CN114091212B - 一种基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法 - Google Patents

一种基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法，首先利用有限元软件构建小型涡轮发动机整机有限元模型，然后确认与结构效率相关的设计变量，进行试验设计，用新的抽样方法产生样本点，接着先忽略交叉项找到每个变量的最高阶数，之后根据交叉项的准则添加交叉项，得到响应面函数的形式，附加样本点并结合已有样本点构造总方程组对响应面函数的未知系数进行求解，获得最终得响应面函数形式，产生验证样本对模型精度进行验证。

Description

一种基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法
技术领域
本发明涉及航空航天技术领域，特别涉及一种基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法。
背景技术
未来高推重比发动机承受的负荷进一步增大，工作环境更加的恶劣，需要在保证结构完整性和可靠性的基础上，进行结构优化设计，从而实现结构刚度、质量、强度以及振动等方面的综合最优。结构效率能够有效地反映结构在给定的工作环境中结构各项力学性能综合优化的程度，可以定量的评价结构设计方案的优劣。以结构效率来评价结构设计水平的高低，并基于此指导结构优化设计，是未来高推重比发动机结构设计的重要指导思想。
在进行结构优化的过程中，由于工程实际问题的复杂性和不确定性，很难建立目标或约束关于设计变量的精确表达式。1974年，Schmit与Farshi提出结构优化问题的某些显示近似概念，显式近似就是把目标函数和约束条件对于设计变量的隐函数关系揭示为显函数关系，虽然是近似的，但却是显式的。于是优化问题就由优化方法转变成建立优化模型。尽管建立的模型可能很粗糙，但是数学规划的优化算法可以用于求解中，从而极大地提高了计算效率。响应面法最初是由Box和Wilson于1951年提出，主要应用于化工领域，1959年Box、Draper等把这种方法定义为“在经验模型构造和开发中应用的一组统计学技术”。由于响应面法在拟合近似函数过程中不需要导数信息，因而可在难以获得导数值的问题中进行应用；此外，响应面法原理简明且使用便捷，在实际问题的求解中，既不需要刚度矩阵等结构特性，也与分析试验的具体过程无关，有着良好的通用性以及独立性；再加上具有多种试验设计方法，低阶响应面法已获得了广泛应用。
由于高阶多项式响应面会导致未知系数方程组的病态，在样本点区域的外部出现不稳定的现象，因此在现有的小型涡轮发动机结构优化代理模型构建当中，响应面法很少采用高阶多项式作为回归基。而且与线性或二次响应面相比，尽管现有的高阶响应面对高度非线性响应面函数有较好的近似能力，但它也伴随着计算工作量的显著增加。
发明内容
为了克服现有方法的技术和不足，解决小型涡轮发动机的实际问题，本发明提出了一种基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法，与线性或二次响应面比，本发明提出的高阶响应面对高度非线性函数有较好的近似能力，并且能够提高响应面法的计算效率。
本发明的技术方案如下：
一种基于高阶响应面法的小型涡轮发动机结构效率代理模型建模方法，包括以下步骤：
步骤1，利用有限元软件构建小型涡轮发动机整机有限元模型，确定小型涡轮发动机的设计变量；
步骤2，基于设计变量，利用基于高斯-埃尔米特积分节点的抽样方法产生所有随机变量的样本点；
步骤3，先忽略交叉项，考虑单个设计变量的影响，采用基于埃尔米特多项式的回归模型识别出每个输入随机变量的最高阶数以构建高阶响应面函数，并采用一些统计评价指标对构建的响应面函数拟合的程度进行评估；
步骤4，考虑设计变量之间的影响，计算随机变量对高阶响应面函数不确定性的贡献(百分比形式)，根据不确定性的贡献大小将随机变量划分为重要随机变量和非重要随机变量，再根据交叉项选取准则仅考虑两个重要随机变量之间的交叉项；其中重要随机变量的取值落在高斯-埃尔米特积分的积分节点上，非重要随机变量取作均值；
