CN113950689A - 用于获得多乘积公式的解的方法 - Google Patents

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Abstract

公开了涉及获得m阶多乘积公式的解以求解包括乘积公式的量子计算问题的示例。一个示例提供了一种方法，包括选择一组指数kj，其中每个kj是实数并且是呈乘积公式的线性组合的指数。基于所述一组指数kj，一组前因子aj基于mxM线性方程组的欠定解来确定，其中M是所述乘积公式的线性组合中的低阶乘积公式的数量。所述一组指数kj和所述一组前因子aj被用于求解包括所述乘积公式的所述量子计算问题。通过最小化所述一组指数kj和所述一组前因子aj，所述多乘积公式的稀疏解被生成，从而减少计算时间和缩放比例。

Description

用于获得多乘积公式的解的方法
背景技术
对化学系统的模拟可以被用于通过预测化学物质的特性和反应的预期结果来减少试错损失。由于量子计算机基于量子力学，因此量子模拟可以被用于本机模拟系统中的电子、原子和/或分子的行为，比经典计算系统更有效。与其以指数方式消耗计算资源(例如针对n电子系统为2n)，量子计算机可能只使用多项式的多个资源。这允许模拟更大的系统，而无需依赖于会降低所得预测的准确性的近似值。
发明内容
该发明内容被提供来以简化的形式介绍对于下面在详细描述中进一步描述的概念的选择。该发明内容不旨在标识要求保护的主题的关键特征或者必要特征，也不旨在被用于限制要求保护的主题的范围。此外，要求保护的主题不被限于求解在本公开的任何部分中提到的任何或所有缺点的实施方式。
在一个所公开示例中，一种用于获得m阶多乘积公式的解以求解包括乘积公式的量子计算问题的方法。一个示例提供了一种方法，包括选择一组指数kj，其中每个kj是实数并且是乘积公式的线性组合的指数。基于一组指数kj，一组前因子aj基于m x M线性方程组的欠定解来确定，其中M是乘积公式的线性组合中的低阶乘积公式的数量。一组指数kj和一组前因子aj被用于求解包括乘积公式的量子计算问题。通过最小化一组指数kj和一组前因子aj，多乘积公式的稀疏解被生成，从而减少计算时间和缩放比例。
附图说明
图1示出了用于获得m阶多乘积公式的解以求解包括乘积公式的量子计算问题的示例方法。
图2示出了使用经典乘积公式或图1的方法的变化针对积分器阶数绘制多个查询的曲线图。
图3示意性地示出了示例量子计算机的各个方面。
图4图示了布洛赫球体，它以图形方式表示量子计算机的一个量子位的量子态。
图5示意性地示出了示例经典计算设备。
具体实施方式
维数灾难是模拟量子系统困难的基础。由于希尔伯特空间维数随着粒子数量呈指数增长，经典计算机需要指数时间才能准确地再现量子动力学。幸运的是，量子计算机在求解这个难题方面示出了巨大的希望。
许多受关注的物理系统(诸如在超导、化学和通用量子场论中)由哈密顿算子
Figure BDA0003408455800000021
描述，它们是多项式的多个N个局部项的总和。即使每项都以指数方式修改波函数中的许多幅度，量子计算机仍然可以通过分别具有多项式数量的物理资源来应用时间演变。
近似哈密顿算子的时间演变的一系列量子门可以被生成。这种时间演变算子可以作为附加量子算法中的子例程调用。例如，量子算法可以被用于分解大数字，这在许多密码学应用中很重要。
正如有许多算法将数字或矩阵相乘在一起，也有许多方式设计实施该时间演变算子的量子电路。所有这些不同的算法都有不同的权衡、唯一的优势和唯一的劣势。其中一些针对正在模拟的问题的特殊结构，其他针对不同的问题或结构类型。
通常在实施算法的成本与复杂性之间存在权衡。例如，将维度为n x n的两个矩阵相乘，传统方法的复杂性为n3。该操作的最佳可能顺序的复杂性为n2.3。然而，该算法有些不切实际，因为存在被应用于n的大常数因子。人们对设计在量子计算机上更有效地操作的量子系统很感兴趣。改进来自减少指数和减小常数因子的值。在大多数这些情况下，实施方式的性能能够根据相对于模拟的时间、项数和目标误差的缩放比例以及这些项的指数是否变小来量化。
早期的量子模拟算法基于称为Trotterization的想法。为了模拟作为许多项的总和的哈密顿算子，该哈密顿算子的时间演变能够通过对序列中的每项应用时间演变来近似。这种量子模拟可以在量子计算机上有效地执行，例如在相对于项数和目标误差的多项式时间和多项式成本方面。
然而，哈密顿算子和其他物理系统由更多的参数描述，而不仅仅是时间和项数。例如，给定具有彼此远离的两个分子的系统，能够假设这两个分子不彼此交互。因此，模拟这两个伪独立分子的成本应该只是模拟一个分子的成本的两倍。模拟n个分子的成本应该与n成线性比例。然而，最通用的量子模拟算法实际上相对于项数n成二次比例，因为项之间的距离结构未被引入。针对哈密顿算子，这些算法假设最坏的情况，例如每项都能够与其他每项彼此交互。因此，模拟成本基于成对交互的数量(n2)。真实系统中的这些结构类型很重要也很常见，但可能不会被最通用的量子模拟算法利用。
Trotterization和随后的变化(例如特罗特铃木Trotter-Suzuki乘积公式)考虑了非常常见的结构类型，并且由于它们的简单性和低空间要求而受到关注。作为示例，它们可能会利用哈密顿算子中有多少项可以彼此交换。这导致典型量子系统的经验性能比严格但极其宽松的上限所预测的要好得多。这些项仅与相邻项交互，而不是所有项，因此基于项间距离同时考虑强交互和弱交互。因此，与使用最坏情况界限相比，使用乘积公式模拟算法执行这些模拟显著降低了成本。
在第一阶，哈密顿算子的时间演变通过其部分依次演变来近似，即，
Figure BDA0003408455800000031
因此，针对任意长时间t的演变e-iHt是通过应用t/Δ近似段来完成的，每个近似段包括N个指数，并且Δ被选择为控制整体模拟误差。更高阶的变型实现了更好的缩放，并且严格的界限将使用m阶积分器所需的指数数量置于≤2N5m(N maxj||hj||t)1+1/m/∈1/m。由于其简单性，这种方法已在实验中实现，甚至可能在短期内找到有用的应用，其中退相干仍然严重限制了所应用的量子门的数量。
哈密顿模拟的性能的最终限制可以通过将最坏情况的计算问题减少到物理模拟来获得。由于这些界限指示缩放在时间上应该是严格线性的，并且在误差上应该是对数的，如
Figure BDA0003408455800000041
