CN115392073A - 一种非对称热带气旋海面风场的构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非对称热带气旋海面风场的构造方法，包括以下步骤：步骤一，将藤田公式中的风廓线约束进行推广，采用拟合特征等压线，建立热带气旋气压场模型；步骤二，通过求解基于非对称气压场的热带气旋空气质点水平运动方程，建立热带气旋海面风场模型；步骤三，采用的VAM变分思想，与普通背景海面风场合成热带气旋海面风场。本发明合成得出的风场与CCMP海风资料比较逼近，风场过渡比较光滑，保持了模型风场资料的强风速特性。

Description

一种非对称热带气旋海面风场的构造方法

技术领域

本发明属于海洋气象技术领域，尤其涉及一种非对称热带气旋海面风场的 构造方法。

背景技术

利用数值模式对热带气旋的路径、强度进行预报，面临着模式物理过程 描述困难、缺乏大实测资料描述台风内部动力和热力结构等问题，因此利用 气象模式获得满意的热带气旋的海平面气压场和风场仍然是十分困难和复杂 的。

于是海洋学者一直重视对计算简便且具有足够精度的热带气旋气压场、 风场模式的研究。在热带气旋海面风场模型的研究和使用中，主要面临着模 型中有关参数(包括环境气压、最大风速和最大风速半径等)的合理确定问 题。如果将环境气压、最大风速半径等参数取为常数，仅能描述理想的圆形 对称台风结构，而不能描述非对称的台风气压和风场结构。针对这类问题， 许多学者开展了进一步的研究。其中包括：胡邦辉等采用藤田公式进一步导 出了最大风速半径计算式。房文鸾等依据天气图信息拟合出通用气压模型中 表征最大风速半径特性的台风常数。袁金南等也引入十级和七级风圈平均半 径来改变轴对称模型台风的切向风廓线形态。LAJOIE等利用卫星云图特征能 够较准确的定位出台风最大风速半径。陈孔沫、王国民、杨支中等引入台风 外围闭合特征等压线来对藤田气压模型进行改进，推导出不含台风常数的椭 圆、对称或非对称的台风海面气压场。LIAN XIE将原始的Holland气压模型 中最大风速半径计算式写成θ的函数，并利用NHC特殊的台风预报产品实时 拟合最大风速半径函数，构建非对称结构的台风风场。Holland对原始的Holland气压模型和风场模型进行了改进，提出了确定模型中形状参数b的新 方法和新的求算海面风场的模型。

但是在这些模型中，由于热带气旋的最大风速半径的观测和计算较难实 施且存在误差，人为给定台风常数的会带来较大误差，需要研究更客观、与 实际更接近的热带气旋海面风场的构造方法。

发明内容

本发明在前人工作基础上，采用避免人为给定台风常数的思路，将经典 气压场模型进行推广，结合NECP再分析资料建立热带气旋海面风场重构模 型，重构出热带气旋的非对称性风场，形成一种新的非对称热带气旋海面风 场的构造方法。

本发明公开的非对称热带气旋海面风场的构造方法，包括以下步骤：

步骤一，将藤田公式中的风廓线约束进行推广，采用拟合特征等压线， 建立热带气旋气压场模型；

步骤二，通过求解基于非对称气压场的热带气旋空气质点水平运动方程， 建立热带气旋海面风场模型；

步骤三，采用的VAM变分思想，与普通背景海面风场合成热带气旋海面 风场。

进一步的，步骤一具体包括：

藤田公式的推广：根据经典的藤田公式形式，将其中的风廓线约束推广 为下式：

式中，P_m为台风外围的环境气压，Δp＝p_m-p_c，P_c为台风中心气压，a为 最大风速半径位置参数，b为最大梯度风控制参数，r₀为台风常数r₀＝R(θ)；

特征等压线的自动化选取：收集某时刻热带气旋所在海域的海面气压格 点化数据，选定一条闭合等压线L(θ)，将闭合等压线进行拟合；

环境参数的选取：对p_m采用如下方法估算：

p_m(θ)＝p_∞-p_asin[θ-(α₀+β₁)]

