CN115482890A - 基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法 - Google Patents

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CN115482890A CN202211115218.2A CN202211115218A CN115482890A CN 115482890 A CN115482890 A CN 115482890A CN 202211115218 A CN202211115218 A CN 202211115218A CN 115482890 A CN115482890 A CN 115482890A
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Abstract

本发明公开了一种基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法，包括：基于应变张量的谱分解方法将弹性应变能密度分解为拉伸和压缩两部分；将基于能量范数的等效应变分解为拉伸部分和压缩部分，用等效应变中的拉伸部分对弹性应变能量密度中拉伸部分造成的损伤进行正则化；分解后的弹性应变能量密度和等效应变由被离散化的静力平衡和微力平衡方程引入到有限元数值框架，构建局部梯度损伤模型。本发明解决了由于弹性应变能密度未分解导致的压缩部分引起的虚假损伤问题，尤其在混凝土复杂混合模式断裂和强压缩载荷作用下的断裂问题，使局部梯度损伤模型能够更准确地预测混凝土复杂混合模式断裂问题的裂纹轨迹。

Description

基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法
技术领域
本发明属于损伤断裂计算技术领域，具体涉及一种基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法，用于预测混凝土等准脆性材料的裂纹扩展路径，尤其是混凝土等准脆性材料复杂混合模式断裂的裂纹路径预测，对混凝土等准脆性材料各项同性弹性损伤模型预测裂纹轨迹的能力做了进一步提升。
背景技术
混凝土等准脆性材料在许多工程应用中发挥着重要作用，特别是在基础设施系统中。因此，混凝土等准脆性材料的断裂预测是十分重要的，也是近几十年来计算力学的一个主要研究领域。为了更好地解决准脆性材料的断裂预测问题，研究人员采用实验、理论和计算等多种方法研究相关问题。发展有效和准确的计算模型来预测准脆性材料的破坏和断裂过程仍然是科学界面临的主要挑战。为此，最近开发了局部梯度增强损伤模型来应对这一挑战。
由于其高度的非均质性和各向异性，大多数准脆性材料在拉伸和压缩下表现出不同的性能。因此，需要一个精确有效的连续损伤模型来捕捉准脆性材料的拉压不对称性。例如，材料降解过程的各向异性损伤模型可以用单个应变分量驱动的损伤参数来描述。其他的方法包括双耗散损伤模型，同时采用与拉伸和压缩分别相关的两个损伤参数，甚至还有另外考虑剪切损伤的三参数模型。然而，这些方法的实现通常很复杂。最简单形式的单损伤变量梯度增强损伤模型，用标量等效应变表征材料完整性，以解释准脆性材料的拉伸和压缩不对称性。但局部梯度增强损伤模型局限于主应力空间中以拉伸为主的区域。因此，现有的局部梯度增强损伤模型在涉及显著压应力的情况下是不合适的。
发明内容
解决的技术问题：为了克服现有局部梯度损伤模型中存在由压缩部分引起的虚假损伤问题，本发明给出一种基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法，基于应变张量的谱分解方法将弹性应变能密度分解为拉伸和压缩两部分。同时将基于能量范数的等效应变根据应变张量的谱分解方法分解为拉伸部分和压缩部分，用等效应变中的拉伸部分对弹性应变能量密度中拉伸部分造成的损伤进行正则化。并采用ABAQUS用户子程序UEL开发实现。本发明解决了由于弹性应变能密度未分解导致的压缩部分引起的虚假损伤问题，尤其在混凝土复杂混合模式断裂和强压缩载荷作用下的断裂问题，使得局部梯度损伤模型能够更准确地预测混凝土复杂混合模式断裂问题的裂纹轨迹。
技术方案：
一种基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法，所述构建方法包括以下步骤：
S1，引入基于应变张量的谱分解方法将弹性应变能密度分解为拉伸和压缩两部分，损伤系数D只作用于拉伸部分，以避免压缩部分引起的虚假损伤；
S2，采用基于应变张量的谱分解方法将基于能量范数的等效应变也分解为拉伸和压缩两部分，采用等效应变中的拉伸部分对弹性应变能密度中的拉伸部分进行正则化处理；
