CN114895645B - 考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法，该方法包括：在网络控制系统反馈通道利用Bernoulli过程对数据丢包过程进行建模，并假设系统的参考输入和通道噪声信号均为具有非零均值的独立同分布随机过程，且两者相互独立，通过全通分解、空间分解、控制器的Youla参数化方法以及随机信号的统计特性等工具和方法对系统模型进行推导，最终得到了该网络控制系统的最优跟踪性能显式表达式。本发明揭示了网络控制系统跟踪性能与系统本身特性和通讯约束之间的内在联系，能更好地指导该类网络控制系统的最优控制器设计。

Description

考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法

技术领域

本发明涉及网络系统控制领域，具体涉及一种考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法。

背景技术

文献“Tracking Performance Limitations of Networked Control SystemsWith Repeated Zeros and Poles.”中介绍了一种网络系统控制模型，研究了一类网络控制系统的跟踪性能极限问题，所研究的控制系统模型具有重复零极点，在通信信道考虑了零均值的加性高斯白噪声(AWGN)网络约束。基于两自由度控制器，利用谱分解技术、稳定控制器Youla参数化方法，考虑非最小相位零点、不稳定极点的多重性以及参考信号和通信噪声的统计特性，给出了跟踪性能极限的显示定量关系。虽然该系统同时考虑了系统重复零极点和反馈通道的加性高斯白噪声约束，但在实际的网络控制系统通信信道中还存在数据丢包以及具有非零均值的通道噪声等约束，有必要对具有上述约束的网络控制系统的跟踪性能极限进行分析。

发明内容

本发明要解决的主要技术问题在于，对存在数据丢包以及具有非零均值的通道噪声等约束的网络控制系统进行跟踪性能极限分析，以优化网络控制系统的跟踪性能。

为了解决上述技术问题，本发明采取的技术方案如下：

一种考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法，包括以下步骤：

建立一种基于单自由度控制器的多输入多输出离散的网络控制系统模型，所述网络控制系统模型的控制输入为第一表达式：

其中，表示信号_x的/>变换形式，x包括：r、n、u、y、e，n表示反馈通道中的非零均值白噪声，在信道i具有非零均值μ_ni和方差/>i＝1,2,...,m，m表示信道总数，r表示建模为非零均值白噪声随机过程的参考输入，在信道i具有非零均值μ_ri和方差/> _u和y分别为控制输入和系统输出，K为单自由度控制器，G为被控对象，数据丢包建模为Bernoulli丢包过程，表示为参数/>其概率分布函数为/>其中α为发生数据丢失的概率，满足0≤α≤1；

所述网络控制系统模型的系统输出为第二表达式：

则误差信号为第三表达式：

其中，T_er(z)为参考输入r到误差信号e的传递函数，且T_er(z)＝1-(1+(1-α)GK)^{- 1}GK，T_en(z)为噪声信号n到误差信号e的传递函数，且T_en(z)＝(1+(1-α)GK)^-1GK；

定义网络控制系统模型的跟踪性能指标J为第四表达式：

其中Ε为期望算子，与μ_e＝diag(μ_e1,μ_e2,...,μ_em)分别表示误差信号e的方差矩阵与均值矩阵，C_e(0)为误差信号的协方差矩阵，k表示网络控制系统的离散时间序列，tr()表示矩阵的迹；

根据第四表达式，得到网络控制系统模型的第一最优跟踪性能表达式为第五表达式：

其中，是任何能够使网络控制系统模型稳定的单自由度控制器K的集合，σ_ri和σ_ni分别表示信道i的参考输入r和噪声信号n的方差，V_r＝diag(σ_r1,σ_r2,…,σ_rm)、V_n＝diag(σ_n1,σ_n2,…,σ_nm)分别表示表示信道i的参考输入r和噪声信号n的方差矩阵，μ_ri和μ_ni分别表示信道i的参考输入r和噪声信号n的均值，μ_r＝diag(μ_r1,μ_r2,...,μ_rm)、μ_n＝diag(μ_n1,μ_n2,...,μ_nm)分别表示信道i的参考输入r和噪声信号n的均值矩阵；

