CN115451846B - 一种基于tls的大型抛物面天线口径测量及计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及测绘科学技术领域，公开一种基于TLS的大型抛物面天线口径测量计算方法，采用TLS对被测天线面进行覆盖式测量，得到天线面高密度点云，解决天线口面边缘点自动提取问题，并解决天线口面圆直径的鲁棒拟合计算问题，包括测量数据采集、基于体素区域生长的天线面点云提取，基于天线面主方向投影的天线边缘点提取，具有约束条件参数平差的空间圆拟合，为报拟合精度，天线口面圆拟合在三维空间进行。本发明无需人工干预，即人为判定边缘点，得到的天线口径计算结果较为客观；在口径拟合计算中采用抗差拟合方法，计算结果可有效减弱噪声点的影响，拟合结果较为可靠。

Description

一种基于TLS的大型抛物面天线口径测量及计算方法

技术领域

本发明涉及测绘科学技术领域，尤其涉及一种基于TLS的大型抛物面天线口径测量及计算方法。

背景技术

目前，大型抛物面天线，如：卫星地面侦察站或射电天文望远镜所采用天线，如图1和图2所示，口径无接触测量问题。其中口径为口面圆直径。被测天线架设高度较高且尺寸较大，一般为十米至百米量级，口径测量可用于口径安装值与设计值之间进行计量比对，并可用于口径形变情况的监测。现有口径测量技术主要可分为：接触式测量和非接触式测量两大类。

接触式测量方法主要包括：1)设计专用工装进行的测量方法(谈昆伦,吕国平,陈龙,谈良春.大口径测量仪:CN201811689U[P].2011.；杨华,杨通河,窦艳红.一种口径测量方法[J].中国计量,2009(9):85-85.)；2)设计专用接触探头的测量方法(郑双飞，顾明亚.一种用于超大孔径测量的电子测头:CN111156890A[P].2018.)；3)采用三坐标测量机(如机械臂测量设备等)直接进行接触式测量(徐瑞,赵劲松,岳清,等.基于三坐标测量机的大口径红外光学透镜曲率半径测量方法研究[J].红外技术,2018(4):338-345.)；4)采用激光跟踪仪或激光干涉仪进行有合作目标的接触式测量(王孝坤,郑立功.一种精确测量光学球面曲率半径的方法[J].光学学报,2011,31(8):0812010.)。现有的该类方法测量精度高，但同样也存在下列问题：1)使用专用工装或探头的测量方法，仅适用于较小尺寸口径的专用性针对性测量，适用面较狭隘；2)采用三坐标测量机、激光跟踪仪或激光干涉仪等测量仪器进行测量的方法，依赖人工控制接触测量点位，不适用于人工无法接触到的测量场景。

非接触式测量方法主要包括：1)测距法，文献(吕云卿,高成明,高军.一种大口径抛物面天线主面形变实时测量装置:CN213396961U[P].2021.)在天线面的两个正交方向上的顶点设置激光测距仪，在对向设置激光反射板，通过激光测距进行天线口径的测量；2)单点测量法，如采用全站仪或经纬仪工业交会测量系统(卢志辉.大口径抛物面天线主面安装精度测量方法探讨[J].无线电工程,2004(7):35-37.)直接测量天线口径直径；3)覆盖测量法，如文献(中国科学院光电技术研究所.一种基于激光跟踪仪非接触式测量大口径光学元件面形的方法:CN111023971A[P].2021.)采用的激光跟踪仪测量合作气浮靶标的方法，文献(田爱玲,王红军,刘丙才,等.一种大口径抛物面测量系统:CN102589462A[P].2012.)采用的摄影测量法，文献(裘恩明,徐华俊.基于三维拼接的大口径干涉测量系统和算法:CN107144237B[P].2017.)采用相机辅助的干涉测量法等。现有的该类方法主要存在下列问题：1)测距法与单点测量法通过人为设置测距位置或选定测量(口面边缘点)点位，测量的口面直径不能保证通过口面圆心，测量结果不可避免地包含较大的人差，因此只能用于口径估算；2)覆盖测量法主要针对天线面型测量等，可应用于天线口径测量的数据支撑，但未解决天线口面边缘点提取问题。