因此该公式与任何乘积公式之间的多项式差距引发了一系列的后Trotter模拟算法。它们基于不同的范式，诸如量子游走、幺正线性组合、量子位化和量子信号处理，并且能够相对于所有参数匹配该下限。
在实践中，乘积公式方法是针对小系统模拟的，然后外推到更大的系统。然而，虽然这种Trotter-Suzuki乘积公式代表了一种改进，但它们仍然具有局限性，尤其是在模拟最坏情况问题时。
多乘积公式被开发以尝试求解用于求解某些类别的微分方程的Trotter-Suzuki公式的许多弊端。它们背后的主要思想是使用Trotter公式的线性组合来构建量子系统的新积分器。然而，大多数多乘积公式都是病态的，需要精确取消项才能生成合理的解。
针对在时间(t)内实施时间演变算子的量子电路，应用于最坏情况算法所需的量子门的数量在时间上成线性比例。相对于误差的缩放是对数的，并且相对于项数的缩放是二次的。最简单的乘积公式(例如一阶)在时间上具有二次缩放，相对于项数具有三次缩放，并且在误差上具有对数缩放(例如1/误差)。如果相同的乘积公式被长时间使用，误差总和会产生更大的误差，该误差会与模拟时间成比例。随着乘积公式的阶数增加，时间和误差的指数也相对于模拟的步长大小增加。换言之，任何m阶乘积公式都使用比后Trotter模拟算法更指数化的乘法因子
Figure BDA0003408455800000043
来近似时间t和误差∈的实时演变，该后Trotter模拟算法实现了最优的最坏情况缩放
Figure BDA0003408455800000042
但失去了利用项的交换性的能力。
对这些最坏情况问题应用非常高阶的Trotter-Suzuki乘积公式能够在时间上产生几乎线性的缩放，在项数上产生几乎二次的缩放并且相对于误差产生几乎对数的缩放。这几乎与通用的最坏情况算法相匹配，并且针对这些结构化的哈密顿算子应该具有更好的性能。
然而，也存在被应用于缩放比例和成本指数的恒定前因子。通用量子模拟算法在这些参数中具有最优缩放比例，并且针对最坏情况问题也具有非常小的常数因子。一阶乘积公式的缩放性相对较差，但常数因子较小。然而，针对更高阶的Trotter-Suzuki乘积公式，常数因子随着乘积公式的阶数呈指数增长。因此，乘积公式顺序有一个阈值，超过该阈值，运行模拟所需的绝对时间变得大得不可行。在实践中，由于这个巨大的前因子，大于4阶的乘积公式很少被使用。
尽管乘积公式针对最坏情况问题渐近次优，但它们的常数因子明显小于严格界限所建议的。事实上，数值研究表明，如果一些哈密顿项交换，则模拟误差比预期小得多，达到提供渐近优点的程度。在模拟几何局部交互时观察到了最显著的性能分离，其中即使是乘积公式的本机应用在系统大小N上也具有几乎线性的
Figure BDA0003408455800000054
量子门成本。相比之下，后Trotter模拟算法失去了这个期望的特征，并且在没有高度专业化的修改的情况下，表现出二次缩放Ω(N2)。
事实上，交换项在典型的量子系统中很常见，这激发了对乘积公式的持续兴趣。一种方法基于多乘积公式，其中高阶2m积分器由M≥m低阶乘积公式的线性组合构建：
Figure BDA0003408455800000051
其中U表示乘积公式，M是乘积公式的线性组合中所包括的低阶乘积公式的数量，Δ是步长大小，aj是一组前因子，H是哈密顿算子h的总和，
Figure BDA0003408455800000055
是成本函数，并且N是项数。例如，如果乘积公式被提高到指数k的幂，则乘积公式将按顺序应用k次。采用乘积公式的线性组合的成本与前因子aj成比例。误差与Δ的大小成比例。在该示例中，有M个不同的乘积公式，因此有M个不同的步长大小(例如
Figure BDA0003408455800000052
)。在该示例中，有这M个不同乘积公式的线性组合，其中每个乘积公式根据该指数的步长大小应用kj次。
乘积公式的线性组合可以是例如对称的Trotter-Suzuki公式
Figure BDA0003408455800000053
缩写为||h||＝maxj||h||j。利用最简单的选择kj＝j和M＝m，只需要
Figure BDA0003408455800000065
指数，这似乎是对Trotter-Suzuki公式所需的
Figure BDA0003408455800000066
的指数改进。不幸的是，这些多乘积公式是病态的-系数(例如前因子)am＝eΩ(m log m)随着阶数m呈指数增长。因此，即使是零阶约束
Figure BDA0003408455800000061
也需要极其精确的项取消。在量子设置中，标准的幺正线性组合技术将其转化为指数级小的成功概率
Figure BDA0003408455800000062
在本文中，提出了一种用于哈密顿模拟的量子算法，该量子算法维护乘积公式的平均情况特点，同时减少最坏情况门复杂性从t/∈的多项式到对数的差距。这是通过求解多乘积公式面临的调节问题来实现的。通过使用欠定系统求解所需的取消，稀疏解被生成。这种技术可以被自举到任何乘积公式，包括经典模拟，从而保持哈密顿项的交换性。
方程(1)中更通用的欠定设置被考虑在内，其中M＝m，但kj能够是任意的，而不是等差序列。该解的技术结果是，针对大小为maxj
Figure BDA0003408455800000069
的整数kj，方程(1)的良好条件解被生成，其中
Figure BDA0003408455800000063
呈指数级变小。这可以允许生成和应用更高阶但低成本的乘积公式。实际上，这减少了求解量子计算应用所需的计算操作数量，诸如哈密顿算子的时间演变。与不经意的幅度放大组合，这允许m阶积分器以
Figure BDA0003408455800000067
成本确定性地实施。因此，开销被减少到仅
Figure BDA0003408455800000064
这转化为哈密顿模拟的最坏情况门复杂性
Figure BDA0003408455800000068
图1示出了用于获得m阶多乘积公式的解以求解包括乘积公式的量子计算问题的示例方法100。方法100可以经由在计算设备上执行存储指令来制定。这种计算设备可以是量子计算设备和/或经典计算设备。示例量子计算设备在本文中关于图3和4描述，并且示例经典计算设备在本文中关于图5描述。
在110中，方法100包括选择一组指数kj，其中每个kj是实数并且是呈乘积公式的线性组合的指数。作为示例，乘积公式的线性组合可以是方程(1)。
其中U表示乘积公式，M是乘积公式的线性组合中所包括的低阶乘积公式的数量，Δ是步长大小，aj是一组前因子，H是哈密顿算子h的总和，