基于有理传递函数矩阵的互质分解双Bezout等式/>以及单自由度控制器的Youla参数化形式

得到第六表达式：

和第七表达式：

其中N(z)和M(z)为(1-α)G(z)经过右互质分解分别关于零点和极点的因子，和/>为(1-α)G(z)经过左互质分解分别关于零点和极点的因子，X(z),Y(z),为满足双Bezout等式的某一矩阵，Q(z)为单自由度控制器自由设计的参数，I为单位矩阵，G(z)为被控对象G的传递函数矩阵，/>表示稳定的、正则的、实有理传递函数或矩阵集合；

根据第五、第六和第七表达式，计算得到网络控制系统模型的第二最优跟踪性能表达式为第八表达式：

利用全通分解技术计算所述第二最优跟踪性能表达式，从而得到网络控制系统的最优跟踪性能。

进一步地，所述根据第四表达式，得到网络控制系统模型的第一最优跟踪性能表达式为第五表达式的步骤，包括：

基于信道i误差信号e的方差能由其功率谱密度φ_ei(ω)定义，即其中C_ei(0)为信道i(i＝1,2,...,m)误差信号的协方差函数，则将跟踪性能指标进一步写为第九表达式：

其中φ_e(ω)＝diag(φ_e1(ω),φ_e2(ω),...,φ_em(ω))表示误差信号e的功率谱密度矩阵。

将信道i的参考输入和通道噪声/>的功率谱密度表示为φ_ri(ω)和φ_ni(ω)，则有第十表达式：

φ_e(ω)＝T_er(e^jω)T_er(e^-jω)φ_r(ω)+T_en(e^jω)T_en(e^-jω)φ_n(ω)

其中，j为虚数单位，ω为频率，φ_r(ω)＝diag(φ_r1(ω),φ_r2(ω),...,φ_rm(ω))表示参考输入r的功率谱密度矩阵，φ_n(ω)＝diag(φ_n1(ω),φ_n2(ω),...,φ_nm(ω))表示噪声信号n的功率谱密度矩阵；信道i的参考输入r和噪声信号n的均值为μ_ri和μ_ni，且其均值矩阵分别为μ_r＝diag(μ_r1,μ_r2,...,μ_rm)，μ_n＝diag(μ_n1,μ_n2,...,μ_nm)；

参考输入r和噪声信号n均为白色噪声平稳随机过程，即信道i的参考输入r和噪声信号n的功率谱密度为φ_ri＝c₁,φ_ni＝c₂，c₁,c₂为常数，所以有和μ_e＝T_er(1)μ_r+T_en(1)μ_n，进一步得到第十一表达式：

其中V_r＝diag(σ_r1,σ_r2,…,σ_rm)，V_n＝diag(σ_n1,σ_n2,…,σ_nm)，T_er(1)和T_en(1)为T_er(z)、T_en(z)在z＝1处的取值，即稳态增益；

最终得到网络控制系统模型的第二最优跟踪性能表达式为第五表达式：

进一步地，所述利用全通分解技术计算所述第二最优跟踪性能表达式的步骤，包括：

定义分别为第十二、第十三、第十四表达式：

其中，为第二最优跟踪性能表达式的第一部分，/>为第二最优跟踪性能表达式的第二部分，/>为第二最优跟踪性能表达式的第三部分。

进一步地，所述利用全通分解技术计算所述第二最优跟踪性能表达式的步骤，还包括：计算

对于被控对象有全通分解N(z)＝L(z)N_m(z)，M(z)＝B(z)M_m(z)和/>L(z)和B(z)为全通因子，分别包含了被控对象的非最小相位零点s_i,i＝1,...,N_s和不稳定极点p_i,i＝1,...,N_p，N_m(z),M_m(z),/>为最小相位因子，L(z)分解为/>其中/> 为零点s_i的共轭，η_i为不稳定极点的方向向量且与矩阵U_i满足/>其中/>和/>为η_i和U_i的共轭转置，B(z)分解为/>其中/>w_i为不稳定极点的方向向量且与矩阵W_i满足w_iw_i ^H+W_iW_i ^H＝I，/>为极点p_i的共轭，/>和W_i ^H为w_i和W_i的共轭转置，z为传递函数经过/>变换后的自变量；

