CN113761730A - 基于改进差分的茶园四杆中耕机构多目标点轨迹综合方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及到利用优化算法来解决茶园中耕机构的轨迹综合任务领域。技术方案是：一种基于改进差分的茶园四杆中耕机构多目标点轨迹综合方法，依次包括以下步骤：第1步：选取耕作目标轨迹，对该轨迹进行离散化处理，得到若干综合目标轨迹点；第2步：利用机构学的知识表达出四杆中耕机构连杆轨迹发生点处(耕作刀具尖点)的位置函数；第3步：表达出轨迹综合任务的综合目标函数；第4步：利用Matlab结合所述第3步对所述改进的差分算法进行编程；第5步：运行程序，得到所求机构的尺寸参数，并通过仿真验证所设计机构在特定点处的发生轨迹。该方法应能大大提高利用优化法解决非计时多目标点轨迹综合机构问题的求解速度和精度。

Description

基于改进差分的茶园四杆中耕机构多目标点轨迹综合方法

技术领域

本发明涉及到利用优化算法来解决茶园中耕机构的轨迹综合任务领域，具体是提供一种基于改进的差分算法的轨迹生成综合茶园四杆中耕机构的方法。

背景技术

树是深根植物，主根在深厚的土壤中，中耕能够减少表土水分含量，增加阳光辐射的吸收量，促进茶芽提早萌发，是茶园管理的重要环节。我国茶园多分布于丘陵山区，对茶园土壤的耕作主要采用小型锄铲式中耕机，锄铲式中耕机的核心工作部分为连杆式中耕机构，中耕机构的设计往往需要解决“已知锄铲铲尖位置耕作轨迹的多目标点非计时轨迹综合机构”的问题，常见解决机构综合问题的方法有解析法和优化法，而非计时轨迹综合机构问题中的待求参数极多，用传统的解析法解决该问题往往需要解决解非线程方程组的问题，且非线程方程组的维数随着目标综合点的增多而增大，高维非线性方程组的求解问题一直是工程技术界和应用数学界的难点之一，无法在保证综合精度的同时保证其解的可行性，故而可用优化法来解决多目标点的轨迹综合机构问题。目前利用优化法解决多目标点的轨迹综合机构问题常用遗传算法(GA)、粒子群算法(POS)及差分算法(DE)，在目标函数设计变量比较多的情况下，GA和POS暴露出了其收敛精度较差和迭代速度较慢的缺点，而对于DE，其本身就相对来说最适用于解决高维目标函数的优化问题，如果对DE的某些流程进行改进，就可以获得更高的收敛速度和更精确的解。

发明内容

本发明的目的是克服上述背景技术中的不足，提供一种基于改进差分的茶园四杆中耕机构多目标点轨迹综合方法，该方法应能大大提高利用优化法解决非计时多目标点轨迹综合机构问题的求解速度和精度，为茶园中耕机构的设计提供一种有效的方案。

本发明提供的技术方案是：

一种基于改进差分的茶园四杆中耕机构多目标点轨迹综合方法(以平面四杆中耕机构为例进行说明)，依次包括以下步骤：

第1步：选取耕作目标轨迹，对该轨迹进行离散化处理，得到若干综合目标轨迹点；

第2步：利用机构学的知识表达出四杆中耕机构连杆轨迹发生点处(耕作刀具尖点)的位置函数；

第3步：表达出轨迹综合任务的综合目标函数；

第4步：利用Matlab结合所述第3步对所述改进的差分算法进行编程；

第5步：运行程序，得到所求机构的尺寸参数，并通过仿真验证所设计机构在特定点处的发生轨迹。

所述第1步中，对于目标轨迹，可以结合农艺选取包括耕作刀具入土点、出土点等关键型值点在内的N个目标轨迹形状控制点作为离散化的目标综合轨迹。

所述第2步中，所述四杆中耕机构为平面四杆机构；

参照附图2，建立全局坐标系XOY，X_rO₂Y_r为局部坐标系；r₁、r₂、r₃、r₄分别表示机架杆、输入杆、连杆和输出杆；θ₀为机架杆与X轴之间的夹角，θ₂为输入杆与机架杆之间的夹角(输入角)，θ₃为连杆和机架杆之间的夹角，θ₄为输出杆与机架之间的夹角；(x₀,y₀)表示整转副O₂点在全局坐标系XOY下的坐标；C点表示连杆上的任意一点，其位置由r_cx和r_cy确定，r_cx⊥r_cy；

