CN114167720A - 基于观测器的倾转式三旋翼无人机轨迹跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及倾转三旋翼无人机非线性控制，为考虑外界扰动对倾转式三旋翼无人机位置控制的影响、协调位置子系统与姿态子系统之间的联系，实现准确控制，本发明采取的技术方案是，基于观测器的倾转式三旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，首先基于反步法设计了位置控制器，给出内环姿态子系统的给定姿态角；然后，设计有限时间收敛观测器对外部扰动进行补偿，并结合基于滑模的鲁棒控制器使姿态跟踪误差渐近收敛，最终实现倾转式三旋翼无人机的轨迹跟踪控制。本发明主要应用于倾转三旋翼无人机非线性控制场合。

Description

基于观测器的倾转式三旋翼无人机轨迹跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及倾转三旋翼无人机非线性控制。具体涉及基于观测器的倾转三旋翼无人机轨迹跟踪鲁棒控制方法。

背景技术

近十几年来，随着自动控制技术的发展，多旋翼无人机已经在许多领域得到广泛地应用，例如军事、农业、空中运输等(期刊：IEEE Transactions on Industrial Electronics；著者：S.YangandB.Xian.；出版年月：2019年3月；文章题目：Energy-basednonlinear adaptive control design for the quadrotor UAV system with asuspended payload；页码：2054-2064)。倾转式三旋翼无人机是最近几年兴起的新型多旋翼无人机机型，在具有垂直起降能力的基础上，相比于其他类型多旋翼无人机，它具有更加紧凑的结构，更小的能耗以及更长的续航时间，拥有广阔的应用前景(期刊：IEEETransactions on Industrial Informatics；著者：B.Xian and W.Hao.；出版年月：2018年7月；文章题目：Nonlinear robust fault-tolerant control of the tilt trirotor UAVunder rear servo’s stuck fault:Theory and experiments；页码：2158-2166)。

这种特殊的结构给倾转三旋翼无人机带来一些独有的优点的同时，也增加了倾转式三旋翼无人机系统的耦合性，除此之外，考虑到多旋翼无人机固有的非线性以及欠驱动特性，倾转式三旋翼无人机的控制问题是控制领域的研究难点。近几年，一些学者针对该问题进行了研究，并取得了一定的研究成果。一些研究人员采用欧拉-拉格朗日方法对倾转式三旋翼无人机进行建模，并基于嵌套饱和方法的非线性控制器对无人机的姿态和高度进行了控制(会议：In Proceedings of the 2005IEEE International Conference onRobotics and Automation；著者：S.Salazar-Cruz and R.Lozano.；出版年月：2006年1月；文章题目：Stabilization and nonlinear control for a novel trirotor mini-aircraft；页码：2612-2617)。还有一些学者通过分析倾转式三旋翼无人机的动力学模型和动力分配，采用PID控制器实现了对无人机姿态和高度的控制(期刊：InternationalJournal of Aeronautical and Space Sciences；著者：D.Yoo,H.Oh,D.Won,and M.Tahk.；出版年月：2010年9月；文章题目：Dynamic modeling and stabilization techniques fortri-rotor unmanned aerial vehicles；页码：167-174)。针对倾转式三旋翼无人机位置控制的问题，有些研究人员还提出了一种基于学习的非线性模型预测控制方法，实现了倾转式三旋翼无人机6自由度的控制(期刊：Autonomous Robots；著者：M.MehndirattaandE.Kayacan E.；出版年月：2019年2月；文章题目：constrained instantaneous learningapproach for aerial package delivery robots:onboard implementation andexperimentwal results；页码：2209-2228)。

综合上述文献可知，在倾转式三旋翼无人机位置控制的研究方面已经取得了一些成果，但仍然存在着下述问题：1)现有的研究成果中，很少考虑外界扰动对倾转式三旋翼无人机位置控制的影响，这在实际应用中是一个重要问题。2)对于倾转式三旋翼无人机的欠驱动特性，大多关于其位置控制的文献并未详细给出其位置子系统与姿态子系统之间的联系。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明旨在提出。为此，本发明采取的技术方案是，基于观测器的倾转式三旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，首先基于反步法设计了位置控制器，给出内环姿态子系统的给定姿态角；然后，设计有限时间收敛观测器对外部扰动进行补偿，并结合基于滑模的鲁棒控制器使姿态跟踪误差渐近收敛，最终实现倾转式三旋翼无人机的轨迹跟踪控制。

