CN113792496A - 一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法 - Google Patents

一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法。所述方法包括：对液体采用粒子进行离散，对计算区域设置网格，并将粒子的位置存储到网格内；求解粒子的法向量；判定自由表面粒子；设置网格的level‑set函数并进行光滑处理；计算网格level‑set函数的梯度；计算自由表面粒子附近网格的曲率；计算自由表面粒子的曲率；插值网格level‑set函数的梯度到自由表面粒子；计算自由表面粒子的张力，从而得出速度和位移，完成自由表面张力建模。本发明所提出的粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法无需设置气体粒子，大大减少了计算量，又确保了表面张力的计算精度，该方法可以方便地使用于二维和三维数值模拟。

Description

一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法
技术领域
本发明属于流体动力学领域，具体涉及一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法。
背景技术
粒子法作为新一代流体数值模拟方法，在Lagrange坐标系下表征介质的运动规律，粒子携带的位置、速度和压力等信息通过基于核函数的粒子作用模型产生相互作用。在处理自由表面，计算区域破碎与融合及存在大变形等一类问题时具有明显优势，打破了节点间存在固定拓扑结构的限制，成功避免了网格畸变、新旧网格转换等复杂过程。SPH(Smooth Particle Hydrodynamics)和MPS(Moving Particle Semi-implicit)方法是两种具有代表性的粒子法，分别针对可压缩流动和不可压缩流动的模拟而提出，但近年来，随着模型的不断发展和完善，两种粒子法均可用于可压缩流动和不可压缩流动的数值模拟。粒子法填补了传统网格法在计算流体大变形和多组分、多相流动问题上的不足，近年来受到越来越多的关注。国内外学者已经将粒子法成功应用于核工程、海洋、机械和生命等领域。
基于粒子法的数值模拟求解的是流体动态发展过程，所需的计算量较大，是限制粒子法应用于大尺度模拟的重要原因。一些提高计算速度的方法不断被提出，比如采用GPU处理器、并行计算和不同尺度粒子进行离散，都取得了很好的加速效果。然而，若能改进理论模型，减少粒子数量，则可以从根本上减少计算量。在粒子法处理自由表面张力方面，Kondo等人(M.Kondo,S.Koshizuka,K.Suzuki,et al.Surface tension model usinginter-particle force in particle method.5th Joint ASME/JSME FluidsEngineering Conference)提出了一种基于势函数的自由表面张力模型，无需设置气体粒子，但是计算结果的稳定性和准确性比较差。Duan等人(G.Duan,S.Koshizuka,B.Chen.Acontoured continuum surface force model for particle methods.Journal ofComputational Physics,2015,298:280-304)提出的基于等高线的表面张力模型和Yeganehdoust等人(F.Yeganehdoust,M.Yaghoubi,H.Emdad,et al.Numerical study ofmultiphase droplet dynamics and contact angles by smoothed particlehydrodynamics.Applied Mathematical Modelling,2016,40:8493-8512)采用的连续表面张力模型，通过采用颜色函数的方法计算液体和气体界面的曲率，可以准确模拟液体的自由表面张力，但是两种方法均需要设置气体粒子。设置气体粒子势必要增大计算量，尤其是在三维模拟工况下，粒子数量呈指数增长。气体粒子参与压力计算是导致计算量增大的主要原因，但是气体的压力对于液体流动的影响几乎可以忽略，因此如果可以不设置气体粒子或者不计算气体粒子的压力，而又可以准确模拟气液界面的张力，对提高数值模拟的速度和计算精度都具有重要的意义。
发明内容
为解决上述准确计算气液界面张力而设置气体粒子导致计算量增大的问题，本发明提出一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法。该方法仅对所计算的液体区域采用粒子进行离散，然后对整个计算区域设置背景网格，但网格仅参与表面张力的计算，不参与压力和粘性的求解。采用该建模方法，可以大大减少计算量，又能确保表面张力模型的计算精度。