令常数矩阵所以所述第二最优跟踪性能表达式的第一部分化简为为第一化简式：

进一步地，根据 为Hilbert空间的子空间，所述第一化简式转化为第二化简式：

进一步地，根据所述第二化简式，定义和/>有/>其中/>为第十五表达式：

为第十六表达式：

计算由全通分解计算为第十七表达式：

对于由全通分解计算为第十八表达式：

对于第十八表达式，满足有：

其中T₁(∞)为T₁(z)在z趋于∞的取值；并且，由双Bezout等式可得/>而M(pi)＝0，所以

则转换为第十九表达式：

注意到H₂为Hilbert空间的子空间，H₂与/>构成了Hilbert空间的一个正交对，则由空间分解技术得到第二十表达式：

因为N_m(z)是右可逆的，是左可逆的，所以存在最优的/>使得：

所以最终得到第二十一表达式：

则表示为第二十二表达式：

进一步地，计算的方法与计算/>的方法相同，则计算后的/>的表达式为第二十三表达式：

进一步地，根据第二十二表达式、第二十三表达式和第十四表达式，得到该模型的最优跟踪性能表达式为第二十四表达式：

其中μ_r＝diag(μ_r1,μ_r2,...,μ_rm)，μ_n＝diag(μ_n1,μ_n2,...,μ_nm)。

本发明提供的技术方案带来的有益效果是：

(1)综合考虑了反馈网络通道的数据丢包约束以及具有非零均值的通道噪声约束，并考虑参考输入也为非零均值的随机信号，建立了一种新的多约束网络控制系统模型。

(2)基于单自由度控制器，利用全通分解、控制器的Youla参数化方法以及随机信号的统计特性等工具和方法设计出最优控制器，在保证系统稳定的同时改善了多输入多输出网络控制系统的跟踪性能。

(3)通过频域H₂最优控制方法，推导出多输入多输出网络控制系统跟踪性能的下确界，揭示了网络控制系统跟踪性能与系统本身特性和通讯约束之间的内在联系，能更好地指导该类控制系统的最优控制器设计。

附图说明

下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：

图1是本发明实施例中基于单自由度控制器的多输入多输出的网络控制系统模型的结构示意图；

图2是本发明实施例中网络控制系统的跟踪性能极限(含蒙特卡洛模拟)示意图；

图3是本发明实施例中不同通道噪声均值时网络控制系统跟踪性能极限示意图；

图4是本发明实施例中不同均值μ_r2和μ_n2影响下网络控制系统的跟踪性能极限示意图；

图5是本发明实施例中不同数据丢包概率α影响下的网络控制系统跟踪性能极限示意图。

具体实施方式

为了对本发明的技术特征、目的和效果有更加清楚的理解，现对照附图详细说明本发明的具体实施方式。

本实施例提供了一种考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法，首先建立一种基于单自由度控制器的多输入多输出离散的网络控制系统模型，该网络控制系统模型的结构如图1所示。系统结构图中，n表示反馈通道中的非零均值白噪声，在信道i(i＝1,2,...,m)具有非零均值μ_ni和方差r表示建模为非零均值白噪声随机过程的参考输入(也称系统输入)，在信道i(i＝1,2,...,m)具有非零均值μ_ri和方差/> _u和y分别为控制输入和系统输出，K为单自由度控制器，G为被控对象，数据丢包建模为Bernoulli丢包过程，表示为参数/>其概率分布函数为/>其中α(0≤α≤1)为发生数据丢失的概率，系统的跟踪误差为e＝r-y，在信道i(i＝1,2,…,m)具有均值μ_ei和方差/>在跟踪性能极限分析过程中，假设各个信道的信号是相互独立，统一使用符号/>表示信号_x的/>变换形式，x包括：r、n、u、y、e，且矩阵A的迹表示为trA。

