CN115016282A - 一种分数阶三步法控制器及其鲁棒参数整定方法 - Google Patents

一种分数阶三步法控制器及其鲁棒参数整定方法 Download PDF

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CN115016282A CN202210739151.3A CN202210739151A CN115016282A CN 115016282 A CN115016282 A CN 115016282A CN 202210739151 A CN202210739151 A CN 202210739151A CN 115016282 A CN115016282 A CN 115016282A
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王子硕
刘雪莲
梁书宁
肖博
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Abstract

本发明为一种分数阶三步法控制器及其鲁棒参数整定方法，其克服了现有技术存在的动态跟踪性能差，扰动抑制能力低的问题。本发明能提升液晶空间光调制器光束调控系统的动态响应性能，增强控制系统的鲁棒性。本发明首先包括设计分数阶三步法控制器，设计类稳态控制率，使系统快速达到稳定状态；设计分数阶参考动态前馈控制率，提升系统的动态响应性能；设计分数阶误差反馈控制率，增强系统的扰动抑制能力。在控制器的基础上，给出的鲁棒参数整定方法是将分数阶三步法的总控制率带入到分数阶模型中，得到分数阶闭环系统的误差方程，最后以H∞为性能指标，以线性矩阵不等式为约束，利用量子布谷鸟优化得到鲁棒分数阶控制器参数。

Description

一种分数阶三步法控制器及其鲁棒参数整定方法
技术领域：
本发明属于先进控制技术领域，涉及一种分数阶三步法控制器及其鲁棒参数整定方法。
背景技术：
三步法控制是一种基于模型的控制方法。其采用前馈加反馈的控制结构，前馈与参考动态相关，保证了系统具有良好的动态跟踪性能。反馈包括误差反馈和被控对象的状态反馈，能够提高系统的响应速度，增强系统的鲁棒性。三步法控制器结构简单，每一步都具有清晰的意义，并且易于工程化实现。
随着先进控制技术的不断发展，研究人员发现许多材料或系统都存在分数阶特性，并将分数阶微积分理论引入到系统建模领域，建立了精准的分数阶模型。斯洛伐克学者Podlubny设计了分数阶PIλDμ(Fractional order PID，FOPID)控制器，并证明了分数阶控制器对分数阶系统具有更好的控制性能。此后，国内外学者相继开展了分数阶控制器的研究，将分数阶微积分理论扩展到了不同控制器中，设计了不同类型的分数阶控制器，例如：分数阶滑模控制器、分数阶模糊PID控制器、分数阶自抗扰控制器等。目前，分数阶控制器已在机械制造、航空航天、工业生产、车辆驾驶等诸多领域得到了广泛应用。但是目前尚未见到分数阶三步法控制器的相关报道，这是因为：1、分数阶三步法控制器是一种基于模型的控制方法。现有的整数阶三步法控制器均应用于简单的整数阶系统，而分数阶系统模型在整数阶模型的基础上增加了分数阶微积分，使得系统模型变的更加复杂，因此，分数阶三步法控制器的设计更加困难。2、由于分数阶三步法控制器在每个控制率中都需要都引入了分数阶微积分，这使得控制器参数整定更为复杂。此外，由于三个控制率之间存在强耦合性，传统的分数阶PIλDμ控制器的参数整定方法并不适用，这也增加了分数阶三步法控制器参数整定的难度。
发明内容：
本发明的目的在于提供一种分数阶三步法控制器及其鲁棒参数整定方法，以提升液晶空间光调制器光束调控系统的动态响应性能，增强控制系统的鲁棒性。
为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：
一种分数阶三步法控制器，其特征在于：由以下步骤得到
