CN115017782A - 考虑介质各向异性的三维天然源电磁场计算方法 - Google Patents

考虑介质各向异性的三维天然源电磁场计算方法 Download PDF

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CN115017782A CN202210941065.0A CN202210941065A CN115017782A CN 115017782 A CN115017782 A CN 115017782A CN 202210941065 A CN202210941065 A CN 202210941065A CN 115017782 A CN115017782 A CN 115017782A
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Abstract

本发明公开了一种考虑介质各向异性的三维天然源电磁场计算方法，采用基于二次场方法的偏微分方程的求解方法，引入洛伦兹规范，使最终得到的控制方程里仅有矢量位为未知量；在求解偏微分方程时，引入水平方向二维傅里叶变换，将三维偏微分方程转化为一维常微分方程，并利用伽辽金法最终合成三个五对角矩阵。本发明中最后合成的对角方程能用追赶法快速求解，计算效率高。使得一个复杂的各向异性介质三维天然源电磁场数值模拟转化为很多个常微分对角方程组的求解问题，简化了计算，又考虑了介质的各向异性。并提供了相应的计算设备，为大规模正演计算和反演成像提供了新的技术支持。

Description

考虑介质各向异性的三维天然源电磁场计算方法
技术领域
本发明涉及一种考虑介质各向异性的三维天然源电磁场计算方法。
背景技术
自然界地层中，介质的各向异性普遍存在，特别是当岩层经过压实变质作用后会表现出很强的各向异性，因此采用各向同性介质模型进行野外资料的数据处理会导致错误的地质解释。此外，天然源电磁法由于其成本低、计算频率范围广，对地球深部结构了解、地质解释和区域电性层划分等方向上有广泛应用。但现有的天然场源电磁数据均是基于电导率各向同性进行处理，导致最终获得的天然场源电磁场并不准确。
发明内容
为了解决目前天然场源电磁数据表现出各向异性，但在计算时却因基于各向同性进行计算而导致出现电磁场结果误差的技术问题，本发明提供一种考虑介质各向异性的三维天然源电磁场计算方法及设备。
为了实现上述技术目的，本发明的技术方案是，
一种考虑介质各向异性的三维天然源电磁场计算方法，包括以下步骤：
步骤一，建立直角坐标系中待测位置处的长方体状目标区域，再将目标区域基于立体坐标轴的三个方向进行网格剖分，得到三个方向上的网格节点数及网格坐标；并给定天然场源电磁场的计算频率和极化方向；
步骤二，给网格节点上的导电率赋值，其中导电率为各向异性导电率张量
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE001
；
步骤三，将导电率拆分为背景导电率和异常导电率；
步骤四，根据天然场源的极化方向、计算频率和背景导电率这三个参数计算网格节点上的背景电场和背景磁场；
步骤五，将关于电磁场的Maxwell方程组基于洛伦兹规范，转换为关于矢量位的控制方程组，然后基于二次场方法得到二次场矢量位的控制方程，再进行二维水平方向傅里叶变换，得到二维波数一维空间域矢量位常微分方程组即控制方程，然后求解得到二维波数一维空间域二次场矢量位的解；
步骤六，利用二维波数一维空间域二次场矢量位与二次电磁场之间的关系求得二维波数一维空间域二次电磁场，再进行二维反傅里叶变换求得二次电磁场；
步骤七，以步骤六得到的二次电磁场，重新代入至步骤五中的二次场矢量位的控制方程组，然后继续迭代求解二次电磁场直到满足预设的误差要求；再将背景电磁场与二次电磁场相加得到总电磁场，从而得到天然场源在设定极化方向条件下的电磁场的解。
所述的方法，所述的步骤一中，天然场源的极化方向包括X极化方向和Y极化方向两种。
所述的方法，所述的步骤二中，各向异性导电率张量
Figure 792629DEST_PATH_IMAGE001
为3×3的矩阵，基于对角阵
Figure DEST_PATH_IMAGE002
和三个欧拉角度
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure DEST_PATH_IMAGE004
，
Figure DEST_PATH_IMAGE005
计算得到；即：
Figure DEST_PATH_IMAGE006
Figure DEST_PATH_IMAGE007
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE008
，
Figure DEST_PATH_IMAGE009
，式中
Figure DEST_PATH_IMAGE010
为三个欧拉角度
Figure 463432DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure 525060DEST_PATH_IMAGE004
或
Figure 654690DEST_PATH_IMAGE005
，
Figure DEST_PATH_IMAGE011
和
Figure DEST_PATH_IMAGE012
为角度变换矩阵，矩阵中的各个
Figure DEST_PATH_IMAGE013
、
Figure DEST_PATH_IMAGE014
、
Figure DEST_PATH_IMAGE015
、
Figure DEST_PATH_IMAGE016
、
Figure DEST_PATH_IMAGE017
、
Figure DEST_PATH_IMAGE018
、
Figure DEST_PATH_IMAGE019
、
Figure DEST_PATH_IMAGE020
、
Figure DEST_PATH_IMAGE021
为各向异性导电率张量的九个分量；
当介质导电率为各向同性时，
Figure DEST_PATH_IMAGE022