地面三维激光扫描测量系统(Terrestrial Laser Scanning System，TLS；又可称为三维激光成像雷达，Light Detect and Ranging，LiDAR)采用主动式极坐标激光成像原理，依据激光发射与接受的时间或光波相位差感知目标到激光发射点的距离，依据激光测距和度盘测角实现目标点三维坐标的测量，可覆盖式获取被测场景物体表面的高密度三维点坐标，测量精度高(典型TLS在100米范围内可达到±2mm的点位测量精度)。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明提供一种基于TLS的大型抛物面天线口径测量及计算方法，采用TLS对被测天线面进行覆盖式测量，得到天线面高密度点云，解决天线口面边缘点自动提取问题，并解决天线口面圆直径的鲁棒拟合计算问题。

为实现上述发明目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于TLS的大型抛物面天线口径测量计算方法，采用TLS对被测天线面进行覆盖式测量，得到天线面高密度点云，解决天线口面边缘点自动提取问题，并解决天线口面圆直径的鲁棒拟合计算问题，其步骤如下：

1)测量数据采集，选择距离被测天线10m～50m，于TLS量程范围内，且通视情况良好的位置，对TLS进行设站，将被测天线方位指向TLS设站方向，俯仰置于水平限位，保证天线口径边缘对TLS基本可视；控制TLS对天线区域进行扫描测量，得到包含天线表面的场景点云数据；

2)基于体素区域生长的天线面点云提取，利用TLS的“盲扫”特性，其获取的点云数据为整个视场场景的表面点云，因此，需从这些海量点云数据中快速分离出目标天线表面的点云，以进行之后的天线口面边缘提取与口径计算。

基于八叉树体素生长的点云平面提取和体素的区域生长算法的基础上，进行天线曲面提取，具体实施步骤：

首先采用八叉树结构依据点云的密度和厚度分布将点云过分割为一系列体素；

然后寻找接近面状分布的种子体素并依据其面状分布概率将其进行分层；

再通过对各层体素生长阈值的统计得到生长条件；

最后以体素为单位进行区域生长得到最终的平面分割结果；

在区域生长提取平面的过程中，区域生长的共面条件阈值限定的是被生长体素与归属平面之间共面关系，其中归属平面为全局平面；曲面将被分割成平面片，由不同颜色区分不同平面；

在区域生长时，共面条件阈值设定为被生长体素与种子体素之间的共面条件，即局部共面条件，具有有效提取出天线面点云数据；

3)基于天线面主方向投影的天线边缘点提取，将天线面三维点云投影到二维平面的图像，之后采用α-shape算法提取二维边缘点，并依据投影关系，确定天线面三维点云的边缘点；

利用天线面点集:

Φ＝{p_i|p_i＝[x_i y_i z_i]^T,i∈{1,2,...,n}}

建立协方差矩阵:

矩阵C对称正定，对其进行谱分解后得:

其中λ₁≥λ₂≥λ₃＞0为矩阵C的三个特征值,且对应三个主成分的方差，其对应的三个特征矢量e₁、e₂和e₃代表点集的三个主方向；

将天线面三维点云投影向二维时，首先要确定投影分辨率，即确定投影图像的像素尺寸；

基于体素区域生长的天线面点云提取方法，能够提取得到由一系列局部平面体素构成的天线面点云，设平面体素v的球邻域内点，个数为k_v分布在半径为d′_v的圆面上，则v的平均点间距用式：

计算，即相当于每个平面体素内点在其归属平面上占用了边长为d_p的正方形空间；在采用八叉树体素生长进行平面分割的过程中，记录体素平面，由平面体素构成的平面点云Θ各个元素体素的平均点间距，进而求均值得出Θ的平均点间距：

其中n_Θ为Θ包含的体素个数，将d_Θ作为投影分辨率；

依据投影分辨率将平面点云投影为二值图像的方式为：对于体素平面Θ，设其包含的点集为{P_j＝[x_j y_j z_j]^T,j∈(1,2,…,k)}，统计其空间分布的三个主方向；将第一主方向λ₁对应的特征矢量e₁作为图像的竖轴方向，第二主方向λ₂对应的特征矢量e₂作为图像的横轴方向，重心作为投影图像的中心点，从而三维向二维转换的旋转矩阵为：

R＝[e₁ e₂ e₃]^-1

平移矢量为：

统计平面Θ包含的点集在Θ主方向的投影范围得到Θ的长和宽，进而根据投影图像的像素尺寸d_Θ获取Θ投影图像的高和宽，缩放参数为1:d_Θ，将R和T与1:d_Θ统称为投影变换参数；