步骤一、设计类稳态控制率；
步骤二、设计分数阶参考动态前馈控制率；
步骤三、设计分数阶误差反馈控制率；
步骤四、将类稳态控制率、分数阶参考动态前馈控制率与分数阶误差反馈控制率相加，得到分数阶三步法控制器的总控制率：
其中，类稳态控制率vs(t)为
Figure BDA0003716973610000021
k1,k3为液晶的展曲和弯曲系数，b为相位差的比例系数，θp(t)为光束偏转角度；
其中,分数阶动态参考前馈控制率νf(t)为
Figure BDA0003716973610000022
η1,η2为展曲和弯曲的粘滞系数，θp *(t)为光束偏转角度的设定值；
其中，分数阶误差反馈控制率ve(t)表示为
Figure BDA0003716973610000023
kp,ki,kd,λ,μ分别表示控制器的比例、积分、微分、积分阶次与微分阶次，e(t)为光束偏转角度设定值与实际值间的偏差；
综上，分数阶三步法控制器的总控制率为
Figure BDA0003716973610000031
其中，r(t)为光束偏转角度设定值，y(t)是实际光束偏转角度。
一种分数阶三步法控制器的鲁棒参数整定方法，其特征在于：包括以下步骤
步骤一：将分数阶三步法控制器的总控制率带入到光束调控系统的分数阶模型中，得到分数阶闭环控制系统的误差方程，并将其改写为分数阶状态空间方程的形式；
步骤二：通过H∞范数表征系统的鲁棒性；
步骤三：增加分数阶闭环控制系统的线性矩阵不等式约束；
步骤四：利用量子布谷鸟算法优化控制器参数。
步骤一中，分数阶状态空间方程的形式
Figure BDA0003716973610000032
其中β表示分数阶闭环控制系统的基阶。
步骤二中，分数阶闭环控制系统的H∞范数为
Figure BDA0003716973610000033
其中w(t)为扰动输入，z(t)为扰动输出。
步骤三中，增加分数阶闭环控制系统的线性矩阵不等式约束，使H∞范数求解问题转换为具有线性矩阵不等式约束一个凸优化问题，即
Figure BDA0003716973610000041
步骤四中，在此约束的基础上，利用量子布谷鸟算法整定矩阵A中的未知参数，使γopt最小，则Tzw(s)的H∞范数最小，此时对应的控制器参数Kp,Ki,Kd,λ,μ即为系统鲁棒性最强时的分数阶三步法控制器参数。
与现有技术相比，本发明具有的优点和效果如下：
1、本发明设计了一种分数阶三步法控制器。控制器中类稳态控制率能够使系统快速达到稳定状态；分数阶参考动态前馈控制率能够提升系统的动态响应性能；分数阶误差反馈控制率能够增强系统的扰动抑制能力。三个控制率相结合能够有效改善系统的动态性能，提升系统的动态跟踪能力，增强系统鲁棒性。
2、本发明以H∞范数为性能指标，以线性矩阵不等式为约束，通过量子布谷鸟算法整定了分数阶三步法控制器参数，进一步增强了系统的鲁棒性。同时本发明只采用xij这一组可行解作为量子比特编码鸟巢，找到该编码鸟巢的最优适应度即可得到该维度下的全局最优解，大幅提高了系统的迭代速度。
3、本发明所设计的分数阶三步法控制器结构简单，每一步都具有清晰的意义，并且易于工程化实现。本发明具有响应速度快、控制精度高、鲁棒性强等特点，能够实现液晶空间光调制器快速、精准、稳定的光束指向。
4、适用范围广：可以应用于化工生产，食品加工、机械制造、生物制药等诸多过程控制领域。
附图说明：
图1是分数阶三步法控制器及其鲁棒参数整定方法流程图；
图2是分数阶三步法控制器结构图；
图3是量子布谷鸟算法流程图。
具体实施方式：
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用于解释本发明，并不用于限定本发明。