Figure BDA00034084558000000710
是成本函数，N是项数。例如，如果乘积公式被提高到指数k的幂，则乘积公式将按顺序应用k次。采用乘积公式的线性组合的成本与前因子aj成比例。误差与Δ的大小成比例。在该示例中，有M个不同的乘积公式，因此有M个不同的步长大小(例如
Figure BDA0003408455800000071
)。在该示例中，有这M个不同乘积公式的线性组合，其中每个乘积公式根据该指数的步长大小应用kj次。
实施乘积公式的这种线性组合的成本与前因子和指数总和的1-范数成比例。方法100可以被用于生成用于获得非常一般的多乘积公式类别的方案，其中前因子aj都很小(例如大小为多项式，而不是指数级大)。这种乘积公式可以被称为“良好条件的乘积公式”。
定理-(通过良好条件的多乘积公式进行的哈密顿模拟)。存在基于方程1中的形式的多乘积公式
Figure BDA0003408455800000072
的量子电路，它最多使用以下指数来近似误差为
Figure BDA0003408455800000073
的实时演变算子
Figure BDA0003408455800000074
其中
Figure BDA0003408455800000075
并且
Figure BDA0003408455800000076
通过最小化相对于m的成本，
Figure BDA00034084558000000711
还提供了显式构造，其中
Figure BDA0003408455800000077
值得注意的是，该程序可以自举任何乘积公式。因此，它保留了乘积公式的期望特点，并且可能类似地表现出比定理1建议的显著更好的经验性能。例如，表1列举了更严格的界限，示出了
Figure BDA0003408455800000078
多乘积公式
将时间演变算子近似为至少前导阶的任何对称乘积公式都具有以下展开
Figure BDA0003408455800000079
针对与j无关的一些误差矩阵Ek和
Figure BDA0003408455800000081
要注意的是，在泰勒级数中，
Figure BDA0003408455800000082
由于来自e-iHΔ的贡献对Δ具有函数相关性，而没有j相关性。
通过采用方程(1)中描述的这些幺正性的线性组合，取消所有低阶误差项可以被设计。
返回到图1，在120中，方法100包括基于一组指数kj，基于mxM线性方程组的欠定解来确定一组前因子aj。例如，以下线性方程组可以针对对称Trotter-Suzuki公式生成：
Figure BDA0003408455800000083
假设kj是先验已知的，所需的抵消可以被转换为该线性方程组。左侧是范德蒙矩阵
Figure BDA0003408455800000084
其中
Figure BDA0003408455800000085
在正方情况M＝m，下，这具有解
Figure BDA0003408455800000086
可以观察到，利用等差累进kj＝j，系数am＝eΩ(mlogm)确实是病态的。
然而，
Figure BDA0003408455800000087
的不同选择(不一定是等差级数)可能会产生相对较小的系数|aj|。在那种情况下，
Figure BDA0003408455800000088
可以使用标准量子技术有效地应用。为了说明，可以考虑量子态准备电路
Figure BDA0003408455800000089
和多路复用器
Figure BDA00034084558000000810
这些应用成功概率为
Figure BDA00034084558000000811
的多乘积公式
Figure BDA00034084558000000812
幸运的是，只要
Figure BDA00034084558000000813
是∈接近于幺正的，就可以使用稳健的不经意幅度放大来放大到
Figure BDA00034084558000000818
每个
Figure BDA00034084558000000814
可能是对基础乘积公式U2-S个查询进行
Figure BDA00034084558000000815
次的查询的成本，然后针对放大例程乘以
Figure BDA00034084558000000816
显然，性能利用较小的
Figure BDA00034084558000000817
值来提高。
返回到图1，在130中，方法100包括使用一组指数kj和一组前因子aj来求解包括乘积公式的量子计算问题。
kj的值是实数，并且通常是整数。先前，kj的值被选择为等差级数。给定kj的级数，aj的值可以使用方程(5)来确定。然而，值的这种选择导致了系数呈指数增加。使用方法100，kj的任何级数可以被选择，并且方程(5)可以被用于导出任何给定累进的小系数。
良好条件的分数查询多乘积公式
上述解通过允许指数
Figure BDA0003408455800000091
是任意实数来放宽方程(1)的条件。这对应于U2的分数查询，其可以使用标准技术实施。在这种设置中，方程(5)可以被映射到多项式内插问题。
例如，考虑m个多项式
Figure BDA0003408455800000092
的集合，其系数被表示为方阵
Figure BDA0003408455800000093
这些可以被选择为在一些离散的内插点集
Figure BDA0003408455800000094
上正交，即，
Figure BDA0003408455800000095
并且
Figure BDA0003408455800000096
其中δjk是克罗内克符号函数。
现在，范德蒙矩阵可以左乘多项式系数A。因此，第j行满足
Figure BDA0003408455800000097
使用方程(7)中的正交性关系，这可以由拟设
Figure BDA0003408455800000098
Figure BDA0003408455800000099
求解。因此，切比雪夫多项式基Tj(x)＝cos(j cos-1(x))可以提供具有期望特性的多乘积系数集合。
引理1：切比雪夫分数多乘积
在方程(5)中选择
Figure BDA00034084558000000910
其户
Figure BDA00034084558000000911
然后
Figure BDA00034084558000000912
和