该网络控制系统模型的跟踪性能指标定义为

其中Ε为期望算子，k表示网络控制系统模型的离散时间序列，与μ_e＝diag(μ_e1,μ_e2,...,μ_em)分别表示误差信号e的方差矩阵与均值矩阵，C_e(0)为误差信号的协方差矩阵。考虑到对于信道i(i＝1,2,...,m)误差信号_e的方差可以由其功率谱密度φ_ei(ω)定义，即/>其中C_ei(0)为信道i(i＝1,2,...,m)误差信号的协方差函数，可以将跟踪性能指标进一步写为

其中φ_e(ω)＝diag(φ_e1(ω),φ_e2(ω),...,φ_em(ω))表示误差信号e的功率谱密度矩阵。

从系统结构图可以得到控制输入和系统输出/>则误差信号其中T_er(z)为系统输入r到误差信号e的传递函数，且T_er(z)＝1-(1+(1-α)GK)^-1GK，T_en(z)为系统输入n到误差信号e的传递函数，且T_en(z)＝(1+(1-α)GK)^-1GK。若将信道i(i＝1,2,...,m)的/>的功率谱密度表示为φ_ri(ω)和φ_ni(ω)，则有

φ_e(ω)＝T_er(e^jω)T_er(e^-jω)φ_r(ω)+T_en(e^jω)T_en(e^-jω)φ_n(ω)

其中，j为虚数单位，ω为频率，φ_r(ω)＝diag(φ_r1(ω),φ_r2(ω),...,φ_rm(ω))表示系统输入r的功率谱密度矩阵，φ_n(ω)＝diag(φ_n1(ω),φ_n2(ω),...,φ_nm(ω))表示噪声信号n的功率谱密度矩阵。信道i(i＝1,2,...,m)的系统输入r和噪声信号n的均值为μ_ri和μ_ni，且其均值矩阵分别为μ_r＝diag(μ_r1,μ_r2,...,μ_rm)，μ_n＝diag(μ_n1,μ_n2,...,μ_nm)。

因为系统输入r和噪声信号n均为白色噪声平稳随机过程，即信道i的系统输入r和噪声信号n的功率谱密度为φ_ri＝c₁,φ_ni＝c₂(c₁,c₂为常数)，所以有和μ_e＝T_er(1)μ_r+T_en(1)μ_n，进一步可以得到

其中V_r＝diag(σ_r1,σ_r2,…,σ_rm)，V_n＝diag(σ_n1,σ_n2,…,σ_nm)，T_er(1)和T_en(1)为T_er(z)、T_en(z)在z＝1处的取值，即稳态增益。最终可以得到网络控制系统模型的第一最优跟踪性能表达式为

其中是任何能够使多输入多输出系统稳定的控制器K的集合。

基于有理传递函数矩阵的互质分解双Bezout等式/>以及单自由度控制器的Youla参数化形式可以得到其中N(z)和M(z)为(1-α)G(z)经过右互质分解分别关于零点和极点的因子，/>和/>为(1-α)G(z)经过左互质分解分别关于零点和极点的因子，X(z),Y(z),/> 为满足双Bezout等式的某一矩阵，Q(z)为控制器自由设计的参数，I为单位矩阵，G(z)为被控对象G的传递函数矩阵，/>表示稳定的、正则的、实有理传递函数(矩阵)集合。进一步，可以得到该网络控制系统模型的第二最优性能指标表达式为

为了计算出上述第二最优性能指标表达式，做出如下定义

首先计算

对于被控对象有全通分解N(z)＝L(z)N_m(z)，M(z)＝B(z)M_m(z)和/>L(z)和B(z)为全通因子，分别包含了被控对象的非最小相位零点s_i(i＝1,.N_s..和不稳定极点p_i(i＝1,.N_p..，N_m(z),M_m(z),/>为最小相位因子，L(z)可以分解为/>其中/> 为零点s_i的共轭，η_i为不稳定极点的方向向量且与矩阵U_i满足/>其中/>和/>为η_i和U_i的共轭转置，B(z)可以分解为/>其中/>w_i为不稳定极点的方向向量且与矩阵W_i满足/> 为极点p_i的共轭，/>和W_i ^H为w_i和W_i的共轭转置，z为传递函数经过/>变换后的自变量。令常数矩阵/>所以第二最优性能指标表达式可以写为