具体步骤如下：

1)针对倾转式三旋翼无人机的欠驱动特性，将倾转式三旋翼无人机系统分为位置子系统和姿态子系统分别进行控制；2)基于反步法，设计非线性位置控制器，并给出姿态子系统的目标值；3)在2)的基础上，采用基于有限时间收敛观测器的非线性鲁棒姿态控制器，实现对倾转式三旋翼无人机姿态子系统的控制，抑制外界扰动对姿态子系统的影响。

详细步骤如下：

1)构建倾转三旋翼无人机动力学模型

在构建倾转式三旋翼无人机的姿态动力学模型与位置动力学模型之前，首先定义两个坐标系分别为大地坐标系{I}＝{X_I,Y_I,Z_I}和机体坐标系{B}＝{X_B,Y_B,Z_B}，定义

表示由机体坐标系{B}到大地坐标系{I}的旋转矩阵，写作：

其中c和s分别为三角函数cos和sin的简写，定义

表示大地坐标系下无人机姿态角向量，其中φ(t)、θ(t)和ψ(t)分别表示无人机的滚转角、俯仰角和偏航角；定义

表示无人机的姿态角速度向量，其中ω(t)与η(t)之间的转换关系可以用下式表示：

其中

表示一个转移矩阵，写作：

基于上述分析，倾转式三旋翼无人机的姿态动力学模型通过下式表示：

其中，

表示一个惯性矩阵，

表示科氏向心力矩阵，

表示作用在无人机姿态动力学模型上的外部扰动力矩，

表示实际控制输入力矩，并且τ(t)通过下面的函数进行计算：

其中f_i(i＝1,2,3)表示第i个电机通过旋转产生的升力，l_i(i＝1,2)为倾转式三旋翼无人机机臂的长度，假设存在一条虚线将1号电机与2号电机相连，这条虚线与无人机机臂的夹角用δ表示，定义γ(t)为舵机倾转的角度，倾转式三旋翼无人机的偏航角控制即是通过产生合适的倾转角度γ(t)来实现；

为了实现倾转式三旋翼无人机的位置控制，将倾转式三旋翼无人机的位置子系统构建为下面的形式：

其中，定义

为无人机的位置向量，其中x(t)，y(t)和z(t)分别表示无人机的横向位置、纵向位置和高度，m表示无人机的质量，g表示重力加速度，

表示一个单位向量，F(t)表示由电机产生的作用在无人机上的力，通过下式计算得到：

将式(1)中的旋转矩阵带入到式(6)中，可以得到：

将F_y(t)的相关项处理为影响无人机位置子系统的摄动项并在后续的位置控制器设计中予以补偿，将与F_y(t)有关的项提取出来，式(8)改写为：

其中，ρ(t)表示：

ρ(t)有界，并表示为|ρ_i(t)|≤k_ρi,i＝x,y,z，其中k_ρi是一个正常数；

2)姿态控制器设计

定义给定姿态角为

并定义姿态跟踪误差为

辅助变量

定义为下述形式：

其中，

对(11)式求导，并将(4)式代入后得到：

其中：

式(13)中，

定义辅助向量

假设存在正常数β_oi使得|d_τi(t)|＜β_oi，i＝φ,θ,ψ，为了补偿外界扰动τ_d(t)，设计一个有限时间收敛扰动观测器

在滚转通道，定义辅助变量如下所示：

s_oφ＝z_oφ-r_ηφ (14)

其中：

其中，p_oφ和q_oφ是两个互质的正数，满足p_oφ＜q_oφ，k_oφ、β_oφ和ε_oφ是观测器的参数，基于上述设计，滚转通道扰动的观测值设计为下述形式：

在俯仰通道，定义辅助变量如下所示：

so_θ＝zo_θ-r_ηθ(17)

其中：

其中，p_oθ和q_oθ是两个互质的正数，满足p_oθ＜q_oθ，k_oθ、β_oθ和ε_oθ是俯仰通道观测器的参数。基于上述设计，俯仰通道扰动的观测值可以设计为下述形式：

在偏航通道，定义辅助变量如下所示：

s_oψ＝z_oψ-r_oψ (20)