Figure BDA00034084558000000913
满足
Figure BDA00034084558000000914
和
Figure BDA00034084558000000915
证明。选择移位的切比雪夫多项式pj(x)≡Tj-1(2x-1)的基组并且进行内插，并且
Figure BDA00034084558000000916
例如，切比雪夫多项式证明
Figure BDA00034084558000000917
和pj(0)＝-(-1)j可以被使用。
因此，函数
Figure BDA00034084558000000918
意味着
Figure BDA00034084558000000919
Figure BDA00034084558000000920
Figure BDA0003408455800000101
其中
Figure BDA0003408455800000102
和不等式
Figure BDA0003408455800000103
已经被使用。
该解对于扰动来说非常稳健。例如，丢弃xj的后半部分不会影响其定性特性，如在以下结果中看到的。
引理2：半切比雪夫分数多乘积
在方程(5)中选择
Figure BDA0003408455800000104
其中
Figure BDA0003408455800000105
然后
Figure BDA0003408455800000106
和
Figure BDA0003408455800000107
按照引理1缩放。
征明。利用2m内插点
Figure BDA0003408455800000108
自举引理1中的解，其具有由方程(9)给出的多乘积系数
Figure BDA0003408455800000109
使用精确解方程(6)，可以观察到
Figure BDA00034084558000001010
针对所有1≤j＜q≤2m，这由
Figure BDA00034084558000001011
产生。与引理1类似，数量
Figure BDA00034084558000001012
和
Figure BDA00034084558000001013
Figure BDA00034084558000001014
可以被评估。
良好条件的整数查询多乘积公式
引理1和2选择kj为实数但不一定是整数。这通常示出了利用实数，方程(5)能够被求解以得到非常小的系数。由于指数和系数的总和都很小，它们的乘积也很小，因此更高阶的乘积公式能够以较低的成本使用。然而，对kj使用实数的解要实施可能不切实际。不过，这提供了原理证明，如果您能够使用kj的实数，则成本可以被降低。
现在可以示出，通过用合适的常数K重新缩放并且将每个指数
Figure BDA00034084558000001015
四舍五入为不同的整数lj-否则
Figure BDA00034084558000001016
变为单数，分数查询解可以被转换为整数查询解。这种自举不会显著提高成本，并且仍然可以产生相对于阶数的系数的多项式缩放。
四舍五入也会扰乱多乘积系数
Figure BDA00034084558000001017
但与引理2的鲁棒性类似，最多改变乘法常数，如下面示出的。
引理3：半切比雪夫整数多乘积
在方程(5)中选择
Figure BDA0003408455800000111
其户
Figure BDA0003408455800000112
Figure BDA0003408455800000113
xj来自引理2，并且K∈Θ(m)。然后，
Figure BDA0003408455800000114
并且
Figure BDA0003408455800000115
证明。通过xj的定义，要注意的是，kj∈Θ(Km/j)并且K∈Θ(m)，以便lj和kj四舍五入为唯一整数。因此扰动|lj-kj|＝δj∈Θ(K/m)和γq＝(kq/kj)2的分数变化是
Figure BDA0003408455800000116
其中Δ[q，j]的符号与(q-j)的符号相匹配。
Figure BDA0003408455800000117
和原始
Figure BDA0003408455800000118
之间的变化现在可以被评估。由于Δ[q，j]很小，向领头阶的
Figure BDA0003408455800000119
移位可以通过使用导数
Figure BDA00034084558000001110
.来评估。因此
Figure BDA00034084558000001111
其中在最后一行中，渐近表达式用xj，xq替换。
因为指数kj已经被先验地选择，所以如果
Figure BDA00034084558000001112
被最小化到所有
Figure BDA00034084558000001113
子集
Figure BDA00034084558000001114
则更小的1-范数
Figure BDA00034084558000001115
可能是可能的。令人惊讶的是，这个离散优化问题的精确解能够通过线性程序有效地获得
Figure BDA00034084558000001116
并且kj＝j， (13)
接着是相对于m∈[M]最小化。重要的是，最小化1-范数还确保了解
Figure BDA00034084558000001117
恰好有m个非零元素，类似于压缩感测中的稀疏信号恢复。在该上下文中，“最小化”是指用于减少分量的相对值和/或总和的程序，而不一定是导出全局最小值。
方程(5)传统上被选择为方阵，这意味着自由参数(kj)的数量恰好等于积分器的阶数。在本文中，方程(5)作为欠定系统求解，这意味着存在多余的自由参数。换言之，kj的值能够多于积分器的阶数M。通过求解该欠定系统，使用方程(13)中的优化问题的分句，稀疏的解能够被导出。作为一个示例，稀疏解包括尽可能多的aj值，将＝0。附加地或备选地，aj值的子集被设置为零和/或小值。因此，即使方程(5)中的范德蒙矩阵中存在等差级数，在一些示例中，能够为零的所有系数都被设置为零，假设这些系数的1-范数尽可能小。通过使解稀疏、算法的成本也取决于kj的1-范数，但是如果aj的系数为0，则对应的kj不被应用，并且k的1-范数只是与正aj值相关联的kj值的总和。
最坏情况误差界限
严格但松散的界限现在可以对多乘积积分器的误差提供，从而完成定理1的证明。
定理1的征明。通过
Figure BDA0003408455800000121
表示任何函数的余数。观察乘积公式的余数