平面四杆机构连杆任意位置C点的轨迹函数为：

式中,(C_X,C_Y)表示C点在全局坐标系XOY下的坐标，(C_Xr,C_Yr)代表C点在局部坐标系X_rO₂Y_r下的坐标，θ₃和θ₄可通过求解四杆机构矢量方程由θ₂表示；

所述第3步中，以平面四杆机构连杆发生轨迹与期望轨迹点坐标间的偏差平方和作为综合目标函数：

式中，N代表目标轨迹点的个数，

表示N个目标轨迹点的坐标；目标函数f_obj中包含所有待求参数

代表输入杆旋转一整周的过程中在不同位置的输入角；

表示输入杆旋转一整周的过程中，待综合机构连杆上的C点对应的发生轨迹点的坐标。

所述综合目标函数包括以下约束条件：

1)保证曲柄能够整周转动的格拉索夫条件：

[Max(r₁,r₂,r₃,r₄)+Min(r₁,r₂,r₃,r₄)]≤{Sum(r₁,r₂,r₃,r₄)-[Max(r₁,r₂,r₃,r₄)+Min(r₁,r₂,r₃,r₄)]}

2)输入角度θ₂按次序增大或减小的顺序条件：

取

时，

或者，

取

时，

mod(a,b)为取余运算，表示a/b的余数，a,b为任意整数。

3)待求参数的范围。

将条件1)和2)作为惩罚函数插入到目标函数当中，条件3)在运行程序时进行调试选取，最终综合目标函数为：

式中，在解向量满足格拉索夫条件时，h₁(X)取0，否则h₁(X)取1；在解向量满足输入角度θ₂按次序增大或减小的顺序条件时，h₁(X)取0，否则h₁(X)取1；M₁和M₂分别取一个足够大的值。

所述第4步编程的步骤为：

1)初始化：

以NP个基因数目为D的个体(每个个体对应一条染色体)作为每一代的种群，在具体问题中，一个向量代表一条染色体或个体，向量中的元素代表染色体上的基因。初始种群

随机产生:

其中,

和

分别表示第i条“染色体”的第j个基因x_j,i取值范围的上界和下界；x_i(0)表示种群中第0代的第i条“染色体”，x_j,i(0)表示第0代的第i条“染色体”的第j个“基因”，NP表示种群大小(即向量的个数)，D表示每条染色体上基因的个数(即向量的维数)；rand(0,1)表示取0～1之间的随机数。

2)变异：DE通过差分策略实现个体变异，差分策略是随机选取种群中两个不同的个体，将其向量差缩放后与待变异个体进行向量合成：

v_i(g+1)＝x_r1(g)+F·(x_r2(g)-x_r3(g)),i≠r₁≠r₂≠r₃

其中：

F＝F₀×2^λ

上式中，F为变异算子，x_i(g)表示第g代种群中第i条染色体，v_i(g+1)表示第g代种群在变异后(变异中间体)的第i条“染色体”，G为最大进化代数；g为当前进化代数，F₀为基本变异算子，常取0.2～0.6；

3)交叉：第g代种群

通过变异后，产生一个中间体v_i(g+1)。对第g代种群x_i(g)及其变异的中间体v_i(g+1)进行个体(每条染色体代表一个个体)间的交叉操作：

其中：

上式中,

表示第g代种群的交叉算子，g∈(0,G)，j_rand为[1,2,…,D]的随机整数，x_j,i(g)表示第g代种群第i条“染色体”的第j个“基因”，v_j,i(g+1)表示第g代种群在变异后第i条“染色体”的第j个“基因”，u_j,i(g+1)表示第g代种群在变异和交叉后第i条“染色体”的第j个“基因”，G为最大进化代数，g为当前进化代数，G₀为初期最大进化代数，通常取G₀＝(0.2～0.3)G；R_{c min}一般取0.1～0.3，R_{c max}一般取0.7～0.9；