本发明的目的至少通过如下技术方案之一实现。
一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法，包括以下步骤：
S1、对液体采用粒子进行离散，对计算区域设置网格，并将粒子的位置存储到网格内；
S2、求解粒子的法向量；
S3、判定自由表面粒子；
S4、设置网格的level-set函数；
S5、对网格的level-set函数值进行光滑处理；
S6、计算网格level-set函数的梯度；
S7、计算自由表面粒子附近网格的曲率；
S8、计算自由表面粒子的曲率；
S9、插值网格level-set函数的梯度到自由表面粒子；
S10、计算自由表面粒子的张力，从而得出出速度和位移，完成自由表面张力建模。
进一步地，步骤S1中，计算区域包括液体区域和气体区域，液体区域采用粒子进行离散，气体区域不设置粒子；所设置网格的宽度与粒子的尺寸相等；网格的边界位置为粒子边界位置向外延伸粒子相互作用模型中有效半径两倍的距离。
进一步地，其特征在于：步骤S2中，粒子的法向量采用粒子数密度梯度结合无量纲矩阵的形式进行计算，具体如下：
Figure BDA0003223072020000031
其中，ni表示粒子i的法向量；Bi表示粒子i的无量纲矩阵；Ci表示粒子i的粒子数密度与规则布置粒子数密度比值；n0表示规则布置粒子数密度；rij表示粒子i和粒子j的位移向量；wij表示粒子i和粒子j之间的权函数；▽表示哈密顿算子。
进一步地，步骤S3中，自由表面粒子采用环周扫描方法判定，如果粒子i与周围的任何一个邻居粒子j满足公式(2)，则粒子i会被判定为内部粒子；否则，粒子i被判定为自由表面粒子，具体如下：
Figure BDA0003223072020000032
其中，ri,rj分别表示粒子i和粒子j的位置向量；l0表示粒子规则布置下最小间距。
进一步地，步骤S4中，设置网格的level-set函数时，搜索自由表面粒子有效半径范围内的网格，并根据网格与自由表面粒子的法向距离进行设置；若网格N与自由表面粒子Fi的法向距离大于有效半径，且该网格N在气体区域，则网格N的level-set函数值为-1；反之，若网格N与自由表面粒子Fi的法向距离大于有效半径，但该网格N在液体区域，则网格N的level-set函数值为1；若网格N与自由表面粒子Fi的法向距离小于有效半径，则按照dNFi/re设置level-set函数，具体如公式(3)所示：
Figure BDA0003223072020000041
其中，φ(rN)表示网格N的level-set函数；rN表示网格N的位置向量；rFi表示自由表面粒子Fi的位置向量；nFi表示自由表面粒子Fi的法向量；dNFi表示网格N与自由表面粒子Fi的法向距离；re表示自由表面粒子附近网格搜索粒子的有效半径。
进一步地，步骤S5中，采用高斯函数对网格的level-set函数值进行光滑处理，如公式(4)所示：
Figure BDA0003223072020000042
Figure BDA0003223072020000043
其中，
Figure BDA0003223072020000044
表示光滑处理后的网格N的level-set函数；rK表示网格K的位置向量，网格K为网格N光滑半径范围内的网格；G()表示高斯函数，||rK-rN||为网格K和网格N的距离，rs为光滑半径。
进一步地，步骤S6中，采用粒子法的梯度模型计算网格的level-set函数的梯度，包括移动粒子半隐式方法或光滑粒子流体动力学方法。
进一步地，步骤S7中，根据网格的level-set函数值，采用等高线表面张力模型(G.Duan,S.Koshizuka,B.Chen.A contoured continuum surface force model forparticle methods.Journal of Computational Physics,2015,298:280-304)或者连续表面张力模型(F.Yeganehdoust,M.Yaghoubi,H.Emdad,et al.Numerical study ofmultiphase droplet dynamics and contact angles by smoothed particlehydrodynamics.Applied Mathematical Modelling,2016,40:8493-8512)计算自由表面粒子有效半径范围内网格的曲率值。
进一步地，步骤S8中，对于每一个自由表面粒子，根据该自由表面粒子与有效半径范围内网格的距离，采用高斯函数进行插值计算自由表面粒子的曲率，具体如式(5)所示：
Figure BDA0003223072020000051
其中，κFi表示自由表面粒子Fi的曲率；κN表示网格N的曲率；G()表示高斯函数，||rFi-rN||为自由表面粒子Fi和网格N的距离。
进一步地，步骤S9中，自由表面粒子Fi位置处的level-set函数梯度通过公式(6)插值进行计算，具体如下：
