CN114970121A - 一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法及系统 - Google Patents

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CN114970121A CN202210502080.5A CN202210502080A CN114970121A CN 114970121 A CN114970121 A CN 114970121A CN 202210502080 A CN202210502080 A CN 202210502080A CN 114970121 A CN114970121 A CN 114970121A
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林畅
林俊杰
彭逸轩
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Abstract

一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法及系统，包括：基于发电机的电磁暂态仿真将发电机和电路系统建立统一的非线性微分方程；采用积分方法对所述统一的非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程；利用牛顿迭代法对所述离散后的方程进行迭代求解，得到每个时间步长内的解；本发明通过列写电力系统的整体微分方程，利用牛顿拉夫逊法求解非线性方程，可实现电机和电路系统在一个时间步长内的迭代求解，从而解决由电机和电路系统分开求解延时造成的数值发散问题或由预测方法不精确造成的数值稳定性和精度问题。

Description

一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法及系统
技术领域
本发明涉及电力系统电磁暂态仿真领域，具体涉及一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法及系统。
背景技术
在现有的电磁暂态仿真中，发电机等非线性元件通常被等效为受控源与主电路连接计算，通常采用两种方式对受控源的值进行更新。1、需要从已知t-Δt时刻的解预测一些t时刻尚未知的量，结果准确性较依赖于采用的预测方法，预报方法选取的不合适将导致数值不稳定；2、采用已知的t-Δt时刻的量计算，可能存在由于延时造成的数值发散问题，需对延时进行补偿校正。上述两种方式都存在数值稳定性问题，只有将求解方法从直接求解改变成在每一时步内的迭代解，其数值稳定性才能进一步提高。
发明内容
为了解决现有技术中发电机电磁暂态仿真存在的数值稳定性问题，本发明提出了一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法，包括：
基于发电机的电磁暂态仿真将发电机和电路系统建立统一的非线性微分方程；
采用积分方法对所述统一的非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程；
利用牛顿迭代法对所述离散后的方程进行迭代求解，得到每个时间步长内的解。
优选的，所述采用积分方法对所述统一的非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程，包括：
将所述统一的非线性微分方程转换为一阶非线性微分方程；
利用不同的积分方法对所述一阶非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程。
优选的，所述利用不同的积分方法对所述一阶非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程，包括：
将在t时刻对所述一阶非线性微分方程乘以1-β得到的公式与在t+Δt时刻对所述一阶非线性微分方程乘以β得到的公式相加，得到由t时刻计算t+Δt 时刻的计算式；
将所述在t时刻对所述一非线性阶微分方程乘以1-β得到的公式乘以
Figure BDA0003634755160000021
后，减去所述由t时刻计算t+Δt时刻的计算式，得到离散后的方程。
优选的，所述统一的非线性微分方程的计算式如下：
Figure BDA0003634755160000022
式中，n为电路节点个数，nm为电机机械轴系质量块数，L(θ)为发电机电感矩阵，B为发电机绕组和节点的关联矩阵，J为发电机轴系转动惯性矩阵，D为阻尼矩阵，K为弹性系数矩阵，T为发电机机械转矩向量，KC为电容系数矩阵， KR为电阻系数矩阵，KL为电感系数矩阵，Ψ为节点磁链，θ为电机轴系转角。
优选的，所述利用牛顿迭代法对所述离散后的方程进行迭代求解，得到每个时间步长内的解，包括：
将所述离散后的方程转换为函数式，并获取函数式的雅克比矩阵；
将所述雅克比矩阵转换为可以利用牛顿迭代法的迭代式；
利用牛顿迭代法对所述迭代式进行迭代求解，得到每个时间步长内的解。
优选的，所述利用牛顿迭代法对所述迭代式进行迭代求解，得到每个时间步长内的解，包括：
将‖f(xN+1,k+1)‖与设定的误差值进行比较，若小于所述设定的误差值则计算结束，否则按照牛顿迭代法的迭代式进行求解，xN+1,k+1为第k+1次迭代的估计值，k为迭代次数，x为状态量，f(xN+1,k+1)为第N+1步计算的第k+1次迭代的函数值，N为第N步计算。
优选的，所述利用牛顿迭代法的迭代式如下：
