CN115576193B - 基于delta算子描述的pid控制方法 - Google Patents

Abstract

基于DELTA算子描述的PID控制方法，解决了实际工程中随着采样频率的增高，离散后的系统不稳定致使PID控制器控制效果不好的问题，属于嵌入式控制领域。本发明包括：确定被控系统的动力学方程，对动力学方程进行时间离散，得到离散时间线性化模型；根据离散时间线性化模型获取PID控制器，将PID控制器转换为离散时间SOF控制系统；将离散时间SOF控制系统写成DELTA算子形式；求DELTA算子形式SOF控制系统的期望值，获得DELTA算子形式SOF控制系统的控制参数，根据控制参数确定PID控制器的控制参数；利用确定控制参数的PID控制器对被控系统进行控制。

Description

基于DELTA算子描述的PID控制方法

技术领域

本发明涉及一种PID控制器，属于嵌入式控制领域。

背景技术

得益于嵌入式控制器的快速发展，控制系统的实现成本被极大降低，各类控制策略相继投入实际应用，例如超过90％的工业过程使用PID控制器。然而在实际工程中若想取得较好的控制效果，需要系统采样周期足够小，采用传统的移位算子对被控系统进行离散化时，离散时间模型的极点集中在z＝1附近，致使离散时间模型传递函数的灵敏度增加，这将会导致采样数据量化误差以及极限振荡等数值不稳定问题，并且易于引入非最小相位零点，进而降低PID控制器的控制效果。

发明内容

针对实际工程中随着采样频率的增高，离散后的系统不稳定致使PID控制器控制效果不好的问题，本发明提供一种基于DELTA算子描述的PID控制方法。

本发明的一种基于DELTA算子描述的PID控制方法，包括：

S1、确定被控系统的动力学方程，对动力学方程进行时间离散，得到离散时间线性化模型：

式中x(t_k)、为被控系统的状态向量，包括位置、速度、加速度，为扰动输入，和分别为被控系统输出和测量输出，u(t_k)为被控系统的控制量输入；A_z、B_z1、B_z2、C_z1、D_z1及C_z2均为系数矩阵，表示n维实数；

S2、根据离散时间线性化模型获取PID控制器，将PID控制器转换为离散时间SOF控制系统；

S3、将离散时间SOF控制系统写成DELTA算子形式；

S4、求DELTA算子形式SOF控制系统的期望值，获得DELTA算子形式SOF控制系统的控制参数根据控制参数确定PID控制器的控制参数；

S5、利用确定控制参数的PID控制器对被控系统进行控制。

作为优选，S4包括：

S41、设置迭代次数k＝1，选择初始值P_k-1＝X_k-1＝I；

S42、求满足边界条件下的最小化Trace(X_k-1P_k+P_k-1X_k)，获取此时的P_k和X_k：边界条件：

Trace(·)表示矩阵的迹，P_k和X_k为k时的决策变量，X_k为P_k的逆矩阵，α、σ、γ表示给定值，T表示采样周期， 被控系统被控系统

S43、如果k＞N或||Tr(X_k-1P_k+P_k-1X_k)-2M||＜ε，M是整数，M×M是P的维度，N是预定义的最大迭代次数，ε是规定的容差，转入S44，否则，k＝k+1，转入S42；

S44、当P＝P_k时求解

作为优选，α＞0，||z(t_k)||_∞/||w(t_k)||_∞≤γ，0＜σ＜γ²。

作为优选，扰动输入||w(t_k)||_∞≤1时，被控系统输出||z(t_k)||_∞≤γ。

作为优选，S2中，离散时间SOF控制系统为：

u(t_k)＝F_zy_a(t_k)

其中：

Δy(t_k)＝y(t_k)-y(t_k-1)

F_z为离散时间SOF控制系统的控制系数。

作为优选，S3中，DELTA算子形式SOF控制系统为：

作为优选，S2中，PID控制器为：

K_p,K_i,K_d分别为比例项、积分项和微分项的系数。

作为优选，被控系统为压电陶瓷作动器、电磁电机、用于光束控制的压电快速倾斜镜或卫星激光通信精跟踪系统。

本发明的有益效果：高速采样时，本发明采用DELTA算子离散化模型趋近于原始的连续模型，此时模型分析的结果与在连续系统时的结果比较接近。本发明设计的PID控制器性能稳定，提高了控制效果。