中的
Figure DEST_PATH_IMAGE023
，为相同的一个常数，
Figure 810340DEST_PATH_IMAGE003
=
Figure 180273DEST_PATH_IMAGE004
=
Figure 181727DEST_PATH_IMAGE005
=0，三个欧拉角均为0；当介质导电率为单轴各向异性时，
Figure DEST_PATH_IMAGE024
中的
Figure DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 239682DEST_PATH_IMAGE003
=
Figure 642981DEST_PATH_IMAGE004
=
Figure 918236DEST_PATH_IMAGE005
=0；当介质导电率为双轴各向异性时，
Figure 469303DEST_PATH_IMAGE022
中的
Figure DEST_PATH_IMAGE026
，
Figure 471894DEST_PATH_IMAGE003
=
Figure 526438DEST_PATH_IMAGE004
=
Figure 503752DEST_PATH_IMAGE005
=0；当介质导电率为任意各向异性时，
Figure 276536DEST_PATH_IMAGE022
中的
Figure 286080DEST_PATH_IMAGE026
，
Figure 460710DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure 592614DEST_PATH_IMAGE004
，
Figure 55956DEST_PATH_IMAGE005
不同时为0。
所述的方法，所述的步骤三中，拆分出来的背景导电率记为
Figure DEST_PATH_IMAGE027
，且同一z坐标上的所有网格节点的
Figure 962468DEST_PATH_IMAGE027
在数值上是相等的，
Figure 257183DEST_PATH_IMAGE027
为各向同性或各向异性，
Figure 763251DEST_PATH_IMAGE027
同样根据对角阵diag(σ b1，σ b2，σ b3)和三个欧拉角度
Figure DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure DEST_PATH_IMAGE029
，
Figure DEST_PATH_IMAGE030
计算得到；当背景导电率
Figure 854835DEST_PATH_IMAGE027
为各向同性时，
Figure 471761DEST_PATH_IMAGE027
中的
Figure DEST_PATH_IMAGE031
，
Figure DEST_PATH_IMAGE032
；当不满足各向同性条件时即为各向异性介质；拆分出来的异常导电率记为
Figure DEST_PATH_IMAGE033
，且
Figure DEST_PATH_IMAGE034
。
所述的方法，所述的步骤五包括：
将天然源电磁场满足的Maxwell方程组从时间域转化到频率域的表达式为：
Figure DEST_PATH_IMAGE035
其中
Figure DEST_PATH_IMAGE036
为拉普拉斯算子，
Figure DEST_PATH_IMAGE037
为电场强度，
Figure DEST_PATH_IMAGE038
为磁场强度，阻抗率
Figure DEST_PATH_IMAGE039
，i表示虚数单位，
Figure DEST_PATH_IMAGE040
为角频率，数值上
Figure DEST_PATH_IMAGE041
，
Figure DEST_PATH_IMAGE042
为计算频率，
Figure DEST_PATH_IMAGE043
为磁导率，各向异性导纳率
Figure DEST_PATH_IMAGE044
，
Figure 712993DEST_PATH_IMAGE001
为各向异性电导率，
Figure DEST_PATH_IMAGE045
为介电常数；
引入洛伦兹规范矢量位
Figure DEST_PATH_IMAGE046
，在洛伦兹规范下，
Figure 468591DEST_PATH_IMAGE037
与
Figure 640946DEST_PATH_IMAGE038
之间的关系式为：
Figure DEST_PATH_IMAGE047
式中
Figure DEST_PATH_IMAGE048
，
Figure DEST_PATH_IMAGE049
表示背景导纳率，
Figure DEST_PATH_IMAGE050
为背景电导率，
Figure DEST_PATH_IMAGE051
为背景介电常数；
基于二次场方法，将场分为背景场和二次场，其中二次场矢量位满足的偏微分方程即控制方程为：
Figure DEST_PATH_IMAGE052
其中波数
Figure DEST_PATH_IMAGE053
，
Figure DEST_PATH_IMAGE054
为二次场的散射电流密度，
Figure DEST_PATH_IMAGE055
为异常导纳率
Figure DEST_PATH_IMAGE056
。
将矢量位
Figure DEST_PATH_IMAGE057
展开为三个方向矢量位：
Figure DEST_PATH_IMAGE058
，
Figure DEST_PATH_IMAGE059
展开为三个方向散射电流：
Figure DEST_PATH_IMAGE060
，并将展开后的偏微分方程组进行水平方向二维傅里叶变换，得到二维波数一维空间域的控制方程组为：
Figure DEST_PATH_IMAGE061
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE062
表示偏导，
Figure DEST_PATH_IMAGE063
分别为