Figure BDA0003634755160000023
式中，xN+1，k为t+Δt时刻初始的估计值，xN+1,k+1为新的结果估计值，即下一次迭代初始的估计值。
基于同一发明构思，本发明还提出了一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解系统，包括：
微分方程建立模块，用于基于发电机的电磁暂态仿真将发电机和电路系统建立统一的非线性微分方程；
微分方程离散模块，用于采用积分方法对所述统一的非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程；
迭代求解模块，用于利用牛顿迭代法对所述离散后的方程进行迭代求解，得到每个时步内的解。
优选的，所述微分方程离散模块，包括：
转换子模块，用于将所述统一的非线性微分方程转换为一阶非线性微分方程；
离散子模块，用于利用不同的积分方法对所述一阶非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程。
优选的，所述离散子模块，具体用于：
将在t时刻对所述一阶非线性微分方程乘以1-β得到的公式与在t+Δt时刻对所述一阶非线性微分方程乘以β得到的公式相加，得到由t时刻计算t+Δt 时刻的计算式；
将所述在t时刻对所述一阶非线性微分方程乘以1-β得到的公式乘以
Figure BDA0003634755160000031
后，减去所述由t时刻计算t+Δt时刻的计算式，得到离散后的方程。
优选的，所述统一的非线性微分方程的计算式如下：
Figure BDA0003634755160000032
式中，n为电路节点个数，nm为电机机械轴系质量块数，L(θ)为发电机电感矩阵，B为发电机绕组和节点的关联矩阵，J为发电机轴系转动惯性矩阵，D为阻尼矩阵，K为弹性系数矩阵，T为发电机机械转矩向量，KC为电容系数矩阵， KR为电阻系数矩阵，KL为电感系数矩阵，Ψ为节点磁链，θ为电机轴系转角。
优选的，所述迭代求解模块，包括：
函数式子模块，用于将所述离散后的方程转换为函数式，并获取函数式的雅克比矩阵；
迭代式子模块，用于将所述雅克比矩阵转换为可以利用牛顿迭代法的迭代式；
求解子模块，用于利用牛顿迭代法对所述迭代式进行迭代求解，得到每个时间步长内的解。
优选的，所述求解子模块具体用于：
将‖f(xN+1,k+1)‖与设定的误差值进行比较，若小于所述设定的误差值则计算结束，否则按照牛顿迭代法的迭代式进行求解，xN+1,k+1为第k+1次迭代的估计值，k为迭代次数，x为状态量，f(xN+1,k+1)为第N+1步计算的第k+1次迭代的函数值，N为第N步计算。
优选的，所述利用牛顿迭代法的迭代式如下：
Figure BDA0003634755160000041
式中，xN+1，k为t+Δt时刻初始的估计值，xN+1,k+1为新的结果估计值，即下一次迭代初始的估计值。
与现有技术相比，本发明的有益效果为：
一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法及系统，包括：基于发电机的电磁暂态仿真将发电机和电路系统建立统一的非线性微分方程；采用积分方法对所述统一的非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程；利用牛顿迭代法对所述离散后的方程进行迭代求解，得到每个时间步长内的解；本发明通过列写电力系统的整体微分方程，利用牛顿拉夫逊法求解非线性方程，可实现电机和电路系统在一个时间步长内的迭代求解，从而解决由电机和电路系统分开求解延时造成的数值发散问题或由预测方法不精确造成的数值稳定性和精度问题。
附图说明
图1为本发明的一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法流程图；
图2为本发明的每个时步迭代求解流程图。
具体实施方式
本发明提出一种含发电机电磁暂态仿真迭代求解方法，针对发电机电磁暂态仿真等效为受控源与电路连接存在的数值稳定性问题，通过将发电机和电路系统建立统一的微分方程，使用牛顿拉夫逊迭代法对整体方程进行迭代求解，从根本上避免发电机被等效为受控源由于延时或预测方法带来的数值稳定性问题。
实施例1：
一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法，具体过程如图1所示，包括：
步骤1，基于发电机的电磁暂态仿真将发电机和电路系统建立统一的非线性微分方程；
步骤2，采用积分方法对所述统一的非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程；
步骤3，利用牛顿迭代法对所述离散后的方程进行迭代求解，得到每个时间步长内的解。
下面对本发明的一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法，结合图2进行详细介绍。
步骤1中的，基于发电机的电磁暂态仿真将发电机和电路系统建立统一的非线性微分方程，具体包括：
列写的电力系统在时域求解中的微分方程：
Figure BDA0003634755160000051
式中,KC为电容系数矩阵，KR为电阻系数矩阵，KL为电感系数矩阵，Ψ为节点磁链。
扩展列写含发电机的微分方程：
Figure BDA0003634755160000052
其中，n为电路节点个数，nm为电机机械轴系质量块数。L(θ)为发电机电感矩阵，是随发电机转角变化的，B为发电机绕组和节点的关联矩阵。J为发电机轴系转动惯量矩阵，D为阻尼矩阵，K为弹性系数矩阵，T为发电机机械转矩向量。