参见图1，本发明的思路是：首先，设计分数阶三步法控制器的类稳态控制率，使系统快速达到稳定状态；其次，设计分数阶参考动态前馈控制率，提升系统的动态响应性能；然后，设计分数阶误差反馈控制率，增强系统的扰动抑制能力；将分数阶三步法的总控制率带入到分数阶模型中，得到分数阶闭环系统的误差方程，最后以H∞为性能指标，以线性矩阵不等式为约束，利用量子布谷鸟优化得到鲁棒分数阶控制器参数。
一种分数阶三步法控制器，由以下设计步骤得到
步骤一、设计类稳态控制率；
步骤二、设计分数阶参考动态前馈控制率；
步骤三、设计分数阶误差反馈控制率；
步骤四、将类稳态控制率、分数阶参考动态前馈控制率与分数阶误差反馈控制率相加，得到分数阶三步法控制器的总控制率：
其中，类稳态控制率vs(t)为
Figure BDA0003716973610000051
k1,k3为液晶的展曲和弯曲系数，b为相位差的比例系数，θp(t)为光束偏转角度；
其中,分数阶动态参考前馈控制率νf(t)为
Figure BDA0003716973610000061
η1,η2为展曲和弯曲的粘滞系数，θp *(t)为光束偏转角度的设定值；
其中，分数阶误差反馈控制率νe(t)表示为
Figure BDA0003716973610000062
kp,ki,kd,λ,μ分别表示控制器的比例、积分、微分、积分阶次与微分阶次，e(t)为光束偏转角度设定值与实际值间的偏差；
综上，分数阶三步法控制器的总控制率为
Figure BDA0003716973610000063
其中，r(t)为光束偏转角度设定值，y(t)是实际光束偏转角度。
对步骤四，进一步详细说明如下：假设液晶空间光调制器光束调控系统的分数阶模型为
Figure BDA0003716973610000064
本发明根据光束调控系统的分数阶模型，设计分数阶三步法控制器，具体步骤如下：
步骤一：根据光束调控系统的分数阶模型，设计分数阶三步法控制器的类稳态控制率。类稳态控制率主要是将光束调控系统的出射光束偏转角度逐渐调节到稳定点区域，使得误差反馈控制律工作在一个小偏差的调节状态。类稳态控制率在分数阶三步法控制器中承担系统主要调节作用。
假设系统处于稳定状态，即在公式(8)中
Figure BDA0003716973610000065
引入类稳态控制率vs(t)，令
Figure BDA0003716973610000066
则公式(8)满足
(k1+k3)θp(t)＝bvs(t) (10)
则类稳态控制律vs(t)可以表示为
Figure BDA0003716973610000071
其中，k1,k3为液晶的展曲和弯曲系数，b为相位差的比例系数，θp(t)为光束偏转角度。
步骤二：根据光束调控系统的分数阶模型，设计分数阶三步法控制器的分数阶参考动态前馈控制率。液晶空间光调制器光束调控系统的光束扫描角度是不断变化的，仅仅依靠类稳态控制，无法达到令人满意的控制性能。因此，引入分数阶参考动态前馈控制率νf(t)，它主要是考虑系统跟踪目标值的动态变化，具有提高系统跟踪性能和瞬态特性的作用。
假设光束调控系统的输入参考轨迹为光束偏转角θp *(t)。系统的输出θp(t)随着输入参考轨迹的变化而改变，则
Figure BDA0003716973610000072
引入参考动态前馈控制律νf(t)，此时整个主控制回路的控制律为
Figure BDA0003716973610000073
将
Figure BDA0003716973610000074
和公式(11)带入到公式(8)中，我们可以得到
Figure BDA0003716973610000075
则动态参考前馈控制率νf(t)为
Figure BDA0003716973610000076
其中η1,η2为展曲和弯曲的粘滞系数，θp *(t)为光束偏转角度的设定值。
步骤三：根据光束调控系统的分数阶模型，设计分数阶三步法控制器的分数阶误差反馈控制率。经过前两步的推导，可以有效提高系统的控制性能。但是上述推导都是基于理想情况下，即系统模型精准，且不存在任何干扰的情况下。但是在实际的控制系统中，外部干扰，模型参数变化等不确定因素的影响是不可忽略的。因此，为了增强系统的扰动抑制能力，提升系统的鲁棒性，引入误差反馈控制率。本发明采用分数阶PIλDμ作为误差反馈控制率，误差反馈控制率νe(t)可以表示为