Figure 18488DEST_PATH_IMAGE058
对应的二维波数一维空间域二次矢量位，
Figure DEST_PATH_IMAGE064
分别为
Figure 756637DEST_PATH_IMAGE060
对应的二维波数一维空间域散射电流密度，
Figure DEST_PATH_IMAGE065
，
Figure DEST_PATH_IMAGE066
为波数域的电磁波传播系数；
采用伽辽金法将上式转化为有限元方程：
Figure DEST_PATH_IMAGE067
其中N e 为垂直方向上剖分出的网格个数，
Figure DEST_PATH_IMAGE068
为第
Figure DEST_PATH_IMAGE069
个单元中第
Figure DEST_PATH_IMAGE070
个节点的二次插值形函数，下标j, p, m分别表示二次插值单元的单元初始节点（j ）、中间节点（p）和末尾节点（m）的符号，
Figure DEST_PATH_IMAGE071
分别为第e个单元的z方向首尾坐标；上式中包含三种类型的积分有：
①第一类积分形式
Figure DEST_PATH_IMAGE072
②第二类积分形式
Figure DEST_PATH_IMAGE073
③第三类积分形式
Figure DEST_PATH_IMAGE074
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE075
Figure DEST_PATH_IMAGE076
Figure DEST_PATH_IMAGE077
将每一项单元积分进行总体合成，得到带宽为5的三个对角方程组：
Figure DEST_PATH_IMAGE078
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE079
均为5对角矩阵，
Figure DEST_PATH_IMAGE080
分别为右端项，下标1，2，3分别代表待求的二维波数一维空间域矢量位
Figure DEST_PATH_IMAGE081
相关的系数；求解这三个对角方程即得到二维波数一维空间域矢量位。
所述的方法，所述的步骤六中，二次场矢量位
Figure DEST_PATH_IMAGE082
与二次电磁场
Figure DEST_PATH_IMAGE083
之间的关系为：
Figure DEST_PATH_IMAGE084
从而根据上式求出一维空间域二次电磁场。
所述的方法，所述的步骤七包括：
先将二次场与背景场相加得到总场：
Figure DEST_PATH_IMAGE085
然后采用迭代求解二次电磁场：首先将二次电场设为0，然后利用上式计算总电场，将总电场带入二次场矢量位满足的偏微分方程中，然后再执行步骤五和六得到新的二次电场，将二次电场与背景电场相加得到总电场，并基于下式计算迭代误差ε：
Figure DEST_PATH_IMAGE086
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE087
表示编号为
Figure DEST_PATH_IMAGE088
的剖分节点坐标，i=1,2,⋯N x ，j=1,2,⋯,N y ，k=1,2,⋯,N z ；
Figure DEST_PATH_IMAGE089
为x，y，z三个方向剖分的节点数；式中
Figure DEST_PATH_IMAGE090
为本次计算得到的总电场，
Figure DEST_PATH_IMAGE091
为上一次的总电场，当迭代误差
Figure DEST_PATH_IMAGE092
时，再将
Figure 57037DEST_PATH_IMAGE090
带入入二次场矢量位满足的偏微分方程中，并重新执行步骤五和六再次得到新的二次电场，再计算总电场，从而循环直至当迭代误差
Figure DEST_PATH_IMAGE093
时，迭代结束，并同时计算二次电场和磁场，再加上背景电磁场，得到最终的总电磁场。
本发明的技术效果在于，在对天然源电磁场进行计算时，考虑了介质导电率的各向异性，更符合实际情况；求解天然源电磁场时，采用了基于二次场方法的偏微分方程的求解方法，引入洛伦兹规范，使方程更加简化，最终得到的控制方程里仅有矢量位为未知量；在求解偏微分方程时，引入水平方向二维傅里叶变换，将三维偏微分方程转化为一维常微分方程，计算量和存储需求大大减少，利用伽辽金法最终合成三个五对角矩阵，传统有限元得到的是一个稀疏大型线性方程组，虽然也有并行求解器等快速求解方法，但本发明中最后合成的对角方程能用追赶法快速求解，计算效率高。使得一个复杂的各向异性介质三维天然源电磁场数值模拟转化为很多个常微分对角方程组的求解问题，简化了计算，又考虑了介质的各向异性，采用这种各向异性介质天然源电磁场计算系统能快速准确地计算任意复杂模型，分析不同模型的异常响应特征。为大规模天然源三维各向异性电磁场数值模拟及其反演成像提供了新的技术支持。
下面结合附图对本发明作出进一步说明。
附图说明
图1为本发明的目标区域示意图，其中(a)为XOY平面示意图，(b)为XOZ剖面示意图；
图2为地面y=0m测线上天然源产生的电场本发明数值解和参考值的对比，其中(a)为电场幅值E x 参考解和本发明数值解的对比图，(b)为电场幅值E y 参考解和本发明数值解的对比图，(c)为电场幅值E z 参考解和本发明数值解的对比图；
图3为地面y=0m测线上天然源产生的磁场本发明数值解和参考值的对比，其中(a)为磁场幅值H x 参考解和本发明数值解的对比图，(b)为磁场幅值H y 参考解和本发明数值解的对比图，(c)为磁场幅值H z 参考解和本发明数值解的对比图。
具体实施方式
本实施例所提供的方法包括以下步骤：
1）建立直角坐标系中的长方体目标区域，将目标区域x，y和z方向进行网格剖分，得到三个方向网格节点数为N x ，N y ，N z 。其中一个网格上有两个网格节点，而由于相邻的两个网格会共有一个网格节点，所以这里的网格节点总数量是比网格总数量多1个。然后给定天然场源电磁场的计算频率和极化方向。其中计算频率根据具体的计算需求自行设定即可，极化方向是根据天然源电磁场的情况设定，其中极化方向有X极化方向和Y极化方向两种。