步骤2中的，采用积分方法对所述统一的非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程，具体包括：
电力系统的电磁暂态仿真就是求解式(2)所示的微分方程。
式(2)是一个二阶微分方程，需变换为一阶微分方程进行计算机求解。将式(2)变换为：
Figure BDA0003634755160000061
其中，
Figure BDA0003634755160000062
Figure BDA0003634755160000063
E为单位矩阵，
Figure BDA0003634755160000064
Figure BDA0003634755160000065
利用不同积分方法对式(3)离散：
Figure BDA0003634755160000066
其中，Δt为离散时间步长，xN为t时刻的状态量，xN+1为t+Δt时刻的状态量，β为不同积分方法的选择因子。当β＝0.5时，为梯形积分法；β＝1时，为后退欧拉法。
在t时刻，对式(3)乘以1-β，得：
Figure BDA0003634755160000067
在t+Δt时刻，对式(3)乘以β，得：
Figure BDA0003634755160000068
由t时刻计算t+Δt时刻，K1和K2保持不变，式(5)和式(6)相加，得：
Figure BDA0003634755160000069
将式(5)乘以
Figure BDA00036347551600000610
得：
Figure BDA0003634755160000071
式(8)减去式(7)得：
Figure BDA0003634755160000072
进一步化简式(9)得：
AxN+1＝BxN+(1-β)R(xN)+βR(xN+1) (10)
其中，
Figure BDA0003634755160000073
由于式(10)中R(xN)和R(xN+1)是关于xN和xN+1的非线性函数，故式(10) 为非线性方程。
步骤3中的，利用牛顿迭代法对所述离散后的方程进行迭代求解，得到每个时间步长内的解，具体包括：
式(10)中的未知变量是xN+1，而xN和R(xN)均为已知量。为了使用牛顿迭代法求解，需将式(10)变成式(11)的形式，即为求解f(xN+1)＝0。
f(xN+1)＝-AxN+1+BxN+(1-β)R(xN)+βR(xN+1)＝0 (11)
函数f(xN+1)的雅克比矩阵为：
Figure BDA0003634755160000074
其中，
Figure BDA0003634755160000075
Γ(θ)＝ (L(θ))-1，
Figure BDA0003634755160000076
和
Figure BDA0003634755160000077
都是关于θ的矩阵函数，可根据电机类型及参数具体确定。
利用牛顿迭代法的迭代式为：
Figure BDA0003634755160000078
其中xN+1,k是t+Δt时刻初始的估计值，xN+1,k+1是新的结果估计值，即下一次迭代初始的估计值。当‖f(xN+1,k+1)‖小于设定允许误差时，则完成每个时步内的迭代求解。
实施例2：
一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解系统，包括：
微分方程建立模块，用于基于发电机的电磁暂态仿真将发电机和电路系统建立统一的非线性微分方程；
微分方程离散模块，用于采用积分方法对所述统一的非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程；
迭代求解模块，用于利用牛顿迭代法对所述离散后的方程进行迭代求解，得到每个时步内的解。
所述微分方程离散模块，包括：
转换子模块，用于将所述统一的非线性微分方程转换为一阶非线性微分方程；
离散子模块，用于利用不同的积分方法对所述一阶非线性微分方程进行离散得到离散后的方程。
所述迭代求解模块，包括：
函数式子模块，用于将所述离散后的方程转换为函数式，并获取函数式的雅克比矩阵；
迭代式子模块，用于将所述雅克比矩阵转换为可以利用牛顿迭代法的迭代式；
求解子模块，用于利用牛顿迭代法对所述迭代式进行迭代求解，得到每个时间步长内的解。
微分方程建立模块，具体用于：
列写的电力系统在时域求解中的微分方程：
Figure BDA0003634755160000081
式中,KC为电容系数矩阵，KR为电阻系数矩阵，KL为电感系数矩阵，Ψ为节点磁链。
扩展列写含发电机的微分方程：
Figure BDA0003634755160000082
其中，n为电路节点个数，nm为电机机械轴系质量块数。L(θ)为发电机电感矩阵，是随发电机转角变化的，B为发电机绕组和节点的关联矩阵。J为发电机轴系转动惯量矩阵，D为阻尼矩阵，K为弹性系数矩阵，T为发电机机械转矩向量。
转换子模块，具体用于：
电力系统的电磁暂态仿真就是求解式(2)所示的微分方程。
式(2)是一个二阶微分方程，需变换为一阶微分方程进行计算机求解。将式(2)变换为：
Figure BDA0003634755160000091
其中，
Figure BDA0003634755160000092
Figure BDA0003634755160000093
E为单位矩阵，
Figure BDA0003634755160000094
Figure BDA0003634755160000095