依据投影变换参数将三维平面点云依据式

变换到图像区域中，有对应点的像素赋值为1，无对应点的像素赋值为0，其中(x_i,y_i,z_i)为平面点云Θ中被投影点的三维点坐标，为Θ的重心点坐标，/>为投影点的像素坐标；

对投影图像采用α-shape算法提取边缘点，并根据投影关系得到三维边缘点，利用激光扫描受天线附件遮挡的影响，提取的边缘点会有一部分非天线口面边缘点，通过欧氏距离聚类分离出天线口面边缘点；

4)具有约束条件参数平差的空间圆拟合，为不丢失拟合精度，天线口面圆拟合在三维空间进行，具体实施步骤：

首先，以三维平面方程

ax+by+cz+d＝[a b c]·[x y z]^T+d＝n^TP+d＝0

的系数参数n＝[a b c]^T与常数d为未知参数，构造误差方程：

v_i＝ax_i+by_i+cz_i+d

P_i＝[x_i y_i z_i]^T为边缘点，设V＝[v₁ v₂ … v_n]^T，n为边缘点个数则采用最小二乘法求解目标函数V^TV＝min，即可得到天线口面圆所在三维平面的方程；

之后，将以天线口面圆为大圆的球面方程

(x-o_x)²+(y-o_y)²+(z-o_z)²-r²＝0

的球心位置o＝[o_x o_y o_z]^T和球面半径r作为未知参数，以上述天线口面平面方程n^To+d＝0为约束条件，且将球心未知约束在该平面上，构造参数平差方程：

v_i＝-2x_i·o_x-2y_i·o_y-2z_i·o_z+r-(x_i)²-(y_i)²-(z_i)²

即v_i＝[-2x_i -2y_i -2z_i 1]·[o_x o_y o_z r]^T-(x_i)²-(y_i)²-(z_i)²

即V＝AX+L

约束条件a·o_x+b·o_y+c·o_z+d＝[a b c 0]·[o_x o_y o_z r]^T+d＝0

即BX+W＝0，B＝[a b c 0]，W＝d

依据具有约束条件的参数平差理论，解误差方程得

其中，P为权阵，在初始解算时设置为单位阵，按等权处理；为减弱噪声点影响，在解算完毕后，根据边缘点到圆的距离重新计算权阵，即抗差拟合中的选权迭代，等价权函数选用IGGIII方案；经迭代解算，即得天线口面圆圆心坐标与半径的平差解算结果。

由于采用如上所述的技术方案，本发明具有如下优越性：

本发明采用TLS获取目标天线口面表面的高密度三维点云，之后经天线面数据提取、边缘点提取以及口面圆拟合等数据处理，最终得到被测天线口径。

本发明在天线口面边缘点提取的全过中，无需人工干预，即人为判定边缘点，得到的天线口径计算结果较为客观；在口径拟合计算中采用抗差拟合方法，计算结果可有效减弱噪声点的影响，拟合结果较为可靠。

附图说明

图1射电天文望远镜天线结构示意图；

图2卫星地面侦察站天线结构示意图；

图3本发明大型抛物面天线口径测量计算实施流程图；

图4测量数据采集设备布局示意图；

图5数据采集结果图；

图6平面分割图；

图7曲面分割图；

图8天线面提取图；

图9边缘提取结果图；

图10边缘点聚类结果图；

图11边缘点中的噪声点图；

图12抗差拟合效果图。

具体实施方式

如图3、4、5、6、7、8、9、10、11、12所示，一种基于TLS的大型抛物面天线口径测量计算方法，采用TLS对被测天线面进行覆盖式测量，得到天线面高密度点云，解决天线口面边缘点自动提取问题，并解决天线口面圆直径的鲁棒拟合计算问题。其步骤如下：

1)测量数据采集

选择距离被测天线10m～50m(TLS量程范围内)且通视情况良好的位置，对TLS进行设站，如图4所示；将被测天线方位指向TLS设站方向，俯仰置于水平限位，保证天线口径边缘对TLS基本可视；控制TLS对天线区域进行扫描测量，得到包含天线表面的场景点云数据，如图5所示。