S3，引入宏观与微观间的连接系数和微观与微观间的交互作用系数，结合分解后的弹性应变能密度，构建自由能密度方程；对自由能密度方程进行化简，得到由平衡方程和微观-宏观相互作用方程组成的控制方程；分别用二次插值函数和线性插值函数离散化控制方程并引入到有限元数值框架；
S4，基于引入离散化的控制方程的有限元数值框架，通过ABAQUS用户子程序UEL开发实现基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型。
进一步地，步骤S1中，采用下述公式对弹性应变能密度进行分解：
Figure BDA0003845135170000021
式中，
Figure BDA0003845135170000022
和
Figure BDA0003845135170000023
分别表示弹性应变能密度的正负两个部分，λ和μ为拉梅常数，<>为麦考利括号，
Figure BDA0003845135170000024
表示应变张量被分解为正负两个部分，εi和ni分别为主应变的大小和方向，ε为应变张量，n＝2。
3、根据权利要求2所述的基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法，其特征在于，步骤S2中，分解后的基于能量范数的等效应变e+为：
Figure BDA0003845135170000025
式中，E表示弹性模量。
4、根据权利要求3所述的基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法，其特征在于，步骤S3中，构建得到的自由能密度方程为：
Figure BDA0003845135170000026
式中，D为标量损伤变量，ε为应变张量，e和
Figure BDA0003845135170000027
分别为宏观尺度和微观尺度的等效应变，l为长度尺度参数，g为相互作用函数，h为耦合模量。
5、根据权利要求4所述的基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法，其特征在于，步骤S3中，控制方程为：
Figure BDA0003845135170000031
Figure BDA0003845135170000032
通过自由能函数对应变张量求导得到应力σ：
Figure BDA0003845135170000033
其中，M为表示主应力应变关系的弹性矩阵；
采用有限差分近似计算应变梯度：
Figure BDA0003845135170000034
其中，εp为主应变，△εij为一个无穷小增量，εij为应变分量，i＝1,2，j＝1,2；
分别用二次插值函数和线性插值函数离散基本变量u和
Figure BDA0003845135170000035
u＝Nu au
Figure BDA0003845135170000036
其中，Nu和Ne分别表示二次和线性型函数，au和ae为节点自由度；
化简后得到微分控制方程的弱形式为：
Figure BDA0003845135170000037
Figure BDA0003845135170000038
其中，
Figure BDA0003845135170000039
和
Figure BDA00038451351700000310
为梯度算子矩阵的转置矩阵，
Figure BDA00038451351700000311
和
Figure BDA00038451351700000312
为各自运动场共轭的应力，dΩ和ds为面积微元，t为单元表面牵引力；
基于弹性应变能密度分解的局部化梯度损伤模型的平面应变数值框架为：
Figure BDA00038451351700000313
其中，Kuu、Kue、Keu和Kee为切线刚度矩阵的分量，
Figure BDA00038451351700000314
和
Figure BDA00038451351700000315
分别为内力和外力，Fe为微观力；力矢量的分量为：
Figure BDA00038451351700000316
Figure BDA00038451351700000317
Figure BDA00038451351700000318
切线刚度矩阵为：
Figure BDA00038451351700000319
Figure BDA0003845135170000041
Figure BDA0003845135170000042
Figure BDA0003845135170000043
其中，C′和C″为修正的弹性张量，κ为损伤函数中的历史参数。
有益效果：