式中：p_a为p_m沿θ呈正弦波振荡的振幅，p_∞为平均环境气压，α₀为热 带气旋移向内力方向的角度，β₁为风向内偏角。

进一步的，步骤二具体包括：

根据热带气旋域内海面任意空气质点(r,θ)的水平运动方程：

其中，p为海面气压；d＝R_dT_v/p；v_s为台风移速；α为台风移向和所 述空气质点与台风中心连线的夹角；v_θ和v_r分别为移动台风的切向和径向风 速，v′_θ和v′_r为静止台风的切向和径向速度，v_θ＝v′_θ-v_ssinα， v_r＝v′_r-v_scosα；R_d为干空气气体常数，由分析场提供温度T和水汽混合 比q_v后有虚温T_v＝T(0.622+q_v)/[0.622(1+q_v)]；F_r和F_θ分别为r方向 和θ方向摩擦力；k为摩擦系数，风速

海面摩擦为kV；令风向 内偏角为β，摩擦阻力偏离实际风矢量反方向的夹角为

cosβ＝v_θ/V， sinβ＝v_r/V，由

求得

上式中的p为热带气旋的海面气压，由步骤一中计算得到，将F_r和V_r代入所 述水平运动方程中，合并得到关于v_θ的一元三次方程：

令v_θ＝x-a₁/3，将所述一元三次方程变形为卡当方程：

x³+3ηx+2ξ＝0，

其中各参数为：

采用经典卡当方程的解法求解。

进一步的，步骤三具体包括：

将上述模型构造的热带气旋海面风场与常规的海面风场资料合成，将一 个经纬网格点上热带气旋合成风场的总体目标函数J定义为：

J＝J₁+J₂

其中J₁表示合成风场分量与非对称台风模型风场资料之间的偏差，J₂为 常规的海面风场资料与合成风场分量的偏差，具体表达式如下：

其中上标T表示矩阵转置，-1表示求逆，下标符号i表示计算格点，u(i)、 v(i)和u_o(i)、v_o(i)分别代表合成风场和台风模型的海平面风速的u，v分量， u_c，v_c为常规的海面风场资料的u，v分量；W_u,W_v分别为合成风场的u，v 风速分量权重系数，W_cu,W_cv分别为常规的海面风场对应的权重系数；在大风 半径内台风模型风场的可信度远大于常规的海面风场资料，即W_cu,W_cv取值大 于W_u,W_v，在大风半径外则相反。

进一步的，所述的将闭合等压线进行拟合采用下列方法如下：把闭合等 压线圆周k_L等分，并令h＝2π/k_L，l＝k_L-1，搜索得出L_i＝L(ih),i＝0,1,2,...,l， 采用五点滑动平滑消除不连续性，并对L(θ)进行傅立叶级数插值拟合，令

g(θ)＝L(θ)-(c₁+c₂θ)，0≤θ≤2π-h

式中：c₁，c₂为常数，由g(0)＝g(lh)＝0

得出c₁＝L(0)，c₂＝[L(lh)-L(0)]/(lh)，对g(θ)作奇函数拓展，即g(θ)＝-g(-θ)，则作傅立叶级数展开得正弦级数

由步骤三中J₁，J₂的计算公式有

式中m为截断级数，取m＝10。

本发明相比现有技术，具有以下有益效果：

本发明在前人工作基础上，采用避免人为给定台风常数的思路，将经典气 压场模型进行推广，不将环境气压视为常数，考虑环境气压受到大尺度系统 的影响时具有的方向性特点。在此基础上，采用考虑摩擦影响和台风移动对 曲率半径影响因子的热带气旋海面切向和法向风方程，结合NECP再分析资 料建立热带气旋海面风场重构模型，重构出热带气旋的非对称性风场，并利 用变分方法将模型风场与CCMP风场合成，形成一种新的非对称性热带气旋 海面风场的构造方法。由于合成风场时CCMP资料的权重大于模型风场权重， 所以合成得出的风场与CCMP海风资料比较逼近，风场过渡比较光滑，同时 也仍保持了模型风场资料的强风速特性。

附图说明

图1为本发明的构造方法流程图。

图2为实施例1合成后海面风场图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步的说明，但不以任何方式对本发明加以 限制，基于本发明教导所作的任何变换或替换，均属于本发明的保护范围。

本发明在前人工作基础上，采用避免人为给定台风常数的思路，将经典 气压场模型进行推广，结合NECP再分析资料建立热带气旋海面风场重构模 型，重构出热带气旋的非对称性风场，形成一种新的非对称热带气旋海面风 场的构造方法。