显然 为Hilbert空间的子空间，所以

对于可由全通分解计算为

对于

有引理：对于任意的存在/>使得下面等式成立

所以有

/>

其中T₁(∞)为T₁(z)在z趋于∞时的取值。并且，由双Bezout等式可得/>而M(p_i)＝0，所以则/>可以写作

注意到H₂为Hilbert空间的子空间，H₂与/>构成了Hilbert空间的一个正交对，则由空间分解技术可得

因为N_m(z)是右可逆的，是左可逆的，所以存在最优的/>使得：

所以

故可以得到

通过同样的方法，可以得到的进一步表达式为

所以该网络控制系统模型的最优跟踪性能表达式为

其中μ_r＝diag(μ_r1,μ_r2,...,μ_rm)，μ_n＝diag(μ_n1,μ_n2,...,μ_nm)。

下面用实验数据来证明本实施例能够产生的突出的优化效果：

实验数据和结论：

考虑离散多输入多输出被控对象，其传递函数矩阵模型为

/>

从传递函数矩阵可知，该模型含有一个非最小相位零点z＝s₁＝3.5，其输出零点方向为η＝(0,1,0)^T，含有一个不稳定极点z＝p₁＝k，其极点方向为w＝(0,1,0)^T，通过分解可得

由实施方案中得到的结果，可以计算出该模型的跟踪性能极限表达式为

当选取σ_r ²＝diag(σ_r1 ²,σ_r2 ²,σ_r3 ²)＝diag(1,0.5,1)，μ_r＝diag(μ_r1,μ_r2,μ_r3)＝diag(1,1,1)，σ_n ²＝diag(σ_n1 ²,σ_n2 ²,σ_n3 ²)＝diag(1,1,1)， α＝0.5时，可以得到网络控制系统的跟踪性能极限如图2所示，通过蒙特卡洛方法验证可以说明结果的正确性。当选取σ_r ²＝diag(σ_r1 ²,σ_r2 ²,σ_r3 ²)＝diag(1,1,1)，μ_r＝diag(μ_r1,μ_r2,μ_r3)＝diag(1,5,1)，σ_n ²＝diag(σ_n1 ²,σ_n2 ²,σ_n3 ²)＝diag(1,1,1)，μ_n＝diag(μ_n1,μ_n2,μ_n3)＝diag(1,μ_n2,1)，α＝0.5时，考虑不同的μ_n2(≤0μ_n2≤15)，可以得到系统跟踪性能极限如图3所示，可以发现不同的通道噪声均值μ_n2会一定程度上影响系统的跟踪性能极限，而该影响的结果也与参考输入的均值μ_r2有关，如图4所示，当均值μ_r2与μ_n2接近时，跟踪性能极限最小，即跟踪性能最优。反馈网络通信通道中的数据丢包也会影响系统的跟踪性能，如图5所示，当数据丢包概率α越大，系统跟踪性能极限越大，系统的跟踪性能表现越差。

需要说明的是，在本文中，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者系统不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者系统所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括该要素的过程、方法、物品或者系统中还存在另外的相同要素。

上述本发明实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。在列举了若干装置的单元权利要求中，这些装置中的若干个可以是通过同一个硬件项来具体体现。词语第一、第二、以及第三等的使用不表示任何顺序，可将这些词语解释为标识。

以上仅为本发明的优选实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是利用本发明说明书及附图内容所作的等效结构或等效流程变换，或直接或间接运用在其他相关的技术领域，均同理包括在本发明的专利保护范围内。

Claims (8)