为了确保变异中间体v_i(g+1)的每个“染色体”至少有一个“基因”遗传给下一代,第一个交叉操作的基因是随机取出v_i(g+1)中的第j_rand位“基因”作为交叉后“染色体”u_i(g+1)的第j_rand位等位“基因”。后续的交叉操作过程,则是通过交叉算子R_c来选取x_i(g)还是v_i(g+1)的等位基因作为u_i(g+1)的等位基因；

4)边界条件的处理：在变异的和交叉的过程中，会出现某条染色体的某个基因点位值超出边界范围，此操作将超过边界的向量使用可行域中随机产生的参数向量代替：

u′_j,i(g+1)表示第g代种群在变异、交叉和边界条件处理后第i条“染色体”的第j个“基因”。

5)选择：DE采用贪婪算法来选择进入下一代种群的个体：

x_i(g+1)表示第g代种群在变异、交叉、边界条件处理和选择后(即第g+1代种群)第i条“染色体”的第j个“基因”，f_obj(X)为目标函数。

6)重复上述细化步骤，迭代至目标函数值收敛；

本发明的有益效果是：

本发明所采用的利用改进的差分算法解决多目标点非计时轨迹综合机构的方法，在传统差分算法的基础上，分别对交叉算子采取迭代初期较小到迭代中后期逐渐变大、对变异算子采取迭代初期较大到迭代中后期逐渐变小的设计，大大提高了解决高维非计时多目标点轨迹综合机构问题的精度和速度，为茶园中耕机构的设计提供了一种更加高效的方案。

附图说明

图1是本发明所述差分算法的流程图。

图2是本发明所述的平面四杆机构简图。

图3是采用已有算法获得的轨迹综合结果。

图4是采用本发明所述改进的差分算法获得的轨迹综合结果。

图5是本发明所述的离散化目标综合轨迹点。

图6是采用本发明所述改进的差分算法获得的迭代曲线。

图7是本发明实施例采用所述改进的差分算法下综合所得的连杆机构。

图8是本发明实施例采用所述改进的差分算法下的轨迹综合结果。

具体实施方式

以下结合说明书附图所示实施例，对本发明作进一步说明

本发明包括以下步骤(松土轨迹综合茶园四杆中耕机构为例)：

第1步：选取茶园中耕的目标轨迹，对该轨迹进行离散化处理

参照附图5，选取茶园中耕的目标轨迹，结合农艺选取包括耕作刀具入土点、出土点等关键型值点在内的16个目标轨迹形状控制点作为离散化的目标综合轨迹。

显然，这些目标综合轨迹形成的平面垂直于水平面。

第2步：利用机构学的知识表达出茶园中耕机构连杆轨迹发生点处(耕作刀具尖点)的位置函数

参照附图2，XOY为全局坐标系，X_rO₂Y_r为局部坐标系；r₁、r₂、r₃、r₄分别表示机架杆、输入杆、连杆和输出杆；θ₀为机架杆与X轴之间的夹角，θ₂为输入杆与机架杆之间的夹角(输入角)，θ₃为连杆和机架杆之间的夹角，θ₄为输出杆与机架之间的夹角；(x₀,y₀)表示整转副O₂点在全局坐标系XOY下的坐标；C点表示连杆上的任意一点，其位置由r_cx和r_cy确定，r_cx⊥r_cy。

四杆中耕机构的连杆在任意位置C的轨迹函数为：

式中,(C_X,C_Y)表示C点在全局坐标系XOY下的坐标，(C_Xr,C_Yr)代表C点在局部坐标系X_rO₂Y_r下的坐标，θ₃和θ₄可通过求解四杆机构矢量方程由θ₂表示。

第3步：表达出轨迹综合任务的综合目标函数

四杆中耕机构连杆发生轨迹与期望轨迹点坐标间的偏差平方和作为综合目标函数：

式中，N代表目标轨迹点的个数，

表示N个目标轨迹点的坐标；目标函数f_obj中包含所有待求参数

代表输入杆旋转一整周的过程中在不同位置的输入角；

表示输入杆旋转一整周的过程中，待综合机构连杆上的C点对应的发生轨迹点的坐标。

所述综合目标函数包括以下约束条件：

1)保证曲柄能够整周转动的格拉索夫条件：

[Max(r₁,r₂,r₃,r₄)+Min(r₁,r₂,r₃,r₄)]≤{Sum(r₁,r₂,r₃,r₄)-[Max(r₁,r₂,r₃,r₄)+Min(r₁,r₂,r₃,r₄)]}

