CN115605884A - 使用内部和外部误差校正码的魔法态提取 - Google Patents

Abstract

所公开的示例涉及在量子计算设备上提取魔法态，该魔法态被编码在包括外码的[[n,k,d]]块码中。一个示例提供了一种方法，该方法包括使用数据量子比特制备编码的噪声魔法态，并在数据量子比特上测量克利福德稳定子，从而应用内码。该方法进一步包括初始化输出量子比特，并启动从编码的噪声魔法态导出的提取魔法态向输出量子比特的隐形传送。该方法进一步包括在数据量子比特上测量X稳定子，根据结果进行后选，利用Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特，并对数据量子比特应用一个或多个后选条件，以完成将提取魔法态向输出量子比特的隐形传送。

Description

使用内部和外部误差校正码的魔法态提取

背景技术

量子计算机运用量子态的叠加和纠缠来执行量子计算。量子态提供了可观测的概率分布。量子比特保存关于单个状态的概率分布的信息。量子计算是使用量子比特和在量子比特上逻辑运算的应用来执行的。通用量子计算可以经由高精度的克利福德运算与被称为魔法态的量子态相结合来实现。

发明内容

提供本发明内容以简化的形式介绍在下文的详细描述中进一步描述的构思的选择。本发明内容并非旨在标识所要求保护的主题内容的关键特征或必要特征，也并非旨在用于限制所要求保护的主题内容的范围。此外，所要求保护的主题不限于解决本发明内容的任何部分中提到的任何或所有缺点的实施。

所公开的示例涉及在量子计算设备上提取魔法态，该魔法态被编码在包括外码的[[n,k,d]]块码中。一个示例提供了一种方法，该方法包括使用数据量子比特制备编码的噪声魔法态，以及在数据量子比特上测量克利福德稳定子，从而应用内码。该方法进一步包括初始化输出量子比特和启动从编码的噪声魔法态导出的提取魔法态向输出量子比特的隐形传送。该方法进一步包括在数据量子比特上测量X稳定子，基于结果进行后选，利用Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特，并对数据量子比特应用一个或多个后选条件以完成将提取魔法态向输出量子比特的隐形传送。

附图说明

图1示意性地示出了示例量子计算机。

图2图示了布洛赫球体，该球体以图形方式表示量子计算机的量子比特的量子态。

图3示意性地示出了用于将任意状态隐形传送到量子比特以及通过测量注入T态或S态的示例测量序列。

图4示意性地示出了用于在给定的几何约束条件下将魔法态隐形传送到块码的示例方案。

图5示意性地示出了[[n,k,d]]块码的示例布局。

图6示出了用于提取魔法态的示例方法的流程图。

图7示出了示例计算系统的框图。

具体实施方式

许多用于量子计算的方案依赖于首先实现一组被称为克利福德运算的高精度的运算。为了实现通用量子计算，有必要实现额外的操作，如T门或CCZ门。不可避免的是，克利福德运算和T门都会有一些误差。大规模的、容错的量子计算机依赖于各种误差校正码。从本质上讲，为了实现容错，误差的校正必须比它们的产生更快。在经由克利福德运算进行通用量子计算的情况下，两种类型的误差校正被执行。误差校正码被用于构建克利福德门，而且额外的误差校正码被用来产生高精度的T门。

误差校正在已用冗余编码的量子态上被执行。不是测量单量子比特，而是在跨多个量子比特执行奇偶校验以检测X误差或比特翻转误差或Z误差或相位翻转误差。可以使用稳定子类型的量子误差校正码来执行克利福德操作中的误差的减少，在本文中称为“内码”。为了减少T门中的误差，假设克利福德运算是高度无误差的，可以使用一种称为魔法态提取的方法，该方法也使用误差校正码，在本文中称为“外码”。结合起来，这些误差校正码会给量子计算机带来很大的开销。

因此，公开了利用最外层码作为全量子误差校正码的魔法态提取的示例。提取码可用于稳定克利福德门，从而减少克利福德门的必要开销。公开了示例提取协议，用于将噪声T态提取成高保真的T态或CCZ魔法态。在一些示例中，该协议是已知抽象误差校正码的定制实现。

在一些示例中，提取协议是基于测量T态的克利福德(而不是泡利)稳定子的想法(参见，例如，E.Knill，2004，arXiv.quant-ph/0402171v1；E.Knill，2004arXiv:quant-ph/0404104v1，以下简称Knill；P.Aliferis,D.Gottesmann,J.Preskill,Quant.Inf.Comput.6,97-165,2006,arXiv:quant-ph/0504218；以及J.Haah,M.Hastings,D.Poulin,D.Wecker,Quantum 1,31,2017,arXiv:1703.07847v1)。在CCZ提取协议的其他示例中，该协议可以使用三正交编码的一般化(E.T.Campbell和M.Howard，Phys.Rev.A 95，022316，2017，arXiv:1209.2426，以下简称Campbell)(参见，例如，S.Bravyi和J.Haah，“Magic-state distillation with low overhead，”Phys.Rev.A 86，052329，2012，以下简称，Brayvi)。

在讨论魔法态提取之前，先讨论量子计算机架构的一些方面。图1示出了配置为执行量子逻辑操作的示例量子计算机10的一些方面。量子计算机10包含至少一个包括量子比特14的阵列的量子比特寄存器12。所图示的量子比特寄存器的长度为8个量子比特。可以理解的是，其他示例量子计算机可以包括更长和更短的量子比特寄存器，并且可以包括任何适当长度的两个或更多量子比特寄存器。

取决于量子计算机10的期望结构，量子比特寄存器12的量子比特14可以采取各种形式。作为示例，每个量子比特可以包括超导约瑟夫森结、俘获离子、耦合到高精细度腔的俘获原子、原子或限制在富勒烯内的分子、限制在主晶格内的离子或中性掺杂原子、表现出离散空间或自旋电子态的量子点、经由静电陷阱夹带的半导体结中的电子空穴、耦合的量子线对、可通过磁共振寻址的原子核、马约拉纳费米子、氦(He)中的自由电子、分子磁体或类金属碳纳米球。通过静电陷阱夹带的半导体结中的电子洞、耦合的量子线对、可通过磁共振寻址的原子核、马约拉纳费米子、氦中的自由电子、分子磁体或类金属碳纳米球。一般来说，每个量子比特14可以包括任何粒子或任何粒子系统，这些粒子或粒子系统可以存在于两个或更多离散的量子态中，这些量子态可以通过实验进行测量和操纵。例如，量子比特可以在对应于通过线性光学元件(如镜子、分束器和移相器)的不同光传播的模式的多个处理状态中实现，也可以在玻色-爱因斯坦凝聚体内积累的状态中实现。量子计算机10可以包括合适的硬件来承载量子比特14。例如，马约拉纳线可以承载马约拉纳费米子。

量子比特的量子态可以在布洛赫球体200上表示，如图2所描绘。在布洛赫球体表面上的点集包括了量子比特的所有可能的纯态|ψ>，而内部的点对应于所有可能的混合态。布洛赫球体200的北极和南级分别对应于标准基向量|0>和|1>。例如，这些基向量可以表示电子或其他费米子的上旋状态和下旋状态。混合态是任何可以被描述为纯态混合的状态。混合态可能是退相干引起的，退相干可能是由于与外部自由度的不良耦合而发生的。经由本文所述的量子逻辑门实现的量子操作等效于围绕布洛赫球体的轴的旋转或一系列旋转。例如，泡利-X门相当于围绕布洛赫球体的X轴旋转了p弧度。

本文讨论的量子态和操作包括：

X＝|1><0|+|0><1|

Z＝|0><0|-|1><1|

T＝|0><0|+e^iπ/4|1><1|

S＝T²＝|0><0|+i|1><1|

|CCZ>＝∑_a,b,c＝0,1(-1)^abc|a,b,c>and

|±>＝0>±1>。

返回到图1，量子计算机10包括控制器18。该控制器可以包括至少一个处理器20和相关联的计算机存储器22。控制器18的处理器20可以可操作性地耦合到例如网络组件的外围组件，以使量子计算机能够被远程操作。控制器18的处理器20可以采取中央处理单元(CPU)、图形处理单元(GPU)或类似的形式。因此，控制器可以包括传统的电子元件。术语“传统”和“非量子”在本文中适用于任何可被精确建模为粒子集合的组件，而无需考虑任何个体粒子的量子态。例如，经典的电子元件包括集成晶体管、电阻器和电容器。计算机存储器22可以被配置为保存使处理器20执行控制器的任何功能或过程的程序指令24。在量子比特寄存器12是低温或低温设备的示例中，控制器18可以包括可在低温或低温下操作的控制组件-例如，在77K(开氏度)下操作的现场可编程门阵列(FPGA)。在这样的示例中，低温控制部件可操作地耦合到可在常温下操作的接口部件。