其中：

其中，p_oψ和q_oψ是两个互质的正数，满足p_oψ＜q_oψ，k_oψ、β_oψ和ε_oψ是偏航通道观测器的参数。基于上述设计，偏航通道扰动的观测值可以设计为下述形式：

结合式(12)、式(16)、式(19)和式(22)，为了使倾转式三旋翼无人机的姿态跟踪误差在扰动存在的情况下渐近收敛至0，将姿态控制器设计为如下形式：

3)位置控制器设计

考虑到倾转式三旋翼无人机的欠驱动特性，基于反步法设计一个倾转式三旋翼无人机的鲁棒位置跟踪控制器，定义无人机参考轨迹为

并定义位置跟踪误差为

针对x通道，首先定义一个滑模面

其中v₁(t)是一个虚拟控制变量，设计为如下形式：

式(24)中，k₁是一个正常数。定义辅助变量F^*(t)＝F_z(t)/m，根据式(9)，定义一个新的虚拟控制变量v₂(t)，并在形式设计为：

v₂＝(cψsθcφ+sψsφ)F^* (25)

针对y通道，首先定义一个滑模面

其中v₃(t)是一个虚拟控制变量，设计为如下形式：

式(26)中，k₃是一个正常数。根据式(9)，定义一个心得虚拟控制变量v₄(t)，并在形式上设计为：

v₄＝(sψsθcφ-sφcψ)F^* (27)

针对z通道，首先定义一个滑模面

其中v₅(t)是一个虚拟控制变量，设计为如下形式：

式(28)中，k₅是一个正常数。根据式(9)，定义一个心的虚拟控制变量v₆(t)，并在形式上设计为：

v₆＝cθcφF^*-g (29)

为了使倾转式三旋翼无人机能够实现位置跟踪，将上面提到的虚拟控制变量v₂(t)、v₄(t)和v₆(t)在数值上设计为以下形式：

此时，根据式(25)、(27)和(29)，当虚拟控制变量v₂(t)、v₄(t)和v₆(t)取得式(30)中的数值时，即是无人机达到了目标姿态角度φ_d(t)、θ_d(t)和ψ_d(t)，目标滚转角φ_d(t)、目标俯仰角θ_d(t)以及目标升力F_z(t)根据式(25)、(27)和(29)反解得到，即：

至此，内环需要的目标姿态角已全部获得，并通过选择式(23)中的姿态控制器和式(30)中的位置控制器，最终实现倾转式三旋翼无人机位置跟踪控制。

本发明的特点及有益效果是：

本发明针对倾转式三旋翼无人机轨迹跟踪问题，采用内外环策略，设计了一种基于观测器的轨迹跟踪鲁棒控制方法。该控制方法能够使无人机在受到外界扰动影响的情况下，实现对给定位置轨迹的跟踪。仿真实验证明了该控制方案在保证无人机拥有较高轨迹跟踪精度的同时对外界扰动具有一定的鲁棒性。

附图说明：

图1是本发明采用的倾转式三旋翼无人机结构示意图；

图2是本发明采用的倾转式三旋翼无人机机体参数定义与坐标系示意图；

图3是本发明技术方案的控制流程图；

图4是采用本发明设计的控制方案后倾转式三旋翼无人机位置跟踪曲线图；

图5是采用本发明设计的控制方案后倾转式三旋翼无人机位置跟踪误差曲线图；

图6是采用本发明设计的控制方案后倾转式三旋翼无人机姿态跟踪误差曲线图；

图7是采用本发明设计的控制方案中扰动观测器输出曲线图；

图8是采用本发明设计的控制方案后倾转式三旋翼无人机控制输出曲线图。

具体实施方式

本发明针对倾转三旋翼无人机位置跟踪控制存在困难，姿态动力学模型易受到外界扰动影响的问题，提出一种基于扰动观测器的轨迹跟踪鲁棒控制方法。该方法将倾转式三旋翼无人机系统分为位置子系统和姿态子系统，首先基于反步法设计了位置控制器，并给出了内环姿态子系统的给定姿态角。然后，在姿态子系统中，考虑到姿态子系统中存在的外部扰动，设计了一个有限时间收敛观测器对其进行补偿，并结合基于滑模的鲁棒控制器使姿态跟踪误差渐近收敛，最终实现了倾转式三旋翼无人机的轨迹跟踪控制。

