CN113495981A - 一种复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法 - Google Patents

一种复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法 Download PDF

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张栎文
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Abstract

本发明提供一种复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法，涉及信息和控制技术领域。本发明在得到脆弱性与弹性的关系后，对于网络的性能多了一个衡量标准。现有的研究工作中并没有指出通过对网络加边可以降低网络的脆弱性，而通过得到的脆弱性和弹性的关系(加边使得弹性增加，脆弱性降低)这样提供了降低网络脆弱性的一种方法。此外，增强网络弹性和降低网络脆弱性都是对提高网络性能很好的指标，通过得到这个关系发现二者都可以通过对网络的轻微改动(即加少量边)实现性能的提高，这是个很好的发现。

Description

一种复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法
技术领域
本发明涉及信息和控制技术领域，尤其涉及一种复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法。
背景技术
复杂系统通常表现为节点和边(即网络)的动态互联，其中不同部分之间的交互模式本 身是复杂的，并可能随着系统动力学而演化。复杂网络的脆弱性是由网络的边的权重和互连 结构受到扰动后，其仍能够保持稳定行为的能力来衡量的。复杂网络的弹性是指当网络受到 扰动时，能够保证基本功能，并从重大中断中快速恢复的系统级自我调整能力。对于生态系 统来说，脆弱性影响物种间共存的可能性，弹性影响物种间稳定平衡的可能性。在神经网络 中，脆弱性意味着某些突触重量的微小变化会突然导致不稳定的行为并引起癫痫，弹性意味 着这些微小变化能否通过自身的调节而恢复到原来的状态。
目前网络科学和图形优化的研究主要集中在静态网络模型及其诊断上，现有的研究成果 都只是对复杂网络的脆弱性和弹性分别进行分析。需要指出的是，脆弱性和弹性都是衡量一 个网络好坏的非常重要的指标，但目前却没有针对二者的关系进行分析讨论的相关研究。因 此需要一种新的方法对复杂网络脆弱性和弹性的关系进行分析研究。该问题的难点在于：
第一：实际网络中存在各种不可控因素，因此这些不可控因素会对降低网络的脆弱性和 提高网络的弹性造成较大的困难；
第二：为了保证复杂网络脆弱性和弹性关系的准确性，应采用多种方式对网络进行节点 的移除和加边。
发明内容
针对现有技术存在的问题，本发明提供一种复杂网络弹性和脆弱性关系的分析方法，用 于更好的提高网络的性能。
为了解决上述技术问题，本发明采用以下的技术方案：
一种复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法，包括以下步骤：
步骤1：构造一个具有N个节点的无权无向网络。
所述无权无向网络系统中，每个节点代表一个个体，节点之间通过连边构成一个网络， 每条连边代表所连接的个体间的相互作用关系，无权无向网络邻接矩阵A＝(Aij)∈RN×N是一 个对称矩阵，Aij表示邻接矩阵元素，RN×N表示N×N维实数矩阵的集合，N表示无权无向网络 中节点数目；所述邻接矩阵A中，如果节点i与节点j之间有边相连，则Aji＝Aji＝1(j≠i)；否则Aij＝Aji＝0(j≠i)。
步骤2：确定无权无向网络中节点的线性动力学方程表达式，如公式(1)所示；
Figure BDA0003111725790000021
其中，x(t)是表示节点状态的时间变量，其维数为N×1；B＝[I 0]T表示输入矩阵，其 维数为M×N，I是单位矩阵；u(t)表示外部输入，其维数为M×1；