量子计算机10的控制器18被配置为接收多个输入26并提供多个输出28。输入和输出可以各自包括数字和/或模拟线路。至少一些输入和输出可以是数据线，通过这些数据线向量子计算机提供数据和/或从量子计算机抽取数据。其他输入可以包括控制线，通过这些控制线可以调整或以其他方式控制量子计算机的操作。

控制器18通过量子接口30可操作地耦合到量子比特寄存器12。量子接口被配置为与控制器双向地交换数据。量子接口还被配置为与量子比特寄存器双向交换对应于数据的信号。取决于量子计算机10的结构，这种信号可以包括电、磁和/或光信号。经由量子接口隐形传送的信号，控制器可以询问并以其他方式影响在量子比特寄存器中保存的量子态，如由量子比特14的阵列的集体量子态定义的。为此，量子接口包括至少一个调制器32和至少一个解调器34，每个可操作地耦合到量子比特寄存器的一个或多个量子比特。每个调制器被配置为基于从控制器收到的调制数据向量子比特寄存器输出信号。每个解调器被配置为感应来自量子比特寄存器的信号并基于该信号向控制器输出数据。在一些示例中，从解调器接收的数据可以是对保持在量子比特寄存器中的量子态的测量的可观测的估计。

在一些示例中，来自调制器32的适当配置的信号可以与量子比特寄存器12的一个或多个量子比特14进行物理交互以触发对一个或多个量子比特中保持的量子态的测量。然后，解调器34可以感知由一个或多个量子比特根据测量释放的结果信号，并可以向控制器18提供对应于结果信号的数据。换句话说，解调器可以被配置为基于所接收的信号，输出反映量子比特寄存器的一个或多个量子比特的量子态的一个或多个观测变量的估计值，并将该估计值提供给控制器。在一个非限制性的示例中，调制器可以基于来自控制器的数据向一个或多个量子比特的电极提供适当的电压脉冲或脉冲序列，以启动测量。解调器可以感知来自一个或多个量子比特的光子发射，并可以将量子接口线上的相应数字电压电平断言到控制器中。一般来说，对量子力学状态的任何测量都是由对应于待测量的可观测量的算子O定义的；测量的结果R被保证为O的允许特征值之一。在量子计算机10中，R在统计学上与测量前的量子比特-寄存器态相关，但不是由量子比特-寄存器态唯一确定的。

根据来自控制器18的适当输入，量子接口30可以被配置为实现一个或多个量子逻辑门，以对保存在量子比特寄存器12中的量子态进行操作。而传统计算机系统的每种类型的逻辑门的功能是根据相应的真值表描述的，每种类型的量子门的功能是由相应的算子矩阵描述的。算子矩阵对表示量子比特寄存器状态的复数向量进行操作(即相乘)，并对该向量在希尔伯特空间中的指定旋转产生影响。

上述量子门的列举并非详尽无遗，只是为了便于说明而提供。其他门可以包括泡利-X门、泡利-Y门、泡利-Z门、托佛利门、Ising门、Deutsch门或阿达玛门作为非限制性的示例。本文公开的一些示例协议遵循在基本门上存在几何约束和限制的场景。在下面描述的示例中，基本操作是在一个方形量子比特网格上的最近邻量子比特上的水平ZZ和垂直XX测量，以及单量子比特X和Z测量。在一些示例中，没有使用阿达玛门。

如上所述，基于克利福德门的通用量子计算机必须用额外的、非克利福德的操作来增强。实现这些操作的状态被称为魔法态，两个这样的示例是单量子比特的T态和三量子比特的CCZ状态。为了充分减少误差，魔法态的质量应该与克利福德门的质量相似。如上所述，魔法态提取法将许多低质量或噪声魔法态提取成数量较少的高质量魔法态。在量子计算机中负责执行提取的量子比特和量子门的集合可被称为魔法态工厂。

在所公开的示例中，用于魔法态提取的示例协议涉及两级误差校正码，即上述的内码和外码。提取协议可以使用完整误差校正码或部分误差校正码作为最外层码。外码可用于校正X误差和Z误差，并可进一步帮助避免或校正相关联的误差。示例方法进一步利用了内码的误差校正特性。在一些示例中，尽管存在诸如有限的连通性等限制，误差校正方法仍可发挥作用。

包含量子态的逻辑量子比特可以跨越多个物理量子比特进行编码，这可以称为表面码补丁或“补丁”。在较大的补丁中编码的量子比特可能比在较小的补丁中编码的量子比特得到更好的保护(更好的误差校正)，并且更高质量的量子比特可能需要更大的表面码补丁。本文公开的示例方法在独立的输出量子比特上产生提取魔法态，该量子比特可能是表面码补丁。在一些示例中，该方法包括将量子比特嵌入到质量更好的量子比特中，这相当于增加了补丁大小。在一些示例中，这种嵌入发生在整个提取协议中的一个量子比特上。

如上所述，在一些示例中，对基本门可能有严格的限制。除了上面讨论的输出量子比特外，本文公开的每个示例协议的每个操作都包括对某个整数m的多量子比特泡利算子

的测量，在X基和Z基上的单量子比特测量，以及由X、Z和T的单量子比特单元。量子态可以经由测量从一个量子比特隐形传送到另一个量子比特。图3描绘了用于分别使用ZZ测量或XX测量以及单量子比特测量进行任意状态的隐形传送的两个这样的方案300和302。如图3中的方案304所描绘的那样，T态可以经由ZZ和X测量被注入，即被隐形传送到块码中。同样，S态也可以经由方案306注入。

然而，在一些示例中，当几何约束只允许在量子比特的方形网格上进行水平ZZ测量和垂直XX测量时，另一个注入方案可用于T态。如图4所示，方案400可用于在这些约束下注入T态。然而，取决于-1的ZZ测量结果，可能需要进行S校正，在这种情况下，方案400之后可以是方案420。

多量子比特测量可由猫态执行。在一些示例中，可以遵循使用2n-1个量子比特和单量子比特X和最近邻ZZ测量来产生n量子比特猫态的过程。使用猫态，例如

可以通过取猫态量子比特和数据量子比特之间垂直XX测量的奇偶性来测量。这些测量之后可以是在猫态量子比特上的单量子比特Z测量和随后的在数据量子比特上的泡利校正来进行，以使数据量子比特回到正确的测量后状态。

用于协议的量子比特的示例布局在图5中描绘，它示出了包括量子比特阵列的[[n,k,d,]]块码的示例。在图5中的块中表示的量子比特可以是表面码补丁，而不是单一的物理量子比特。在布局500中，第一行504和第二行506分别被S态和T态占据。这些S态和T态要被消耗掉，布局500示出了消耗T态前的量子比特。第三行508的每隔一个的量子比特都被块码的数据量子比特所占据。第四行510包含用于猫态制备的量子比特。在提取协议期间，噪声T态可以被放在量子比特501和量子比特502的量子比特阵列的一侧上。在这个示例中，[[n,k,d]]稳定子码在第三行508操作。第三行的空白量子比特，例如量子比特514，可用于通过水平ZZ测量注入T态。

在一些示例中，会有k+2个质量较好的输出量子比特，其中两个是附属物。因此，图5中的布局520可以表示当k＝3并且产生5个更大的输出补丁522、523、524、525和526时的情况。补丁可以动态地改变，例如补丁524的尺寸会缩小。在S态和T态被消耗后，输出量子比特可以与块码的编码的量子比特相互作用。如上所述，与其他量子比特相比，输出量子比特的质量可能更好，并占据更大的表面码补丁。在一些示例中，为了减少二次误差，用于更好质量的量子比特的表面码补丁的大小可能大约是其他量子比特的两倍。在其他示例中，精确的尺寸可以基于输出量子比特的期望质量来确定。在一些示例中，由S态和T态所占据的空间，即第504行和第506行，可用于输出量子比特。例如，补丁524可以占据以前由S态和T态占据的空间。此外，消耗T态之前，该T态包含量子比特501和量子比特502，布局500码的最左列，可能在消耗布局520中的T态之后，被输出量子比特523和526占据。