Figure BDA0003408455800000122
具有与指数j无关的误差界限，其中
Figure BDA0003408455800000123
并且不等式
Figure BDA0003408455800000124
和
Figure BDA0003408455800000125
已被使用。
因此，单个多乘积段具有误差
Figure BDA0003408455800000126
通过应用r≤1/∈t/r段并且使用不等式
Figure BDA00034084558000001213
Figure BDA00034084558000001214
较长时间t模拟的误差为
Figure BDA0003408455800000127
Figure BDA0003408455800000128
例如，选择
Figure BDA0003408455800000129
现在使用求解z＝W(log(tλ/∈))的Lambert-W函数定义log(tλ/∈)＝(z)ez，并且选择2m+1＝ez。实施
Figure BDA00034084558000001210
所需的指数总数然后为
Figure BDA00034084558000001211
其中
Figure BDA00034084558000001212
根据引理3缩放。
图2示出了比较经典Trotter-Suzuki乘积公式的相对成本和本文描述的方法的不同实施方式的曲线图200。曲线图200绘制了对2m阶积分器的每个步长进行的二阶Trotter-Suzuki公式U2的查询次数。绘图210表示Trotter-Suzuki公式。绘图220表示引理3的经舍入的切比雪夫方法(Rounded Chebyshev)。绘图230表示线性规划。绘图240表示引理1的分数切比雪夫方(Fractional Chebyshev)法。正如预测的那样，绘图240的分数查询解的成本非常小，但实施起来可能更复杂。绘图220的经舍入的切比雪夫解是由分数查询解的自举产生的。虽然成本不如绘图230的线性规划低，但与Trotter-Suzuki相比，这种经舍入的切比雪夫解显著降低了成本。针对非常小的系统-例如15个量子位-最小化成本允许使用近似10阶的积分器。随着计算系统大小的增加，积分器的阶数可能会相应增加。
这些理论解与表1中呈现的最小化解(例如作为最小化过程的结果的解，其可能是或者可能不是实际最小值)类似地缩放。表1呈现了最小化
Figure BDA0003408455800000132
的方程(1)的多乘积解，其中
Figure BDA0003408455800000133
仅包含对应于非零aj系数的kj指数。理论和实际解都允许生成和应用被应用于求解量子计算应用的更高阶但成本低的乘积公式，诸如哈密顿算子的时间演变。实施这些解的技术效果包括减少生成解所需的计算操作数量，从而减少执行量子模拟必需的时间和计算能力。
表1
Figure BDA0003408455800000131
Figure BDA0003408455800000141
Figure BDA0003408455800000151
Figure BDA0003408455800000161
Figure BDA0003408455800000171
Figure BDA0003408455800000181
虽然主要关于对称乘积公式(诸如二阶对称Trotter-Suzuki乘积公式)进行描述，但是类似的方法可以被应用于其他乘积公式类型。例如，方程(4)所示的扩展变化可能会产生方程(5)所示的范德蒙矩阵的变化。这些变化的解可以被用于生成有效的多乘积公式。
例如，当基础乘积公式是对称的并且是α阶而不是2阶时，略微不同的方程组可以被求解：
Figure BDA0003408455800000191
当基础乘积公式是非对称的并且为1阶时，以下方程组可以被求解：
Figure BDA0003408455800000192
当基础乘积公式是非对称的并且为α阶时，以下方程组可以被求解：
Figure BDA0003408455800000193
如针对方程(5)描述的，方程(17至19)的欠定解可以被生成，使得kj不一定是等差级数(例如使用方程(13))。通过更灵活地选择指数kj，具有期望特性的良好条件的多乘积公式可以被生成，其中系数aj的绝对值的总和相对较小。
在一些实施例中，本文描述的方法和过程可以与一个或多个量子计算设备的量子计算系统相联系。图4示出了被配置为执行量子逻辑操作(参见下文)的示例量子计算机310的各个方面。然而常规计算机存储器将数字数据保存在比特阵列中并且制定逐位逻辑操作，量子计算机将数据保存在量子位阵列中并且对量子位进行量子力学操作，以实施期望的逻辑。因此，图3的量子计算机310包括至少一个寄存器312，其包括量子位阵列314。所图示的寄存器的长度为8个量子位；包括更长和更短量子位阵列的寄存器还被设想在内，作为包括任何长度的两个或多个寄存器的量子计算机。
寄存器312的量子位可以采用各种形式，这取决于量子计算机310的期望架构。每个量子位314可以包括：作为非限制性示例，超导约瑟夫森结、俘获离子、耦合至高精细度腔的俘获原子、限制在富勒烯内的原子或分子、限制在主晶格内的离子或中性掺杂剂原子、表现出离散空间或自旋电子态的量子点、经由静电陷阱夹带的半导体结中的电子空穴、耦合的量子线对、通过磁谐振可寻址的原子核、氦中的自由电子、分子磁体或金属状碳纳米球。更通用地，每个量子位314可以包括能够以两种或多种离散量子态存在的任何粒子或粒子系统，该离散量子态能够被实验测量和操纵。例如，量子位也可以在与通过线性光学元件(例如反射镜、分束器和移相器)的不同光传播模式相对应的多种处理状态中以及在玻色-爱因斯坦凝聚内累积的状态中实施。
图4是布洛赫球体316的图示，其提供了单独量子位314的一些量子力学方面的图形描述。在该描述中，布洛赫球体的北极和南极分别对应于电子或其他费米子的标准基向量|0>和|1>-例如向上和向下自旋状态。布洛赫球体表面上的点集包括量子位的所有可能的纯态|ψ>，而内部点对应于所有可能的混合态。给定量子位的混合态可能由退相干引起，退相干可能会由于与外部自由度的不期望耦合而发生。
现在返回到图3，量子计算机310包括控制器318。控制器可以包括常规电子元件部分，包括至少一个处理器320和关联的存储机322。术语‘常规’在本文中被应用于能够被建模为粒子集合的任何组件，而不考虑任何单独粒子的量子态。例如，常规的电子组件包括集成的、微光刻晶体管、电阻器和电容器。存储机322可以被配置为保存程序指令324，该程序指令324使处理器320执行本文描述的任何过程。控制器318的附加方面在下文中描述。