本发明在设计过程中充分地考虑到了上面提到的问题，补偿了影响倾转式三旋翼无人机动力学的外界扰动，实现了倾转式三旋翼无人机的轨迹跟踪控制，并具有较强的鲁棒性。具体来讲：1)针对倾转式三旋翼无人机的欠驱动特性，将倾转式三旋翼无人机系统分为两个子系统去控制，分别是位置子系统喝姿态子系统。2)基于反步法，设计非线性位置控制器，并给出姿态子系统的目标值。3)在2)的基础上，采用基于有限时间收敛观测器的非线性鲁棒姿态控制器，实现了对倾转式三旋翼无人机姿态子系统的控制，并有效地抑制了外界扰动对姿态子系统的影响。

下面结合具体实例进一步详细说明本发明。

本发明采用的技术方案是：针对倾转三旋翼无人机位置跟踪控制存在困难，姿态动力学模型易受到外界扰动影响的问题，提出一种基于扰动观测器的轨迹跟踪鲁棒控制方法。包括如下步骤：

1)构建倾转三旋翼无人机动力学模型

在构建倾转式三旋翼无人机的姿态动力学模型与位置动力学模型之前，首先定义两个坐标系分别为大地坐标系{I}＝{X_I,Y_I,Z_I}和机体坐标系{B}＝{X_B,Y_B,Z_B}，如图2所示。定义

表示由机体坐标系{B}到大地坐标系{I}的旋转矩阵，可以写作：

其中c和s分别为三角函数cos和sin的简写。定义

表示大地坐标系下无人机姿态角向量，其中φ(t)、θ(t)和ψ(t)分别表示无人机的滚转角、俯仰角和偏航角。定义

表示无人机的姿态角速度向量，其中ω(t)与η(t)之间的转换关系可以用下式表示：

其中

表示一个转移矩阵，可写作：

基于上述分析，倾转式三旋翼无人机的姿态动力学模型可以通过下式表示：

其中，

表示一个惯性矩阵，

表示科氏向心力矩阵，

表示作用在无人机姿态动力学模型上的外部扰动力矩，

表示实际控制输入力矩，并且τ(t)可以通过下面的函数进行计算：

图2给出了上式中涉及到的变量的具体含义。其中f_i(i＝1,2,3)表示第i个电机通过旋转产生的升力，l_i(i＝1,2)为倾转式三旋翼无人机机臂的长度。假设存在一条虚线将1号电机与2号电机相连，这条虚线与无人机机臂的夹角用δ表示。定义γ(t)为舵机倾转的角度。倾转式三旋翼无人机的偏航角控制即是通过产生合适的倾转角度γ(t)来实现的。

为了实现倾转式三旋翼无人机的位置控制，我们将倾转式三旋翼无人机的位置子系统构建为下面的形式：

其中，定义

为无人机的位置向量，其中x(t)，y(t)和z(t)分别表示无人机的横向位置、纵向位置和高度，m表示无人机的质量，g表示重力加速度，

表示一个单位向量，F(t)表示由电机产生的作用在无人机上的力，可以通过下式计算得到：

将式(1)中的旋转矩阵带入到式(6)中，可以得到：

通常来说，在实际飞行中倾转式三旋翼无人机尾部舵机的倾角γ(t)只会在一个较小的范围内摆动，因此由舵机倾转产生的力F_y(t)在数值上要远小于F_z(t)，在倾转式三旋翼无人机的位置控制中，通常将F_y(t)的相关项处理为影响无人机位置子系统的摄动项并在后续的位置控制器设计中予以补偿。因此，将与F_y(t)有关的项提取出来，式(8)可以改写为：

其中，ρ(t)表示：

做出合理假设，ρ(t)有界，并可以表示为|ρ_i(t)|≤k_ρi,i＝x,y,z，其中k_ρi是一个正常数。

2)姿态控制器设计

定义给定姿态角为

并定义姿态跟踪误差为

辅助变量

定义为下述形式：

其中，

对(11)式求导，并将(4)式代入后得到：

其中：

式(13)中，

为了方便扰动观测器设计，定义辅助向量

假设存在正常数β_oi使得|d_τi(t)|＜β_oi，i＝φ,θ,ψ。为了补偿外界扰动τ_d(t)，设计一个有限时间收敛扰动观测器

下面分别对无人机姿态的三个通道，即滚转通道、俯仰通道和偏航通道，进行扰动观测器的设计。在滚转通道，定义辅助变量如下所示：

s_oφ＝z_oφ-r_ηφ (14)