本发明所述的非对称热带气旋海面风场的构造方法包括以下三个步骤：

步骤一，推广藤田公式，采用拟合特征等压线，建立热带气旋气压场模 型；

步骤二，通过求解基于非对称气压场的热带气旋空气质点水平运动方程， 建立热带气旋海面风场模型；

步骤三，采用的VAM变分思想，与普通背景海面风场合成热带气旋海面 风场。

进一步地，步骤一建立热带气旋气压场模型具体包括，

(1)藤田公式的推广

根据经典的藤田公式形式，将其中的风廓线约束推广为(1.1)式，为了 描述台风结构的非对称性，令r₀为台风常数r₀＝R(θ)。

p_m为台风外围的环境气压，Δp＝p_m-p_c，a为最大风速半径位置参数，b为最 大梯度风控制参数。

(2)特征等压线的自动化选取

收集某时刻热带气旋所在海域的海面气压格点化数据，考虑热带气旋外 围环境气压受到大尺度天气系统的影响，选定一条闭合等压线L(θ)，反映热带 气旋系统和周围天气系统的影响，为了实现在计算中的自动化，将闭合等压 线进行拟合。本发明把闭合等压线圆周k_L等分(k_L＝360为例)，并令h＝2π/k_L，l＝k_L-1，设搜索得出L_i＝L(ih),i＝0,1,2,...,l。采用五点滑动平滑消除不连续性， 并对L(θ)进行傅立叶级数插值拟合，令

g(θ)＝L(θ)-(c₁+c₂θ)，0≤θ≤2π-h (1.2)

c₁，c₂为常数。由g(0)＝g(lh)＝0得出c₁＝L(0)，c₂＝[L(lh)-L(0)]/(lh)。对g(θ)作 奇函数拓展，即g(θ)＝-g(-θ)，则作傅立叶级数展开得正弦级数

有

式中m为截断级数，优选的，取m＝10。

(3)环境参数的选取

影响我国近海的热带气旋大多情况下受到副热带高压的影响，导致了热 带气旋外围的环境气压受到副热带高压等大尺度系统的影响时具有明显的方 向性，考虑到副高等外围环境场及背景场对台风模型的构建起到关键作用， 对p_m估算方法如下：

p_m(θ)＝p_m-p_asin[θ-(α₀+β)] (1.5)

即p_m沿θ呈正弦波振荡，振幅为p_a，p_∞为平均环境气压，取值1010hPa。 α₀为热带气旋移向内力方向的角度，β₁为风向内偏角。为求取p_a，采用Kuihara 等人的方法，对风速进行基本场和扰动场的分离，对扰动场进行角向平均， 把满足平均风速达到最大之后第一次降到3m/s的距离记为r_a，r_a上的最大气 压和最小气压之差计为p_a，据此得出热带气旋的海面气压场。

进一步地，所述的步骤二建立热带气旋海面风场模型包括以下步骤：

(1)热带气旋域内空气质点的水平运动方程

为了得到热带气旋海面风场，本发明基于上述方法得到热带气旋的海面 气压场，假定成熟台风呈稳定状态，考虑海面摩擦作用、考虑热带气旋移动 对曲率半径等影响影响因子，引入在以热带气旋中心为原点的极坐标中的热 带气旋域内空气质点的水平运动方程：

其中，p为气压，d为比容，v_s为台风移速，α为台风移向和所讨论点与 台风中心(点O)连线的夹角，规定逆时针为正。v_θ和v_r分别为移动台风的切 向和径向风速，令v′_θ和v′_r为静止台风的切向和径向速度，则v_θ＝v′_θ-v_ssinα， v_r＝v_r′-v_scosα。

由湿空气状态方程有d＝R_dT_v/p，R_d为干空气气体常数，由分析场提供温 度T和水汽混合比q_v后有虚温T_v＝T(0.622+q_v)/[0.622(1+q_v)]。F_r和F_θ分别为r方 向和θ方向摩擦力。令摩擦系数为k，风速

海面摩擦可粗略表示 为kV。令风向内偏角为β，摩擦阻力偏离实际风矢量反方向的夹角为

cosβ＝v_θ/V，sinβ＝v_r/V，于是有

将(2.4)式代入(2.2)式求得

将(2.4)(2.5)式代入(2.1)式，合并得到关于v_θ的一元三次方程：

(2)热带气旋切向和径向速度的求解

通过对上述方程的求解可获得热带气旋切向和径向速度，为了求解(2.6) 式，令v_θ＝x-a₁/3，将(2.6)式变形为卡当方程：x³+3ηx+2ξ＝0，其中各参数为：