现在将讨论误差模型。每个测量结果都是以概率p∈[0,1)翻转的。在包含标识在内的任何操作之后，每个量子比特都会受到独立噪声的影响。单量子比特的误差由一个量子通道来模拟

ε(ρ)＝(1-p_t)ρ+pD(ρ) (1)

其中D是另一个量子通道。请注意，测量结果误差和单量子比特噪声使用的是同一个p。任何T态和任何T门或

门的后面都紧接着有

ε(ρ)＝(1-p_t)ρ+p_tD(ρ) (2)

但不是通过ε。注意在公式(1)和(2)中为了简单起见，使用了相同的D。

输出量子比特可被视为无噪声。使用表面编码族，可能只需选择与提取魔法态的质量相匹配的码距。人们可能会想，在对

这个多量子比特算子进行测量后，独立噪声假设是如何实现的。猫态的原生制备会引入相关误差，并且使用这样的猫态进行测量可能会使独立噪声假设失效。因此，可以使用一个更细致的协议来制备猫态，该猫态与由组成量子比特上的独立噪声造成的理想的猫态不同。上面的协议实现了这个目标。

如上所述，在一些示例中在块码中编码的魔法态在所公开的示例中被隐形传送到输出量子比特。这可以通过例如制备一个Z_out＝+1的状态和测量X_outX和Z来执行，其中X,Z是块码的逻辑算子。使用表面码补丁，输出量子比特可以被初始化并在码上测量Z。然而，对X_outX的测量是不寻常的，因为块码的数据量子比特具有较小的尺寸。这里，可以制备猫态并用于测量。经由猫态制备用于将状态隐形传送到大的表面码补丁的示例协议如下。首先，让a和b分别表示两个大的表面码补丁，例如补丁525和526。如图5中的箭头530所示，补丁b可以动态地改变大小。然后按以下步骤制备猫态。

1)制备|00>_ab和用泡利校正测量X_aX_b以得到|00>_ab+|11>_ab，

2)缩小补丁b以匹配4×(2n-1)矩形的第四行中的补丁大小，以及

3)测量第四行中最近邻之间的ZZ，并丢弃每隔一个的量子比特。

上述第3步可按上文所述实现。由于最左边的成对测量在大的补丁上被执行，输出量子比特可能被保护。一旦猫态被保护，X_outX的测量就可以通过以下程序完成：

接下来，将讨论用于从噪声T态中提取魔法态的示例协议。

在各种示例中，魔法态提取协议提取魔法态，该魔法态被编码在包括外码的[[n,k,d]]块码中。该[[n,k,d]]块码可以类似于图5中描绘的布局，或任何其他合适的布局进行布置。首先，使用n个数据量子比特制备k个编码的魔法态。在图5的具体示例中，n个数据量子比特的位置由虚线圆508表示并且可以包括表面码补丁。n个数据量子比特中的每一个可以是一些进一步的内码的逻辑量子比特。该方法进一步包括应用内码在n个数据量子比特上测量克里夫德稳定子。该方法进一步包括初始化k个输出量子比特，然后启动k个输出量子比特向k个提取的魔法态的隐形传送。该k个提取魔法态是从k个编码的噪声魔法态导出。

该方法进一步包括在n个数据量子比特上测量X稳定子并对所有+1的结果进行后选。这里，X稳定子可以是为[[n,k,d]]块码配置的特定稳定子。对+1的结果进行后选意味着如果测量产生了+1的结果，那么输出的量子比特可以被认为具有足够的质量，并可以在量子计算中使用。如果测量产生不同的结果，那么误差太大并且结果可能会被丢弃，也就是说，输出的量子比特的质量不足以用于量子计算。在一些示例中，可以在不利的后选结果时终止并重新启动该方法。该方法进一步包括利用Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特，并对n个数据量子比特应用一个或多个后选条件，以完成将k个提取魔法态向k个输出量子比特的隐形传送。如果所有的后选都成功了，输出量子比特就被用于量子计算。

在一些示例中，提取方法产生由包括k个魔法态和2个附属物的k+2个输出量子比特。输出量子比特可包括如图5中的块522-526所描绘的表面码补丁。

在一个更具体的示例协议中，魔法态提取方法包括外码，该外码是由[[6,2,2]]表示的二阶正常弱自对偶CSS码。这里，n＝6，k＝2并且d＝2。该协议的步骤如下。

1)在

中初始化6个数据量子比特，并将

和

放在量子比特阵列的一侧上。

2)在6个数据量子比特上测量XXXXII和IIXXXX，并在6个数据量子比特中应用Z测量，得到包括具有ZIZIZI≈IZIZIZ≈+1的逻辑状态的逻辑量子比特。

3)经由测量X_t1X₁，X_t2X₂，然后测量Z_t1，Z_t2，再对逻辑量子比特进行泡利Z校正，将量子比特t₁,t₂中的状态隐形传送到逻辑量子比特中，泡利Z校正基于X_t1X₁，X_t2X₂和Z_t1，Z_t2的测量，X₁和X₂是逻辑算子X₁＝XIXIXI，X₂＝IXIXIX。

4)在数据量子比特中应用

5)在数据量子比特中测量

两次，并对所有+1的结果进行后选。

6)在数据量子比特中应用

7)在

中初始化两个输出量子比特o1,o2，。

8)测量X_o1X₁两次，结果为x₁,x′₁。

测量X_o2X₂两次，结果为x₂,x′₂。

对一致的结果x₁＝x′₁和x₂＝x′₂进行后选，以及

如果x₁＝-1，应用Z_o1，如果x₂＝-1，应用Z_o2。

9)在6个数据量子比特上测量XXXXII和IIXXXX，以及

在所有+1的结果上进行后选。

10)在Z基上对个体数据量子比特进行破坏性测量，得到结果z₁,...z₆，并在两种情况上进行后选

z₁z₂z₃z₄＝+1和z₃z₄z₅z₆＝+1以及

如果z₁z₃z₅＝-1，应用X_o1；如果z₂z₄z₆＝-1，应用X_o2。

这里，在步骤1、2和3中完成了6个数据量子比特中两个编码的噪声T状态的制备。在步骤4、5和6中，在6个数据量子比特上测量克利福德稳定子。两个输出量子比特在步骤7中被初始化。在步骤8中，两个编码的魔法态被隐形传送到两个输出量子比特上。步骤9涉及在6个数据量子比特上测量X稳定子，并基于结果进行后选。步骤10利用Z稳定子对每个数据量子比特进行破坏性测量，并对n个数据量子比特应用一个或多个后选条件，以完成将k个提取魔法态向k个输出量子比特的隐形传送。两个输出量子比特包括两个提取T态。

测量深度的计数方法如下。在步骤1、3、10中，对数据量子比特进行了m₁＝3轮单量子比特测量。在步骤2、3、5、9中，对数据量子比特进行了m₂＝2+2+2+2＝8轮多量子比特X测量。在步骤4,6中有2轮数据量子比特的T门，这将涉及到输入T态和S态。需要S校正的T门的注入涉及6个单量子比特和双量子比特的测量(例如，见图4)。在执行其他步骤时，T态可以紧挨着数据量子比特隐形传送，而S态就在T态上方。因此，有m_t＝12轮的单量子比特测量或双量子比特测量。在步骤3中，输出量子比特和数据量子比特之间有m_out＝4轮的联合测量。输出量子比特的初始化可以忽略不计，因为这可以与之前的数据量子比特测量并行完成。总的来说，有m₁+m_t＝15轮单量子比特和双单量子比特测量，m₂＝8轮在数据量子比特上的多量子比特X测量，m_out＝4轮涉及输出量子比特的X测量。

为了更具体地说明使用表面码补丁的测量计数，将表面码补丁的一个综合征测量视为单位时间。假设对于一个逻辑运算需要对数据量子比特的表面码补丁进行d轮综合测量，以及对输出量子比特进行d′轮综合征测量；d或d′是补丁的编码距离。为了制备“2次容错”的猫态，需要跨最近的补丁进行8轮逻辑操作。这个时间足够长，以至于步骤1、4、6中所有明确的一量子比特测量和二量子比特测量可以被忽略，因为它们可以与下一步骤的猫态制备并行运行。步骤9也可以忽略不计。[14]的猫态制备的最后一轮包括对不参与最终猫态的量子比特的单量子比特X测量，这可以与猫态量子比特和数据量子比特之间的XX测量并行运行。包括单量子比特Z测量在内，得出结论是一个多量子比特X测量需要9d的时间，如果涉及到输出量子比特，则需要7d+2d′时间。因此，总时间为m₂·9d+m_out(7d+2d′)。使用的物理量子比特的数量是4·12·d²+4d′²，忽略了用于表面码的综合测量的附属物。