本发明解决了原有技术中的不足，即现有局部梯度损伤模型中存在由压缩部分引起的虚假损伤问题，对复杂的混合模式断裂问题和强压缩应力问题分析存在不足。本发明基于应变张量的谱分解法将弹性应变能密度和等效应变分解为拉伸和压缩两个部分，而损伤因子只作用于拉伸部分，等效应变的拉伸部分来正则化弹性应变能密度的拉伸部分。分解后的局部梯度损伤模型可以有效避免由压缩部分引起的虚假损伤，使得改进的局部梯度损伤模型对混凝土等准脆性材料的复杂混合模式断裂问题的裂纹轨迹预测能力更强。
附图说明
图1为本发明实施例的基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法的流程图。
图2为悬臂梁结构尺寸和边界条件示意图。
图3为悬臂梁载荷位移曲线图，其中，(a)对应未分解模型，(b)对应分解模型。
图4为分解模型和未分解模型计算得到的悬臂梁裂纹扩展路径示意图，其中，(a)对应未分解模型，(b)对应分解模型。
图5为双边开口的混凝土式样的结构尺寸和边界条件示意图。
图6为双边开口的混凝土式样的拉伸载荷和剪切载荷与位移的关系曲线图，其中，(a)对应拉伸载荷与位移关系曲线，(b)对应剪切载荷与位移关系曲线。
图7为双边开口的混凝土式样的裂纹扩展路径示意图，其中，(a)对应未分解模型，(b)对应分解模型。
具体实施方式
下面的实施例可使本专业技术人员更全面地理解本发明，但不以任何方式限制本发明。
本发明基于应变张量的谱分解法将弹性应变能密度和等效应变分解为拉伸和压缩两个部分，使损伤因子只作用于拉伸部分，从而分解后的局部梯度损伤模型可以有效避免由压缩部分引起的虚假损伤。基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型，在分析混凝土等准脆性材料复杂混合模式断裂问题中有很大进步，如附图1所示，包括以下步骤：
1)引入弹性应变能密度谱分解方法，基于应变张量的谱分解方法将弹性应变能密度分解为拉伸和压缩两部分，损伤系数D只作用于拉伸部分，从而有效避免压缩部分引起的虚假损伤；
2)为了对弹性应变能量密度中拉伸部分进行正则化，将基于能量范数的等效应变也基于应变张量的谱分解方法分解为拉伸部分和压缩部分，用等效应变中的拉伸部分对弹性应变能量密度中拉伸部分进行正则化；
3)自由能密度方程不仅包含别分解的弹性应变能密度，还引入宏观与微观间的连接系数和微观与微观间的交互作用系数，使得损伤被有效控制在较小的区域内，避免虚假损伤的出现。化简后得到由平衡方程和微观-宏观相互作用方程组成的控制方程。分别用二次插值函数和线性插值函数离散化并引入到有限元数值框架。基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型通过ABAQUS用户子程序UEL开发实现。
步骤1)中弹性应变能密度谱分解方法，该方法是根据应变张量的谱分解法得以实现的，具体形式如下：
Figure BDA0003845135170000051
式中，
Figure BDA0003845135170000052
和
Figure BDA0003845135170000053
分别表示弹性应变能密度的正负两个部分，λ和μ为拉梅常数，<>为麦考利括号，
Figure BDA0003845135170000054
表示应变张量被分解为正负两个部分，εi和ni分别为主应变的大小和方向。
由上述弹性应变能密度谱分解方法可以得到自由能密度方程为：
Figure BDA0003845135170000055
式中，ε为应变张量，e和
Figure BDA0003845135170000056
分别为宏观尺度和微观尺度的等效应变，l为长度尺度参数，损伤演化过程采用广泛应用的指数演化规律：
Figure BDA0003845135170000057
相互作用函数g的表达式为：
Figure BDA0003845135170000058
式中，η为相互作用衰减率，R相互作用残余量。通常情况下选择η＝5和R＝0.005。
步骤2)中基于能量范数的等效应变根据应变张量的谱分解方法被分解为拉伸和压缩两个部分，分解后的基于能量范数的等效应变为：
Figure BDA0003845135170000059
式中，E表示弹性模量。
步骤3)中的控制方程为：
Figure BDA00038451351700000510
Figure BDA00038451351700000511
应力是通过自由能函数对应变张量求导得到：
Figure BDA0003845135170000061
由于方程的解析解比较复杂，为了便于数值实现，应变梯度是使用有限差分近似计算的。
Figure BDA0003845135170000062
其中，εp为主应变，△εij为一个无穷小增量。
基本变量u和
Figure BDA0003845135170000063
和分别用二次插值函数和线性插值函数离散，如下所示：
u＝Nu au
Figure BDA0003845135170000064