步骤3：计算无权无向网络中每一个节点的度，并按照度从大到小的顺序对网络进行攻 击，即移除节点，记录好每一次移除节点后新的邻接矩阵。每攻击一次网络，计算一次当前 网络的K值、脆弱性和弹性势能，并将计算结果存储起来。其中，K值用来衡量网络中是否还 存在最大连通分量，K值的计算为公式(2)所示，当K>2时，表示网络中含有最大连通分量， 继续攻击网络，当K≤2时表示网络中不再含有最大连通分量，则停止攻击，此时网络已经崩 溃；所述脆弱性为，求出邻接矩阵A的N个特征值，找到其最大特征值取负，作为网络脆弱性 的衡量指标，如公式(3)所示，攻击节点时，等同于去除了节点之间的连边，r(A)量化了使 网络不稳定的边扰动的最小值，r(A)越小，网络对边扰动的脆弱性就越大；所述弹性势能， 是通过将复杂网络映射到物理弹性系统上来制定网络的弹性指标，弹性势能计算方法如公式 (4)所示，每攻击一次节点时，记录下来当前网络的最大连通分量，进而得出最大连通分量 的节点数占网络总节点数的比例值G(q)，G(q)越大，弹性势能就越大。
Figure BDA0003111725790000022
其中k是节点度数；<k>表示节点的平均度，<k2>表示节点度平方的平均值。
Figure BDA0003111725790000023
其中λi(A)表示矩阵A的第i个特征值。
Figure BDA0003111725790000024
其中q为移除节点的比例，q∈[0,1]；G(q)是最大连通分量的节点数占网络总节点数的比例 值，G(q)∈[0,1]；如果q＝0，表示网络不受攻击，此时G(q)＝1，也就是1-G(q)＝0；如果q>qc，表 示网络崩溃，G(q)＝0，也就是1-G(q)＝1＝1-G(qc)＝1，其中qc是临界外力，即临界阈值， G(qc)是临界最大连通分量。
步骤4：按照后向加边算法Posteriorly Adding Edges，即PA算法对网络进行加边，预设 好所要添加的边数，具体包括以下步骤：
步骤4.1：输入一个原始网络
Figure RE-GDA0003224344250000025
对其节点进行蓄意攻击，直到网络崩溃为止，预设好最 优边数；
步骤4.2：在已崩溃的网络连通子块中搜素“临界最大连通分量”和“弱核”；对网络进 行攻击后，网络分裂为若干个连通块，称之为“子网”，按照公式(2)计算所有子网的K值，所得结果中，K值小于等于2且最接近2的连通块称之为“临界最大连通分量”；对其他K值 大于2的子网继续进行攻击，直至K值不再大于2，将这样攻击后的连通块称为“弱核”；
步骤4.3：根据公式(4)计算每加一条边之后的网络弹性势能，将加边后的最大连通分 量比例记为GI(q)，通过公式(5)计算弹性势能增量ΔEp，并将计算结果存储起来。
Figure BDA0003111725790000031
其中GO(q)表示原始网络最大连通分量的节点数占网络总节点数的比例。
步骤4.4：按照最优边集以及预设的边数对网络进行加边来修改网络，直至达到预设边数 则停止加边。
步骤5：在按照PA算法加边时，每添加一次边，计算一次网络的脆弱性，如公式(3)所示，并将计算结果存储起来。
步骤6：在按照PA算法加边时，每添加一次边，计算一次网络的弹性势能，如公式(4) 所示，并将计算结果存储起来。
步骤7：根据步骤3、步骤5以及步骤6存储的信息，画出曲线图，得到脆弱性与弹性的 关系，通过脆弱性与弹性的关系实现对网络的性能的提高。
所述曲线图分别为：对步骤3存储的脆弱性进行画图，横坐标为攻击次数z,纵坐标为r(A)； 对步骤3存储的弹性势能进行画图，横坐标为移除节点比例q，纵坐标为最大连通分量比例G(q)； 对步骤5存储的脆弱性进行画图，横坐标为加边数量a，纵坐标为r(A)；对步骤6存储的弹性 势能进行画图，横坐标为移除节点比例q，纵坐标为最大连通分量比例G(q)。画出曲线图，得 到脆弱性与弹性的关系。
本发明所产生的有益效果在于：
本发明提出一种复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法，将复杂网络的脆弱性和弹性的 关系引入到衡量网络性能的指标当中，研究如何设计网络能够更好的提升网络的性能。是对 于现有的衡量网络性能的指标的一个很好的补充。采用数形结合的方式，直观地展现出整个 网络系统的脆弱性和弹性的关系，适用性强，易于实现，计算量小，运算效率高，更易于有 针对性的改善网络的性能。