在另一个示例协议中，魔法态提取方法包括外码，它是由[[7,1,3]]表示的三阶正态弱自对偶CSS码。这里，n＝7，k＝1并且d＝3。该协议的步骤如下：

1)在

中初始化7个数据量子比特，并将

放在量子比特阵列的一侧上，

2)在7个数据量子比特上测量三个X稳定子XIXIXIX、IXXIIXX和IIIXXXX，并在6个数据量子比特上应用Z测量以获得包括ZZZZZZZ≈+1逻辑状态的逻辑量子比特，以及

3)经由测量X_tX以及然后测量Z_t，隐形传送到码中，测量X是逻辑算子

4)测量三个X稳定子，在所有+1的结果上进行后选；

5)在数据量子比特上应用

6)在数据量子比特上测量

两次，并在所有+1的结果上进行后选，以及

7)在数据量子比特上应用

8)在状态|0>_o中初始化输出量子比特；

9)在输出量子比特上测量码乘以X算子的3个等效X逻辑算子X_o(IXIXIXI)、X_o(XIIXXII)、X_o(XXXIIII)，结果为x₁,x₂,x₃＝±1，在一致的结果x＝x₁＝x₂＝x₃上进行后选，以及

如果x＝-1，则应用Z_o；

10)测量三个X稳定子，在所有+1的结果上进行后选；以及

11)破坏性地测量Z基上的所有数据量子比特，以获得结果z₁,...z₇，并在三个条件z₁z₃z₅z₇＝+1，z₂z₃z₆z₇＝+1以及z₄z₅z₆z₇＝+1上进行后选，

如果z₁z₃z₅＝-1，则应用X_o。

这里，在步骤1、2和3中完成了在7个数据量子比特中的编码噪声T态的制备。步骤4检查X稳定子。在步骤5、6和7中，测量编码T态的克利福德稳定子

克利福德稳定子是由

引起的。步骤4在上面公开的前一个协议中没有类似的内容。步骤4中的误差检查可以避免两个误差过程，即步骤1、2、3中的一个Z误差和步骤7中的另一个误差可以相互抵消，让一个不正确的T态通过克利福德稳定子检查。步骤8、9、10和11将编码的T态的隐形传送与泡利稳定子检查结合起来。两个输出量子比特在步骤8中被初始化。在步骤9中启动了两个编码的魔法态向两个输出量子比特的隐形传送。步骤9使用了三个逻辑算子的表示来检测可能导致隐形传送误差的二阶过程。步骤10涉及在6个数据量子比特上测量X稳定子，并根据结果进行后选。在步骤10，利用Z稳定子破坏性测量数据量子比特以完成隐形传送。输出的量子比特包括一个提取T态。

测量深度的计数方法如下。如前所述，只技术多量子比特测量的数量。这里，可能需要“3次容错”的猫态，可能需要10轮单量子比特测量和双量子比特测量。对于那些不涉及输出量子比特的，在步骤2、4、6、10中有3+3+2+3＝11个测量。对于那些涉及输出量子比特的测量，在步骤3,9中有1+3＝4的测量。使用距离为d(数据)和d′(输出)的表面码补丁，对表面码补丁有11·11d+4·(9d+2d′)轮综合征测量。所用的量子比特数为56d²+3d′²，忽略了表面码的附属物。

在另一个示例协议中，魔法态提取法包括一个外码，它是一个由[[8,3,2]]表示的二阶三正交CCZ码。这里，n＝8，k＝3以及d＝2。这个协议是基于三正交码的泛化(Campbell,supra)(参见，例如，Brayvi,supra)，这包含在横向T门上引入一个逻辑CCZ门。该协议的步骤如下：

1)在

中初始化8个数据量子比特，

2)在这8个数据量子比特上测量X稳定子XXXXXXXX，

测量三个X逻辑算子X₁＝IXIXIXIX，X₂＝IIXXIIXX，X₃＝IIIIXXXX以及

响应于针对X稳定子和X逻辑算子中的任一项的结果为-1，通过ZIIIIIIII和Z逻辑算子应用泡利校正，使得所得状态是逻辑状态

3)测量IXXIXIIX并在+1的结果上进行后选，

4)在数据量子比特上应用

5)在状态|000>_o1,o2,o3中初始化三个输出量子比特，

6)测量X_o1X₁两次，结果为x₁,x′₁，

测量X_o2X₂两次，结果是x₂,x′₂，

测量X_o3X₃两次，结果为x₃,x′₃，

对一致的结果x₁＝x′₁，x₂＝x′₂，x₃＝x′₃进行后选，

如果x₁＝-1，，则应用Z_o1，

如果x₂＝-1，则应用Z_o2，并且

如果x₃＝-1，则应用Z_o3。

7)在数据量子比特上测量X稳定子

并在+1的结果上进行后选，

8)破坏性地测量Z基上的所有数据量子比特，以获得结果z₁,...,z₈，并在所有四个条件z₁z₂z₃z₄＝+1，z₂z₄z₆z₈＝+1，z₃z₄z₇z₈＝+1，以及z₅z₆z₇z₈＝+1上进行后选。

这里，在步骤1、2和3中完成了8个数据量子比特中的三个编码的噪声魔法态的制备。在步骤4中，在8个数据量子比特上测量克利福德稳定子。在第5步中，三个输出量子比特被初始化。在步骤6，启动隐形传送，将三个编码的魔法态隐形传送到三个输出量子比特。在步骤7，除了基于结果进行后选外，还在8个数据量子比特上测量X稳定子。在步骤8中，利用Z稳定子破坏性测量数据量子比特，并对8个数据量子比特应用后选条件，以完成隐形传送。三个输出量子比特包含提取|CCZ>态。在步骤4，选择和的乘积，以确保底层的三正交编码满足“三级”正交性(参见例如，J.Haah，Phys.Rev.A 97,04237,2018,arXiv:1709.08658，以下简称，Haah)，这消除了Campbell,supra的克利福德校正的必要性，同上。

测量深度的计数与之前的协议类似，只计数多量子比特测量。这里，需要“2次容错”的猫态。在步骤2、3、6中有4+1+1＝6个不涉及输出量子比特的测量。在步骤5中有6个涉及输出量子比特的测量。使用距离为d(数据)和d′(输出)的表面补丁，该协议的持续时间为6·9d+6·(7d+2d′)。所用的量子比特数为4·16d²+5d′²，忽略了表面码的附属物。

现在将讨论误差模型。完整的协议是使用密度矩阵模拟的，这很容易，因为它们最多涉及11个量子比特。对p_out的数值检查是作为给定D的p,p_t∈(10^-6,10^-4)的函数执行的，并拟合为多项式公式

或

其中a、b、c、d是拟合参数。表1示出了这些系数四舍五入后的整数。

表1.在跟踪距离

中测得的输出状态误差作为两个参数p,p_t的函数，p,p_t分别表示克利福德运算和T门/状态的噪声的强度。

示例的CCZ状态提取协议可能被设计为实现二次误差抑制，并且因此那里的所有猫态可能被配置为只容许2次误差(见，例如，参考文献14)。假设猫态确实只容许2次误差，那么分析步骤7应该实现对X误差的4次误差抑制的协议就没有太大的意义。因此，为了对CCZ提取协议中的p_out有一个保守的估计，在模拟中使用了以下步骤7的替代方案。

7a)在Z基上破坏性地测量所有数据量子比特，结果为z₁,...,z₈。在条件z₁z₂z₃z₄z₅z₆z₇z₈＝+1上进行后选。如果z₇z₈＝-1，应用X_o1；如果z₆z₈＝-1，应用X_o2；如果z₄z₈＝-1，应用X_o3。

在实践中，步骤7可能比替代步骤7a更可取，因为与步骤7a相比，步骤7可能在没有复杂的量子操作的情况下捕获更多的误差。当我们进行步骤7而不是7a时，总体成功概率会下降，但下降的幅度可以忽略不计。如果有人好奇，在我们的噪声模型下，使用步骤7而不是7a，p_out会是多少，提供下面的公式：