Figure BDA0003223072020000052
其中，
Figure BDA0003223072020000053
表示自由表面粒子Fi位置处的level-set函数梯度。
进一步地，步骤S10中，根据自由表面粒子的曲率、level-set函数的梯度和表面张力系数，计算自由表面粒子的张力，从而计算出自由表面粒子的速度和位移，具体如下：
Figure BDA0003223072020000054
Figure BDA0003223072020000061
Figure BDA0003223072020000062
其中，FFi表示自由表面粒子Fi的表面张力；σ表示表面张力系数；
Figure BDA0003223072020000063
表示自由表面粒子Fi在k+1时刻的速度；
Figure BDA0003223072020000064
表示自由表面粒子Fi的临时速度；ρ表示液体密度；
Figure BDA0003223072020000065
表示自由表面粒子Fi在k+1时刻的位置；
Figure BDA0003223072020000066
表示自由表面粒子Fi的临时位置；Δt表示时间步长。
和现有技术相比较，本发明具备以下优点：
1、本发明采用粒子和网格相结合的方式进行自由表面张力建模，基于网格的level-set函数采用等高线表面张力模型或者连续表面张力模型计算自由表面粒子张力，无需设置气体粒子，大大减少了计算量，又确保了表面张力的计算精度。
2、本发明采用粒子环周扫描法判定自由表面粒子，避免了内部粒子被误判为自由表面粒子的可能。
3、本发明对网格设置了level-set函数，该level-set函数值可用于流体区域的后处理渲染。
4、本发明所提出的粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法可以方便地应用于二维和三维的数值模拟。
附图说明
图1是本发明实施例中粒子与网格相结合的自由表面张力计算流程图。
图2是本发明实施例中粒子和网格布置及level-set函数设置图。
图3是本发明实施例中环周扫描法判定自由表面粒子示意图。
图4是本发明实施例中由网格曲率插值到粒子曲率示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。
实施例：
一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法，如图1所示，包括以下步骤：
S1、如图2所示，计算区域包括液体区域和气体区域，液体区域采用粒子进行离散，气体区域不设置粒子，对计算区域设置网格，并将粒子的位置存储到网格内；所设置网格的宽度与粒子的尺寸相等；网格的边界位置为粒子边界位置向外延伸粒子相互作用模型中有效半径两倍的距离。
S2、采用粒子数密度梯度结合无量纲矩阵的形式计算粒子的法向量，具体如下：
Figure BDA0003223072020000071
其中，ni表示粒子i的法向量；Bi表示粒子i的无量纲矩阵；Ci表示粒子i的粒子数密度与规则布置粒子数密度比值；n0表示规则布置粒子数密度；rij表示粒子i和粒子j的位移向量；wij表示粒子i和粒子j之间的权函数；▽表示哈密顿算子。
S3、如图3所示，采用粒子环周扫描方法判定自由表面粒子，如果粒子i与周围的任何一个邻居粒子j满足公式(2)，则粒子i被判定为内部粒子；否则，粒子i被判定为自由表面粒子，具体如下：
Figure BDA0003223072020000072
其中，ri,rj分别表示粒子i和粒子j的位置向量；l0表示粒子规则布置下最小间距。
S4、搜索自由表面粒子有效半径范围内的网格，并根据网格与自由表面粒子的法向距离进行设置网格的level-set函数；若网格N与自由表面粒子Fi的法向距离大于有效半径，且该网格N在气体区域，则网格N的level-set函数值为-1；反之，若网格N与自由表面粒子Fi的法向距离大于有效半径，但该网格N在液体区域，则网格N的level-set函数值为1；若网格N与自由表面粒子Fi的法向距离小于有效半径，则按照dNFi/re设置level-set函数，具体如公式(3)所示：
Figure BDA0003223072020000081
其中，φ(rN)表示网格N的level-set函数；rN表示网格N的位置向量；rFi表示自由表面粒子Fi的位置向量；nFi表示自由表面粒子Fi的法向量；dNFi表示网格N与自由表面粒子Fi的法向距离；re表示自由表面粒子附近网格搜索粒子的有效半径。
S5、采用高斯函数对网格的level-set函数值进行光滑处理，如式(4)所示：
Figure BDA0003223072020000082
Figure BDA0003223072020000083
其中，
Figure BDA0003223072020000084
