量之间的关系，
其中关于所述代数体积节点的在所述体积方程中表示的所述面域向量是从所述离散化微分通量方程的解导出的面域向量；以及
求解所述体积方程并导出所述物理系统的所述物理性质的信息。
2.根据权利要求1所述的方法，其中离散化微分通量方程的所述解是最小二乘解。
3.根据权利要求1或2所述的方法，其中对所述离散化微分通量方程进行加权以提高所述解的数值精度。
4.根据前述权利要求中任一项所述的方法，其中所述代数体积的大小是相同的。
5.根据前述权利要求中任一项所述的方法，其中所述离散化微分通量方程是在所述网格中的各个代数体积和每个相邻体积之间的通量之间的中点处的通量的泰勒级数展开。
6.根据前述权利要求中任一项所述的方法，其中，
通过以下方程定义关于第m个代数体积节点的矩阵Am
Figure FDA0004040741680000011
其中，(xm,ym,zm)是所述第m个代数体积节点的坐标，(xm,p,ym,p,zm,p)是所述第m个代数体积节点及其第p个相邻节点的中点的坐标，以及ωm,p是关于所述第m个代数体积节点及其第p个相邻节点的权重，所述权重可选地被取值为1；
导出面域向量的步骤包括求解矩阵
Figure FDA0004040741680000012
以及导出关于所述第m个代数体积节点及其第p个相邻节点的所述面域向量
Figure FDA0004040741680000013
为：
Figure FDA0004040741680000014
其中，
Figure FDA0004040741680000021
是所求解出的矩阵
Figure FDA0004040741680000022
的第i行的第p个元素。
7.根据前述权利要求中任一项所述的方法，其中，所述物理系统是流体系统。
8.根据权利要求7中任一项所述的方法，其中，所述建模方程是纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程，可选地包括对无粘性流动的修改。
9.根据前述权利要求中任一项所述的方法，其中，所述物理系统具有守恒的物理性质。
10.根据前述权利要求中任一项所述的方法，还包括，关于除所述代数体积节点之外的并且被称为有限体积节点的节点，从表示有限体积的几何结构的几何方程的解导出与每个有限体积节点相关联的有限体积的大小以及所述网格中在各个有限体积和相邻体积之间的面域向量，
其中，在所述体积方程中表示的关于所述有限体积节点的大小和面域向量是从所述几何方程的解导出的所述大小和面域向量。
11.根据权利要求10所述的方法，还包括选择所述至少一些节点作为代数体积节点，并且选择其他节点作为有限体积节点。
12.根据权利要求11所述的方法，其中
所述方法还包括导出与每个节点相关联的有限体积的至少一个质量度量；以及
选择所述至少一些节点的步骤包括选择由所述至少一个质量度量指示为低质量的节点作为代数体积节点，并且选择其他节点作为有限体积节点。
13.根据权利要求12所述的方法，其中所述至少一个质量度量包括以下中的一个或多个：
所述有限体积的大小；
所述有限体积的纵横比的度量；
在所述节点所在地中的所述网格的偏度的度量；
与所述节点所在地中的相邻节点相关联的有限体积的大小中的过渡的平滑度的度量；以及
所述有限体积的正交质量。
14.根据权利要求10至13中任一项所述的方法，其中关于所述代数体积节点的所述体积方程和关于所述有限体积节点的所述体积方程具有统一表示。
15.根据权利要求14所述的方法，其中求解所述体积方程的步骤使用用于所述代数体积节点和所述有限体积节点的公共求解器。
16.一种计算机程序，所述计算机程序能够由计算机设备执行，并且被配置为在执行时使所述计算机设备执行根据前述权利要求中任一项所述的方法。
17.一种计算机可读存储介质，所述计算机可读存储介质存储有根据权利要求16所述的计算机程序。
18.一种计算机设备，所述计算机设备被布置为执行根据权利要求1至15中任一项所述的方法。
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