如果

如果

以及如果D(ρ)＝XρX,则

为了对于测试表I中提出的p_out的前导阶公式的准确性，即高阶项的贡献，通过设置p＝10^-2λ和p_t＝10^-2(1-λ)，计算p_out作为λ＝0.0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0的函数。可以观察到，在所有情况下，对于这些p_out的值，p_out的前导顺序公式的相对准确率为29％。请注意，在本分析中，通过设置p＝0和D(ρ)＝ZρZ，再现了传统的前导阶公式。

(i)对于[[6；2；2]]

(C.Jones,Phys.Rev.A 87,022328,2013,arXiv:1212.5069,以下简称,Jones)，这相当于(Haah,同上)三正交码的最小示例(Brayvi,同上)。

(ii)对于[[7；1；3]]

(Knill)，它相当于(Haah，同上)量子Reed-Muller码的最小示例(S.Brayvi和A.Kitaev,Phys.Rev.A 71,022316,2005,arXiv:quant-ph/0403025；以及J.Haah和M.Hastings,Quantum 2,71,2018,arXiv:1709.02832,以下简称Haah 2018B)，以及

(iii)对于[[8；3；2]]

(参见，例如Campbell，同上；B.Eastin，Phys.Rev.A，87，032321，2013，arXiv:1212.4872；Jones，同上；以及Haah 2018B，同上)。

接受概率p_accept也是通过数值计算得出的，在所考虑的三个误差通道中都满足该公式。(1-p)和(1-p_t)的指数大约是我们的误差模型下可能的误差位置数。注意这个接受概率假设猫态制备是成功的。

在一些示例中，补丁中的表面码被配置为在误差校正模式下操作，其中误差被检测和校正。在这些示例中，最外层的码可以被配置为在误差检测模式下操作，其中，如果没有检测到误差，提取魔法态被保留下来用于量子计算，如果检测到一个或多个误差，提取魔法态被丢弃。在其他示例中，可以使用部分误差校正模式，在这种情况下，如果少量的误差会给出观察到的综合征，则可以校正误差，否则就丢弃。更一般地，可以选择一组观察到的综合征进行校正，而选择其他的进行丢弃。由于它涉及到魔法态工厂内的表面码，如果一个状态由于误差而被丢弃，它可能对其余的计算没有影响。然而，如果观察到的综合征上的状态被丢弃，由于与其他状态的纠缠，它可能需要丢弃直到该点的所有计算。

在其他示例中，魔法态工厂的补丁中的表面码可以被配置为在误差检测模式下操作。在这样的示例中，距离为d的表面码可以通过在每个逻辑测量之后执行d轮综合征测量来抑制到d阶的误差。如果在任何一轮逻辑测量中发生的物理误差少于d个，则逻辑误差可以被抑制。平均数或误差是误差位置数的p倍；有d²-1个综合征，因此可以执行d(d²-1)个综合征测量。取决于物理实现和物理量子比特的误差率，每个综合征测量可能被分解成一些物理操作。它可能需要pd(d²-1)＜＜1获得在给定轮次中状态不会被丢弃的大的概率，具体数值取决于综合征测量的实现。作为示例，[[7,1,3]]码可能需要大约～60个补丁。考虑到总轮数～100轮，该方法可能需要6000d(d²-1)≈1.610⁵＜＜p^-1获得显著的吞吐量。在一些示例中，如果量子比特的物理误差率很小，例如小于10^-6，可能不需要表面码补丁。

在其他示例中，表面码可以被配置为在部分误差检测模式下操作。在这些示例中，码可以被配置为校正较低权重的误差，并在检测到较高权重的误差时丢弃状态。然而，如果检测到多个误差，即检测到较高权重的误差，则可以丢弃量子比特。在一些示例中，码可以被配置为在每轮中的每个补丁中最多校正一个误差。在这样的示例中，该方法可以实现

在高物理噪声率下，实现更宽松的部分误差校正的形式可能是有用的，在这种情况下可以校正更多数量的误差。

图6示出了描绘用于提取魔法态的示例方法600的流程图，该魔法态被编码在包括外码的[[n,k,d]]块码中。方法600包括，在602处，使用N个数据量子比特制备K个编码的噪声魔法态。在一些示例中，外码可以包括由[[6,2,2]]或[[7,1,3]]表示的弱自决块码。在其他示例中，外码可以包括由[[8,3,2]]表示的二阶三正交CCZ码。方法600进一步包括，在604处，在N个数据量子比特上测量克利福德稳定子，从而对N个数据量子比特应用内部误差校正码。方法600进一步包括，在606处，初始化K个输出量子比特，以及在608处，启动从K个编码的噪声状态中导出的K个提取魔法态向K个输出量子比特的隐形传送。继续，方法600包括，在610处，在N个数据量子比特上测量x稳定子，并在所有+1的结果上进行后选。方法600进一步包括，在612处，利用Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特，并对N个数据量子比特应用一个或多个后选条件，以完成将K个提取魔法态向K个输出量子比特的隐形传送。在完成将K个提取魔法态向N个数据量子比特的隐形传送后，方法600包括在614处在量子计算中使用K个提取魔法态。

在一些实施例中，本文描述的方法和过程可以与一个或多个计算设备的计算系统相联系。特别地，这样的方法和过程可以作为计算机应用程序或服务、应用程序接口(API)、库和/或其他计算机程序产品来实现。

图7示意性地示出了计算系统700的非限制性实施方案，该计算系统可以颁布上述方法和过程的一个或多个。计算系统700以简化形式示出。计算系统700可以采取一个或多个个人计算机、服务器计算机、平板计算机、家庭娱乐计算机、网络计算设备、游戏设备、移动计算设备、移动通信设备(例如，智能电话)和/或其他计算设备的形式。

计算系统700包括逻辑子系统702和存储子系统704。计算系统700可选择性地包括显示子系统706、输入子系统708、通信子系统710和/或图7中未示出的其他组件。

逻辑子系统702包括一个或多个被配置为执行指令的物理设备。例如，逻辑子系统可以被配置为执行指令，这些指令是一个或多个应用程序、服务、程序、例程、库、对象、组件、数据结构或其他逻辑结构的一部分。这样的指令可以被实施以执行任务，实现数据类型，转换一个或多个组件的状态，实现技术效果，或以其他方式达到一个期望的结果。

逻辑子系统702可以包括一个或多个被配置为执行软件指令的处理器。另外地或备选地，逻辑子系统可以包括一个或多个被配置为执行硬件或固件指令的硬件或固件逻辑子系统。逻辑子系统的处理器可以是单核或多核的，在其上执行的指令可以被配置为顺序、并行和/或分布式处理。逻辑子系统的个体组件可选择地分布在两个或更多的单独设备之间，这些设备可被远程定位和/或配置为协调处理。逻辑子系统的方面可以被虚拟化，并由配置在云计算配置中的可远程访问的、联网的计算设备执行。

存储子系统704包括一个或多个物理设备，该物理设备被配置为保存可由逻辑子系统执行的指令以实现本文所述的方法和过程。当这样的方法和过程被实施时，存储子系统704的状态可以被转换-例如，以保存不同的数据。

存储子系统704可以包括可移动和/或内置设备。存储子系统704可以包括光学存储器(例如，CD、DVD、HD-DVD、蓝光光盘等)、半导体存储器(例如，RAM、EPROM、EEPROM等)和/或磁性存储器(例如，硬盘驱动器、软盘驱动器、磁带驱动器、MRAM等)等等。存储子系统704可以包括易失性、非易失性、动态、静态、读/写、只读、随机存取、顺序存取、可定位寻址、可文件寻址和/或可内容寻址的设备。

可以理解的是，存储子系统704包括一个或多个物理设备。然而，本文描述的指令的方面备选地由不被物理设备保存限持续时间的通信介质(例如，电磁信号、光信号等)传播。

逻辑子系统702和存储子系统704的方面可以一起被集成到一个或多个硬件-逻辑组件中。例如，这样的硬件-逻辑组件可以包括现场可编程门阵列(FPGA)、程序和应用专用集成电路(PASIC/ASIC)、程序和应用专用标准产品(PSSP/ASSP)、系统芯片(SOC)和复杂可编程逻辑器件(CPLD)。

可以理解的是，本文使用的“服务”是可跨多个用户会话执行的应用程序。一项服务可用于一个或多个系统组件、程序和/或其他服务。在一些实现中，一个服务可以在一个或多个服务器-计算设备上运行。