其中：

其中，p_oφ和q_oφ是两个互质的正数，满足p_oφ＜q_oφ，k_oφ、β_oφ和ε_oφ是滚转通道观测器的参数。基于上述设计，滚转通道扰动的观测值可以设计为下述形式：

在俯仰通道，定义辅助变量如下所示：

s_oθ＝z_oθ-r_ηθ (17)

其中：

其中，p_oθ和q_oθ是两个互质的正数，满足p_oθ＜q_oθ，k_oθ、β_oθ和ε_oθ是俯仰通道观测器的参数。基于上述设计，俯仰通道扰动的观测值可以设计为下述形式：

在偏航通道，定义辅助变量如下所示：

s_oψ＝z_oψ-r_oψ (20)

其中：

其中，p_oψ和q_oψ是两个互质的正数，满足p_oψ＜q_oψ，k_oψ、β_oψ和ε_oψ是偏航通道观测器的参数。基于上述设计，偏航通道扰动的观测值可以设计为下述形式：

结合式(12)、式(16)、式(19)和式(22)，为了使倾转式三旋翼无人机的姿态跟踪误差在扰动存在的情况下渐近收敛至0，这里将姿态控制器设计为如下形式：

3)位置控制器设计

考虑到倾转式三旋翼无人机的欠驱动特性，这里基于反步法设计了一个倾转式三旋翼无人机的鲁棒位置跟踪控制器。定义无人机参考轨迹为

并定义位置跟踪误差为

针对x通道，首先定义一个滑模面

其中v₁(t)是一个虚拟控制变量，设计为如下形式：

式(24)中，k₁是一个正常数。定义辅助变量F^*(t)＝F_z(t)/m，根据式(9)，定义一个新的虚拟控制变量v₂(t)，并在形式设计为：

v₂＝(cψsθcφ+sψsφ)F^* (25)

针对y通道，首先定义一个滑模面

其中v₃(t)是一个虚拟控制变量，设计为如下形式：

式(26)中，k₃是一个正常数。根据式(9)，定义一个心得虚拟控制变量v₄(t)，并在形式上设计为：

v₄＝(sψsθcφ-sφcψ)F^* (27)

针对z通道，首先定义一个滑模面

其中v₅(t)是一个虚拟控制变量，设计为如下形式：

式(28)中，k₅是一个正常数。根据式(9)，定义一个心的虚拟控制变量v₆(t)，并在形式上设计为：

v₆＝cθcφF^*-g (29)

为了使倾转式三旋翼无人机能够实现位置跟踪，将上面提到的虚拟控制变量v₂(t)、v₄(t)和v₆(t)在数值上设计为以下形式：

此时，根据式(25)、(27)和(29)，当虚拟控制变量v₂(t)、v₄(t)和v₆(t)取得式(30)中的数值时，即是无人机达到了目标姿态角度φ_d(t)、θ_d(t)和ψ_d(t)，一般地目标偏航角通常由用户自行定义，因此，目标滚转角φ_d(t)、目标俯仰角θ_d(t)以及目标升力F_z(t)可以根据式(25)、(27)和(29)反解得到，即：

至此，内环需要的目标姿态角已全部获得，并通过选择式(23)中的姿态控制器和式(30)中的位置控制器，倾转式三旋翼无人机能够最终实现位置跟踪控制。

下面给出具体实施实例：

一、实验平台介绍

本发明利用MATLAB/SIMULINK软件对所设计的基于观测器的倾转式三旋翼无人机轨迹跟踪鲁棒控制方法进行仿真验证，在姿态子系统中加入正弦信号模拟倾转式三旋翼无人机飞行过程中所受到的外界扰动。

二、仿真结果

为了验证本发明所设计的基于观测器的倾转式三旋翼无人机轨迹跟踪鲁棒控制方法对倾转式三旋翼无人机轨迹跟踪控制的有效性，在MATLAB/SIMULINK仿真软件上进行了仿真实验。