量子计算机310的控制器318被配置为接收多个输入326，并且提供多个输出328。输入和输出可以分别包括数字和/或模拟线。至少一些输入和输出可以是数据线，数据通过这些数据线被提供给量子计算机并且从量子计算机提取。其他输入可以包括控制线，量子计算机的操作可以经由该控制线调整或以其他方式控制。
控制器318经由接口330被可操作地耦合至寄存器312。该接口被配置为与控制器双向交换数据。接口还被配置为与寄存器双向交换与数据相对应的信号。取决于量子计算机310的架构，这种信号可以包括电信号、磁性信号和/或光学信号。经由通过接口传达的信号，控制器可以询问并且以其他方式影响保存在寄存器中的量子态，如由量子位阵列314的集体量子态定义的。为此，接口包括至少一个调制器332和至少一个解调器334，分别被可操作地耦合至寄存器312的一个或多个量子位。每个调制器被配置为基于从控制器接收的调制数据向寄存器输出信号。每个解调器被配置为感测来自寄存器的信号，并且基于该信号将数据输出到控制器。在一些场景中，从解调器接收的数据可以是保存在寄存器中的量子态的测量的可观察量的估计。
更具体地，来自调制器332的适当配置的信号可以与寄存器312的一个或多个量子位314物理交互，以触发保存在一个或多个量子位中的量子态的测量。解调器334然后可以感测由一个或多个量子位根据测量释放的所得信号，并且可以将与所得信号相对应的数据提供给控制器。换句话说，解调器可以被配置为基于接收到的信号揭示反映寄存器的一个或多个量子位的量子态的可观察量的估计，并且将该估计提供给控制器318。在一个非限制性示例中，调制器可以基于来自控制器的数据向一个或多个量子位的电极提供适当的电压脉冲或脉冲序列，以发起测量。在短期内，解调器可以感测来自一个或多个量子位的光子发射，并且可以在进入控制器的接口线上维护对应的数字电压电平。一般而言，量子力学状态的任何测量都由对应于要被测量的可观察量的算子
Figure BDA0003408455800000211
定义；测量的结果R被保证为
Figure BDA0003408455800000212
的允许特征值中的一个特征值。在量子计算机310中，R在统计上与测量之前的寄存器状态相关，但不是由寄存器状态唯一确定的。
根据来自控制器318的适当输入，接口330还可以被配置为实施一个或多个量子逻辑门，以对保存在寄存器312中的量子态进行操作。而常规计算机系统的每种类型的逻辑门的功能根据对应的真值表来描述，每种类型的量子门的功能由对应的算子矩阵描述。算子矩阵对表示寄存器状态的复向量进行操作(即，相乘)，并且实现该向量在希尔伯特空间中的指定旋转。
在图3中继续，来自接口330的调制器332的适当配置的信号可以与寄存器312的一个或多个量子位314物理交互，以便维护任何期望的量子门操作。如上面提到的，期望的量子门操作是表示寄存器状态的复向量的具体定义旋转。为了实现期望的旋转
Figure BDA0003408455800000221
接口330的一个或多个调制器可以在预定持续时间Ti内施加预定信号电平Si。
在一些示例中，多个信号电平可以针对多个序列或以其他方式关联的持续时间施加。在更特定的示例中，多个信号电平和持续时间被布置为形成复合信号波形，其可以被应用于寄存器的一个或多个量子位。通常，每个信号电平Si和每个持续时间Ti是通过控制器318的适当编程可调整的控制参数。在其他量子计算架构中，可调整控制参数的不同集合可以控制应用于寄存器状态的量子操作。
在一些实施例中，本文描述的方法和过程可以与一个或多个经典计算设备的经典计算系统相联系。具体地，这种方法和过程可以被实施为计算机应用程序或服务、应用编程接口(API)、库和/或其他计算机程序产品。
图5示意性地示出了能够制定上述方法和过程中的一个或多个的计算系统500的非限制性实施例。计算系统500以简化形式示出。计算系统500可以采取一个或多个个人计算机、服务器计算机、平板计算机、家庭娱乐计算机、网络计算设备、游戏设备、移动计算设备、移动通信设备(例如智能电话)和/或其他计算设备的形式。
计算系统500包括逻辑机510和存储机520。计算系统500可以可选地包括显示子系统530、输入子系统540、通信子系统550和/或图5未示出的其他组件。
逻辑机510包括被配置为执行指令的一个或多个物理设备。例如，逻辑机可以被配置为执行作为一个或多个应用、服务、程序、例程、库、对象、组件、数据结构或其他逻辑构造的一部分的指令。这种指令可以被实施以执行任务，实施数据类型，变换一个或多个组件的状态，实现技术效果或以其他方式达到期望的结果。
逻辑机可以包括被配置为执行软件指令的一个或多个处理器。附加地或备选地，逻辑机可以包括被配置为执行硬件或固件指令的一个或多个硬件或固件逻辑机。逻辑机的处理器可以是单核或多核的，并且在其上执行的指令可以被配置用于顺序、并行和/或分布式处理。逻辑机的单独组件可选地可以被分布在两个或多个单独设备中，该两个或多个单独设备可以被远程定位和/或配置用于协调处理。逻辑机的各个方面可以由以云计算配置配置的远程可访问的联网计算设备虚拟化并执行。
存储机520包括一个或多个物理设备，该物理设备被配置为保存由逻辑机可执行的指令，以实施本文描述的方法和过程。当这种方法和过程被实施时，存储机520的状态可以被变换，例如以保存不同的数据。
存储机520可以包括可移除和/或内置设备。存储机520可以包括光学存储器(例如CD、DVD、HD-DVD、蓝光光盘等)、半导体存储器(例如RAM、EPROM、EEPROM等)和/或磁性存储器(例如硬盘驱动器、软盘驱动器、磁带驱动器、MRAM等)。存储机520可以包括易失性、非易失性、动态、静态、读/写、只读、随机存取、顺序存取、位置可寻址、文件可寻址和/或内容可寻址设备。
要了解的是，存储机520包括一个或多个物理设备。然而，备选地，本文描述的指令的各个方面可以由物理设备未在有限的持续时间内保存的通信介质(例如电磁信号、光学信号等)传播。
逻辑机510和存储机520的各个方面可以被一起集成为一个或多个硬件逻辑组件。例如，这种硬件逻辑组件可以包括现场可编程门阵列(FPGA)、程序和专用集成电路(PASIC/ASIC)、程序和专用标准产品(PSSP/ASSP)、片上系统(SOC)和复杂可编程逻辑设备(CPLD)。