附图说明

图1为广义对象G(s)的框图；

图2为l₁标准问题的框图；

图3中的(a)为实施例1的x₁，(b)实施例1的x₂，(c)为实施例1的u在初始条件x₀＝[π/4 0]^T下的响应，图3中的横坐标表示时间；

图4为z在时间间隔8-16的响应，横坐标表示时间；

图5中(a)为实施例1的u，(b)为实施例1的z的响应，图5中横坐标表示时间。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，但不作为本发明的限定。

本实施方式的基于DELTA算子描述的PID控制方法，包括：

步骤1、确定被控系统的动力学方程，对动力学方程进行时间离散，得到离散时间线性化模型：

式中x(t_k)、为被控系统的状态向量，包括位置、速度、加速度，为扰动输入，和分别为被控系统输出和测量输出，测量输出可以是位置输出或角度输出，u(t_k)为被控系统的控制量输入；A_z、B_z1、B_z2、C_z1、D_z1及C_z2均为系数矩阵，表示n维实数；

广义对象G(s)的框图如图1所示。

其中

l₁标准问题的框图如图2所示。l₁性能即从w(t_k)到z(t_k)满足性能||z(t_k)||_∞/||w(t_k)||_∞≤γ，其中γ为给定值。PID控制器函数由下式给出

其中K_p,K_i,分别为比例项、积分项和微分项的系数。

步骤2、根据离散时间线性化模型获取PID控制器，将PID控制器转换为离散时间SOF控制系统；

步骤3、将离散时间SOF控制系统写成DELTA算子形式；

步骤4、求DELTA算子形式SOF控制系统的期望值，获得DELTA算子形式SOF控制系统的控制参数根据控制参数确定PID控制器的控制参数；

步骤5、利用确定控制参数的PID控制器对被控系统进行控制。

本实施方式将被控系统离散后，针对离散时间系统提出了一种基于DELTA算子的具有L1性能的PID控制器。首先利用系统增强技术将PID控制器转化为静态输出反馈(SOF)控制系统，然后将SOF控制系统用DELTA域表示，最后计算SOF控制器的期望值，由此获得PID控制器。本实施方式的被控系统可以是工程中的电磁电机、压电陶瓷以及卫星激光通信精跟踪系统。

优选实施例中，步骤4包括：

步骤41、设置迭代次数k，k的初始值为1，选择初始值P_k-1＝X_k-1＝I；

步骤42、求满足边界条件下的最小化Trace(X_k-1P_k+P_k-1X_k)，获取此时的P_k和X_k：边界条件：

Trace(·)表示矩阵的迹，P_k和X_k为k时的决策变量，X_k为P_k的逆矩阵，α、σ、γ表示给定值，T表示采样周期， 被控系统被控系统

步骤43、如果k＞N或||Tr(X_k-1P_k+P_k-1X_k)-2M||＜ε，M是整数，M×M是P的维度，N是预定义的最大迭代次数，ε是规定的容差，转入步骤44，否则，k＝k+1，转入步骤42；

步骤44、当P＝P_k时求解

本实施方式中，让s_k＝Trace(X_k-1P_k+P_k-1X_k)并假设s_k+1是最优值，那么有s_k+1≤Trace(X_kP_k-1+P_kX_k-1)＝s_k。另一方面，有以下事实：

显然，序列S是单调递减的，其下界为2M。上述分析意味着满足边界条件下的最小化Trace(X_k-1P_k+P_k-1X_k)收敛，且是一种局部优化方法，这意味着即使无法找到任何解，也存在可行解。

本实施方式的目的是将被控系统进行时间离散，基于DELTA算子为离散时间系统设计PID控制器，使得闭环系统稳定且通道从w(t_k)到z(t_k)满足l₁性能||z(t_k)||_∞/||w(t_k)||_∞≤γ，其中||w(t_k)||_∞≠0，在零初始条件下。由于本实施方式的被控系统是线性系统，因此l1性能可以用另一种方式表示，即对于任意扰动输入||w(t_k)||_∞≤1时满足受控输出||z(t_k)||_∞≤γ。

原理推导：

本实施方式的步骤2中，离散时间SOF控制系统为：

u(t_k)＝F_zy_a(t_k) (1)

其中：

Δy(t_k)＝y(t_k)-y(t_k-1)

F_z为离散时间SOF控制系统的控制系数。

虽然PID控制器已经转变为SOF控制系统，但两个系统的动态特性完全相同。此外，这两个系统从w(t_k)到z(t_k)之间具有相同的传递函数。因此，它们具有相同的性能指标。有鉴于此，可以说这两个系统是等价的。