步骤5，由步骤3及步骤4得到的有效最高阶数及交叉项确认高阶响应面函数的形式，增加样本点以构造高阶响应面函数方程组，利用最小二乘法估计高阶响应面函数的未知系数，得到高阶响应面函数的表达式；其中，增加样本点时将重要随机变量的取值落在高斯-埃尔米特积分的积分节点上，非重要随机变量取作均值；其中，增加样本点以求解交叉项的回归系数，最后将原有的样本点和增加的样本点一起求得所有的未知系数；
步骤6，对步骤5获得的高阶响应面函数进行精度检验。
有益效果
1.克服了现有高阶响应面法的不足，在解决涡轮发动机的实际问题中采用了一种新的高阶响应面法，将常用的高阶响应面法中的切比雪夫(Chebyshev)多项式替换为埃尔米特(Hermite)多项式。
2.采用新的抽样方法、高阶响应面法的多项式最高阶数和交叉项的确定方法。这种响应面方法能够提高识别高阶多项式中各随机变量的最高阶数的准确性，并有效减少不必要的附加样本点进而提升高阶响应面法的计算效率。
附图说明
图1为本发明一个实施例的响应面模型构建的流程图；
图2为本发明一个实施例的小型涡轮发动机整机模型图；
图3为本发明一个实施例的两随机变量函数图；
图4（a）-（h）为本发明一个实施例的前支承刚度的最高阶数拟合情况图。
附图标记：1-风扇，2-风扇轴，3-前支承，4-压气机筒，5-压气机机匣，6-压气机后轴，7-燃烧室机匣，8-涡轮轴，9-高压涡轮，10-低压涡轮，11-后支承，12-SFD。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明采用了高阶响应面法构建发动机结构效率的代理模型，利用了高阶响应面对发动机结构效率这类高度非线性响应面函数有较好的近似能力的特点，并将原有的切比雪夫多项式替换为埃尔米特多项式，并且采用新的抽样方法，也减少了一些不必要的附加点，提高了响应面法的计算效率。
一种基于高阶响应面法的小型涡轮发动机结构效率代理模型构建方法，实现步骤包括：
步骤1，利用有限元软件构建小型涡轮发动机整机有限元模型，如图2所示，其中整机有限元模型包括风扇1、风扇轴2、前支承3、压气机筒4、压气机机匣5、压气机后轴6、燃烧室机匣7、涡轮轴8、高压涡轮9、低压涡轮10、后支承11和 SFD12，根据有限元模型确定小型涡轮发动机的设计变量有：前支承刚度、后支承刚度、前支承阻尼、后支承阻尼；第一机匣连接刚度；第二机匣连接刚度；第三机匣连接刚度；同轴度。
步骤2，进行实验设计，利用基于高斯-埃尔米特积分节点的抽样方法产生所有随机变量的抽样点，并通过有限元模型计算抽样点的响应值。
抽样点在标准正态空间内产生，抽样中心选在所有输入随机变量均值点在标准正态空间内的映射点，单个随机变量的抽样点取在相应一维高斯-埃尔米积分节点上，其余的随机变量取值为均值。
高斯-埃尔米特积分节点和权值示例如下表1所示，
表1
Figure 514828DEST_PATH_IMAGE001
抽样点在标准正态空间（u空间）内产生，抽样中心选在所有输入随机变量均值点
Figure 431968DEST_PATH_IMAGE002
在标准正态空间内的映射点
Figure 211706DEST_PATH_IMAGE003
上。单个随机变量的抽样点取在相应一维高斯－埃尔米特积分节点上，而其余的随机变量取值为均值，任意一个样本点u ij 可以写为：
Figure 528286DEST_PATH_IMAGE004
,
Figure 342658DEST_PATH_IMAGE005
其中，m为单个随机变量的样本数，同时也是一维积分的高斯样本点数。在实际应用中m一般取为奇数，因为对于多变量回归问题，只需增加一个样本点，最小二乘法的多项式基阶数会增高一次，总抽样数为（m-1）n+1 ，其中m为奇数。
本专利中的抽样方法仅选取坐标轴上的积分节点为样本点，然后利用对边缘分布函数求反函数的方法将上述样本点x ij 从标准正态u空间转化至随机变量的x空间，如下式：
Figure 696279DEST_PATH_IMAGE006
其中,
Figure 963313DEST_PATH_IMAGE007
是随机变量X i 累积分布函数的反函数，
Figure 834317DEST_PATH_IMAGE008
为标准正态随机变量累积分布函数。如图3所示，给出了一个两随机变量函数的例子，其中样本数m=5。
Figure 503195DEST_PATH_IMAGE009
式中
Figure 27718DEST_PATH_IMAGE010
为条件分布函数，
Figure 782047DEST_PATH_IMAGE011
为标准正态随机变量累积分布函数的反函数。由上式求解x空间内均值向量