当被包括在内时，显示子系统530可以被用于呈现由存储机520保存的数据的视觉表示。该视觉表示可以采取图形用户界面(GUI)的形式。由于本文描述的方法和过程改变了由存储机保存的数据，并因此变换了存储机的状态，因此同样地，显示子系统530的状态可以被变换为可视地表示基础数据的变化。显示子系统530可以包括实际上利用任何类型的技术的一个或多个显示设备。这种显示设备可以与逻辑机510和/或存储机520在共享的附件中组合，或者这种显示设备可以是外围显示设备。
当被包括在内时，输入子系统540可以包括一个或多个用户输入设备或与其接口连接，诸如键盘、鼠标、触摸屏或游戏控制器。在一些实施例中，输入子系统可以包括所选的自然用户输入(NUI)元件部分或者与其接口连接。这种元件部分可以是集成的或外围的，并且输入动作的转导和/或处理可以在板上或离板处置。示例NUI元件部分可以包括用于语音和/或声音识别的麦克风；用于机器视觉和/或手势识别的红外、彩色、立体和/或深度相机；用于运动检测和/或意图识别的头部追踪器、眼睛追踪器、加速度计和/或陀螺仪；以及用于评估大脑活动的电场感测元件部分。
当被包括在内时，通信子系统550可以被配置为将计算系统500与一个或多个其他计算设备通信地耦合。通信子系统550可以包括与一种或多种不同的通信协议兼容的有线和/或无线通信设备。作为非限制性示例，通信子系统可以被配置用于经由无线网络或者有线或无线局域网或广域网进行通信。在一些实施例中，通信子系统可以允许计算系统500经由诸如互联网等网络向其他设备发送消息和/或从其他设备接收消息。
在一个示例中，经由在计算设备上执行存储指令制定，一种用于获得m阶多乘积公式的解以求解包括乘积公式的量子计算问题的方法包括：选择一组指数kj，其中每个kj是实数并且是乘积公式的线性组合的指数；基于一组指数kj，基于m x M线性方程组的欠定解来确定一组前因子aj，其中指数被表达为范德蒙矩阵
Figure BDA0003408455800000241
其中α是乘积公式的阶数，并且其中M是乘积公式的线性组合中所包括的低阶乘积公式的数量；以及使用一组指数kj和一组前因子aj来求解包括乘积公式的量子计算问题。在这种示例或任何其他示例中，m x M线性方程组被附加地或备选地表达为：
Figure BDA0003408455800000251
其中量子计算问题附加地或备选地是哈密顿模拟，并且其中乘积公式的线性组合附加地或备选地如下：
Figure BDA0003408455800000252
Figure BDA0003408455800000253
其中U表示乘积公式，Δ是步长大小，aj是一组前因子，H是哈密顿算子h的总和，
Figure BDA00034084558000002510
是成本函数，并且N是项数。在任何前述示例或任何其他示例中，乘积公式的线性组合附加地或备选地是对称Trotter-Suzuki公式的表达式，如下：
Figure BDA0003408455800000254
在任何前述示例或任何其他示例中，其中α＝2，范德蒙矩阵附加地或备选地如下：
Figure BDA0003408455800000255
在任何前述示例或任何其他示例中，其中M＝m，m xM线性方程组的欠定解附加地或备选地具有解：
Figure BDA0003408455800000256
在任何前述示例或任何其他示例中，m x M线性方程组的欠定解附加地或备选地基于以下线性程序确定：
Figure BDA0003408455800000257
并且kj＝j。在任何前述示例或任何其他示例中，m x M线性方程组的欠定解附加地或备选地基于对U2的分数查询，并且其中指数kj是任意实数。在任何前述示例或任何其他示例中，m x M线性方程组的欠定解附加地或备选地基于分数多乘积确定，其中
Figure BDA0003408455800000258
被选择为使得
Figure BDA0003408455800000259
在另一示例中，计算设备包括：处理器；以及保存指令的存储设备，响应于获得m阶多乘积公式的解以求解包括乘积公式的量子计算问题的请求，该指令使处理器：选择一组指数kj，其中每个kj是实数并且是以下乘积公式的线性组合的指数：
Figure BDA0003408455800000261
其中U表示乘积公式，M是乘积公式的线性组合中所包括的低阶乘积公式的数量，Δ是步长大小，aj是一组前因子，H是哈密顿算子h的总和，
Figure BDA0003408455800000268
是成本函数，N是项数；基于一组指数kj，基于以下m x M线性方程组的欠定解来确定一组前因子aj：
Figure BDA0003408455800000262
并且使用一组指数kj和一组前因子aj来求解包括乘积公式的量子计算问题。在这种示例或任何其他示例中，乘积公式的线性组合附加地或备选地是对称Trotter-Suzuki公式：
Figure BDA0003408455800000263
在任何前述示例或任何其他示例中，其中M＝m，m x M线性方程组的欠定解附加地或备选地具有解：
Figure BDA0003408455800000264
在任何前述示例或任何其他示例中，m x M线性方程组的欠定解附加地或备选地基于以下线性程序确定：
Figure BDA0003408455800000265
开且kj＝j。在任何前述示例或任何其他示例中，m xM线性方程组的欠定解附加地或备选地基于对U2的分数查询，并且指数kj附加地或备选地是任意实数。在任何前述示例或任何其他示例中，m x M线性方程组的欠定解附加地或备选地基于分数多乘积确定，其中
Figure BDA0003408455800000266
附加地或备选地被选择为使得
Figure BDA0003408455800000267
在任何前述示例或任何其他示例中，计算设备附加地或备选地是量子计算设备，还包括：寄存器，包括多个量子位；调制器，被配置为根据存储在存储设备处的控制参数值对多个量子位实施量子逻辑操作；以及解调器，被配置为揭示反映多个量子位的量子态的数据；并且其中控制器被可操作地耦合至调制器和解调器。在任何前述示例或任何其他示例中，计算设备附加地或备选地是经典计算设备。
在再一方面中，一种用于经由m阶多乘积公式模拟哈密顿算子的时间演变的量子计算设备实施的方法包括：选择一组指数kj，其中每个kj是实数并且是以下乘积公式的线性组合的指数：