当被包含时，显示子系统706可用于呈现由存储子系统704保存的数据的可视化表示。此可视化表示可以采取图形用户界面(GUI)的形式。由于本文描述的方法和过程改变了由存储子系统保存的数据，因此转换存储子系统的状态，显示子系统706的状态同样可以被转换以直观地表示基础数据的变化。显示子系统706可以包括一个或多个利用几乎任何类型技术的显示设备。这样的显示设备可以与逻辑子系统702和/或存储子系统704组合在一个共享外壳中，或者这样的显示设备可以是外围显示设备。

当被包含时，输入子系统708可以包括一个或多个用户输入设备或与之接口，例如键盘、鼠标、触摸屏或游戏控制器。在一些实施例中，输入子系统可以包括选定的自然用户输入(NUI)组件或与之接口。这样的组件可以是集成的或外围的，输入动作的转导和/或处理可以在板或离版处理。示例的NUI组件可以包括用于语音和/或声音识别的麦克风；用于机器视觉和/或手势识别的红外、彩色、立体和/或深度相机；用于运动检测和/或意图识别的头部追踪器、眼球追踪器、加速器和/或陀螺仪；以及用于评估大脑活动的电场感应组件。

当被包含时，通信子系统710可以被配置为将计算系统700与一个或多个其他计算设备通信耦合。通信子系统710可以包括与一个或多个不同通信协议兼容的有线和/或无线通信设备。作为非限制性的示例，通信子系统可配置为通过无线电话网络或有线局域网或无线局域网或广域网进行通信。在一些实施例中，通信子系统可以允许计算系统700经由网络如互联网向其他设备发送和/或从其他设备接收消息。

另一个示例在量子计算设备上提供了用于提取魔法态的方法，该魔法态被编码在包括外码的[[n,k,d]]块码中，该方法包括使用n个数据量子比特制备k个编码的噪声魔法态；在n个数据量子比特上测量克利福德稳定子，从而对n个数据量子比特应用内部误差校正码；初始化k个输出量子比特；启动从k个编码的噪声魔法态导出的k个提取魔法态向k个输出量子比特的隐形传送；在n个数据量子比特上测量X稳定子，并在所有+1的结果上进行后选；利用Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特，并对n个数据量子比特应用一个或多个后选条件以完成将k个提取魔法态向k个输出量子比特的隐形传送；并在量子计算中使用k个提取魔法态。在一些这样的示例中，外码可以是由[[6,2,2]]表示的二阶正常弱自对偶CSS码，其中n＝6，k＝2并且d＝2。在这样的示例中，使用n个量子比特制备k个编码的噪声魔法态，包括在

中初始化6个数据量子比特，并将

和

放在量子比特阵列的一侧上,在6个数据量子比特上测量XXXXII和IIXXXX，并在6个数据量子比特上应用Z测量以获得包括具有ZIZIZI≈IZIZIZ≈+1的逻辑状态的逻辑量子比特，以及经由测量X_t1X₁、X_t2X₂，然后测量Z_t1，Z_t2，再对逻辑量子比特进行泡利Z校正，将量子比特t₁、t₂中的状态隐形传送到逻辑量子比特中，泡利Z校正基于X_t1X₁，X_t2X₂和Z_t1，Z_t2的测量，X₁和X₂是逻辑算子X₁＝XIXIXI，X₁＝XIXIXI；在n个数据量子比特上测量克利福德稳定子包括在数据量子比特上应用

在数据量子比特上测量

两次并对所有+1的结果进行后选，以及在数据量子比特上应用

初始化k个输出量子比特包括在

中初始化两个输出量子比特o1、o2；启动所述k个编码的魔法态向所述k个输出量子比特的隐形传送包括测量X_o1X₁两次，结果为x₁,x′₁，测量X_o2X₂两次，结果为x₂,x′₂，对一致的结果x₁＝x′₁和x₂＝x′₂进行后选，如果x₁＝-1，则应用Z_o1，如果x₂＝-1则应用Z_o2；在n个数据量子比特上测量X稳定子并对所有+1的结果进行后选，包括在6个数据量子比特上测量XXXXII和IIXXXX，并对所有+1的结果进行后选；利用Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特，并对n个数据量子比特应用一个或多个后选条件，以完成将k个提取魔法态向k个输出量子比特的隐形传送，包括在Z基上破坏性地测量个体数据量子比特以获得结果z₁,...z₆，并在条件z₁z₂z₃z₄＝+1和z₃z₄z₅z₆＝+1两者上进行后选，如果z₁z₃z₅＝-1则应用X_o1，如果z₂z₄z₆＝-1则应用X_o2；以及k个提取魔法态包含2个T态。在一些这样的示例中，外码可以是由[[7,1,3]]表示的三阶正常弱自对偶CSS码，其中n＝7，k＝1并且d＝3。在这样的示例中，使用n个量子比特制备k个编码的噪声魔法态包括在

中初始化7个数据量子比特，并将

放在量子比特阵列的一侧上，在7个数据量子比特上测量三个X稳定子XIXIXIX，IXXIIXX和IIIXXXX，并在6个数据量子比特上应用Z测量，以获得由包括具有ZZZZZZZ≈+1的逻辑状态的逻辑量子比特，以及经由测量X_tX以及然后测量Z_t，隐形传送到码中，测量X是逻辑算子

该方法进一步包括测量3个X稳定子并对所有+1的结果进行后选；在n个数据量子比特上测量克利福德稳定子包括在数据量子比特上应用

在数据量子比特上测量

两次并对所有+1的结果进行后选，以及在数据量子比特上应用

k个输出量子比特包括在状态|0>o中初始化输出量子比特；启动k个编码魔法态向k个输出量子比特的隐形传送包括，在输出量子比特上测量码乘以X算子的3个等效X逻辑算子X_o(IXIXIXI)、X_o(XIIXXII)、X_o(XXXIIII)，结果为x₁,x₂,x₃＝±1，在一致的结果x＝x₁＝x₂＝x₃上进行后选，如果x＝-1则应用Z_o；在n个数据量子比特上测量X稳定子并对所有+1的结果进行后选包括，测量3个X稳定子并对所有+1的结果进行后选；以及利用Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特，并对n个数据量子比特应用一个或多个后选条件以完成将所述K个提取魔法态向所述K个输出量子比特的所述隐形传送，包括破坏性地测量Z基上的所有数据量子比特以获得结果z₁,...z₇，并在三个条件z₁z₃z₅z₇＝+1，z₂z₃z₆z₇＝+1和z₄z₅z₆z₇＝+1上进行后选，如果z₁z₃z₅＝-1，则应用X_o，并且k个提取魔法态包括一个T态。在一些这样的示例中，外码可以包括由[[8,3,2]]表示的二阶三正交CCZ码，其中n＝8，k＝3以及d＝2。在这样的示例中，使用n个量子比特制备k个编码的噪声魔法态包括在

中初始化8个数据量子比特，在8个数据量子比特上测量X稳定子XXXXXXXX，测量三个X逻辑算子X₁＝IXIXIXIX，X₂＝IIXXIIXX，X₃＝IIIIXXXXX，以及响应于针对X稳定子和X逻辑算子中的任一项出现-1结果，通过ZIIIIIIII和Z逻辑算子应用泡利校正，从而使得结果状态是逻辑状态

以及测量IXXIXIIX并对+1结果进行后选；在n个数据量子比特上测量克利福德稳定子，包括在数据量子比特上应用

初始化k个输出量子比特包括在状态|000>_o1,o2,o3中初始化3个输出量子比特；启动k个编码的魔法态向k个输出量子比特的隐形传送包括测量X_o1X₁两次，结果为x₁,x′₁，测量X_o2X₂两次，结果为x₂,x′₂，测量X_o3X₃两次，结果为x₃,x′₃，对一致的结果x₁＝x′₁，x₂＝x′₂，x₃＝x′₃进行后选，如果x₁＝-1，则应用Z_o1，如果x₂＝-1，则应用Z_o2，如果x₃＝-1则应用Z_o3；在n个数据量子比特上测量X稳定子并对所有+1结果进行后选，包括在数据量子比特上测量X稳定子