2）给网格节点上的导电率赋值，节点导电率为各向异性导电率张量σ，是一个3×3的矩阵，用对角阵
Figure 310164DEST_PATH_IMAGE002
和三个欧拉角度
Figure 268892DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure 612280DEST_PATH_IMAGE004
，
Figure 693369DEST_PATH_IMAGE005
计算得到，引用自文献“Pek Josef, and F.A.M. Santos, 2002, Magnetotelluric impedances andparametric sensitivities for 1-d anisotropic layered media: Computers &Geoences, 28, 939-950”，其具体的关系可以写为
Figure 637054DEST_PATH_IMAGE006
Figure DEST_PATH_IMAGE094
（1）
式中
Figure 196211DEST_PATH_IMAGE008
，
Figure 385316DEST_PATH_IMAGE009
，式中
Figure 371727DEST_PATH_IMAGE010
为某一角度，在本发明中，
Figure 5971DEST_PATH_IMAGE010
为三个欧拉角度
Figure 103240DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure 201646DEST_PATH_IMAGE004
或
Figure 844111DEST_PATH_IMAGE005
。
Figure 965650DEST_PATH_IMAGE011
和
Figure 132190DEST_PATH_IMAGE012
为角度变换矩阵，矩阵中的各个
Figure 553944DEST_PATH_IMAGE013
、
Figure 882157DEST_PATH_IMAGE014
、
Figure 225413DEST_PATH_IMAGE015
、
Figure 680797DEST_PATH_IMAGE016
、
Figure 488216DEST_PATH_IMAGE017
、
Figure 987330DEST_PATH_IMAGE018
、
Figure 614621DEST_PATH_IMAGE019
、
Figure 60645DEST_PATH_IMAGE020
、
Figure 473303DEST_PATH_IMAGE021
为各向异性导电率张量的九个分量。
当介质导电率为各向同性时，
Figure 143319DEST_PATH_IMAGE024
中的
Figure 461168DEST_PATH_IMAGE023
，为相同的一个常数，
Figure 242042DEST_PATH_IMAGE003
=
Figure 24053DEST_PATH_IMAGE004
=
Figure 68233DEST_PATH_IMAGE005
=0，三个欧拉角均为0；当介质导电率为单轴各向异性时，
Figure 417918DEST_PATH_IMAGE022
中的
Figure 2483DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 639001DEST_PATH_IMAGE003
=
Figure 854082DEST_PATH_IMAGE004
=
Figure 677681DEST_PATH_IMAGE005
=0；当介质导电率为双轴各向异性时，
Figure 816669DEST_PATH_IMAGE022
中的
Figure 307694DEST_PATH_IMAGE026
，
Figure 490413DEST_PATH_IMAGE003
=
Figure 270150DEST_PATH_IMAGE004
=
Figure 196518DEST_PATH_IMAGE005
=0；当介质导电率为任意各向异性时，
Figure 292781DEST_PATH_IMAGE022
中的
Figure 911981DEST_PATH_IMAGE026
，
Figure 913436DEST_PATH_IMAGE003
，
Figure 643494DEST_PATH_IMAGE004
，
Figure 843531DEST_PATH_IMAGE005
不同时为0。
3）从网格节点赋值的导电率中拆分出一个背景导电率和异常导电率。其中拆分出来的背景导电率记为
Figure 384365DEST_PATH_IMAGE027
，特征是同一z坐标上的所有网格节点的
Figure 873115DEST_PATH_IMAGE027
在数值上是相等的，
Figure 141286DEST_PATH_IMAGE027
可以是各向同性，也可以是各向异性，
Figure 461409DEST_PATH_IMAGE027
同样根据对角阵
Figure DEST_PATH_IMAGE095
和三个欧拉角度
Figure 156832DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure 417699DEST_PATH_IMAGE029
，
Figure 755139DEST_PATH_IMAGE030
计算得到。当背景导电率
Figure 929769DEST_PATH_IMAGE027
为各向同性时，
Figure 999356DEST_PATH_IMAGE027
中的
Figure 259436DEST_PATH_IMAGE031
，
Figure 620141DEST_PATH_IMAGE032
。当不满足各向同性条件时即为各向异性介质。拆分出来的异常导电率记为