2)输入角度θ₂按次序增大或减小的顺序条件：

取

时，

或者，

取

时，

mod(a,b)为取余运算，表示a/b的余数。a,b为任意整数。

3)待求参数的范围。

将条件1)和2)作为惩罚函数插入到目标函数当中，条件3)在运行程序时进行调试选取，最终综合目标函数为：

式中，在解向量满足格拉索夫条件时，h₁(X)取0，否则h₁(X)取1；在解向量满足输入角度θ₂按次序增大或减小的顺序条件时，h₁(X)取0，否则h₁(X)取1；M₁和M₂分别取一个足够大的值。

第4步：参照附图1，利用Matlab对所述改进的差分算法进行编程

编程的步骤如下：

1)初始化：

以NP个基因数目为D的个体(每个个体对应一条染色体)作为每一代的种群，在具体问题中，一个向量代表一条染色体(或个体)，向量中的元素代表染色体上的基因。初始种群

随机产生。

其中,

和

分别表示第i条“染色体”的第j个基因x_j,i取值范围的上界和下界；x_i(0)表示种群中第0代的第i条“染色体”，x_j,i(0)表示第0代的第i条“染色体”的第j个“基因”，NP表示种群大小(即向量的个数)，D表示每条染色体上基因的个数(即向量的维数)；rand(0,1)表示取0～1之间的随机数。

2)变异：

常规的处理方法如下：

DE通过差分策略实现个体变异，差分策略是随机选取种群中两个不同的个体，将其向量差缩放后与待变异个体进行向量合成：

v_i(g+1)＝x_r1(g)+F·(x_r2(g)-x_r3(g)),i≠r₁≠r₂≠r₃

式中，F为变异算子，x_i(g)表示第g代种群中第i条染色体，v_i(g+1)表示第g代种群在变异后(变异中间体)的第i条“染色体”。

本发明改进后的处理方法是：

DE通过差分策略实现个体变异，差分策略是随机选取种群中两个不同的个体，将其向量差缩放后与待变异个体进行向量合成：

v_i(g+1)＝x_r1(g)+F·(x_r2(g)-x_r3(g)),i≠r₁≠r₂≠r₃

其中：

F＝F₀×2^λ

上式中，F为变异算子，x_i(g)表示第g代种群中第i条染色体，v_i(g+1)表示第g代种群在变异后(变异中间体)的第i条“染色体”，G为最大进化代数；g为当前进化代数，F₀为基本变异算子，常取0.2～0.6；

3)交叉：

常规的处理方法如下：

第g代种群

通过变异后，产生一个中间体v_i(g+1)。对第g代种群x_i(g)及其变异的中间体v_i(g+1)进行个体(每条染色体代表一个个体)间的交叉操作：

其中,R_c为交叉算子，j_rand为[1,2,…,D]的随机整数，x_j,i(g)表示第g代种群第i条“染色体”的第j个“基因”，v_j,i(g+1)表示第g代种群在变异后第i条“染色体”的第j个“基因”，u_j,i(g+1)表示第g代种群在变异和交叉后第i条“染色体”的第j个“基因”。

本发明改进后的处理方法是：

第g代种群

通过变异后，产生一个中间体v_i(g+1)。。对第g代种群x_i(g)及其变异的中间体v_i(g+1)进行个体(每条染色体代表一个个体)间的交叉操作：

其中：

上式中,

表示第g代种群的交叉算子，g∈(0,G)，j_rand为[1,2,…,D]的随机整数，x_j,i(g)表示第g代种群第i条“染色体”的第j个“基因”，v_j,i(g+1)表示第g代种群在变异后第i条“染色体”的第j个“基因”，u_j,i(g+1)表示第g代种群在变异和交叉后第i条“染色体”的第j个“基因”，G为最大进化代数，g为当前进化代数，G₀为初期最大进化代数，通常取G₀＝(0.2～0.3)G；R_{c min}一般取0.1～0.3，R_{c max}一般取0.7～0.9；