本发明的研究成果不仅能应用于社会网络的信息传播、生物网络的物种调控、交通网络 的流量控制，更能够为我们设计满足期望条件的实际网络和改善实际网络的各种性能提供理 论和方法上的指导，具有重要的经济和社会意义。
附图说明
图1为本发明的复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法流程图；
图2为本发明实施例中网络进行攻击时，脆弱性的变化曲线图；
图3为本发明实施例中对网络进行攻击时，弹性势能曲线图；
图4为本发明实施例中对网络进行加边时，脆弱性的变化曲线图；
图5为本发明实施例中对网络进行加边时，弹性的变化曲线图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于 说明本发明，但不用来限制本发明的范围。
一种复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法，如图1所示，本实施例中数据是以实际社 交网络某俱乐部关系网络图为依托进行的仿真实验。该网络含有34个节点，78条连边。具 体包括以下步骤：
步骤1：构造一个具有N个节点的无权无向网络。
所述无权无向网络系统中，每个节点代表一个个体，节点之间通过连边构成一个网络， 每条连边代表所连接的个体间的相互作用关系，无权无向网络邻接矩阵A＝(Aij)∈RN×N是一 个对称矩阵，Aij表示邻接矩阵元素，RN×N表示N×N维实数矩阵的集合，N表示无权无向网络 中节点数目；所述邻接矩阵A中，如果节点i与节点j之间有边相连，则Aij＝Aji＝1(j≠i)；否则 Aij＝Aji＝0(j≠i)。
步骤2：确定无权无向网络中节点的线性动力学方程表达式，如公式(1)所示；这种网 络模型，也称为线性动态网络，已被广泛用于研究自然和人为复杂系统的众多领域，特别是 当动力学受到互连结构的约束时。
Figure BDA0003111725790000041
其中，x(t)是表示节点状态的时间变量，其维数为N×1；B＝[I 0]T表示输入矩阵，其 维数为M×N，I是单位矩阵；u(t)表示外部输入，其维数为M×1；
步骤3：计算无权无向网络中每一个节点的度，并按照度从大到小的顺序对网络进行攻 击，即移除节点，记录好每一次移除节点后新的邻接矩阵。每攻击一次网络，计算一次当前 网络的K值、脆弱性和弹性势能，并将计算结果存储起来。其中，K值用来衡量网络中是否还 存在最大连通分量，K值的计算为公式(2)所示，当K>2时，表示网络中含有最大连通分量， 继续攻击网络，当K≤2时表示网络中不再含有最大连通分量，则停止攻击，此时网络已经崩 溃；所述脆弱性为，求出邻接矩阵A的N个特征值，找到其最大特征值取负，作为网络脆弱性 的衡量指标，如公式(3)所示，攻击节点时，等同于去除了节点之间的连边，r(A)量化了使 网络不稳定的边扰动的最小值，r(A)越小，网络对边扰动的脆弱性就越大；所述弹性势能， 是通过将复杂网络映射到物理弹性系统上来制定网络的弹性指标，弹性势能计算方法如公式 (4)所示，每攻击一次节点时，记录下来当前网络的最大连通分量，进而得出最大连通分量 的节点数占网络总节点数的比例值G(q)，G(q)越大，弹性势能就越大。
Figure BDA0003111725790000051
其中k是节点度数；<k>表示节点的平均度，<k2>表示节点度平方的平均值。
Figure BDA0003111725790000052
其中λi(A)表示矩阵A的第i个特征值。
Figure BDA0003111725790000053
其中q为移除节点的比例，q∈[0,1]；G(q)是最大连通分量的节点数占网络总节点数的比例 值，G(q)∈[0,1]；如果q＝0，表示网络不受攻击，此时G(q)＝1，也就是1-G(q)＝0；如果q>qc，表 示网络崩溃，G(q)＝0，也就是1-G(q)＝1＝1-G(qc)＝1，其中qc是临界外力，即临界阈值， G(qc)是临界最大连通分量。
本实施例中图2为本发明实施例中网络进行攻击时，脆弱性的变化曲线图；图2是依次 移除网络节点34、1、33、3、2这五个节点所对应的r(A)变化曲线。从图中可以看到，随着 攻击次数的增加，即移除节点的增多，r(A)在逐渐增加，即网络的脆弱性变得越来越大。
图3为本发明实施例中对网络进行攻击时，弹性势能曲线图；从图中可以看到，随着移 除节点的数量增多，即移除节点比例的增加，最大连通分量比例G(q)在减小，根据公式(4) 可求出网络移除节点所对应的弹性势能。