2)基于体素区域生长的天线面点云提取

由于TLS的“盲扫”特性，其获取的点云数据为整个视场场景的表面点云，因此，需从这些海量点云数据中快速分离出目标天线表面的点云，以进行之后的天线口面边缘提取与口径计算。本发明在文献(Vo，A.V.，Linh，T.H.，Laefer，D.F.，et al.Octree-BasedRegion Growing for Point Cloud Segmentation[J].ISPRS Journal ofPhotogrammetry and Remote Sensing,2015，104：88-100.；李明磊,李广云,王力,等.采用八叉树体素生长的点云平面提取[J].光学精密工程.2018，26(1)：172-183.)基于体素的区域生长算法的基础上，进行天线曲面提取：首先采用八叉树结构依据点云的密度和厚度分布将点云过分割为一系列体素，然后寻找接近面状分布的种子体素并依据其面状分布概率将其进行分层，之后通过对各层体素生长阈值的统计得到生长条件，最后以体素为单位进行区域生长得到最终的平面分割结果。在区域生长提取平面的过程中，区域生长的共面条件阈值限定的是被生长体素与归属平面(全局平面)之间共面关系，曲面将被分割成平面片(如图6所示，不同颜色区分不同平面)；本发明在区域生长时，共面条件阈值设定为被生长体素与种子体素之间的共面条件，即局部共面条件，可以有效提取出天线面点云数据(如图7～图8所示，其中数据缺失部分为天线附件遮挡TLS扫描光线所致)。

3)基于天线面主方向投影的天线边缘点提取

直接在三维点云中提取边缘点集较难实现，本发明将天线面三维点云投影到二维平面(图像)，之后采用α-shape算法提取二维边缘点，并依据投影关系，确定天线面三维点云的边缘点。

利用天线面点集

Φ＝{p_i|p_i＝[x_i y_i z_i]^T,i∈{1,2,...,n}}

建立协方差矩阵

矩阵C对称正定，对其进行谱分解后得

其中λ₁≥λ₂≥λ₃＞0为矩阵C的三个特征值(对应三个主成分的方差)，其对应的三个特征矢量e₁、e₂和e₃代表点集的三个主方向。

将天线面三维点云投影向二维时首先要解决的问题为确定投影分辨率(即确定投影图像的像素尺寸)，此问题即为α-shape算法(Bernardini,F.and Bajaj,C.L.Samplingand Reconstructing Manifolds Usingα-shapes[C]//In:Proceedings of the 9thCanadian Conference on Computational Geometry,1998,193-198.；Shen,W.BuildingBoundary Extraction Based on LiDAR Point Clouds Data[C]//The InternationalArchives of the Photogrammetry,Remote Sensing and Spatial InformationSciences,Beijing 2008,XXXVII(B3b):157-162.)中α值的确定问题。基于体素区域生长的天线面点云提取方法，可提取得到由一系列局部平面体素构成的天线面点云，设平面体素v的球邻域内点(个数为k_v)分布在半径为d′_v的圆面上，则v的平均点间距用式

计算，即相当于每个平面体素内点在其归属平面上占用了边长为d_p的正方形空间。在采用八叉树体素生长进行平面分割的过程中，可以记录体素平面(由平面体素构成的平面点云)Θ各个元素体素的平均点间距(分别依据式(5-1)计算得出)，进而求均值可以得出Θ的平均点间距

其中n_Θ为Θ包含的体素个数。将d_Θ作为投影分辨率。

依据投影分辨率将平面点云投影为二值图像的方式为：对于体素平面Θ，设其包含的点集为{P_j＝[x_j y_j z_j]^T，j∈(1，2，…，k)}，统计其空间分布的三个主方向。将第一主方向(λ₁对应的特征矢量e₁)作为图像的竖轴方向，第二主方向(λ₂对应的特征矢量e₂)作为图像的横轴方向，重心作为投影图像的中心点，从而三维向二维转换的旋转矩阵为R＝[e₁ e₂e₃]^-1

平移矢量为

统计平面Θ包含的点集在Θ主方向的投影范围可以得到Θ的长和宽，进而根据投影图像的像素尺寸d_Θ获取Θ投影图像的高和宽，缩放参数为1：d_Θ(将R和T与1：d_Θ统称为投影变换参数)。

依据投影变换参数将三维平面点云依据式

变换到图像区域中，有对应点的像素赋值为1，无对应点的像素赋值为0，其中(x_i,y_i,z_i)为平面点云Θ中被投影点的三维点坐标，为Θ的重心点坐标，/>为投影点的像素坐标。