化简后得到微分控制方程的弱形式为：
Figure BDA0003845135170000065
Figure BDA0003845135170000066
基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型的平面应变数值框架为：
Figure BDA0003845135170000067
其中，力矢量的分量为：
Figure BDA0003845135170000068
Figure BDA0003845135170000069
Figure BDA00038451351700000610
切线刚度矩阵为：
Figure BDA00038451351700000611
Figure BDA00038451351700000612
Figure BDA00038451351700000613
Figure BDA00038451351700000614
基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型的正确性和优越性通过悬臂梁和双边开口混凝土式样的数值分析来得以验证。首先是悬臂梁数值算例，将展示损伤演化中拉伸和压缩不对称性的差异，以证明分解模型的正确性。通过模拟左端固定，右端施加垂直向下载荷的悬臂梁，如图2所示，证明弹性应变能密度分解可以有效避免压缩部分引起的虚假损伤。计算使用的材料参数分别为：弹性模量为E＝1000MPa，泊松比为υ＝0.2，长度尺度参数为l＝2mm，损伤阈值为k0＝0.001，损伤软化参数为β＝5和α＝0.99。
首先，采用3种不同的网格来检验网格的收敛性。未分解模型和分解模型计算的归一化力-位移曲线如图3所示。未分解模型和分解模型在17714个单元时均实现了网格收敛。由于弹性应变能密度中的压缩部分未导致悬臂梁出现损伤现象，损伤只在拉伸条件下演化(裂缝从上到下延伸)，如图4中的(b)所示，分解模型导致峰值荷载增加了约10％。而对于未分解模型，损伤在拉伸和压缩两种情况下均演化扩展(裂缝同时从梁的顶部和底部延伸到中间)，如图4中的(a)所示。
第二个数值算例是双边开口的混凝土试样，它将展示分解模型在预测复杂混凝土混合模式断裂问题裂纹轨迹的能力。双边开口的混凝土试样几何尺寸和边界条件如图5所示。试件固定在加载框架上，通过加载框架施加拉伸和剪切载荷。计算使用的材料参数分别为：弹性模量为E＝30GPa，泊松比为υ＝0.2，长度尺度参数为l＝2mm，损伤阈值为k0＝0.000092，损伤软化参数为β＝30和α＝0.99。
双边开口混凝土试样的拉伸结构响应和剪切结构响应如图6所示。从图中可以明显发现，分解模型的拉伸结构响和剪切结构响应都更接近实验结果。而未分解模型得到的拉伸结构响和剪切结构响应与实验结果存在差异。同样在图7中可以看到，分解模型预测的裂纹轨迹与实验结果(图7中白色实线)也十分接近。分解模型的剪切载荷明显大于未分解模型，这正好解释了图7中所示的分解模型出现多裂纹而未分解模型出现单裂纹的现象。尤其是分解模型得到了通过两个预制开口的水平裂缝，这与实验结果一致。
上述数值算例充分证明了本发明有效解决了由于弹性应变能密度未分解导致的压缩部分引起的虚假损伤问题，使局部梯度损伤模型能够更准确地预测混凝土复杂混合模式断裂问题的裂纹轨迹。

Claims (5)

1.一种基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法，其特征在于，所述构建方法包括以下步骤：
S1，引入基于应变张量的谱分解方法将弹性应变能密度分解为拉伸和压缩两部分，损伤系数D只作用于拉伸部分，以避免压缩部分引起的虚假损伤；
S2，采用基于应变张量的谱分解方法将基于能量范数的等效应变也分解为拉伸和压缩两部分，采用等效应变中的拉伸部分对弹性应变能密度中的拉伸部分进行正则化处理；
S3，引入宏观与微观间的连接系数和微观与微观间的交互作用系数，结合分解后的弹性应变能密度，构建自由能密度方程；对自由能密度方程进行化简，得到由平衡方程和微观-宏观相互作用方程组成的控制方程；分别用二次插值函数和线性插值函数离散化控制方程并引入到有限元数值框架；
S4，基于引入离散化的控制方程的有限元数值框架，通过ABAQUS用户子程序UEL开发实现基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型。
2.根据权利要求1所述的基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法，其特征在于，步骤S1中，采用下述公式对弹性应变能密度进行分解：
Figure FDA0003845135160000011
式中，
Figure FDA0003845135160000012
和