Figure BDA0003716973610000081
其中kp,ki,kd,λ,μ分别表示控制器的比例、积分、微分、积分阶次与微分阶次，e(t)为光束偏转角度设定值与实际值间的偏差。
步骤四：将类稳态控制率、分数阶参考动态前馈控制率与分数阶误差反馈控制率相加，得到分数阶三步法控制器的总控制率
Figure BDA0003716973610000082
Figure BDA0003716973610000083
分数阶三步法控制器结构图如图2所示。r(t)为光束偏转角度设定值，y(t)是实际光束偏转角度。
实施例：
基于上述一种分数阶三步法控制器，本发明提供的鲁棒参数整定方法，包括以下步骤：
步骤一：将分数阶三步法控制器的总控制率(公式(4))带入分数阶光束调控系统(公式(8))中，可以得到
Figure BDA0003716973610000084
定义系统误差为
Figure BDA0003716973610000091
上式可以改写为分数阶误差系统
Figure BDA0003716973610000092
对公式(15)左右两边同时做Dλ微分
Figure BDA0003716973610000093
如果α1>μ，则系统的分数阶次α2+λ>a1+λ>μ+λ>λ。这四个分数阶微分阶次的最大公约数称为基阶β(0<β<1)，令
Figure BDA0003716973610000094
其中m4>m3>m2>m1，且他们都为正整数。定义变量
Figure BDA0003716973610000095
则公式(18)可以改写为矩阵的形式
Figure BDA0003716973610000096
其中β表示分数阶闭环控制系统的基阶。
步骤二：利用H∞范数表征系统的鲁棒性，首先要将误差系统改写为扰动系统。将分数阶光束调控系统中未建模部分，参数不确定部分和外部扰动部分归结为总扰动w(t)，令w(t)为扰动输入，并将其带入到公式(16)中，则线性误差系统可以定义为扰动系统
Figure BDA0003716973610000101
将上改写为分数阶状态空间方程形式
Figure BDA0003716973610000102
其中矩阵A如公式(5)所示,B＝[0；0；L；0；-1],C＝[1,0,0,L,0]，D＝0，w(t)为扰动输入，z(t)为扰动输出。系统从w(t)到z(t)的扰动传递函数定义为
Tzw(s)＝C(λ(w)I-A)-1B+D (21)
则Tzw(s)的H∞范数定义为
Figure BDA0003716973610000103
其中w(t)为扰动输入，z(t)为扰动输出。
步骤三：通过线性矩阵不等式对分数阶扰动系统(公式(20))进行约束，将H∞范数求解问题转换为凸优化问题，为后续量子布谷鸟参数优化奠定基础。
将H∞范数求解问题转换为具有线性矩阵不等式约束一个凸优化问题。即
Figure BDA0003716973610000104
步骤四：在此约束的基础上，利用量子布谷鸟优化算法整定矩阵A中的未知参数，使γopt最小，则Tzw(s)的H∞范数最小，此时对应的控制器参数Kp,Ki,Kd,λ,μ即为系统鲁棒性最强时的分数阶三步法控制器参数。
量子布谷鸟算法包括鸟巢编码机制和飞行搜索机制。编码机制是采用量子比特对鸟巢进行编码；然后，通过量子比特的Bloch球面状态表征鸟巢的可行解；最后，通过解空间变换得到鸟巢的实际坐标。飞行搜索机制则是利用量子比特在Bloch球面上的绕轴旋转实现，其中旋转角度通过Levy飞行理论决定，旋转轴由Pauli矩阵决定。量子布谷鸟算法具体步骤如下：
Step1初始化鸟巢位置P(t)＝[p1(t),p2(t),L,pN(t)]T。第i个鸟巢pi(0)的初始量子比特编码为