步骤4：按照后向加边算法Posteriorly Adding Edges，即PA算法对网络进行加边，预设 好所要添加的边数，具体包括以下步骤：
步骤4.1：输入一个原始网络
Figure RE-GDA0003224344250000054
对其节点进行蓄意攻击，直到网络崩溃为止，预设好最 优边数；
步骤4.2：在已崩溃的网络连通子块中搜素“临界最大连通分量”和“弱核”；对网络进 行攻击后，网络分裂为若干个连通块，称之为“子网”，按照公式(2)计算所有子网的K值，所得结果中，K值小于等于2且最接近2的连通块称之为“临界最大连通分量”；对其他K值 大于2的子网继续进行攻击，直至K值不再大于2，将这样攻击后的连通块称为“弱核”；
步骤4.3：根据公式(4)计算每加一条边之后的网络弹性势能，将加边后的最大连通分 量比例记为GI(q)，通过公式(5)计算弹性势能增量ΔEp，并将计算结果存储起来。
Figure BDA0003111725790000061
其中GO(q)表示原始网络最大连通分量的节点数占网络总节点数的比例。
步骤4.4：按照最优边集以及预设的边数对网络进行加边来修改网络，直至达到预设边数 则停止加边。
步骤5：在按照PA算法加边时，每添加一次边，计算一次网络的脆弱性，如公式(3)所示，并将计算结果存储起来。
图4为本发明实施例中对网络进行加边时，脆弱性的变化曲线图；此图是依次在网络的 节点8和节点11之间加边、节点26和节点13之间加边、节点9和节点14之间加边的r(A)变 化曲线图。从图中可以看到，随着加边数量的增加，r(A)在逐渐减小，即网络的脆弱性在降 低。
步骤6：在按照PA算法加边时，每添加一次边，计算一次网络的弹性势能，如公式(4) 所示，并将计算结果存储起来。
图5为本发明实施例中对网络进行加边时，弹性的变化曲线图；从图中可以看到，随着 加边数量的增加，最大连通分量比例G(q)在增加，根据公式(4)可知，相应的弹性势能在逐 渐增加。
步骤7：根据步骤3、步骤5以及步骤6存储的信息，画出曲线图，得到脆弱性与弹性的 关系，通过脆弱性与弹性的关系实现对网络的性能的提高。
所述曲线图分别为：对步骤3存储的脆弱性进行画图，横坐标为攻击次数z,纵坐标为r(A)； 对步骤3存储的弹性势能进行画图，横坐标为移除节点比例q，纵坐标为最大连通分量比例G(q)； 对步骤5存储的脆弱性进行画图，横坐标为加边数量a，纵坐标为r(A)；对步骤6存储的弹性 势能进行画图，横坐标为移除节点比例q，纵坐标为最大连通分量比例G(q)。画出曲线图，得 到脆弱性与弹性的关系。
最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照 前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前 述实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而 这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明权利要求所限定的范围。

Claims (4)

1.一种复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：构造一个具有N个节点的无权无向网络；
所述无权无向网络系统中，每个节点代表一个个体，节点之间通过连边构成一个网络，每条连边代表所连接的个体间的相互作用关系，无权无向网络邻接矩阵A＝(Aij)∈RN×N是一个对称矩阵，Aij表示邻接矩阵元素，RN×N表示N×N维实数矩阵的集合，N表示无权无向网络中节点数目；所述邻接矩阵A中，如果节点i与节点j之间有边相连，则Aij＝Aji＝1(j≠i)；否则Aij＝Aji＝0(j≠i)；
步骤2：确定无权无向网络中节点的线性动力学方程表达式，如公式(1)所示；
Figure RE-FDA0003224344240000011
其中，x(t)是表示节点状态的时间变量，其维数为N×1；B＝[I 0]T表示输入矩阵，其维数为M×N，I是单位矩阵；u(t)表示外部输入，其维数为M×1；