Figure 914856DEST_PATH_IMAGE033
，数值上
Figure 952083DEST_PATH_IMAGE034
。
4）根据天然场源的极化方向、计算频率和背景导电率这三个参数，计算目标区域所有网格节点上的背景电场
Figure DEST_PATH_IMAGE096
和磁场
Figure DEST_PATH_IMAGE097
。当背景导电率为各向同性介质时，背景场计算方法详见文献“陈乐寿, 王光锷. 大地电磁测深法[M]. 地震出版社, 1987.”。当背景导电率为各向异性介质时，背景场计算方法详见文献“陈燊年, 洪清泉, 王建成. 介质为各向异性的电磁场[M]. 科学出版社, 2012.”。
5）引入洛伦兹规范，将关于电磁场的Maxwell方程组转换为关于矢量位的控制方程组，基于二次场方法，可得二次场矢量位的控制方程组，进行二维水平方向傅里叶变换，可得二维波数一维空间域矢量位常微分方程组，求解方程可以求得二维波数一维空间域二次场矢量位的解。
具体来说，设时谐因子为
Figure DEST_PATH_IMAGE098
，
Figure 715770DEST_PATH_IMAGE041
为角频率，
Figure 129434DEST_PATH_IMAGE042
为频率，
Figure DEST_PATH_IMAGE099
为虚数单位，t为时间。将天然源电磁场满足的Maxwell方程组从时间域转化到频率域的表达式为：
Figure DEST_PATH_IMAGE100
（2）
Figure DEST_PATH_IMAGE101
（3）
Figure DEST_PATH_IMAGE102
（4）
Figure DEST_PATH_IMAGE103
（5）
式中为拉普拉斯算子，
Figure 888443DEST_PATH_IMAGE037
为电场强度，
Figure 627729DEST_PATH_IMAGE038
为磁场强度，阻抗率
Figure 344624DEST_PATH_IMAGE039
，i表示虚数单位，
Figure 499662DEST_PATH_IMAGE040
为角频率，数值上
Figure 503390DEST_PATH_IMAGE041
，
Figure 147998DEST_PATH_IMAGE043
为磁导率，各向异性导纳率
Figure 604387DEST_PATH_IMAGE044
，
Figure 563116DEST_PATH_IMAGE001
为各向异性电导率，
Figure 172083DEST_PATH_IMAGE045
为介电常数。
引入洛伦兹规范矢量位
Figure 253172DEST_PATH_IMAGE046
，洛伦兹规范下，
Figure 196857DEST_PATH_IMAGE037
与
Figure 693697DEST_PATH_IMAGE038
之间的关系式为：
Figure 406438DEST_PATH_IMAGE047
（6）
式中背景各向异性导纳率
Figure 409160DEST_PATH_IMAGE048
，
Figure 840142DEST_PATH_IMAGE050
为背景电导率，
Figure 140673DEST_PATH_IMAGE051
为背景介电常数。
基于二次场方法，将场分为背景场和二次场，背景场由步骤4）求得，二次场从Maxwell方程组出发，通过推导和简化，可得二次场矢量位满足的偏微分方程为：
Figure 504658DEST_PATH_IMAGE052
（7）
式中波数
Figure 865233DEST_PATH_IMAGE053
，
Figure 534242DEST_PATH_IMAGE054
为二次场的散射电流密度，式中
Figure 435202DEST_PATH_IMAGE055
为异常导纳率，
Figure 122536DEST_PATH_IMAGE056
。
将矢量位
Figure 450749DEST_PATH_IMAGE057
展开为三个方向矢量位（
Figure 794005DEST_PATH_IMAGE058
），
Figure 264037DEST_PATH_IMAGE059
展开为三个方向散射电流（
Figure 805877DEST_PATH_IMAGE060
），并将展开后的偏微分方程组进行水平方向二维傅里叶变换，可得二维波数一维空间域的控制方程组为：
Figure 570571DEST_PATH_IMAGE061
（8）
式中，
Figure 401123DEST_PATH_IMAGE063
分别为
Figure 378307DEST_PATH_IMAGE058
对应的二维波数一维空间域二次矢量位，
Figure 790965DEST_PATH_IMAGE064
分别为
Figure 726560DEST_PATH_IMAGE060
对应的二维波数一维空间域散射电流密度，
Figure 841146DEST_PATH_IMAGE065
，
Figure 825283DEST_PATH_IMAGE066
为波数域的电磁波传播系数。
采用伽辽金法将式（8）转化为有限元方程：
Figure DEST_PATH_IMAGE104
（9）
式（9）中N e 为垂直方向剖分单元个数即网格个数，N i （N j , N p , N m ）为第
Figure 889185DEST_PATH_IMAGE069
个单元中第
Figure 730102DEST_PATH_IMAGE070
个节点的二次插值形函数，下标j, p, m分别表示二次插值单元的单元初始节点（j）、中间节点（p）和末尾节点（m）的符号，下面出现的符号说明相同，不再赘述。
Figure 535247DEST_PATH_IMAGE071
分别为第e个单元的z方向首尾坐标。关于二次插值函数表达式等详细的说明见文献“徐世浙. 地球物理中的有限单元法[M]. 科学出版社, 1994.”。式（9）中包含三种类型的积分有：
第一类积分形式：
Figure 385391DEST_PATH_IMAGE072