实验过程中，倾转三旋翼无人机的系统参数为m＝0.5kg，g＝9.8m/s²，l₁＝0.07m，l₂＝0.19m，δ＝32°，J＝diag([0.01,0.015,0.008])kg·m²。本发明所设计的鲁棒控制器参数选择为k_δ＝5×10^-4，k_oφ＝10，k_oθ＝10，k_oψ＝10，β_oφ＝3，β_oθ＝3，β_oψ＝3，ε_oφ＝50，ε_oθ＝50，ε_oψ＝50，p_oφ＝5，p_oθ＝5，p_oψ＝5，q_oφ＝9，q_oθ＝9，q_oψ＝9，K_η＝diag([1,1,1])，k₁＝10，k₂＝3，k_ρx＝1×10^-6，k₃＝11，k₄＝1，k_ρy＝1×10^-6，k₅＝60，k₆＝30，k_ρz＝1×10^-6。

期望轨迹如下所示：

本实验中，倾转式三旋翼无人机在第一阶段(仿真时间t＜20s)，在z方向以一定的速率上升，x和y方向目标位置设为0。在第二阶段(仿真时间20s≤t＜30s)，倾转式三旋翼无人机在2m的高度上悬停10s。在第三阶段(仿真时间t≥30s)，倾转式三旋翼无人机在2m的高度上完成圆形轨迹跟踪飞行。

从图5和图6可以看出，本发明所设计的鲁棒控制方法能够使倾转式三旋翼无人机的位置跟踪误差与姿态跟踪误差维持在0附近很小的范围内。从图7中可以看出，所设计的有限时间收敛扰动观测器能够快速、准确地估计外界扰动信号。从图8中可以看出，倾转式三旋翼无人机的控制输出信号均处于合理的范围内。

综上，本发明提出的基于观测器的倾转式三旋翼无人机轨迹跟踪鲁棒控制方法具有较高的控制精度与较好的可实施性。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明披露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于观测器的倾转式三旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，其特征是，首先基于反步法设计了位置控制器，给出内环姿态子系统的给定姿态角；然后，设计有限时间收敛观测器对外部扰动进行补偿，并结合基于滑模的鲁棒控制器使姿态跟踪误差渐近收敛，最终实现倾转式三旋翼无人机的轨迹跟踪控制。

2.如权利要求1所述的基于观测器的倾转式三旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，其特征是，具体步骤如下：针对倾转式三旋翼无人机的欠驱动特性，将倾转式三旋翼无人机系统分为位置子系统和姿态子系统分别进行控制；2)基于反步法，设计非线性位置控制器，并给出姿态子系统的目标值；3)在2)的基础上，采用基于有限时间收敛观测器的非线性鲁棒姿态控制器，实现对倾转式三旋翼无人机姿态子系统的控制，抑制外界扰动对姿态子系统的影响。

3.如权利要求1所述的基于观测器的倾转式三旋翼无人机轨迹跟踪控制方法，其特征是，详细步骤如下：

1)构建倾转三旋翼无人机动力学模型

在构建倾转式三旋翼无人机的姿态动力学模型与位置动力学模型之前，首先定义两个坐标系分别为大地坐标系{I}＝{X_I,Y_I,Z_I和机体坐标系{B}＝{X_B,Y_B,Z_B}，定义

表示由机体坐标系{B}到大地坐标系{I}的旋转矩阵，写作：

其中c和s分别为三角函数cos和sin的简写，定义

表示大地坐标系下无人机姿态角向量，其中φ(t)、θ(t)和ψ(t)分别表示无人机的滚转角、俯仰角和偏航角；定义

表示无人机的姿态角速度向量，其中ω(t)与η(t)之间的转换关系可以用下式表示：

其中

表示一个转移矩阵，写作：

基于上述分析，倾转式三旋翼无人机的姿态动力学模型通过下式表示：

其中，

表示一个惯性矩阵，

表示科氏向心力矩阵，

表示作用在无人机姿态动力学模型上的外部扰动力矩，

表示实际控制输入力矩，并且τ(t)通过下面的函数进行计算：

其中f_i(i＝1,2,3)表示第i个电机通过旋转产生的升力，l_i(i＝1,2)为倾转式三旋翼无人机机臂的长度，假设存在一条虚线将1号电机与2号电机相连，这条虚线与无人机机臂的夹角用δ表示，定义γ(t)为舵机倾转的角度，倾转式三旋翼无人机的偏航角控制即是通过产生合适的倾转角度γ(t)来实现；