步骤3：计算无权无向网络中每一个节点的度，并按照度从大到小的顺序对网络进行攻击，即移除节点，记录好每一次移除节点后新的邻接矩阵；每攻击一次网络，计算一次当前网络的K值、脆弱性和弹性势能，并将计算结果存储起来；
步骤4：按照后向加边算法Posteriorly Adding Edges，即PA算法对网络进行加边，预设好所要添加的边数，具体包括以下步骤：
步骤5：在按照PA算法加边时，每添加一次边，计算一次网络的脆弱性，并将计算结果存储起来；
步骤6：在按照PA算法加边时，每添加一次边，计算一次网络的弹性势能，并将计算结果存储起来；
步骤7：根据步骤3、步骤5以及步骤6存储的信息，画出曲线图，得到脆弱性与弹性的关系，通过脆弱性与弹性的关系实现对网络的性能的提高。
2.根据权利要求1所述的一种复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法，其特征在于，步骤3中所述K值用来衡量网络中是否还存在最大连通分量，K值的计算为公式(2)所示：
Figure RE-FDA0003224344240000012
其中k是节点度数；<k>表示节点的平均度，<k2>表示节点度平方的平均值；当K＞2时，表示网络中含有最大连通分量，继续攻击网络，当K≤2时表示网络中不再含有最大连通分量，则停止攻击，此时网络已经崩溃；
所述脆弱性为，求出邻接矩阵A的N个特征值，找到其最大特征值取负，作为网络脆弱性的衡量指标，如公式(3)所示：
Figure RE-FDA0003224344240000021
其中λi(A)表示矩阵A的第i个特征值；攻击节点时，等同于去除了节点之间的连边，r(A)量化了使网络不稳定的边扰动的最小值，r(A)越小，网络对边扰动的脆弱性就越大；
所述弹性势能，是通过将复杂网络映射到物理弹性系统上来制定网络的弹性指标，弹性势能计算方法如公式(4)所示：
Figure RE-FDA0003224344240000022
其中q为移除节点的比例，q∈[0，1]；G(q)是最大连通分量的节点数占网络总节点数的比例值，G(q)∈[0，1]；如果q＝0，表示网络不受攻击，此时G(q)＝1，也就是1-G(q)＝0；如果q＞qc，表示网络崩溃，G(q)＝0，也就是1-G(q)＝1＝1-G(qc)＝1，其中qc是临界外力，即临界阈值，G(qc)是临界最大连通分量；每攻击一次节点时，记录下来当前网络的最大连通分量，进而得出最大连通分量的节点数占网络总节点数的比例值G(q)，G(q)越大，弹性势能就越大。
3.根据权利要求1所述的一种复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法，其特征在于，所述步骤4具体包括以下步骤：
步骤4.1：输入一个原始网络
Figure RE-FDA0003224344240000023
对其节点进行蓄意攻击，直到网络崩溃为止，预设好最优边数；
步骤4.2：在已崩溃的网络连通子块中搜素“临界最大连通分量”和“弱核”；对网络进行攻击后，网络分裂为若干个连通块，称之为“子网”，按照公式(2)计算所有子网的K值，所得结果中，K值小于等于2且最接近2的连通块称之为“临界最大连通分量”；对其他K值大于2的子网继续进行攻击，直至K值不再大于2，将这样攻击后的连通块称为“弱核”；
步骤4.3：根据公式(4)计算每加一条边之后的网络弹性势能，将加边后的最大连通分量比例记为GI(q)，通过公式(5)计算弹性势能增量ΔEp，并将计算结果存储起来；
Figure RE-FDA0003224344240000024
其中GO(q)表示原始网络最大连通分量的节点数占网络总节点数的比例；
步骤4.4：按照最优边集以及预设的边数对网络进行加边来修改网络，直至达到预设边数则停止加边。
4.根据权利要求1所述的一种复杂网络脆弱性和弹性关系的分析方法，其特征在于，步骤7中所述曲线图分别为：对步骤3存储的脆弱性进行画图，横坐标为攻击次数z，纵坐标为r(A)；对步骤3存储的弹性势能进行画图，横坐标为移除节点比例q，纵坐标为最大连通分量比例G(q)；对步骤5存储的脆弱性进行画图，横坐标为加边数量a，纵坐标为r(A)；对步骤6存储的弹性势能进行画图，横坐标为移除节点比例q，纵坐标为最大连通分量比例G(q)；画出曲线图，得到脆弱性与弹性的关系。
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