Figure BDA0003716973610000111
其中，i＝1,2,L,N,j＝1,2,L,D，N为鸟巢数量，D为空间维度，即量子数目，t＝0表示迭代次数，对于量子比特编码的鸟巢，只有转换为具体的数值向量才能进行目标函数的评价。根据量子比特理论可知，每个量子位都可由|κ>＝[cosρsinθk,sinρsinθk,cosθk]T表示，则
|κi1(0)>＝[cosρi1sinθk_i1,sinρi1sinqk_i1,cosθk_i1]T (23)
从上式可以看出，每个鸟巢都有三个可行解，即
Figure BDA0003716973610000112
则初始鸟巢位置的量子编码可以改写为
Figure BDA0003716973610000113
上式中的三组可行解均满足量子比特的Bloch球面状态，但同时计算三组可行解的γopt值，会增加系统计算量。因此，本发明只采用xij这一组可行解作为量子比特编码鸟巢。
由于可行解xij∈[-1,1]，因此需要进行解空间变换，记第j维优化空间的取值范围为[Minj,Maxj]，则解空间变换如下所示。
Figure BDA0003716973610000121
此时[Xi1,Xi2,L,XiD]即为第i个布谷鸟的实际鸟巢。
Step2采用量子比特在Bloch球面上的绕轴旋转与Levy飞行相结合的方法更新鸟巢位置。
由于量子比特有ρ和θk两个旋转角，为了避免两个转角分别进化导致二者无法协同，进而影响系统搜索效率的问题，通过绕旋转轴旋转的方式对其进行同步更新，实现两个参数调整量的最佳匹配，旋转轴定义为
Figure BDA0003716973610000122
其中Pbj＝[xbj,ybj,zbj]为Bloch球面上最优的鸟巢位置，Pij＝[xij,yij,zij]为Bloch球面上普通鸟巢的位置。
量子比特在Bloch球上绕轴旋转角度大小对系统收敛速度至关重要，因此，可以将旋转角度范围可定义在Bloch的上半球，以此减小球面搜索范围，提高收敛效率。ρ和θk的搜索范围如下所示
Figure BDA0003716973610000123
令θibj为Pij和Pbj之间的夹角
Figure BDA0003716973610000124
则|κij(t)>向|κbj(t)>旋转时的幅角为
Figure BDA0003716973610000125
其中，α为步长因子，uf,v为服从标准正太分布的随机数。
|κij(t)>绕轴Rij转向目标比特|κbj(t)>的旋转矩阵为
Figure BDA0003716973610000131
其中I为单位矩阵。σ＝[σx,σy,σz]为Pauli矩阵。
Figure BDA0003716973610000132
根据(30)和当前鸟巢位置|κij(t)>进行更新迭代，更新后的新的鸟巢位置|κij(t+1)>为
|κij(t+1)>＝M(θij)|κij(t)> (33)
更新后的鸟巢位置再通过解空间变换的形式得到真实鸟巢位置。
Step3巢主鸟发现外来蛋后，舍弃原来的鸟巢，并补充新的鸟巢。令|κij(t)>为当前鸟巢，|κkj(t)>,|κlj(t)>,|κmj(t)>为第t代随机选取的三个鸟巢，且i≠j≠k≠l≠m，记qikj为|κij(t)>和|κkj(t)>之间的夹角，以Rij为旋转轴，以δij为幅角，使|κij(t)>向|κkj(t)>旋转，得到局部搜索的最优解。
Step4计算步骤3中新生成解的γopt值，并与上次迭代的最优解进行对比，同样取γopt值最小的鸟巢位置为全局最优位置。
Step5根据迭代次数判断循环终止条件，若满足迭代次数，则pb(t)为全局最优解；否则返回步骤(2)。
量子布谷鸟算法优化流程如图3所示。设置量子数目D＝30。利用量子布谷鸟算法对分数阶三步法控制器参数进行整定，整定后的控制器参数为Kp＝6920.32,Ki＝30.73,Kd＝5127.61,λ＝0.62,μ＝0.93，H∞范数γ＝0.7059。