并对+1结果进行后选；利用Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特，并对n个数据量子比特应用一个或多个后选条件，以完成将k个提取魔法态向k个输出量子比特的隐形传送，包括破坏性地测量Z基上的所有数据量子比特以获得结果z₁,...,z₈，并在所有四个条件z₁z₂z₃z₄＝+1，z₂z₄z₆z₈＝+1，z₃z₄z₇z₈＝+1，和z₅z₆z₇z₈＝+1上进行后选；以及k个提取魔法态包括处于|CCZ>状态的3个量子比特。在一些这样的示例中，应用Z测量和应用X测量各自可以包括执行泡利框架更新。在一些这样的示例中，[[n,k,d]]块码可以另外地或备选地包括8n个量子比特，该量子比特形成一个4×(2n)的矩形，其中第一行被S态占据；第二行被T态占据；第三行被块码的每隔一列的数据量子比特占据；以及第四行为猫态制备保留。在一些这样的示例中，该方法可以另外地或备选地包括猫态的制备，包括制备|00>_ab并用泡利校正测量X_aX_b，以得到|00>_ab+|11>_ab，将b缩小到与4×(2n-1)矩形的第四行中的补丁大小一致，以及充分测量第四行中最近邻之间的ZZ，并丢弃每隔一个的量子比特。使用n个数据量子比特制备k个编码的噪声魔法态可能包括多量子比特泡利运算；启动k个编码的魔法态向k个输出量子比特的隐形传送可以包括多量子比特泡利运算；以及多量子比特泡利运算可以经由猫态执行。在一些这样的示例中，内码可以另外地或备选地被配置为在误差检测模式下操作，并且该方法可以包括基于克利福德稳定子测量进行后选。在一些这样的示例中，内码可以另外地或备选地被配置为在部分误差校正模式中操作，并且该方法可以包括确定与克利福德稳定子测量相关联的误差的权重，对于较小权重的误差，校正该误差，以及对于较高权重的误差，基于该误差进行后选，从而在量子计算中不使用k个提取的魔法态。在一些这样的示例中，使用n个数据量子比特制备k个编码的噪声魔法态可以包括经由水平ZZ测量和单量子比特X测量注入T态，从而将T态隐形传送到水平相邻于数据量子比特的量子比特。在一些这样的示例中，输出可以另外地或备选地包括k+2个输出量子比特，包括k个质量较高的魔法态和2个附属物。

另一个示例提供了量子计算机，该量子计算机包括一个包含多个量子比特的量子比特寄存器；调制器，被配置为对多个量子比特实施一个或多个量子逻辑操作；解调器，被配置为输出暴露多个量子比特的量子态的数据；控制器，可操作地耦合到调制器和解调器；以及保存指令的计算机存储器，该指令使控制器在[[n,k,d]]块码内，使用多个量子比特的n个数据量子比特制备k个编码的噪声魔法态；在n个数据量子比特上测量克利福德稳定子；初始化多个量子比特中的k个输出量子比特；启动从k个编码的魔法态导出的k个输出量子比特向k个编码魔法态的隐形传送；测量n个数据量子比特上的X稳定子并对所有+1结果进行后选；利用Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特，并对n个数据量子比特应用一个或多个后选条件，以完成将k个提取魔法态向k个输出量子比特的隐形传送；以及在量子计算中使用k个提取魔法态。在一些这样的示例中，该k个提取魔法态可以包括一个或多个T态。在一些这样的示例中，k个提取魔法态可以另外地或备选地包括在CCZ状态中的三个量子比特。在一些这样的示例中，[[n,k,d]]块码可以另外地或备选地包括形成4×2n的矩形的多个量子比特的8n个量子比特，该矩形包括被S态占据的第一行，被T态占据的第二行，被每隔一列的数据量子比特占据的第三行，保留给猫态制备的第四行。在一些这样的示例中，量子计算机可以另外地或备选地成为拓扑量子计算机。在一些这样的示例中，量子计算机可以另外地或备选地包括马约拉纳线，并且多个量子比特可以是马约拉纳线内的马约拉纳费米子。

另一个示例在量子计算机上提供了用于提取魔法态的方法，该魔法态被编码在包括外码的[[n,k,d]]块码中，该方法包括在数据量子比特阵列中初始化n个数据量子比特；将k个噪声魔法态放在数据量子比特阵列的一侧上；在k个数据量子比特上执行稳定子测量；在k个噪声魔法态和n个数据量子比特上执行一个或多个逻辑算子测量，从而将k个噪声魔法态的状态隐形传送到k个编码魔法态；在n个数据量子比特上执行一个或多个克利福德稳定子测量，从而对n个数据量子比特应用内部误差校正码；初始化k个输出量子比特；启动k个编码魔法态向k个输出量子比特的隐形传送；对n个数据量子比特执行X稳定子测量；在数据量子比特上执行破坏性的Z稳定子测量，以完成将k个编码魔法态向k个输出量子比特的隐形传送，该k个输出量子比特现在包括k个提取的魔法态；以及在量子计算中使用该k个提取的魔法态。在一些这样的示例中，k个噪声魔法态可以是k个噪声T态；k个编码魔法态可以是k个编码T态；而k个提取魔法态可以是k个高保真T态。在一些这样的示例中，k个噪声魔法态可以是k个噪声CCZ状态，k个编码魔法态是k个编码T态，而k个提取的魔法态可以是k个高保真CCZ状态。

应当理解，本文描述的配置和/或方法在本质上是示例性的，并且这些具体实施例或示例不应在限制意义上考虑，因为可能存在许多变化。本文描述的特定例程或方法可以表示任何数量的处理策略中的一个或多个。因此，图示和/或描述的各种行为可以按照图示和/或描述的顺序、其他顺序、并行或省略来执行。同样，上述处理的顺序可能会改变。

本公开的主题包括本文所公开的各种处理、系统和配置以及其他特征、功能、行为和/或属性的所有新颖和非显而易见的组合和子组合，以及任何和所有等价物。

Claims (15)

1.一种用于在量子计算设备上提取魔法态的方法，所述魔法态被编码在包括外码的[[n,k,d]]块码中，所述方法包括：

使用n个数据量子比特制备k个编码的噪声魔法态；

在所述n个数据量子比特上测量克利福德稳定子，从而对所述n个数据量子比特应用内部误差校正码；

初始化k个输出量子比特；

启动从所述k个编码的噪声魔法态导出的k个提取魔法态向所述k个输出量子比特的隐形传送；

在所述n个数据量子比特上测量所述X稳定子，并在所有+1的结果上进行后选；

利用所述Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特，并对所述n个数据量子比特应用一个或多个后选条件，以完成将所述k个提取魔法态向所述k个输出量子比特的所述隐形传送；以及

在量子计算中使用所述k个提取魔法态。

2.根据权利要求1所述的方法，其中所述外码是由[[6,2,2]]表示的二阶正常弱自对偶CSS码，其中n＝6，k＝2，并且d＝2；

其中使用n个量子比特制备k个编码的噪声魔法态包括：

1)在

中初始化6个数据量子比特，并将

和

放在量子比特阵列的一侧上，

2)在所述6个数据量子比特上测量XXXXII和IIXXXX，并在所述6个数据量子比特上应用Z测量以获得包括具有ZIZIZI≈IZIZIZ≈+1的逻辑状态的逻辑量子比特，以及

3)经由测量X_t1X₁、X_t2X₂，然后测量Z_t1、Z_t2，再对所述逻辑量子比特进行泡利Z校正，将量子比特t1、t2中的状态隐形传送到所述逻辑量子比特中，所述泡利Z校正基于X_t1X₁、X_t2X₂和Z_t1、Z_t2的测量，X₁和X₂是逻辑算子X₁＝XIXIXI和X₂＝IXIXIX；

其中在所述n个数据量子比特上测量克利福德稳定子包括：

4)在所述数据量子比特上应用

5)在所述数据量子比特上测量

两次，并对所有+1的结果进行后选，以及

6)在所述数据量子比特上应用

其中初始化k个输出量子比特包括：

7)在

中初始化两个输出量子比特o1、o2；

其中启动所述k个编码的魔法态向所述k个输出量子比特的隐形传送包括：

8)测量X_o1X₁两次，结果为x₁、x′₁；

测量X_o2X₂两次，结果为x₂、x′₂；

对一致的结果x₁＝x′₁和x₂＝x′₂进行后选，以及

如果x₁＝-1，应用Z_o1，以及如果x₂＝-1，应用Z_o2；

其中在所述n个数据量子比特上测量所述X稳定子并对所有+1的结果进行后选包括：

9)在所述6个数据量子比特上测量XXXXII和IIXXXX，并对所有+1的结果进行后选；

其中利用所述Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特并对所述n个数据量子比特应用一个或多个后选条件以完成将所述k个提取魔法态向所述k个输出量子比特的所述隐形传送包括：