1.一种考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

建立一种基于单自由度控制器的多输入多输出离散的网络控制系统模型，所述网络控制系统模型的控制输入为第一表达式：

其中，表示信号x的/>变换形式，x包括：r、n、u、y、e，n表示反馈通道中的非零均值白噪声，在信道i具有非零均值μ_ni和方差/>m表示信道总数，r表示建模为非零均值白噪声随机过程的参考输入，在信道i具有非零均值μ_ri和方差/>u和y分别为控制输入和系统输出，K为单自由度控制器，G为被控对象，数据丢包建模为Bernoulli丢包过程，表示为参数/>其概率分布函数为/>其中α为发生数据丢失的概率，满足0≤α≤1；

所述网络控制系统模型的系统输出为第二表达式：

则误差信号为第三表达式：

其中，T_er(z)为参考输入r到误差信号e的传递函数，且T_er(z)＝1-(1+(1-α)GK)^-1GK，T_en(z)为噪声信号n到误差信号e的传递函数，且T_en(z)＝1+(1+(1-α)GK)^-1GK；

定义网络控制系统模型的跟踪性能指标J为第四表达式：

其中Ε为期望算子，与μ_e＝diag(μ_e1,μ_e2,...,μ_em)分别表示误差信号e的方差矩阵与均值矩阵，C_e(0)为误差信号的协方差矩阵，k表示网络控制系统的离散时间序列，tr()表示矩阵的迹；

根据第四表达式，得到网络控制系统模型的第一最优跟踪性能表达式为第五表达式：

其中，是任何能够使网络控制系统模型稳定的单自由度控制器K的集合，σ_ri和σ_ni分别表示信道i的参考输入r和噪声信号n的方差，V_r＝diag(σ_r1,σ_r2,…,σ_rm)、V_n＝diag(σ_n1,σ_n2,…,σ_nm)分别表示表示信道i的参考输入r和噪声信号n的方差矩阵，μ_ri和μ_ni分别表示信道i的参考输入r和噪声信号n的均值，μ_r＝diag(μ_r1,μ_r2,...,μ_rm)、μ_n＝diag(μ_n1,μ_n2,...,μ_nm)分别表示信道i的参考输入r和噪声信号n的均值矩阵；

基于有理传递函数矩阵的互质分解双Bezout等式以及单自由度控制器的Youla参数化形式

得到第六表达式：

和第七表达式：

其中N(z)和M(z)为(1-α)G(z)经过右互质分解分别关于零点和极点的因子，和为(1-α)G(z)经过左互质分解分别关于零点和极点的因子，/>为满足双Bezout等式的某一矩阵，Q(z)为单自由度控制器自由设计的参数，I为单位矩阵，G(z)为被控对象G的传递函数矩阵，/>表示稳定的、正则的、实有理传递函数或矩阵集合；

根据第五、第六和第七表达式，计算得到网络控制系统模型的第二最优跟踪性能表达式为第八表达式：

利用全通分解技术计算所述第二最优跟踪性能表达式，从而得到网络控制系统的最优跟踪性能。

2.如权利要求1所述的考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法，其特征在于，所述根据第四表达式，得到网络控制系统模型的第一最优跟踪性能表达式为第五表达式的步骤，包括：

基于信道i误差信号e的方差能由其功率谱密度φ_ei(ω)定义，即其中C_ei(0)为信道i(i＝1,2,...,m)误差信号的协方差函数，则将跟踪性能指标进一步写为第九表达式：

其中φ_e(ω)＝diag(φ_e1(ω),φ_e2(ω),...,φ_em(ω))表示误差信号e的功率谱密度矩阵；

将信道i的参考输入和通道噪声/>的功率谱密度表示为φ_ri(ω)和φ_ni(ω)，则有第十表达式：

φ_e(ω)＝T_er(e^jω)T_er(e^-jω)φ_r(ω)+T_en(e^jω)T_en(e^-jω)φ_n(ω)