第二类积分形式：
Figure 756329DEST_PATH_IMAGE073
第三类积分形式：
Figure 518880DEST_PATH_IMAGE074
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE105
Figure DEST_PATH_IMAGE106
Figure DEST_PATH_IMAGE107
将每一项单元积分进行总体合成，可以得到带宽为5的三个对角方程组，
Figure 404797DEST_PATH_IMAGE078
（13）
式中，
Figure 996315DEST_PATH_IMAGE079
均为5对角阵，
Figure 969563DEST_PATH_IMAGE080
分别为右端项，下标1，2，3分别代表待求的二维波数一维空间域矢量位
Figure 152282DEST_PATH_IMAGE081
相关的系数。求解这三个方程即可求得二维波数一维空间域矢量位。
6）利用二维波数一维空间域二次场矢量位与二次电场之间的关系求得二维波数一维空间域二次电磁场，进行二维反傅里叶变换求得二次电磁场；
其中二次场矢量位与二次电磁场之间的关系为
Figure 994336DEST_PATH_IMAGE084
（14）
利用式（11）在二维波数域一维空间域中的关系式，可得二维波数域一维空间域电磁场，进行二维反傅里叶变换，可得空间域二次场电磁场。
所述步骤7）中，二次场与背景场相加得到总场：
Figure 123966DEST_PATH_IMAGE085
（15）
二次电磁场的迭代求解的具体过程为：首先将二次电场设为0，然后利用式（12）计算总电场，将总电场带入式（7）中，然后利用步骤5）和6）得到新的二次电场，将二次电场与背景电场相加得到总电场，迭代误差
Figure 203918DEST_PATH_IMAGE045
的计算公式为：
Figure DEST_PATH_IMAGE108
其中，
Figure 370588DEST_PATH_IMAGE087
表示编号为
Figure 168780DEST_PATH_IMAGE088
的剖分节点坐标，
Figure DEST_PATH_IMAGE109
；
Figure 367680DEST_PATH_IMAGE089
为x，y，z三个方向剖分的节点数。式中
Figure 584029DEST_PATH_IMAGE090
为本次计算得到的总电场，
Figure 108551DEST_PATH_IMAGE091
为上一次的总电场，当迭代误差
Figure 925197DEST_PATH_IMAGE092
时，将
Figure 740838DEST_PATH_IMAGE090
带入式（7）中，利用步骤5）和6）再次得到新的二次电场，再计算总电场，循环往复，直至当迭代误差
Figure 529802DEST_PATH_IMAGE093
时，迭代结束，并同时计算二次电场和磁场，再加上背景电磁场，得到最终的总电磁场。
7）用迭代解法求解二次电磁场，然后将背景电磁场与二次电磁场相加得到总电磁场，得到天然场源在设定极化方向条件下的电磁场的解。
下面通过模型实例，验证本发明提供的考虑介质各向异性的一种三维天然源电磁场计算方法的正确性和有效性。测试的计算机为Intel(R) Core(TM) i7-6700HQ CPU 主频为2.60GHz ,内存为16GB、64位win10系统。
模型XOY平面投影如图1所示，背景为均匀半空间介质，上半空间为空气，空气导电率
Figure 775626DEST_PATH_IMAGE001
0=10-12 S/m，下半空间的背景导电率为
Figure 79568DEST_PATH_IMAGE027
=0.01 S/m，频率为10Hz，计算X方向极化的天然源在地面的电磁场响应，用文献“Liu Chang-sheng, Ren Zheng-yong, Tang Jing-tian, et al.Three-dimensional magnetotellurics modeling using edgebasedfinite-element unstructured meshes[J]. Applied Geophysics, 2008(03):1855-1859.”中的方法的计算结果为参照，验证方法的正确性。地下背景电场的计算公式为e-ikz，地面电场幅度为1 V/m。计算范围x方向-1000~1000m，y方向-1000~1000m，z方向计算范围设为0~1000m，剖分网格节点个数51×51×51，三个方向均匀剖分，△x、△y均为40m，△z为20m，异常体范围x方向-100~100m，y方向-200~200m，z方向200~400m，异常体导电率为任意各向异性，参数为：
Figure 354692DEST_PATH_IMAGE022
=diag(0.1，0.2，0.5)；三个欧拉角度
Figure 263742DEST_PATH_IMAGE003
=5°、
Figure 411957DEST_PATH_IMAGE004
=10°、
Figure 406458DEST_PATH_IMAGE005
=15°。
图2 和图3分别为X方向极化的天然场源在地面y=0m测线上电场和磁场本发明数值解和参考值的对比。由两图可以看出，Ez分量存在误差，这是由于Ez在地面为0，而图中两种方法解的Ez数值都很小，因此两种方法的误差可以忽略不计，认为都是正确的；除Ez外其他五个电场分量和磁场分量的吻合程度很好，计算误差小，验证了本实施例方法的正确性。本实施例的计算节点数为51×51×51=132651，本发明算法迭代终止时一共迭代了13次，每次迭代耗时约1.2 s, 计算总时间为16.2s，占用内存为120.5 MB，传统有限元算法占用内存约3.5 GB，迭代一次耗时约20.1s，正演计算总耗时约220.5 s。从迭代一次耗时和占用内存对比可以看出，本发明采用傅里叶变换，求解方程组的未知量由三维转换为一维，占用内存大幅度减小，采用追赶法求解方程组，迭代一次计算速度快，耗时短，总耗时速度提升了10倍，表明本发明与传统有限元算法相比效率优势明显，证明本发明考虑介质各向异性的这种三维天然源电磁场计算方法准确且效率高。