对于上述卡当方程，若η＝0则

若η≠0则引进符号函数s＝sgnξ， ξ＞0，ξ＝0，ξ＜0三种情况s分别取值1，0，-1。然后求解方法如表1所示， 选取使得v_θ＞0并有实际意义的实根即可。

表1卡当方程求解方法

v_θ,v_r的求算关键是

和

的求取，若

则气压呈 轴对称分布。本发明构建的热带气旋气压场模型中引入L(θ)的方向性变化后， 由(2.5)、(2.6)式求解得出的海平面风场具有非对称性质。

所述的变分合成热带气旋海面风场包括以下步骤：

为了将上述模型构造的热带气旋海面风场与常规的海面风场资料(如 CCMP资料)合成，本发明借鉴CCMP风场合成多平台卫星探测资料时采用的 VAM变分方法的思想提出了变分合成热带气旋海面风场方法。

定义一个格点上合成风场的总体目标函数J定义为：

J＝J₁+J₂ (3.1)

其中J₁表示合成风场分量与非对称台风模型风场资料之间的偏差，J₂为CCMP 风场资料与合成风场分量的偏差。

具体表达式如下：

其中上标“T”表示矩阵转置，“-1”表示求逆，下标符号i表示计算格点。u(i)、 v(i)和u_o(i)、v_o(i)分别代表合成风场和台风模型的海平面风速的u，v分量， u_c，v_c为CCMP风场资料的u，v分量；W_u,W_v分别为合成风场的u，v风速分 量权重系数，而W_cu,W_cv分别为CCMP风场对应的权重系数。这里认为在大风 半径内台风模型资料的可信度远大于CCMP资料，所以W_cu,W_cv取值大于W_u,W_v，在大风半径外则相反。计算中下降算法采用有限内拟牛顿法(LBFGS)， 迭代停止的标准是目标泛函梯度下降两个量级。

下面结合附图和实施例对本发明作进一步的说明。

实施例1

以2007年第4号台风“万宜”为例，台风过程中最大风速达59m/s。选取7 月11日06时(UTC)为例，模型中不考虑海面非线性耗散作用，取摩擦系 数k＝1.7×10^-4，

p_c＝969hPa，p_a＝2.7hPa，经计算，取a＝1.36时r₀近似为最大风速半径。从CCMP海面风场来看，中心风速偏低，结构松散， 最大风速半径过大，台风结构不能被准确描述。首先构造出非对称模型风场 利用上述变分合成方案将模型风场和CCMP风场合成后，风场分布发生了较 大的变化，最大风速高达40m/s以上并且使得台风结构充分逼近模型风场， 由于合成风场时CCMP资料的权重大于模型风场权重，所以合成得出的风场 与CCMP海风资料比较逼近，风场过渡比较光滑，同时也仍保持了模型风场 资料的强风速特性。

实施例2

以2008年西北太平洋最强大的一个热带气旋15号台风“蔷薇”为例，以本 发明的方法，将CCMP风场和非对称热带气旋风场进行合成新的热带气旋海 面风场，并利用某岛上港口气象站资料对合成风场进行检验。

首先选择2008年9月26日0：00到2008年9月30日23：00过程进行 海面风场重构和合成试验，台风的信息(包括台风中心位置、气压、中心附 近最大风速，以及移向、移速等)采用日本最佳路径资料集(引用)。某岛8 个港口分别是港口a，港口b，港口c，港口d，港口e，港口f，港口g，港 口h。气象站在台风影响期间的风力观测资料，总共120时次，960组数据，各港口整点实测风速为该时刻前十分钟的平均值。

2008年9月28日00时台风中心位于123.2°E，22.8°N的海域，最大风速 为56.4m/s，海面风场呈现的涡旋中心与台风中心基本一致，但是最大风速仅 为30m/s左右，说明CCMP风场未能准确描述此时的台风实际风场，台风的 强度被一定程度地低估。这可能是因为在台风中心附近，卫星探测的反演精 度受到了降雨影响，因为CCMP风场来自交叉定标多平台卫星探测，所以CCMP风场精确程度受到了较大的限制。非对称台风模型重构的模型风场的最大风速与实测风速非常接近，且呈非对称分布，利用本章的合成方法将该 风场与CCMP风场进行合成，对大风半径范围内的格点取模型风场权重大于 CCMP风场，在半径外将模型风场权重取为0。合成后海面风场的强风结构在 海面风场中得到了加强，台风中心附近的风场分布得到了较大的改进，最大 风速高达55m/s左右，同时大风半径以外的风场结构，保留了CCMP风场的 特点。