对投影图像采用α-shape算法提取边缘点，并可根据投影关系得到三维边缘点，如图9所示，由于激光扫描受天线附件遮挡等影响，提取的边缘点可能有一部分非天线口面边缘点。通过欧氏距离聚类，可分离出天线口面边缘点，如图10所示。

4)具有约束条件参数平差的空间圆拟合

为不丢失拟合精度，天线口面圆拟合在三维空间进行。

首先，以三维平面方程

ax+by+cz+d＝[a b c]·[x y z]^T+d＝n^TP+d＝0

的系数参数n＝[a b c]^T与常数d为未知参数，构造误差方程

v_i＝ax_i+by_i+cz_i+d

P_i＝[x_i y_i z_i]^T为边缘点，设V＝[v₁ v₂ … v_n]^T，n为边缘点个数则采用最小二乘法求解目标函数V^TV＝min，即可得到天线口面圆所在三维平面的方程。

之后，将以天线口面圆为大圆的球面方程

(x-o_x)²+(y-o_y)²+(z-o_z)²-r²＝0

的球心位置ο＝[o_x o_y o_z]^T和球面半径r作为未知参数，以上述天线口面平面方程n^To+d＝0为约束条件(将球心未知约束在该平面上)，构造参数平差方程

v_i＝-2x_i·o_x-2y_i·o_y-2z_i·o_z+r-(x_i)²-(y_i)²-(z_i)²

即v_i＝[-2x_i -2y_i -2z_i 1]·[o_x o_y o_z r]^T-(x_i)²-(y_i)²-(z_i)²

即V＝AX+L

约束条件a·o_x+b·o_y+c·o_z+d＝[a b c 0]·[o_x o_y o_z r]^T+d＝0

即BX+W＝0，B＝[a b c 0]，W＝d

依据具有约束条件的参数平差理论(隋丽芬，宋力杰，柴洪洲，等.误差理论与测量平差基础(第二版)[M].北京：测绘出版社，2018.)，解误差方程得

其中，P为权阵，在初始解算时设置为单位阵(按等权处理)。为减弱噪声点影响(如图11所示)，在解算完毕后，根据边缘点到圆的距离重新计算权阵(即抗差拟合中的选权迭代，(杨元喜，抗差估计理论机器应用[M].北京：八一出版社，1993.)，等价权函数选用IGGIII方案。

经迭代解算，即得天线口面圆圆心坐标与半径的平差解算结果。

Claims (1)

1.一种基于TLS的大型抛物面天线口径测量计算方法，采用TLS对被测天线面进行覆盖式测量，得到天线面高密度点云，解决天线口面边缘点自动提取问题，并解决天线口面圆直径的鲁棒拟合计算问题，其步骤如下：

1)测量数据采集，选择距离被测天线10m～50m，于TLS量程范围内，且通视情况良好的位置，对TLS进行设站，将被测天线方位指向TLS设站方向，俯仰置于水平限位，保证天线口径边缘对TLS基本可视；控制TLS对天线区域进行扫描测量，得到包含天线表面的场景点云数据；

2)基于体素区域生长的天线面点云提取，利用TLS的“盲扫”特性，其获取的点云数据为整个视场场景的表面点云，因此，需从这些海量点云数据中快速分离出目标天线表面的点云，以进行之后的天线口面边缘提取与口径计算；

基于八叉树体素生长的点云平面提取和体素的区域生长算法的基础上，进行天线曲面提取，具体实施步骤：

首先采用八叉树结构依据点云的密度和厚度分布将点云过分割为一系列体素；

然后寻找接近面状分布的种子体素并依据其面状分布概率将其进行分层；

再通过对各层体素生长阈值的统计得到生长条件；

最后以体素为单位进行区域生长得到最终的平面分割结果；

在区域生长提取平面的过程中，区域生长的共面条件阈值限定的是被生长体素与归属平面之间共面关系，其中归属平面为全局平面；曲面将被分割成平面片，由不同颜色区分不同平面；

在区域生长时，共面条件阈值设定为被生长体素与种子体素之间的共面条件，即局部共面条件，具有有效提取出天线面点云数据；

3)基于天线面主方向投影的天线边缘点提取，将天线面三维点云投影到二维平面的图像，之后采用α-shape算法提取二维边缘点，并依据投影关系，确定天线面三维点云的边缘点；

利用天线面点集:

Φ＝{p_i|p_i＝[x_i y_i z_i]^T,i∈{1,2,...,n}}

建立协方差矩阵:

矩阵C对称正定，对其进行谱分解后得:

其中λ₁≥λ₂≥λ₃＞0为矩阵C的三个特征值,且对应三个主成分的方差，其对应的三个特征矢量e₁、e₂和e₃代表点集的三个主方向；

将天线面三维点云投影向二维时，首先要确定投影分辨率，即确定投影图像的像素尺寸；

基于体素区域生长的天线面点云提取方法，能够提取得到由一系列局部平面体素构成的天线面点云，设平面体素v的球邻域内点，个数为k_v分布在半径为d′_v的圆面上，则v的平均点间距用式：

计算，即相当于每个平面体素内点在其归属平面上占用了边长为d_p的正方形空间；在采用八叉树体素生长进行平面分割的过程中，记录体素平面，由平面体素构成的平面点云Θ各个元素体素的平均点间距，进而求均值得出Θ的平均点间距：

其中n_Θ为Θ包含的体素个数，将d_Θ作为投影分辨率；

依据投影分辨率将平面点云投影为二值图像的方式为：对于体素平面Θ，设其包含的点集为{P_j＝[x_j y_j z_j]^T,j∈(1,2,…,k)}，统计其空间分布的三个主方向；将第一主方向λ₁对应的特征矢量e₁作为图像的竖轴方向，第二主方向λ₂对应的特征矢量e₂作为图像的横轴方向，重心作为投影图像的中心点，从而三维向二维转换的旋转矩阵为：

R＝[e₁ e₂ e₃]^-1

平移矢量为：

统计平面Θ包含的点集在Θ主方向的投影范围得到Θ的长和宽，进而根据投影图像的像素尺寸d_Θ获取Θ投影图像的高和宽，缩放参数为1:d_Θ，将R和T与1:d_Θ统称为投影变换参数；

依据投影变换参数将三维平面点云依据式

变换到图像区域中，有对应点的像素赋值为1，无对应点的像素赋值为0，其中(x_i,y_i,z_i)为平面点云Θ中被投影点的三维点坐标，为Θ的重心点坐标，/>为投影点的像素坐标；

对投影图像采用α-shape算法提取边缘点，并根据投影关系得到三维边缘点，利用激光扫描受天线附件遮挡的影响，提取的边缘点会有一部分非天线口面边缘点，通过欧氏距离聚类分离出天线口面边缘点；

4)具有约束条件参数平差的空间圆拟合，为不丢失拟合精度，天线口面圆拟合在三维空间进行，具体实施步骤：

首先，以三维平面方程

ax+by+cz+d＝[a b c]·[x y z]^T+d＝n^TP+d＝0的系数参数n＝[a b c]^T与常数d为未知参数，构造误差方程：

v_i＝ax_i+by_i+cz_i+d

P_i＝[x_i y_i z_i]^T为边缘点，设V＝[v₁ v₂…v_n]^T，n为边缘点个数则采用最小二乘法求解目标函数V^TV＝min，即可得到天线口面圆所在三维平面的方程；

之后，将以天线口面圆为大圆的球面方程

(x-o_x)²+(y-o_y)²+(z-o_z)²-r²＝0的球心位置ο＝[o_x o_y o_z]^T和球面半径r作为未知参数，以上述天线口面平面方程n^To+d＝0为约束条件，且将球心未知约束在该平面上，构造参数平差方程：

v_i＝-2x_i·o_x-2y_i·o_y-2z_i·o_z+r-(x_i)²-(y_i)²-(z_i)²

即v_i＝[-2x_i -2y_i -2z_i 1]·[o_x o_y o_z r]^T-(x_i)²-(y_i)²-(z_i)²

即V＝AX+L

约束条件a·o_x+b·o_y+c·o_z+d＝[a b c 0]·[o_x o_y o_z r]^T+d＝0

即BX+W＝0，B＝[a b c 0]，W＝d

依据具有约束条件的参数平差理论，解误差方程得

其中，P为权阵，在初始解算时设置为单位阵，按等权处理；为减弱噪声点影响，在解算完毕后，根据边缘点到圆的距离重新计算权阵，即抗差拟合中的选权迭代，等价权函数选用IGGIII方案；经迭代解算，即得天线口面圆圆心坐标与半径的平差解算结果。