Figure 519059DEST_PATH_IMAGE012
所对应的u空间的抽样中心点
Figure 987253DEST_PATH_IMAGE003
。
步骤3，先忽略交叉项，考虑单个设计变量的影响，采用基于埃尔米特多项式的回归模型识别出每个输入随机变量的最高阶数，并采用一些统计评价指标对构建的响应面多项式进行评估。
由于响应与设计变量之间的函数关系是未知的，因此事先必须选择响应面函数的形式。实际工程中的一般模型通常会选取线性或二次多项式的形式，本发明采用高阶多项式：
Figure DEST_PATH_IMAGE013
其中，a为常数项，b为单随机变量项的系数，c为交叉项的系数, x为随机变量，sign为重要随机变量，k为最高阶数, p为为随机变量在交叉项中的阶数,下标i，j分别表示第i、j个随机变量。
确定变量的最高阶数以构建响应面函数，并采用统计评价指标：复相关系数R 2 以及预报平方和PRESS评估响应面函数拟合的程度。当R 2 越接近1时，误差越小，代理模型越准确；PRESS越接近0时，则代理模型的拟合效果越好。
此处以支承刚度为例，为确定前支承刚度，用响应面方法对比每阶下的真实刚度与响应面多项式拟合出的刚度值，逐阶寻找真实合适的刚度值，如图4(a-h)所示，其横坐标为样本点的值，纵坐标为结构效率。通过图上的点直观的反映和比较不同阶数的统计评价指标的变化，更好的选择最高阶数。
图4（a）和4（b）为假设前支承刚度项的最高阶数为一阶和二阶的情况，其拟合误差较大；图4（c）为假设前支承刚度项的最高阶数三阶的情况，其拟合误差较小，已经小于1%，拟合比较准确。图4（d）、（e）、（f）和（g）是为了寻找更加接近真实响应面的函数阶数，将迭代拟合的最高阶不断提升，其最高阶数分别为四阶、五阶、六阶、七阶，其拟合误差已经远小于0.01。图（h）中显示的最高阶数为八阶的拟合中，其拟合误差已经位于e-13阶量级，几乎达到了完全拟合的程度。继续提高阶数后，最高阶数为九阶的拟合误差变大，因此确定八阶为前支撑刚度项的最高阶数。对其余输入变量执行相同操作，算得其余输入变量项的最高阶数。但在后续响应面模型的验证中，发现最高阶数为八阶的响应面对随机选取的样本点拟合误差非常大，究其原因是发生了过拟合现象，于是将阶数调低，重新选取了每个项的最高阶数，见表2：
表2响应面多项式的每个项的最高阶数
Figure 89201DEST_PATH_IMAGE014
步骤4，按照交叉项选取准则增加交叉项，按照三个确定交叉项的交叉项选取准则确定涡轮发动机各个设计变量的交叉项。条件一：函数近似过程中仅考虑两个重要随机变量之间的交叉项。重要随机变量和非重要随机变量的区分是通过随机变量对响应面函数(输出)不确定性的贡献大小来判定的。条件二：交叉项中某个随机变量的阶数p i 不能高于该随机变量的最高阶数k i ，即p i ≤k i ；条件三：交叉项阶数的和不能高于交叉项中某个随机变量的其最高阶数，即（p i +p j ）≤max（k i +k j ）。
表3每个变量的重要度
Figure DEST_PATH_IMAGE015
由于只需要考虑部分重要随机变量的交叉项，使得所有重要随机变量对于结构效率响应不确定性的贡献和大于95％以上，而前支撑刚度一项就占有97.9%的重要度，但是若仅考虑前支撑刚度作为重要随机变量，则无需要拟定的交叉项。为了体现高阶响应面法在拟合交叉项的能力，加入后支承刚度作为第二个重要随机变量，于是前支承刚度和后支承刚度同为重要随机变量，可以构成交叉项。则响应面多项式中的每个项阶数如表4所示：
表4响应面多项式每个项的阶数
Figure 861985DEST_PATH_IMAGE016
表中列出了每个项的序号和项内每个变量的阶数，以序号1至6为例拟合出的响应面函数为
Figure 137109DEST_PATH_IMAGE017
，
其中a 0 、a 1 …a 5 为回归系数，至此确定了响应面拟合需要的交叉项。
步骤5，由步骤3及步骤4得到的最高有效阶数及交叉项确认响应面函数的形式，再增加样本点构造方程组，对多项式进行最终的拟合，求取响应面多项式每个项的系数。其中，增加样本点以求解交叉项的回归系数，最后将原有的样本点和增加的样本点一起求得所有的未知系数。
求得的响应面多项式如下：
Figure 701951DEST_PATH_IMAGE018
步骤6，最后，将所获得的高阶响应面函数进行精度检验，采用16个样本点作响应面模型精度的估计，分别计算16个样本点的真实响应和响应面模型的响应，其对比如表5所示。