Figure BDA0003408455800000271
其中U表示乘积公式，M是乘积公式的线性组合中所包括的低阶乘积公式的数量，Δ是步长大小，aj是一组前因子，H是哈密顿算子h的总和，
Figure BDA0003408455800000276
是成本函数，N是项数；基于一组指数kj，基于以下m x M线性方程组的欠定解来确定一组前因子aj：
Figure BDA0003408455800000272
其中欠定解基于以下线性程序：
Figure BDA0003408455800000273
并且kj＝j；并且使用一组指数kj和一组前因子aj来模拟哈密顿算子的时间演变。在这种示例或任何其他示例中，其中M＝m，m x M线性方程组的欠定解附加地或备选地具有解：
Figure BDA0003408455800000274
在任何前述示例或任何其他示例中，m x M线性方程组的欠定解附加地或备选地基于对U2的分数查询，并且其中指数kj附加地或备选地是任意实数。在任何前述示例或任何其他示例中，乘积公式的线性组合附加地或备选地是对称Trotter-Suzuki公式：
Figure BDA0003408455800000275
要理解的是，本文描述的配置和/或方法本质上是示例性的，并且这些具体实施例或示例不应被认为是限制性的，因为许多变化是可能的。本文描述的具体例程或方法可以表示任何数量的处理策略中的一个或多个。因此，所图示和/或描述的各种行动可以以所图示和/或描述的序列、以其他序列、并行地执行，或者被省略。同样地，上述过程的顺序可以被改变。
本公开的主题包括本文公开的各种过程、系统和配置以及其他特征、功能、行动和/或特性的所有新颖且非显而易见的组合和子组合及其任何和所有等效物。

Claims (15)

1.一种用于获得m阶多乘积公式的解以求解包括乘积公式的量子计算问题的方法，所述方法经由在计算设备上执行存储指令而制定，所述方法包括：
选择一组指数kj，其中每个kj是实数并且是呈乘积公式的线性组合的指数；
基于所述一组指数kj，基于m×M线性方程组的欠定解来确定一组前因子aj，其中所述指数被表达为范德蒙矩阵
Figure FDA0003408455790000011
其中α是所述乘积公式的阶数，并且其中M是所述乘积公式的线性组合中的低阶乘积公式的数量；以及
使用所述一组指数kj和所述一组前因子aj来求解包括所述乘积公式的所述量子计算问题。
2.根据权利要求1所述的方法，其中所述m×M线性方程组被表达为：
Figure FDA0003408455790000012
其中所述量子计算问题是哈密顿模拟，并且其中所述乘积公式的线性组合如下：
Figure FDA0003408455790000013
其中U表示所述乘积公式，Δ是步长大小，aj是一组前因子，H是哈密顿算子h的总和，
Figure FDA0003408455790000015
是成本函数，并且N是项数。
3.根据权利要求2所述的方法，其中所述乘积公式的线性组合是对称特罗特铃木公式的表达式，如下：
Figure FDA0003408455790000014
4.根据权利要求2所述的方法，其中α＝2，并且其中所述范德蒙矩阵如下：
Figure FDA0003408455790000021
5.根据权利要求4所述的方法，其中M＝m，并且其中所述m×M线性方程组的所述欠定解具有如下解：
Figure FDA0003408455790000022
6.根据权利要求1所述的方法，其中所述m×M线性方程组的所述欠定解基于以下线性规划而被确定：
Figure FDA0003408455790000023
并且kj＝j。
7.根据权利要求6所述的方法，其中所述m×M线性方程组的所述欠定解基于对U2的分数查询，并且其中所述指数kj是任意实数。
8.根据权利要求6所述的方法，其中所述m×M线性方程组的所述欠定解基于分数多乘积而被确定，其中
Figure FDA0003408455790000024
被选择为使得
Figure FDA0003408455790000025
9.一种计算设备，包括：
处理器；以及
存储设备，保存指令，所述指令响应于获得m阶多乘积公式的解以求解包括乘积公式的量子计算问题的请求，而使所述处理器：
选择一组指数kj，其中每个kj是实数并且是呈以下乘积公式的线性组合的指数：
Figure FDA0003408455790000026
其中U表示所述乘积公式，M是所述乘积公式的线性组合中所包括的低阶乘积公式的数量，Δ是步长大小，aj是一组前因子，H是哈密顿算子h的总和，
Figure FDA0003408455790000027
是成本函数，N是项数；
基于所述一组指数kj，基于以下m×M线性方程组的欠定解来确定所述一组前因子aj：
Figure FDA0003408455790000031
以及
使用所述一组指数kj和所述一组前因子aj来求解包括所述乘积公式的所述量子计算问题。
10.根据权利要求9所述的计算设备，其中所述乘积公式的线性组合是对称特罗特铃木公式：
Figure FDA0003408455790000032
11.根据权利要求9所述的计算设备，其中M＝m，并且其中所述m×M线性方程组的所述欠定解具有如下解：
Figure FDA0003408455790000033
12.根据权利要求11所述的计算设备，其中所述m×M线性方程组的所述欠定解基于以下线性规划而被确定：
Figure FDA0003408455790000034
并且kj＝j。
13.根据权利要求11所述的计算设备，其中所述m×M线性方程组的所述欠定解基于对U2的分数查询，并且其中所述指数kj是任意实数。
14.根据权利要求11所述的计算设备，其中所述m×M线性方程组的所述欠定解基于分数多乘积而被确定，其中
Figure FDA0003408455790000035
被选择为使得
Figure FDA0003408455790000036
15.根据权利要求9所述的计算设备，其中所述计算设备是量子计算设备，所述计算设备还包括：
寄存器，包括多个量子位；
调制器，被配置为根据被存储在所述存储设备处的控制参数值对所述多个量子位实施量子逻辑操作；以及
解调器，被配置为揭示反映所述多个量子位的量子态的数据；并且其中所述控制器被操作地耦合至所述调制器和所述解调器。
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