为了检验合成海面风场的合理性，将这合成风场与上述港口气象站的实 测风速进行对比，如图2。图中以点线标记的是各港口实测的风速，实线代表 合成风场插值到气象站的结果，纵坐标表示风速大小，单位为米/秒，横坐标 为日期。图2表明，在八个气象站中，大部分港口站中，风速时间序列的趋 势合成风场和实测值较为一致，特别是台风临近影响港口站的时刻，受台风 影响的风速极大值两者符合较好。合成风场在港口e的风速变化趋势较一致， 但最大风速偏大，港口c，港口d也有类似现象，风速整体偏高，这可能与这 几个港口的气象站建的位置特别靠近陆地，受到地形影响有关。

本发明相比现有技术，具有以下有益效果：

本发明在前人工作基础上，采用避免人为给定台风常数的思路，将经 典气压场模型进行推广，不将环境气压视为常数，考虑环境气压受到大尺 度系统的影响时具有的方向性特点。在此基础上，采用考虑摩擦影响和台 风移动对曲率半径影响因子的热带气旋海面切向和法向风方程，结合NECP 再分析资料建立热带气旋海面风场重构模型，重构出热带气旋的非对称性 风场，并利用变分方法将模型风场与CCMP风场合成，形成一种新的非对 称性热带气旋海面风场的构造方法。由于合成风场时CCMP资料的权重大 于模型风场权重，所以合成得出的风场与CCMP海风资料比较逼近，风场 过渡比较光滑，同时也仍保持了模型风场资料的强风速特性。

本文所使用的词语“优选的”意指用作实例、示例或例证。本文描述为“优 选的”任意方面或设计不必被解释为比其他方面或设计更有利。相反，词语“优 选的”的使用旨在以具体方式提出概念。如本申请中所使用的术语“或”旨在意 指包含的“或”而非排除的“或”。即，除非另外指定或从上下文中清楚，“X使 用A或B”意指自然包括排列的任意一个。即，如果X使用A；X使用B；或 X使用A和B二者，则“X使用A或B”在前述任一示例中得到满足。

而且，尽管已经相对于一个或实现方式示出并描述了本公开，但是本领 域技术人员基于对本说明书和附图的阅读和理解将会想到等价变型和修改。 本公开包括所有这样的修改和变型，并且仅由所附权利要求的范围限制。特 别地关于由上述组件(例如元件等)执行的各种功能，用于描述这样的组件的术 语旨在对应于执行所述组件的指定功能(例如其在功能上是等价的)的任意组 件(除非另外指示)，即使在结构上与执行本文所示的本公开的示范性实现方式 中的功能的公开结构不等同。此外，尽管本公开的特定特征已经相对于若干 实现方式中的仅一个被公开，但是这种特征可以与如可以对给定或特定应用 而言是期望和有利的其他实现方式的一个或其他特征组合。而且，就术语“包 括”、“具有”、“含有”或其变形被用在具体实施方式或权利要求中而言，这样 的术语旨在以与术语“包含”相似的方式包括。

本发明实施例中的各功能单元可以集成在一个处理模块中，也可以是各 个单元单独物理存在，也可以多个或多个以上单元集成在一个模块中。上述 集成的模块既可以采用硬件的形式实现，也可以采用软件功能模块的形式实 现。所述集成的模块如果以软件功能模块的形式实现并作为独立的产品销售 或使用时，也可以存储在一个计算机可读取存储介质中。上述提到的存储介 质可以是只读存储器，磁盘或光盘等。上述的各装置或系统，可以执行相应 方法实施例中的存储方法。

综上所述，上述实施例为本发明的一种实施方式，但本发明的实施方式 并不受所述实施例的限制，其他的任何背离本发明的精神实质与原理下所做 的改变、修饰、代替、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发 明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种非对称热带气旋海面风场的构造方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一，将藤田公式中的风廓线约束进行推广，采用拟合特征等压线，建立热带气旋气压场模型；