表示光滑处理后的网格N的level-set函数；rK表示网格K的位置向量，网格K为网格N附近的网格；G(||rK-rN||,rs)表示高斯函数，||rK-rN||为网格K和网格N的距离，rs为光滑半径。
S6、采用粒子法的梯度模型计算网格的level-set函数的梯度，本实施例中，如公式(5)所示，以移动粒子半隐式方法为例，计算网格level-set函数的梯度，具体如下：
Figure BDA0003223072020000091
其中，
Figure BDA0003223072020000092
表示光滑处理后的网格N的level-set函数梯度；d表示数值计算维度，取值为2或3；w(||rK-rN||)表示网格K与网格N之间的权函数。
S7、根据网格的level-set函数值，本实施例中，采用等高线表面张力模型计算自由表面粒子有效半径范围内网格的曲率值。
在另一个实施例中，采用连续表面张力模型计算自由表面粒子有效半径范围内网格的曲率值。
S8、如图4所示，本实施例中，对于每一个自由表面粒子，根据该自由表面粒子与有效半径范围内网格的距离，采用高斯函数进行插值计算自由表面粒子的曲率，具体如式(6)所示：
Figure BDA0003223072020000093
其中，κFi表示自由表面粒子Fi的曲率；κN表示网格N的曲率；G(||rFi-rN||,re)表示高斯函数，||rFi-rN||为自由表面粒子Fi和网格N的距离，本实施例中，N＝1～9。
S9、自由表面粒子Fi位置处的level-set函数梯度通过公式(7)插值进行计算，
Figure BDA0003223072020000094
式中
Figure BDA0003223072020000095
表示自由表面粒子Fi位置处的level-set函数梯度。
S10、根据自由表面粒子的曲率、level-set函数的梯度和表面张力系数，计算自由表面粒子的张力，从而得出自由表面粒子的速度和位移，完成自由表面张力建模，具体如下：
Figure BDA0003223072020000101
Figure BDA0003223072020000102
Figure BDA0003223072020000103
其中，FFi表示自由表面粒子Fi的表面张力；σ表示表面张力系数；
Figure BDA0003223072020000104
表示自由表面粒子Fi在k+1时刻的速度；
Figure BDA0003223072020000105
表示自由表面粒子Fi的临时速度；ρ表示液体密度；
Figure BDA0003223072020000106
表示自由表面粒子Fi在k+1时刻的位置；
Figure BDA0003223072020000107
表示自由表面粒子Fi的临时位置；Δt表示时间步长。

Claims (10)

1.一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法，其特征在于：包括以下步骤：
S1、对液体采用粒子进行离散，对计算区域设置网格，并将粒子的位置存储到网格内；
S2、求解粒子的法向量；
S3、判定自由表面粒子；
S4、设置网格的level-set函数；
S5、对网格的level-set函数值进行光滑处理；
S6、计算网格level-set函数的梯度；
S7、计算自由表面粒子附近网格的曲率；
S8、计算自由表面粒子的曲率；
S9、插值网格level-set函数的梯度到自由表面粒子；
S10、计算自由表面粒子的张力，从而得出速度和位移，完成自由表面张力建模。
2.根据权利要求1所述的一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法，其特征在于：步骤S1中，计算区域包括液体区域和气体区域，液体区域采用粒子进行离散，气体区域不设置粒子；所设置网格的宽度与粒子的尺寸相等；网格的边界位置为粒子边界位置向外延伸粒子相互作用模型中有效半径两倍的距离。
3.根据权利要求1所述的一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法，其特征在于：步骤S2中，粒子的法向量采用粒子数密度梯度结合无量纲矩阵的形式进行计算，具体如下：
Figure FDA0003223072010000011
Figure FDA0003223072010000012
Figure FDA0003223072010000021
其中，ni表示粒子i的法向量；Bi表示粒子i的无量纲矩阵；Ci表示粒子i的粒子数密度与规则布置粒子数密度比值；n0表示规则布置粒子数密度；rij表示粒子i和粒子j的位移向量；wij表示粒子i和粒子j之间的权函数；
Figure FDA0003223072010000022
表示哈密顿算子。
4.根据权利要求1所述的一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法，其特征在于：步骤S3中，自由表面粒子采用环周扫描方法判定，如果粒子i与周围的任何一个邻居粒子j满足公式(2)，则粒子i会被判定为内部粒子；否则，粒子i被判定为自由表面粒子，具体如下：