离散子模块，具体用于：
利用不同积分方法对式(3)离散：
Figure BDA0003634755160000096
其中，Δt为离散时间步长，xN为t时刻的状态量，xN+1为t+Δt时刻的状态量，β为不同积分方法的选择因子。当β＝0.5时，为梯形积分法；β＝1时，为后退欧拉法。
在t时刻，对式(3)乘以1-β，得：
Figure BDA0003634755160000097
在t+Δt时刻，对式(3)乘以β，得：
Figure BDA0003634755160000101
由t时刻计算t+Δt时刻，K1和K2保持不变，式(5)和式(6)相加，得：
Figure BDA0003634755160000102
将式(5)乘以
Figure BDA0003634755160000103
得：
Figure BDA0003634755160000104
式(8)减去式(7)得：
Figure BDA0003634755160000105
进一步化简式(9)得：
AxN+1＝BxN+(1-β)R(xN)+βR(xN+1) (10)
其中，
Figure BDA0003634755160000106
由于式(10)中R(xN)和R(xN+1)是关于xN和xN+1的非线性函数，故式(10) 为非线性方程。
函数式子模块，具体用于：
式(10)中的未知变量是xN+1，而xN和R(xN)均为已知量。为了使用牛顿迭代法求解，需将式(10)变成式(11)的形式，即为求解f(xN+1)＝0。
f(xN+1)＝-AxN+1+BxN+(1-β)R(xN)+βR(xN+1)＝0 (11)
函数f(xN+1)的雅克比矩阵为：
Figure BDA0003634755160000107
其中，
Figure BDA0003634755160000108
Γ(θ)＝ (L(θ))-1，
Figure BDA0003634755160000109
和
Figure BDA00036347551600001010
都是关于θ的矩阵函数，可根据电机类型及参数具体确定。
迭代式子模块，具体用于：
利用牛顿迭代法的迭代式为：
Figure BDA0003634755160000111
其中xN+1,k是t+Δt时刻初始的估计值，xN+1,k+1是新的结果估计值，即下一次迭代初始的估计值。
求解子模块，具体用于：
当‖f(xN+1,k+1)‖小于设定允许误差时，则完成每个时步内的迭代求解。
本领域内的技术人员应明白，本发明的实施例可提供为方法、系统、或计算机程序产品。因此，本发明可采用完全硬件实施例、完全软件实施例、或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本发明可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质(包括但不限于磁盘存储器、CD-ROM、光学存储器等)上实施的计算机程序产品的形式。
本发明是参照根据本发明实施例的方法、设备(系统)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。
这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和 /或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。
这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。
以上仅为本发明的实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均包含在发明待批的本发明的权利要求范围之内。

Claims (14)

1.一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法，其特征在于，包括：
基于发电机的电磁暂态仿真将发电机和电路系统建立统一的非线性微分方程；
采用积分方法对所述统一的非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程；
利用牛顿迭代法对所述离散后的方程进行迭代求解，得到每个时间步长内的解。
2.根据权利要求1所述一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法，其特征在于，所述采用积分方法对所述统一的非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程，包括：
将所述统一的非线性微分方程转换为一阶非线性微分方程；
利用不同的积分方法对所述一阶非线性微分方程进行离散得到离散后的方程。
3.根据权利要求2所述一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法，其特征在于，所述利用不同的积分方法对所述一阶非线性微分方程进行离散得到离散后的方程，包括：
将在t时刻对所述一阶非线性微分方程乘以1-β得到的公式与在t+Δt时刻对所述一阶非线性微分方程乘以β得到的公式相加，得到由t时刻计算t+Δt时刻的计算式；
将所述在t时刻对所述一阶非线性微分方程乘以1-β得到的公式乘以
Figure FDA0003634755150000011
后，减去所述由t时刻计算t+Δt时刻的计算式，得到离散后的方程。
4.根据权利要求1所述一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法，其特征在于，所述统一的非线性微分方程的计算式如下：