10)在所述Z基上破坏性地测量个体数据量子比特，以获得结果z₁,…z₆，并在条件z₁z₂z₃z₄＝+1和z₃z₄z₅z₆＝+1两者上进行后选，以及

如果z₁z₃z₅＝-1，应用X_o1，以及如果z₂z₄z₆＝-1，应用X_o2；以及

其中所述k个提取魔法态包括2个T态。

3.根据权利要求1所述的方法，其中所述外码是由[[7,1,3]]表示的三阶正常弱自对偶CSS码，其中n＝7，k＝1，并且d＝3；

其中使用n个量子比特制备k个编码的噪声魔法态包括：

1)在

中初始化7个数据量子比特，并将

放在量子比特阵列的一侧上，

2)在所述7个数据量子比特上测量三个X稳定子XIXIXIX、IXXIIXX和IIIXXXX，并在所述6个数据量子比特上应用Z测量，以获得包括具有ZZZZZZZ≈+1的逻辑状态的逻辑量子比特，以及

3)经由测量X_tX以及然后测量Z_t，隐形传送到所述码中，测量X是逻辑算子

进一步包括：

4)测量所述3个X稳定子并对所有+1的结果进行后选；

其中在所述n个数据量子比特上测量克里夫德稳定子包括：

5)在所述数据量子比特上应用

6)在所述数据量子比特上测量

两次，并对所有+1的结果进行后选，以及

7)在所述数据量子比特上应用

其中初始化k个输出量子比特包括：

8)在所述状态|0>_o中初始化输出量子比特；

其中启动所述k个编码的魔法态向所述k个输出量子比特的隐形传送包括：

9)在所述输出量子比特上测量所述码乘以X算子的3个等效X逻辑算子X_o(IXIXIXI)、X_o(XIIXXII)、X_o(XXXIIII)，结果为x₁,x₂,x₃＝±1，

在一致的结果x＝x₁＝x₂＝x₃上进行后选，以及

如果x＝-1，则应用Z_o；

其中在所述n个数据量子比特上测量所述X稳定子并对所有+1的结果进行后选包括：

10)测量所述3个X稳定子并对所有+1的结果进行后选；以及

其中利用所述Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特并对所述n个数据量子比特应用一个或多个后选条件以完成所述K个提取魔法态向所述K个输出量子比特的所述隐形传送包括：

11)破坏性地测量所述Z基中的所有数据量子比特以获得结果z₁，...z₇，并在3个条件z₁z₃z₅z₇＝+1、z₂z₃z₆z₇＝+1和z₄z₅z₆z₇＝+1上进行后选，

如果z₁z₃z₅＝-1，应用X_o，以及

其中所述k个提取魔法态包括1个T态。

4.根据权利要求1所述的方法，其中所述外码是由[[8，3，2]]表示的二阶三正交CCZ码，其中n＝8，k＝3，以及d＝2；

其中使用n个量子比特制备k个编码的噪声魔法态包括：

1)在

中初始化8个数据量子比特，

2)在所述8个数据量子比特上测量所述X稳定子XXXXXXXX，测量3个X逻辑算子X₁＝IXIXIXIX、X₂＝IIXXIIXX、X₃＝IIIIXXXX，以及

响应于针对所述X稳定子和X逻辑算子中的任一项出现-1结果，通过ZIIIIIIII和Z逻辑算子应用泡利校正，使得所得状态为所述逻辑状态

以及

3)测量IXXIXIIX并对所述+1的结果进行后选；

其中在所述n个数据量子比特上测量克利福德稳定子包括：

4)在所述数据量子比特上应用

其中初始化k个输出量子比特包括：

5)在所述状态|000>_o1，o2，o3中初始化3个输出量子比特；

其中启动所述k个编码的魔法态向所述k个输出量子比特的隐形传送包括：

6)测量X_o1X₁两次，结果为x₁、x′₁，

测量X_o2X₂两次，结果为x₂、x′₂，

测量X_o3X₃两次，结果为x₃、x′₃，

对一致的结果x₁＝x′₁、x₂＝x′₂、x₃＝x′₃进行后选，

如果x₁＝-1，则应用Z_o1，

如果x₂＝-1，则应用Z_o2，以及

如果x₃＝-1，则应用Z_o3；

其中在所述n个数据量子比特上测量所述X稳定子并对所有+1的结果进行后选包括：

7)在所述数据量子比特上测量所述X稳定子

并对+1的结果进行后选；

其中利用所述Z稳定子破坏性地测量每个数据量子比特并对所述n个数据量子比特应用一个或多个后选条件以完成所述k个提取魔法态向所述k个输出量子比特的所述隐形传送包括

8)破坏性地测量所述Z基中的所有数据量子比特，以获得结果z₁，...，z₈，并在所有四个条件z₁z₂z₃z₄＝+1、z₂z₄z₆z₈＝+1、z₃z₄z₇z₈＝+1和z₅z₆z₇z₈＝+1上进行后选；以及

其中所述k个提取魔法态包括处于|CCZ>状态的3个量子比特。

5.根据权利要求1所述的方法，其中应用Z测量和应用X测量各自包括执行泡利框架更新。

6.根据权利要求1所述的方法，其中所述[[n，k，d]]块码包括8n个量子比特，所述8n个量子比特形成4×(2n)的矩形，其中第一行被S态占据；第二行被T态占据；第三行被所述块码的每隔一列的数据量子比特占据；以及第四行保留给猫态制备。

7.根据权利要求1所述的方法，进一步包括猫态制备，所述猫态制备包括：

1)制备|00>_ab，并用泡利校正测量X_aX_b，以得到|00>_ab+|11>_ab；

2)将b缩小以与所述4×(2n-1)的矩形的所述第四行中的所述补丁的大小匹配，以及

3)充分测量所述第四行中最近邻之间的ZZ，并丢弃每隔一个的量子比特；

其中使用n个数据量子比特制备k个编码的噪声魔法态包括多量子比特泡利运算；

其中启动所述k个编码的魔法态向所述k个输出量子比特的隐形传送包括多量子比特泡利运算；以及

其中多量子比特泡利运算是经由猫态执行的。

8.根据权利要求1所述的方法，其中所述内码被配置为在误差检测模式下操作，并且其中所述方法进一步包括基于所述克利福德稳定子测量进行后选。

9.根据权利要求1所述的方法，其中所述内码被配置为在部分误差校正模式中操作，并且其中所述方法进一步包括：

确定与克利福德稳定子测量相关联的误差的权重；

对于较小权重的误差，校正所述误差；以及

对于较高权重的误差，基于所述误差进行后选，从而在量子计算中不使用所述k个提取魔法态。

10.一种量子计算机，包括：

量子比特寄存器，包括多个量子比特；

调制器，被配置为在所述多个量子比特上实现一个或多个量子逻辑运算；

解调器，被配置为输出暴露所述多个量子比特的量子状态的数据；

控制器，可操作地耦合到所述调制器和所述解调器；以及

计算机存储器，保存指令，所述指令使所述控制器：

在[[n,k,d]]块码内，使用所述多个量子比特的n个数据量子比特制备k个编码的噪声魔法态；

在所述n个数据量子比特上测量克利福德稳定子；

初始化所述多个量子比特的k个输出量子比特；

启动从所述k个编码的魔法态导出的k个编码魔法态向所述k个输出量子比特的隐形传送；

在所述n个数据量子比特上测量所述X稳定子，并对所有+1的结果进行后选；

利用所述Z稳定子破坏性测量每个数据量子比特，并对所述n个数据量子比特应用一个或多个后选条件，以完成所述k个提取魔法态向所述k个输出量子比特的所述隐形传送；以及

在量子计算中使用所述k个提取魔法态。

11.根据权利要求10所述的量子计算机，其中所述k个提取魔法态包括一个或多个T态。

12.根据权利要求10所述的量子计算机，其中所述k个提取魔法态包括处于CCZ状态的3个量子比特。

13.根据权利要求10所述的量子计算机，其中所述[[n，k，d]]块码包括所述多个量子比特中的8n个量子比特，所述8n个量子比特形成4×2n的矩形，所述4×2n的矩形包括：

第一行，由S态占据，

第二行，由T态占据，

第三行，由每隔一列的数据量子比特占据，以及

第四行，保留给猫态制备。

14.根据权利要求10所述的量子计算机，其中所述量子计算机是拓扑量子计算机。

15.根据权利要求10所述的量子计算机，进一步包括马约拉纳线，并且其中所述多个量子比特是所述马约拉纳线内的马约拉纳费米子。

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