Figure FDA0003223072010000023
其中，ni表示粒子i的法向量；ri,rj分别表示粒子i和粒子j的位置向量；l0表示粒子规则布置下最小间距。
5.根据权利要求1所述的一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法，其特征在于：步骤S4中，设置网格的level-set函数时，搜索自由表面粒子有效半径范围内的网格，并根据网格与自由表面粒子的法向距离进行设置；若网格N与自由表面粒子Fi的法向距离大于有效半径，且该网格N在气体区域，则网格N的level-set函数值为-1；反之，若网格N与自由表面粒子Fi的法向距离大于有效半径，但该网格N在液体区域，则网格N的level-set函数值为1；若网格N与自由表面粒子Fi的法向距离小于有效半径，则按照dNFi/re设置level-set函数，具体如公式(3)所示：
Figure FDA0003223072010000024
其中，φ(rN)表示网格N的level-set函数；rN表示网格N的位置向量；rFi表示自由表面粒子Fi的位置向量；nFi表示自由表面粒子Fi的法向量；dNFi表示网格N与自由表面粒子Fi的法向距离；re表示自由表面粒子附近网格搜索粒子的有效半径。
6.根据权利要求5所述的一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法，其特征在于：步骤S5中，采用高斯函数对网格的level-set函数值进行光滑处理，如公式(4)所示：
Figure FDA0003223072010000031
Figure FDA0003223072010000032
其中，
Figure FDA0003223072010000033
表示光滑处理后的网格N的level-set函数；rK表示网格K的位置向量，网格K为网格N光滑半径范围内的网格；G()表示高斯函数，||rK-rN||为网格K和网格N的距离，rs为光滑半径。
7.根据权利要求1所述的一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法，其特征在于：步骤S6中，采用粒子法的梯度模型计算网格的level-set函数的梯度，包括移动粒子半隐式方法或光滑粒子流体动力学方法。
8.根据权利要求1所述的一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法，其特征在于：步骤S7中，根据网格的level-set函数值，采用等高线表面张力模型或者连续表面张力模型计算自由表面粒子有效半径范围内网格的曲率值；
步骤S8中，对于每一个自由表面粒子，根据该自由表面粒子与有效半径范围内网格的距离，采用高斯函数进行插值计算自由表面粒子的曲率，具体如式(5)所示：
Figure FDA0003223072010000041
其中，κFi表示自由表面粒子Fi的曲率；κN表示网格N的曲率；G()表示高斯函数，||rFi-rN||为自由表面粒子Fi和网格N的距离，re表示自由表面粒子附近网格搜索粒子的有效半径。
9.根据权利要求1所述的一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法，其特征在于：步骤S9中，自由表面粒子Fi位置处的level-set函数梯度通过公式(6)插值进行计算，具体如下：
Figure FDA0003223072010000042
其中，
Figure FDA0003223072010000043
表示自由表面粒子Fi位置处的level-set函数梯度，G()表示高斯函数，rFi表示自由表面粒子Fi的位置向量；rs为光滑半径。
10.根据权利要求1～9任一项所述的一种基于粒子与网格相结合的自由表面张力建模方法，其特征在于：步骤S10中，根据自由表面粒子的曲率、level-set函数的梯度和表面张力系数，计算自由表面粒子的张力，从而计算出自由表面粒子的速度和位移，具体如下：
Figure FDA0003223072010000044
Figure FDA0003223072010000045
Figure FDA0003223072010000046
其中，FFi表示自由表面粒子Fi的表面张力；σ表示表面张力系数；
Figure FDA0003223072010000047
表示自由表面粒子Fi在k+1时刻的速度；
Figure FDA0003223072010000048
表示自由表面粒子Fi的临时速度；ρ表示液体密度；
Figure FDA0003223072010000049
表示自由表面粒子Fi在k+1时刻的位置；
Figure FDA00032230720100000410
表示自由表面粒子Fi的临时位置；Δt表示时间步长。
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