为了确保变异中间体v_i(g+1)的每个“染色体”至少有一个“基因”遗传给下一代,第一个交叉操作的基因是随机取出v_i(g+1)中的第j_rand位“基因”作为交叉后“染色体”u_i(g+1)的第j_rand位等位“基因”。后续的交叉操作过程,则是通过交叉算子R_c来选取x_i(g)还是v_i(g+1)的等位基因作为u_i(g+1)的等位基因。

4)边界条件的处理：在变异的和交叉的过程中，会出现某条染色体的某个基因点位值超出边界范围，此操作将超过边界的向量使用可行域中随机产生的参数向量代替：

u′_j,i(g+1)表示第g代种群在变异、交叉和边界条件处理后第i条“染色体”的第j个“基因”。

5)选择：DE采用贪婪算法来选择进入下一代种群的个体：

x_i(g+1)表示第g代种群在变异、交叉、边界条件处理和选择后(即第g+1代种群)第i条“染色体”的第j个“基因”，f_obj(X)为目标函数。

6)重复上述细化步骤，迭代至目标函数值收敛。

本发明对上述编程步骤中的变异(第2小步)和交叉(第3小步)操作进行了改进，改进思路如下：

(1)变异操作中变异算子F取值的改进：

在基本的差分进化算法中，变异算子F经常取常数，F取太大，有利于保持种群的多样性，全局搜索能力强，但收敛速度慢；F取太小，有利于加快收敛速度,但易陷入局部最优区域。

故可以设计这样的变异算子：

式中，G为最大进化代数；g为当前进化代数；F₀为基本变异算子，常取0.2～0.6。

这样开始的时候变异算子为2F₀，在迭代初期可以保持种群的多样性，防止局部收敛；随着迭代次数的增加，变异算子逐渐减小，最后减小到F₀，以保证在迭代中后期进行高效精细的搜索。

(2)交叉操作中交叉算子R_c取值的改进

在基本的差分进化算法中，交叉算子R_c经常取常数，R_c取得越小，有利于保持种群的多样性和全局搜索能力，但收敛速度慢。R_c取得越大,有利于局部搜索和加速收敛速度,但易陷入局部最优区域。

故可以设计这样的交叉算子：

式中，G为最大进化代数，g为当前进化代数，G₀为初期最大进化代数，通常取G₀＝(0.2～0.3)G；R_{c min}一般取0.1～0.3，R_{c max}一般取0.7～0.9。

这种设计下，在进化初期,R_c自R_{c min}递增至R_{c max},在种群多样性较好的情况下快速搜索至全局最优区域但最优解的精度不够高；在进化中后期,R_c取较大的固定值R_{c max},用较长时间在全局最优区域进行精细搜索,以便获得高精度解。

图6是在所述改进的差分进化算法下的迭代曲线，可见目标函数的值随着迭代次数的增大而减小，最终收敛。

第5步：运行程序，得到所求机构的尺寸参数，并通过仿真验证茶园中耕机构在耕作刀具尖点位置的轨迹。

对于上述松土轨迹综合茶园四杆中耕机构的任务，所述改进的差分进化算法下综合出的茶园四杆中耕机构如图7所示；

其中：

r₃、r_cx、r_cy的值是由耕作刀具的尺寸决定，是已知量：

r₃＝300mm,r_cx＝786mm,r_cy＝108mm.

其余参数的值是综合所得结果：

r₁＝913.87mm,r₂＝146.54mm,r₄＝994.48mm,x₀＝843.25mm,

y₀＝639.59mm,θ₀＝169°.