步骤二，通过求解基于非对称气压场的热带气旋空气质点水平运动方程，建立热带气旋海面风场模型；

步骤三，采用的VAM变分思想，与普通背景海面风场合成热带气旋海面风场。

2.根据权利要求1所述的非对称热带气旋海面风场的构造方法，其特征在于，步骤一具体包括：

藤田公式的推广：根据经典的藤田公式形式，将其中的风廓线约束推广为下式：

式中，P_m为台风外围的环境气压，Δp＝p_m-p_c，P_c为台风中心气压，a为最大风速半径位置参数，b为最大梯度风控制参数，r₀为台风常数r₀＝R(θ)；

特征等压线的自动化选取：收集某时刻热带气旋所在海域的海面气压格点化数据，选定一条闭合等压线L(θ)，将闭合等压线进行拟合；

环境参数的选取：对p_m采用如下方法估算：

p_m(θ)＝p_∞-p_asin[θ-(α₀+β₁)]

式中：p_a为p_m沿θ呈正弦波振荡的振幅，p_∞为平均环境气压，α₀为热带气旋移向内力方向的角度，β₁为风向内偏角。

3.根据权利要求2所述的非对称热带气旋海面风场的构造方法，其特征在于，步骤二具体包括：

根据热带气旋域内海面任意空气质点(r，θ)的水平运动方程：

其中，p为海面气压；d＝R_dT_v/p；v_s为台风移速；α为台风移向和所述空气质点与台风中心连线的夹角；v_θ和v_r分别为移动台风的切向和径向风速，v′_θ和v′_r为静止台风的切向和径向速度，v_θ＝v′_θ-v_ssinα，v_r＝v′_r-v_scosα；R_d为干空气气体常数，由分析场提供温度T和水汽混合比q_v后有虚温T_v＝T(0.622+q_v)/[0.622(1+q_v)]；F_r和F_θ分别为r方向和θ方向摩擦力；k为摩擦系数，风速

海面摩擦为kV；令风向内偏角为β，摩擦阻力偏离实际风矢量反方向的夹角为

cosβ＝v_θ/V，sinβ＝v_r/V，由

求得

上式中的p为热带气旋的海面气压，由步骤一中计算得到，将F_r和V_r代入所述水平运动方程中，合并得到关于v_θ的一元三次方程：

令v_θ＝x-a₁/3，将所述一元三次方程变形为卡当方程：

x³+3ηx+2ξ＝0，

其中各参数为：

采用经典卡当方程的解法求解。

4.根据权利要求3所述的非对称热带气旋海面风场的构造方法，其特征在于，步骤三具体包括：

将上述模型构造的热带气旋海面风场与常规的海面风场资料合成，将一个经纬网格点上热带气旋合成风场的总体目标函数J定义为：

J＝J₁+J₂

其中J₁表示合成风场分量与非对称台风模型风场资料之间的偏差，J₂为常规的海面风场资料与合成风场分量的偏差，具体表达式如下：

其中上标T表示矩阵转置，-1表示求逆，下标符号i表示计算格点，u(i)、v(i)和u_o(i)、v_o(i)分别代表合成风场和台风模型的海平面风速的u，v分量，u_c，v_c为常规的海面风场资料的u，v分量；W_u，W_v分别为合成风场的u，v风速分量权重系数，W_cu，W_cv分别为常规的海面风场对应的权重系数；在大风半径内台风模型风场的可信度远大于常规的海面风场资料，即W_cu，W_cv取值大于W_u，W_v，在大风半径外则相反。

5.根据权利要求4所述的非对称热带气旋海面风场的构造方法，其特征在于，所述的将闭合等压线进行拟合采用下列方法如下：把闭合等压线圆周k_L等分，并令h＝2π/k_L，l＝k_L-1，搜索得出L_i＝L(ih)，i＝0，1，2，...，l，采用五点滑动平滑消除不连续性，并对L(θ)进行傅立叶级数插值拟合，令

g(θ)＝L(θ)-(c₁+c₂θ)，0≤θ≤2π-h

式中：c₁，c₂为常数，由g(0)＝g(lh)＝0

得出c₁＝L(0)，c₂＝[L(lh)-L(0)]/(lh)，对g(θ)作奇函数拓展，即g(θ)＝-g(-θ)，则作傅立叶级数展开得正弦级数

进一步，有

式中m为截断级数，取m＝10。

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