以上所述，仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围，凡是利用本发明的说明书及附图内容所做的等同结构变化，均应包含在发明的专利保护范围内。

Claims (6)

1.一种分数阶三步法控制器，其特征在于：由以下步骤得到
步骤一、设计类稳态控制率；
步骤二、设计分数阶参考动态前馈控制率；
步骤三、设计分数阶误差反馈控制率；
步骤四、将类稳态控制率、分数阶参考动态前馈控制率与分数阶误差反馈控制率相加，得到分数阶三步法控制器的总控制率：
其中，类稳态控制率vs(t)为
Figure FDA0003716973600000011
k1,k3为液晶的展曲和弯曲系数，b为相位差的比例系数，θp(t)为光束偏转角度；
其中,分数阶动态参考前馈控制率νf(t)为
Figure FDA0003716973600000012
η1,h2为展曲和弯曲的粘滞系数，θp *(t)为光束偏转角度的设定值；
其中，分数阶误差反馈控制率ve(t)表示为
Figure FDA0003716973600000013
kp,ki,kd,λ,μ分别表示控制器的比例、积分、微分、积分阶次与微分阶次，e(t)为光束偏转角度设定值与实际值间的偏差；
综上，分数阶三步法控制器的总控制率为
Figure FDA0003716973600000014
其中，r(t)为光束偏转角度设定值，y(t)是实际光束偏转角度。
2.一种根据权利要求1所述的分数阶三步法控制器的鲁棒参数整定方法，其特征在于：包括以下步骤
步骤一：将分数阶三步法控制器的总控制率带入到光束调控系统的分数阶模型中，得到分数阶闭环控制系统的误差方程，并将其改写为分数阶状态空间方程的形式；
步骤二：通过H∞范数表征系统的鲁棒性；
步骤三：增加分数阶闭环控制系统的线性矩阵不等式约束；
步骤四：利用量子布谷鸟算法优化控制器参数。
3.根据权利要求2所述的一种分数阶三步法控制器的鲁棒参数整定方法，其特征在于：
步骤一中，分数阶状态空间方程的形式
Figure FDA0003716973600000021
其中β表示分数阶闭环控制系统的基阶。
4.根据权利要求2或3所述的一种分数阶三步法控制器的鲁棒参数整定方法，其特征在于：
步骤二中，分数阶闭环控制系统的H∞范数为
Figure FDA0003716973600000022
其中w(t)为扰动输入，z(t)为扰动输出。
5.根据权利要求4所述的一种分数阶三步法控制器的鲁棒参数整定方法，其特征在于：
步骤三中，增加分数阶闭环控制系统的线性矩阵不等式约束，使H∞范数求解问题转换为具有线性矩阵不等式约束一个凸优化问题，即
Figure FDA0003716973600000031
6.根据权利要求5所述的一种分数阶三步法控制器的鲁棒参数整定方法，其特征在于：
步骤四中，在此约束的基础上，利用量子布谷鸟算法整定矩阵A中的未知参数，使γopt最小，则Tzw(s)的H∞范数最小，此时对应的控制器参数Kp,Ki,Kd,λ,μ即为系统鲁棒性最强时的分数阶三步法控制器参数。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
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CN116184812A (zh) * 2023-04-24 2023-05-30 荣耀终端有限公司 一种信号补偿方法、电子设备及介质

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CN116184812A (zh) * 2023-04-24 2023-05-30 荣耀终端有限公司 一种信号补偿方法、电子设备及介质

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