其中，16个轨迹点对应的输入角度

同样也是综合所得参数，但因为对综合所得机构的建立没有影响，故在此不作描述。

附图8为综合所得四杆中耕机构C点(图7中耕作刀具的尖点)的耕作轨迹和期望轨迹点的对比图。

比较后可知：综合所得机构的轨迹与目标轨迹点之间的相对误差为0.28％。

对比实施例

现以一个经典的10轨迹点非计时轨迹综合四杆机构任务，来对所述改进的差分算法与其他算法进行对比：

实施例1：

待求待求参数：

目标轨迹点：

待求参数的范围：

依次包括以下步骤：

第1步：此案例下目标轨迹点已给定；

第2步：利用机构学的知识表达出四杆机构连杆轨迹发生点处的位置函数；

第3步：表达出轨迹综合任务的综合目标函数；

第4步：参照附图1，利用Matlab对所述改进的差分算法进行编程；

第5步：运行程序，得到所求机构的尺寸参数，验证所设计机构的连杆轨迹。

对于此轨迹综合任务的综合结果，附图4为所述改进差分算法综合所得机构的发生轨迹和期望轨迹点的对比图，所述改进的差分算法综合结果的绝对误差为0.0322。

参照图3，对于同样的轨迹综合任务，采用文献中所说的DE(基本差分算法)、PSO(粒子群算法)、GA(遗传算法)的绝对误差分别为1.952326、1.971004、2.281273；可见所述改进的差分算法极大的提高了轨迹综合任务的精度。

图3中的英文含义：

solved by Genetic Algorithm:利用遗传算法(GA)求解；

solved by Particle Swarm Optimization：利用粒子群算法(PSO)求解；

solved by Differential Evolution:利用基本的差分算法(DE)求解；

traced by 4 bar mechanism：四杆机构发生轨迹；

prescribed coupler points:期望轨迹点；

error：误差。

本文仅以平面四杆机构轨迹综合任务为例验证所述改进的差分算法，所述改进的差分算法同样可以利用在其他机构的非计时多目标点轨迹综合任务的实施例上，只需要在第2步中对相应待综合机构轨迹发生点进行机构学分析即可。

Claims (5)

1.一种基于改进差分的茶园四杆中耕机构多目标点轨迹综合方法，依次包括以下步骤：

第1步：选取耕作目标轨迹，对该轨迹进行离散化处理，得到若干综合目标轨迹点。

第2步：利用机构学的知识表达出四杆中耕机构连杆轨迹发生点处即耕作刀具尖点的位置函数。

第3步：表达出轨迹综合任务的综合目标函数；

第4步：结合所述第3步对所述改进的差分算法进行编程；

第5步：运行程序，得到所求机构的尺寸参数，并通过仿真验证所设计机构在特定点处的发生轨迹。

2.根据权利要求1所述的基于改进差分的茶园四杆中耕机构多目标点轨迹综合方法，其特征在于：所述第1步中，对于耕作目标轨迹，选取包括耕作刀具入土点、出土点在内的N个目标轨迹形状控制点作为离散化的目标综合轨迹，表示为

3.根据权利要求2所述的基于改进差分的茶园四杆中耕机构多目标点轨迹综合方法，其特征在于：所述第2步中，所述四杆中耕机构为平面四杆机构；平面四杆机构连杆任意位置处的轨迹函数为：

式中：XOY为全局坐标系，X_rO₂Y_r为局部坐标系；r₁、r₂、r₃、r₄分别表示机架杆、输入杆、连杆和输出杆；θ₀为机架杆与X轴之间的夹角，θ₂为输入杆与机架杆之间的夹角，θ₃为连杆和机架杆之间的夹角，(x₀,y₀)表示整转副O₂点在全局坐标系XOY下的坐标；

式中,(C_X,C_Y)表示C点在全局坐标系XOY下的坐标，(C_Xr,C_Yr)代表C点在局部坐标系X_rO₂Y_r下的坐标。

4.根据权利要求3所述的基于改进差分的茶园四杆中耕机构多目标点轨迹综合方法，其特征在于：所述第3步中，以平面四杆机构连杆发生轨迹与期望轨迹点间坐标偏差平方和作为综合目标函数：

式中，N代表目标轨迹点的个数，

表示N个目标轨迹点的坐标；目标函数f_obj中包含所有待求参数

代表输入杆旋转一整周的过程中在不同位置的输入角；

表示输入杆旋转一整周的过程中，待综合机构连杆上的C点对应的发生轨迹点的坐标；

所述综合目标函数包括以下约束条件：

1)保证曲柄能够整周转动的格拉索夫条件：

[Max(r₁,r₂,r₃,r₄)+Min(r₁,r₂,r₃,r₄)]≤{Sum(r₁,r₂,r₃,r₄)-[Max(r₁,r₂,r₃,r₄)+Min(r₁,r₂,r₃,r₄)]}