本实施方式的步骤3中，DELTA算子形式SOF控制系统为：

可以观察到，如果确定了SOF矩阵，则可以导出PID控制器的系数。

其中选择二次函数作为李雅普诺夫函数，并对V(x_a(t_k))进行DELTA算子操作

其中如果||w(t_k)||_∞≤1且满足

δV(x_a(t_k))-α(w^T(t_k)w(t_k)-V(x_a(t_k)))＜0 (7)

那么集合

其中α＞0其中为预定义的标量。将(6)代入(7)得到

将舒尔补定理应用于(8)，可得到

如果满足(9)，对于零初始条件下满足||w(t_k)||_∞≤1的任何扰动输入，状态向量x_a(t_k)将永远不会超过由确定的椭球域。此外，如果

对于固定标量σ(0＜σ＜γ²)成立，从w(t_k)到z(t_k)的通道满足l₁性能γ＞0。为了证明这一点，有

根据以上分析，可得出：

定理1.由给出的SOF控制系统在规定的l₁性能γ＞0下是渐近稳定的，如果存在预定义的标量α＞0，0＜σ＜γ²，矩阵P＞0和X＞0，使得(10)及

PX＝I (12)

成立，其中

证明定理1的结果可以由(9)和(10)推导出来。接下来，将证明(9)可以由(12)-(14)推导产生。事实上，不等式(9)可以改写为：

其中D＝diag{P,I,P}以及

由投影引理可知，不等式(15)成立当且仅当

请注意，(16)与(13)相同。由于(ΛD)_⊥＝D^-1Λ_⊥和X＝P^-1(见(12))，不等式(18)等于

其中

请注意，(18)与(14)相同。

由于(13)中存在决策变量P和X的乘积项，定理1的条件是BMIs，不能用现有的凸优化方法直接求解。考虑到X是P的逆矩阵，方程约束(17)等价于

Trace(PX)＝2M

其中M是整数，M×M是P的维度。再找到所需的反馈矩阵

实施例1：

本实施例中使用了著名的倒立摆示例。钟摆的动力学如下

其中g＝9.8m/s²，a＝1/(M+m)，M＝8kg，m＝2kg，l＝0.5m，x₁是摆的角度，x₂是角速度，C₁＝[1 1],D₁＝0.1,C₂＝[1 0].

给定采样周期T＝0.001s，可以得到离散时间线性化模型，其中

C_z1＝[1 1],D_z1＝0.1,C_z2＝[1 0]

PID控制器用于控制倒立摆。假设l₁性能γ＝0.4，将展示如何使用算法1来设计PID控制器。

步骤(1):将离散时间线性化模型构成的PID控制器转换为SOF控制系统，其中

F_z＝[K_p K_i K_d]是需要确定的SOF矩阵。此外，在delta域中重写上述离散时间SOF

控制系统。Delta算子SOF控制系统可以写成DELTA算子形式SOF控制系统，其中

步骤(2):设置α＝0.8、σ＝0.05和ε＝10^-5。由算法1，经过279次迭代可推导出如下SOF控制器。

从中很容易复现PID控制器，其中K_p＝113.6616，K_i＝4.9653×10^-3，K_d＝14817.2985.

为了证明所设计的PID控制器的有效性，进行了仿真。闭环系统在初始条件x₀＝[π/4 0]^T下的响应如图3所示，其中在t≥8s处添加了均匀随机扰动w。从图3a和图3b可以看出，PID控制器可以使倒立摆稳定在原点附近。在图3c中，当w施加在系统上时，控制器调节其输出以减少干扰的影响。在该图中，还描绘了u在时间间隔[10 10.1]上的详细响应。受控输出Z的响应如图4所示，其中||z||_∞＝0.1040＜γ＝0.4。

该方法也适用于多变量PID控制器。在本实施例中，例如四缸工艺系统。假设非线性系统在T＝0.01s平衡点的离散时间线性化模型可以用本实施方式的离散时间线性化模型来描述，其中