表5真实响应与响应面拟合结构效率的对比
Figure 37118DEST_PATH_IMAGE019
经过计算得到结构效率的拟合误差为0.91%，精度达到99.09%。结构效率的拟合精度合理，可以用于优化计算。
最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1，构建小型涡轮发动机整机有限元模型，确定小型涡轮发动机的设计变量；
步骤2，基于设计变量，利用基于高斯-埃尔米特积分节点的抽样方法产生所有随机变量的抽样点，即抽样点在标准正态空间内产生，抽样中心选在所有输入随机变量均值点在标准正态空间内的映射点，单个随机变量的抽样点取在相应一维高斯-埃尔米积分节点上，其余的随机变量取值为均值；
步骤3，考虑单个设计变量的影响，采用基于埃尔米特多项式的回归模型识别出每个随机变量的最高阶数以构建高阶响应面函数，并采用统计评价指标评估所述响应面函数拟合的程度；
步骤4，考虑设计变量之间的影响，计算随机变量对高阶响应面函数不确定性的贡献，根据不确定性的贡献大小将随机变量划分为重要随机变量和非重要随机变量，再根据交叉项选取准则仅考虑两个重要随机变量之间的交叉项；
步骤5，由步骤3及步骤4得到的有效最高阶数及交叉项确认高阶响应面函数的形式，增加样本点以构造高阶响应面函数方程组，利用最小二乘法估计高阶响应面函数的未知系数，得到高阶响应面函数的表达式；
步骤6，对步骤5获得的高阶响应面函数进行精度检验。
2.根据权利要求1所述的基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法，其特征在于，步骤2所述的抽样点在标准正态空间内产生，抽样中心为所有随机变量的均值点在该标准正态空间的映射点；选取坐标轴上的积分节点为样本点，利用对边缘分布函数求反函数的方法将所述样本点x ij 从标准正态u空间转化至随机变量的x空间。
3.根据权利要求2所述的基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法，其特征在于，所述随机变量为多维变量，步骤2中将随机变量的抽样点取在相应一维高斯-埃尔米积分节点上，其余随机变量的抽样点取为均值。
4.根据权利要求3所述的基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法，其特征在于，步骤3中所采用的统计指标包括复相关系数R 2 以及预报平方和PRESS。
5.根据权利要求4所述的基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法，其特征在于，评估所述复相关系数R 2 ，当R 2 越接近1时，误差越小，代理模型越准确；评估所述预报平方和PRESS，PRESS越接近0时，则代理模型的拟合效果越好。
6.根据权利要求1或5所述的基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法，其特征在于，步骤4中交叉项选取准则包括条件一：在进一步的函数近似过程中仅考虑两个重要随机变量之间的交叉项；条件二：交叉项中某个随机变量的阶数p i 不能高于该随机变量中的最高阶数k i ，即p i ≤k i ；条件三：交叉项阶数的和不能高于交叉项中某个随机变量的最高阶数，即（p i +p j ）≤max（k i +k j ），其中，p为随机变量的阶数，k为随机变量中的最高阶数，下标i、j表示第i、j个随机变量。
7.根据权利要求6所述的基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法，其特征在于，步骤5增加样本点时，将重要随机变量的取值落在高斯-埃尔米特积分的积分节点上，将非重要随机变量取作均值。
8.根据权利要求1或7所述的基于高阶响应面的涡轮发动机代理模型构建方法，其特征在于，所述高阶响应面函数为高阶多项式
Figure DEST_PATH_IMAGE002
:
Figure DEST_PATH_IMAGE004
其中，a为常数项，b为单随机变量项的系数，c为交叉项的系数, x为随机变量，sign为重要随机变量，k为最高阶数, p为随机变量在交叉项中的阶数,下标i，j分别表示第i、j个随机变量。
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