Figure FDA0003634755150000012
式中，n为电路节点个数，nm为电机机械轴系质量块数，L(θ)为发电机电感矩阵，B为发电机绕组和节点的关联矩阵，J为发电机轴系转动惯性矩阵，D为阻尼矩阵，K为弹性系数矩阵，T为发电机机械转矩向量，KC为电容系数矩阵，KR为电阻系数矩阵，KL为电感系数矩阵，Ψ为节点磁链，θ为电机轴系转角。
5.根据权利要求1所述一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法，其特征在于，所述利用牛顿迭代法对所述离散后的方程进行迭代求解，得到每个时间步长内的解，包括：
将所述离散后的方程转换为函数式，并获取函数式的雅克比矩阵；
将所述雅克比矩阵转换为可以利用牛顿迭代法的迭代式；
利用牛顿迭代法对所述迭代式进行迭代求解，得到每个时间步长内的解。
6.根据权利要求5所述一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法，其特征在于，所述利用牛顿迭代法对所述迭代式进行迭代求解，得到每个时间步长内的解，包括：
将‖f(xN+1,k+1)‖与设定的误差值进行比较，若小于所述设定的误差值则计算结束，否则按照牛顿迭代法的迭代式进行求解，xN+1,k+1为第k+1次迭代的估计值，k为迭代次数，x为状态量，f(xN+1,k+1)为第N+1步计算的第k+1次迭代的函数值，N为第N步计算。
7.根据权利要求5所述一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解方法，其特征在于，所述利用牛顿迭代法的迭代式如下：
Figure FDA0003634755150000021
式中，xN+1，k为t+Δt时刻初始的估计值，xN+1,k+1为新的结果估计值，即下一次迭代初始的估计值。
8.一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解系统，其特征在于，包括：
微分方程建立模块，用于基于发电机的电磁暂态仿真将发电机和电路系统建立统一的非线性微分方程；
微分方程离散模块，用于采用积分方法对所述统一的非线性微分方程进行离散，得到离散后的方程；
迭代求解模块，用于利用牛顿迭代法对所述离散后的方程进行迭代求解，得到每个时步内的解。
9.根据权利要求8所述一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解系统，其特征在于，所述微分方程离散模块，包括：
转换子模块，用于将所述统一的非线性微分方程转换为一阶非线性微分方程；
离散子模块，用于利用不同的积分方法对所述一阶非线性微分方程进行离散得到离散后的方程。
10.根据权利要求9所述一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解系统，其特征在于，所述离散子模块，具体用于：
将在t时刻对所述一阶非线性微分方程乘以1-β得到的公式与在t+Δt时刻对所述一阶非线性微分方程乘以β得到的公式相加，得到由t时刻计算t+Δt时刻的计算式；
将所述在t时刻对所述一阶非线性微分方程乘以1-β得到的公式乘以
Figure FDA0003634755150000031
后，减去所述由t时刻计算t+Δt时刻的计算式，得到离散后的方程。
11.根据权利要求8所述一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解系统，其特征在于，所述统一微分方程的计算式如下：
Figure FDA0003634755150000032
式中，n为电路节点个数，nm为电机机械轴系质量块数，L(θ)为发电机电感矩阵，B为发电机绕组和节点的关联矩阵，J为发电机轴系转动惯性矩阵，D为阻尼矩阵，K为弹性系数矩阵，T为发电机机械转矩向量，KC为电容系数矩阵，KR为电阻系数矩阵，KL为电感系数矩阵，Ψ为节点磁链，θ为电机轴系转角。
12.根据权利要求8所述一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解系统，其特征在于，所述迭代求解模块，包括：
函数式子模块，用于将所述离散后的方程转换为函数式，并获取函数式的雅克比矩阵；
迭代式子模块，用于将所述雅克比矩阵转换为可以利用牛顿迭代法的迭代式；
求解子模块，用于利用牛顿迭代法对所述迭代式进行迭代求解，得到每个时间步长内的解。
13.根据权利要求12所述一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解系统，其特征在于，所述求解子模块具体用于：
将‖f(xN+1,k+1)‖与设定的误差值进行比较，若小于所述设定的误差值则计算结束，否则按照牛顿迭代法的迭代式进行求解，xN+1,k+1为第k+1次迭代的估计值，k为迭代次数，x为状态量，f(xN+1,k+1)为第N+1步计算的第k+1次迭代的函数值，N为第N步计算。
14.根据权利要求12所述一种含发电机的电磁暂态仿真迭代求解系统，其特征在于，所述利用牛顿迭代法的迭代式如下：
Figure FDA0003634755150000041
式中，xN+1，k为t+Δt时刻初始的估计值，xN+1,k+1为新的结果估计值，即下一次迭代初始的估计值。
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