为了实现倾转式三旋翼无人机的位置控制，将倾转式三旋翼无人机的位置子系统构建为下面的形式：

其中，定义

为无人机的位置向量，其中x(t)，y(t)和z(t)分别表示无人机的横向位置、纵向位置和高度，m表示无人机的质量，g表示重力加速度，

表示一个单位向量，F(t)表示由电机产生的作用在无人机上的力，通过下式计算得到：

将式(1)中的旋转矩阵带入到式(6)中，可以得到：

将F_y(t)的相关项处理为影响无人机位置子系统的摄动项并在后续的位置控制器设计中予以补偿，将与F_y(t)有关的项提取出来，式(8)改写为：

其中，ρ(t)表示：

ρ(t)有界，并表示为|ρ_i(t)|≤k_ρi,i＝x,y,z，其中k_ρi是一个正常数；

2)姿态控制器设计

定义给定姿态角为

并定义姿态跟踪误差为

辅助变量

定义为下述形式：

其中，

对(11)式求导，并将(4)式代入后得到：

其中：

式(13)中，

定义辅助向量

假设存在正常数β_oi使得

i＝φ,θ,ψ，为了补偿外界扰动τ_d(t)，设计一个有限时间收敛扰动观测器

在滚转通道，定义辅助变量如下所示：

s_oφ＝z_oφ-r_ηφ (14)

其中：

其中，p_oφ和q_oφ是两个互质的正数，满足p_oφ＜q_oφ，k_oφ、β_oφ和ε_oφ是观测器的参数，基于上述设计，滚转通道扰动的观测值设计为下述形式：

在俯仰通道，定义辅助变量如下所示：

s_oθ＝z_oθ-r_ηθ (17)

其中：

其中，p_oθ和q_oθ是两个互质的正数，满足p_oθ＜q_oθ，k_oθ、β_oθ和ε_oθ是俯仰通道观测器的参数。基于上述设计，俯仰通道扰动的观测值可以设计为下述形式：

在偏航通道，定义辅助变量如下所示：

s_oψ＝z_oψ-r_oψ (20)

其中：

其中，p_oψ和q_oψ是两个互质的正数，满足p_oψ＜q_oψ，k_oψ、β_oψ和ε_oψ是偏航通道观测器的参数。基于上述设计，偏航通道扰动的观测值可以设计为下述形式：

结合式(12)、式(16)、式(19)和式(22)，为了使倾转式三旋翼无人机的姿态跟踪误差在扰动存在的情况下渐近收敛至0，将姿态控制器设计为如下形式：

3)位置控制器设计

考虑到倾转式三旋翼无人机的欠驱动特性，基于反步法设计一个倾转式三旋翼无人机的鲁棒位置跟踪控制器，定义无人机参考轨迹为

并定义位置跟踪误差为

针对x通道，首先定义一个滑模面

其中v₁(t)是一个虚拟控制变量，设计为如下形式：

式(24)中，k₁是一个正常数。定义辅助变量F^*(t)＝F_z(t)/m，根据式(9)，定义一个新的虚拟控制变量v₂(t)，并在形式设计为：

v₂＝(cψsθcφ+sψsφ)F^* (25)

针对y通道，首先定义一个滑模面

其中v₃(t)是一个虚拟控制变量，设计为如下形式：

式(26)中，k₃是一个正常数。根据式(9)，定义一个心得虚拟控制变量v₄(t)，并在形式上设计为：

v₄＝(sψsθcφ-sφcψ)F^* (27)

针对z通道，首先定义一个滑模面

其中v₅(t)是一个虚拟控制变量，设计为如下形式：

式(28)中，k₅是一个正常数。根据式(9)，定义一个心的虚拟控制变量v₆(t)，并在形式上设计为：

v₆＝cθcφF^*-g (29)

为了使倾转式三旋翼无人机能够实现位置跟踪，将上面提到的虚拟控制变量v₂(t)、v₄(t)和v₆(t)在数值上设计为以下形式：

此时，根据式(25)、(27)和(29)，当虚拟控制变量v₂(t)、v₄(t)和v₆(t)取得式(30)中的数值时，即是无人机达到了目标姿态角度φ_d(t)、θ_d(t)和ψ_d(t)，目标滚转角φ_d(t)、目标俯仰角θ_d(t)以及目标升力F_z(t)根据式(25)、(27)和(29)反解得到，即：

至此，内环需要的目标姿态角已全部获得，并通过选择式(23)中的姿态控制器和式(30)中的位置控制器，最终实现倾转式三旋翼无人机位置跟踪控制。

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