Figure FDA0003845135160000013
分别表示弹性应变能密度的正负两个部分，λ和μ为拉梅常数，<>为麦考利括号，
Figure FDA0003845135160000014
表示应变张量被分解为正负两个部分，εi和ni分别为主应变的大小和方向，ε为应变张量，n＝2。
3.根据权利要求2所述的基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法，其特征在于，步骤S2中，分解后的基于能量范数的等效应变e+为：
Figure FDA0003845135160000015
式中，E表示弹性模量。
4.根据权利要求3所述的基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法，其特征在于，步骤S3中，构建得到的自由能密度方程为：
Figure FDA0003845135160000016
式中，D为标量损伤变量，ε为应变张量，e和
Figure FDA0003845135160000017
分别为宏观尺度和微观尺度的等效应变，l为长度尺度参数，g为相互作用函数，h为耦合模量。
5.根据权利要求4所述的基于弹性应变能密度分解的局部梯度损伤模型构建方法，其特征在于，步骤S3中，控制方程为：
Figure FDA0003845135160000021
Figure FDA0003845135160000022
通过自由能函数对应变张量求导得到应力σ：
Figure FDA0003845135160000023
其中，M为表示主应力应变关系的弹性矩阵；
采用有限差分近似计算应变梯度：
Figure FDA0003845135160000024
其中，εp为主应变，△εij为一个无穷小增量，εij为应变分量，i＝1,2，j＝1,2；
分别用二次插值函数和线性插值函数离散基本变量u和
Figure FDA00038451351600000217
u＝Nu au
Figure FDA00038451351600000218
其中，Nu和Ne分别表示二次和线性型函数，au和ae为节点自由度；
化简后得到微分控制方程的弱形式为：
Figure FDA0003845135160000025
Figure FDA0003845135160000026
其中，
Figure FDA0003845135160000027
和
Figure FDA0003845135160000028
为梯度算子矩阵的转置矩阵，
Figure FDA0003845135160000029
和
Figure FDA00038451351600000210
为各自运动场共轭的应力，dΩ和ds为面积微元，t为单元表面牵引力；
基于弹性应变能密度分解的局部化梯度损伤模型的平面应变数值框架为：
Figure FDA00038451351600000211
其中，Kuu、Kue、Keu和Kee为切线刚度矩阵的分量，
Figure FDA00038451351600000212
和
Figure FDA00038451351600000213
分别为内力和外力，Fe为微观力；力矢量的分量为：
Figure FDA00038451351600000214
Figure FDA00038451351600000215
Figure FDA00038451351600000216
切线刚度矩阵为：
Figure FDA0003845135160000031
Figure FDA0003845135160000032
Figure FDA0003845135160000033
Figure FDA0003845135160000034
其中，C′和C″为修正的弹性张量，κ为损伤函数中的历史参数。
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JP2016004543A (ja) * 2014-06-19 2016-01-12 マツダ株式会社 有限要素解析装置、該方法及び該プログラム
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AMIT SHEDBALE 等: "A localizing gradient enhanced isotropic damage model with ottosen equivalent strain for the mixed-mode fracture of concrete", INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES *

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