其中，j为虚数单位，ω为频率，φ_r(ω)＝diag(φ_r1(ω),φ_r2(ω),...,φ_rm(ω))表示参考输入r的功率谱密度矩阵，φ_n(ω)＝diag(φ_n1(ω),φ_n2(ω),...,φ_nm(ω))表示噪声信号n的功率谱密度矩阵；信道i的参考输入r和噪声信号n的均值为μ_ri和μ_ni，且其均值矩阵分别为μ_r＝diag(μ_r1,μ_r2,...,μ_rm)，μ_n＝diag(μ_n1,μ_n2,...,μ_nm)；

参考输入r和噪声信号n均为白色噪声平稳随机过程，即信道i的参考输入r和噪声信号n的功率谱密度为φ_ri＝c₁,φ_ni＝c₂，c₁,c₂为常数，所以有和μ_e＝T_er(1)μ_r+T_en(1)μ_n，进一步得到第十一表达式：

其中V_r＝diag(σ_r1,σ_r2,…,σ_rm)，V_n＝diag(σ_n1,σ_n2,…,σ_nm)，T_er(1)和T_en(1)为T_er(z)、T_en(z)在z＝1处的取值，即稳态增益；

最终得到网络控制系统模型的第二最优跟踪性能表达式为第五表达式：

3.如权利要求1所述的考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法，其特征在于，所述利用全通分解技术计算所述第二最优跟踪性能表达式的步骤，包括：

定义分别为第十二、第十三、第十四表达式：

其中，为第二最优跟踪性能表达式的第一部分，/>为第二最优跟踪性能表达式的第二部分，/>为第二最优跟踪性能表达式的第三部分。

4.如权利要求3所述的考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法，其特征在于，所述利用全通分解技术计算所述第二最优跟踪性能表达式的步骤，还包括：计算

对于被控对象有全通分解N(z)＝L(z)N_m(z)，M(z)＝B(z)M_m(z)和/>L(z)和B(z)为全通因子，分别包含了被控对象的非最小相位零点s_i,i＝1,...,N_s和不稳定极点p_i,i＝1,...,N_p，N_m(z),M_m(z),/>为最小相位因子，L(z)分解为/>其中/> 为零点s_i的共轭，η_i为不稳定极点的方向向量且与矩阵U_i满足/>其中/>和/>为η_i和U_i的共轭转置，B(z)分解为/>其中/>w_i为不稳定极点的方向向量且与矩阵W_i满足/> 为极点p_i的共轭，/>和W_i ^H为w_i和W_i的共轭转置，z为传递函数经过/>变换后的自变量；

令常数矩阵所以所述第二最优跟踪性能表达式的第一部分/>化简为为第一化简式：

5.如权利要求4所述的考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法，其特征在于，根据 为Hilbert空间的子空间，所述第一化简式转化为第二化简式：

6.如权利要求5所述的考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法，其特征在于，根据所述第二化简式，定义和/>有/>其中/>为第十五表达式：

为第十六表达式：

计算 由全通分解计算为第十七表达式：

对于由全通分解计算为第十八表达式：

对于第十八表达式，满足有：

其中T₁(∞)为T₁(z)在z趋于∞的取值；并且，由双Bezout等式可得/>而M(p_i)＝0，所以

则转换为第十九表达式：

注意到H₂为Hilbert空间的子空间，H₂与/>构成了Hilbert空间的一个正交对，则由空间分解技术得到第二十表达式：

因为N_m(z)是右可逆的，是左可逆的，所以存在最优的/>使得：

所以最终得到第二十一表达式：

则表示为第二十二表达式：

7.如权利要求6所述的考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法，其特征在于，计算的方法与计算/>的方法相同，则计算后的/>的表达式为第二十三表达式：

8.如权利要求7所述的考虑非零均值噪声的网络控制系统性能极限分析方法，其特征在于，根据第二十二表达式、第二十三表达式和第十四表达式，得到该网络控制系统模型的最优跟踪性能表达式为第二十四表达式：

其中μ_r＝diag(μ_r1,μ_r2,...,μ_rm)，μ_n＝diag(μ_n1,μ_n2,...,μ_nm)。