以上所述仅为本发明的优选实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是在本发明的发明构思下，利用本发明说明书及附图内容所作的等效结构变换，或直接/间接运用在其他相关的技术领域均包括在本发明的专利保护范围内。

Claims (7)

1.一种考虑介质各向异性的三维天然源电磁场计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一，建立直角坐标系中待测位置处的长方体状目标区域，再将目标区域基于立体坐标轴的三个方向进行网格剖分，得到三个方向上的网格节点数及网格坐标；并给定天然场源电磁场的计算频率和极化方向；
步骤二，给网格节点上的导电率赋值，其中导电率为各向异性导电率张量σ；
步骤三，将导电率拆分为背景导电率和异常导电率；
步骤四，根据天然场源的极化方向、计算频率和背景导电率这三个参数计算网格节点上的背景电场和背景磁场；
步骤五，将关于电磁场的Maxwell方程组基于洛伦兹规范，转换为关于矢量位的控制方程组，然后基于二次场方法得到二次场矢量位的控制方程，再进行二维水平方向傅里叶变换，得到二维波数一维空间域矢量位常微分方程组即控制方程，然后求解得到二维波数一维空间域二次场矢量位的解；
步骤六，利用二维波数一维空间域二次场矢量位与二次电磁场之间的关系求得二维波数一维空间域二次电磁场，再进行二维反傅里叶变换求得二次电磁场；
步骤七，以步骤六得到的二次电磁场，重新代入至步骤五中的二次场矢量位的控制方程组，然后继续迭代求解二次电磁场直到满足预设的误差要求；再将背景电磁场与二次电磁场相加得到总电磁场，从而得到天然场源在设定极化方向条件下的电磁场的解。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的步骤一中，天然场源的极化方向包括X极化方向和Y极化方向两种。
3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的步骤二中，各向异性导电率张量σ为3×3的矩阵，基于对角阵
Figure DEST_PATH_IMAGE001
=diag(σ 1，σ 2，σ 3)和三个欧拉角度α L，α D，α S计算得到；即：
Figure 983225DEST_PATH_IMAGE002
Figure 926910DEST_PATH_IMAGE003
其中
Figure 689329DEST_PATH_IMAGE004
，
Figure 402070DEST_PATH_IMAGE005
，式中
Figure 388481DEST_PATH_IMAGE006
为三个欧拉角度α L、α D或α S，R z 和R x 为角度变换矩阵，矩阵中的各个σ xx 、σ xy 、σ xz 、σ yx 、σ yy 、σ yz 、σ zx 、σ zy 、σ zz 为各向异性导电率张量的九个分量；
当介质导电率为各向同性时，
Figure 22725DEST_PATH_IMAGE007
中的σ 1=σ 2=σ 3，为相同的一个常数，α L=α D=α S=0，三个欧拉角均为0；当介质导电率为单轴各向异性时，σ中的σ 1=σ 2≠σ 3，α L=α D=α S=0；当介质导电率为双轴各向异性时，
Figure 119994DEST_PATH_IMAGE007
中的σ 1≠σ 2≠σ 3，α L=α D=α S=0；当介质导电率为任意各向异性时，
Figure 719865DEST_PATH_IMAGE007
中的σ 1≠σ 2≠σ 3，α L、α D、α S不同时为0。
4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述的步骤三中，拆分出来的背景导电率记为σ b ，且同一z坐标上的所有网格节点的σ b 在数值上是相等的，σ b 为各向同性或各向异性，σ b 同样根据对角阵diag(σ b1，σ b2，σ b3)和三个欧拉角度α bL，α bD，α bS计算得到；当背景导电率σ b 为各向同性时，σ b 中的σ b1=σ b2=σ b3，α bL=α bD=α bS=0；当不满足各向同性条件时即为各向异性介质；拆分出来的异常导电率记为σ a ，且σ a =σ-σ b 。
5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的步骤五包括：
将天然源电磁场满足的Maxwell方程组从时间域转化到频率域的表达式为：
Figure 611597DEST_PATH_IMAGE008
其中
Figure 733137DEST_PATH_IMAGE009
为拉普拉斯算子，E为电场强度，H 为磁场强度，阻抗率
Figure 634097DEST_PATH_IMAGE010
，i表示虚数单位，
Figure 55851DEST_PATH_IMAGE011
为角频率，数值上
Figure 649643DEST_PATH_IMAGE012
，f为计算频率，μ为磁导率，各向异性导纳率
Figure 992900DEST_PATH_IMAGE013
，σ为各向异性电导率，ε为介电常数；
引入洛伦兹规范矢量位
Figure 697551DEST_PATH_IMAGE014
，在洛伦兹规范下，
Figure 504970DEST_PATH_IMAGE015
与
Figure 207347DEST_PATH_IMAGE016
之间的关系式为：
Figure 834637DEST_PATH_IMAGE017
式中背景各向异性导纳率
Figure 844444DEST_PATH_IMAGE018
，
Figure 444052DEST_PATH_IMAGE019
表示背景导纳率，
Figure 114068DEST_PATH_IMAGE020