其中γ＝0.6、α＝0.001、σ＝0.3、ε＝10^-5，PID控制器的系数如下所示：

零初始条件下的仿真结果如图5所示，其中||z||_∞＝0.2001＜γ＝0.6。显然，所设计的控制器达到了令人满意的性能。

实施例2：

本实施例中使用压电陶瓷作动器作为示例。给定采样周期T＝0.0002s，其离散时间线性系统可由离散时间线性化模型描述，其中

C_z1＝[0.01 0.01],C_z2＝[95 6.908],D_z1＝0

根据离散时间线性化模获取PID控制器，PID控制器用于控制压电陶瓷的位置。假设l₁性能γ＝130.484，下面将展示如何设计PID控制器。

将PID控制器转换为离散时间SOF控制系统，其中

F_z＝[K_p K_i K_d]是需要确定的SOF矩阵。此外，在delta域中重写上述离散时间SOF

控制系统。Delta算子SOF控制系统可以用DELTA算子形式SOF控制系统表示，其中

设置α＝1.6826×10⁴、σ＝200和ε＝10^-5，经过迭代可推导出如下SOF控制器

从中很容易复现PID控制器，其中K_p＝0.9，K_i＝750，K_d＝0。

同理，本申请提供方法同样适用于压电陶瓷驱动的快速倾斜镜角度控制。

虽然在本文中参照了特定的实施方式来描述本发明，但是应该理解的是，这些实施例仅仅是本发明的原理和应用的示例。因此应该理解的是，可以对示例性的实施例进行许多修改，并且可以设计出其他的布置，只要不偏离所附权利要求所限定的本发明的精神和范围。应该理解的是，可以通过不同于原始权利要求所描述的方式来结合不同的从属权利要求和本文中的特征。还可以理解的是，结合单独实施例所描述的特征可以使用在其他实施例中。

Claims (9)

1.一种基于DELTA算子描述的PID控制方法，其特征在于，所述方法包括：

S1、确定被控系统的动力学方程，对动力学方程进行时间离散，得到离散时间线性化模型：

式中x(t_k)、为被控系统的状态向量，包括位置、速度、加速度，为扰动输入，和分别为被控系统输出和测量输出，u(t_k)为被控系统的控制量输入；A_z、B_z1、B_z2、C_z1、D_z1及C_z2均为系数矩阵，表示n维实数；

S2、根据离散时间线性化模型获取PID控制器，将PID控制器转换为离散时间SOF控制系统；

S3、将离散时间SOF控制系统写成DELTA算子形式；

S4、求DELTA算子形式SOF控制系统的期望值，获得DELTA算子形式SOF控制系统的控制参数根据控制参数确定PID控制器的控制参数；

S5、利用确定控制参数的PID控制器对被控系统进行控制；

所述S4包括：

S41、设置迭代次数k＝1，选择初始值P_k-1＝X_k-1＝I；

S42、求满足边界条件下的最小化Trace(X_k-1P_k+P_k-1X_k)，获取此时的Pk和Xk：边界条件：

Trace(·)表示矩阵的迹，P_k和X_k为k时的决策变量，X_k为P_k的逆矩阵，α、σ、γ表示给定值，T表示采样周期，

S43、如果k＞N或||Tr(X_k-1P_k+P_k-1X_k)-2M||＜ε，M是整数，M×M是P的维度，N是预定义的最大迭代次数，ε是规定的容差，转入S44，否则，k＝k+1，转入S42；

S44、当P＝P_k时求解

2.根据权利要求1所述的基于DELTA算子描述的PID控制方法，其特征在于，α＞0，||z(t_k)||_∞/||w(t_k)||_∞≤γ，0＜σ＜γ²。

3.根据权利要求2所述的基于DELTA算子描述的PID控制方法，其特征在于，扰动输入||w(t_k)||_∞≤1时，被控系统输出||z(t_k)||_∞≤γ。

4.根据权利要求1所述的基于DELTA算子描述的PID控制方法，其特征在于，所述S2中，离散时间SOF控制系统为：

u(t_k)＝F_zy_a(t_k)

其中：

Δy(t_k)＝y(t_k)-y(t_k-1)

F_z为离散时间SOF控制系统的控制系数。

5.根据权利要求4所述的基于DELTA算子描述的PID控制方法，其特征在于，所述S3中，DELTA算子形式SOF控制系统为：

6.根据权利要求5所述的基于DELTA算子描述的PID控制方法，其特征在于，所述S2中，PID控制器为：

K_p,K_i,K_d分别为比例项、积分项和微分项的系数。

7.根据权利要求1所述的基于DELTA算子描述的PID控制方法，其特征在于，所述被控系统为压电陶瓷作动器、电磁电机、用于光束控制的压电快速倾斜镜或卫星激光通信精跟踪系统。

8.一种计算机可读的存储设备，所述存储设备存储有计算机程序，其特征在于，所述计算机程序被执行时实现如权利要求1至7任一所述基于DELTA算子描述的PID控制方法。

9.一种基于DELTA算子描述的PID控制装置，包括存储设备、处理器以及存储在所述存储设备中并可在所述处理器上运行的计算机程序，其特征在于，所述处理器执行所述计算机程序实现如权利要求1至7任一所述基于DELTA算子描述的PID控制方法。