2)输入角度θ₂按次序增大或减小的顺序条件：

取

时，

或者，

取

时，

mod(a,b)为取余运算，表示a/b的余数，a,b为任意整数。

3)待求参数的范围。

将条件1)和2)作为惩罚函数插入到目标函数当中，条件3)在运行程序时进行调试选取，最终综合目标函数为：

式中，在解向量满足格拉索夫条件时，h₁(X)取0，否则h₁(X)取1；在解向量满足输入角度θ₂按次序增大或减小的顺序条件时，h₁(X)取0，否则h₁(X)取1；M₁和M₂分别取一个足够大的值。

5.根据权利要求4所述的基于改进差分的茶园四杆中耕机构多目标点轨迹综合方法，其特征在于：所述第4步编程的步骤为：

1)初始化：

每个个体对应一条染色体，以NP个基因数目为D的个体()作为每一代的种群，在具体问题中，一个向量代表一条染色体或个体，向量中的元素代表染色体上的基因。初始种群

随机产生；

其中,

和

分别表示第i条“染色体”的第j个基因x_j,i取值范围的上界和下界；x_i(0)表示种群中第0代的第i条“染色体”，x_j,i(0)表示第0代的第i条“染色体”的第j个“基因”，NP表示种群大小(即向量的个数)，D表示每条染色体上基因的个数(即向量的维数)；rand(0,1)表示取0～1之间的随机数；

2)变异：DE通过差分策略实现个体变异，差分策略是随机选取种群中两个不同的个体，将其向量差缩放后与待变异个体进行向量合成：

v_i(g+1)＝x_r1(g)+F·(x_r2(g)-x_r3(g)),i≠r₁≠r₂≠r₃

其中：

F＝F₀×2^λ

上式中，F为变异算子，x_i(g)表示第g代种群中第i条染色体，v_i(g+1)表示第g代种群在变异后(变异中间体)的第i条“染色体”，G为最大进化代数；g为当前进化代数，F₀为基本变异算子，常取0.2～0.6；

3)交叉：第g代种群

通过变异后，产生一个中间体v_i(g+1)。对第g代种群x_i(g)及其变异的中间体v_i(g+1)进行个体(每条染色体代表一个个体)间的交叉操作：

其中：

上式中,

表示第g代种群的交叉算子，g∈(0,G)，j_rand为[1,2,…,D]的随机整数，x_j,i(g)表示第g代种群第i条“染色体”的第j个“基因”，v_j,i(g+1)表示第g代种群在变异后第i条“染色体”的第j个“基因”，u_j,i(g+1)表示第g代种群在变异和交叉后第i条“染色体”的第j个“基因”，G为最大进化代数，g为当前进化代数，G₀为初期最大进化代数，通常取G₀＝(0.2～0.3)G；R_cmin一般取0.1～0.3，R_cmax一般取0.7～0.9；

为了确保变异中间体v_i(g+1)的每个“染色体”至少有一个“基因”遗传给下一代,第一个交叉操作的基因是随机取出v_i(g+1)中的第j_rand位“基因”作为交叉后“染色体”u_i(g+1)的第j_rand位等位“基因”。后续的交叉操作过程,则是通过交叉算子R_c来选取x_i(g)还是v_i(g+1)的等位基因作为u_i(g+1)的等位基因；

4)边界条件的处理：在变异的和交叉的过程中，会出现某条染色体的某个基因点位值超出边界范围，此操作将超过边界的向量使用可行域中随机产生的参数向量代替：

u′_j,i(g+1)表示第g代种群在变异、交叉和边界条件处理后第i条“染色体”的第j个“基因”。

5)选择：DE采用贪婪算法来选择进入下一代种群的个体：

x_i(g+1)表示第g代种群在变异、交叉、边界条件处理和选择后(即第g+1代种群)第i条“染色体”的第j个“基因”，f_obj(X)为目标函数。

6)重复上述细化步骤，迭代至目标函数值收敛。

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