为背景电导率，
Figure 494234DEST_PATH_IMAGE021
为背景介电常数；
基于二次场方法，将场分为背景场和二次场，其中二次场矢量位满足的偏微分方程即控制方程为：
Figure 275108DEST_PATH_IMAGE022
其中波数
Figure 994802DEST_PATH_IMAGE023
，
Figure 835719DEST_PATH_IMAGE024
为二次场的散射电流密度，
Figure 437602DEST_PATH_IMAGE025
为异常导纳率
Figure 287746DEST_PATH_IMAGE026
；
将矢量位
Figure 658685DEST_PATH_IMAGE027
展开为三个方向矢量位：
Figure 873765DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure 198830DEST_PATH_IMAGE029
展开为三个方向散射电流：
Figure 852665DEST_PATH_IMAGE030
，并将展开后的偏微分方程组进行水平方向二维傅里叶变换，得到二维波数一维空间域的控制方程组为：
Figure 78110DEST_PATH_IMAGE031
式中，
Figure 464092DEST_PATH_IMAGE032
表示偏导，
Figure 40567DEST_PATH_IMAGE033
分别为
Figure 966934DEST_PATH_IMAGE028
对应的二维波数一维空间域二次矢量位，
Figure 312465DEST_PATH_IMAGE034
分别为
Figure 931665DEST_PATH_IMAGE030
对应的二维波数一维空间域散射电流密度，
Figure 933119DEST_PATH_IMAGE035
，
Figure 663178DEST_PATH_IMAGE036
为波数域的电磁波传播系数；
采用伽辽金法将上式转化为有限元方程：
Figure DEST_PATH_IMAGE003
其中N e 为垂直方向上剖分出的网格个数，N i （N j , N p , N m ）为第
Figure 358044DEST_PATH_IMAGE038
个单元中第
Figure 643532DEST_PATH_IMAGE039
个节点的二次插值形函数，下标j, p, m分别表示二次插值单元的单元初始节点（j）、中间节点（p ）和末尾节点（m）的符号，
Figure 177281DEST_PATH_IMAGE040
分别为第e个单元的z方向首尾坐标；上式中包含三种类型的积分有：
第一类积分形式
Figure 231825DEST_PATH_IMAGE041
第二类积分形式
Figure 192828DEST_PATH_IMAGE042
第三类积分形式
Figure 903295DEST_PATH_IMAGE043
其中，
Figure 975156DEST_PATH_IMAGE044
Figure 415364DEST_PATH_IMAGE045
Figure 281689DEST_PATH_IMAGE046
将每一项单元积分进行总体合成，得到带宽为5的三个对角方程组：
Figure 745032DEST_PATH_IMAGE047
式中，
Figure 856469DEST_PATH_IMAGE048
均为5对角矩阵，
Figure 151184DEST_PATH_IMAGE049
分别为右端项，下标1，2，3分别代表待求的二维波数一维空间域矢量位
Figure 188411DEST_PATH_IMAGE050
相关的系数；求解这三个对角方程即得到二维波数一维空间域矢量位。
6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述的步骤六中，二次场矢量位
Figure 139049DEST_PATH_IMAGE051
与二次电磁场
Figure 818292DEST_PATH_IMAGE052
之间的关系为：
Figure 701935DEST_PATH_IMAGE053
从而根据上式求出一维空间域二次电磁场。
7.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述的步骤七包括：
先将二次场与背景场相加得到总场：
Figure 378904DEST_PATH_IMAGE054
然后采用迭代求解二次电磁场：首先将二次电场设为0，然后利用上式计算总电场，将总电场带入二次场矢量位满足的偏微分方程中，然后再执行步骤五和六得到新的二次电场，将二次电场与背景电场相加得到总电场，并基于下式计算迭代误差
Figure 347997DEST_PATH_IMAGE055
：
Figure 565351DEST_PATH_IMAGE056
其中，
Figure 569079DEST_PATH_IMAGE057
表示编号为
Figure 151370DEST_PATH_IMAGE058
的剖分节点坐标，
Figure 109224DEST_PATH_IMAGE059
；
Figure 130270DEST_PATH_IMAGE060
为x，y，z三个方向剖分的节点数；式中
Figure 988505DEST_PATH_IMAGE061
为本次计算得到的总电场，
Figure 7276DEST_PATH_IMAGE062
为上一次的总电场，当迭代误差
Figure 950961DEST_PATH_IMAGE063
时，再将
Figure 510119DEST_PATH_IMAGE061
带入入二次场矢量位满足的偏微分方程中，并重新执行步骤五和六再次得到新的二次电场，再计算总电场，从而循环直至当迭代误差
Figure 222860DEST_PATH_IMAGE064
时，迭代结束，并同时计算二次电场和磁场，再加上背景电磁场，得到最终的总电磁场。
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