CN113465494B - 一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法 - Google Patents

Abstract

一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法，包含以下步骤：步骤一：采用法拉第探针测量霍尔推力器羽流区离子电流密度；步骤二：分析离子电流密度对推力矢量偏心的贡献；步骤三：建立霍尔推力器羽流区的空间离子电流密度曲面模型；步骤四：采用加权最小二乘法对曲面模型进行计算，得到计算推力矢量偏心的非线性方程组；采用布罗依登秩方法进行求解非线性方程组，并通过迭代方程反复迭代计算，得到推力矢量偏心结果。本发明通过分析与推力器轴线不同夹角处离子电流密度对推力矢量的贡献，计算推力矢量偏心。

Description

一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法

技术领域

本发明涉及电推进羽流计算技术领域，具体涉及一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法。

背景技术

霍尔推力器是一种先进的空间推进技术，在美俄等航天大国得到了广泛运用。它具有结构简单、比冲高、效率高等优点，可大幅降低卫星质量、提高寿命、增加有效载荷，现主要应用于卫星的姿态控制、轨道机动以及位置保持等对控制精度要求高的在轨任务。

霍尔推力器在工作时推力矢量与推力器轴线存在一定的偏差，即推力矢量偏心。制造公差，结构部件或安装位置的改变都会引起离子加速方向远离推力器轴线。此外，推力器从冷态到稳定工作状态，其热变形也会引起推力矢量短期偏移。这对霍尔推力器在航天器上的安装和定位带来一定的困难，安装要求是推力矢量经过航天器质心，没有通过航天器质心的推力矢量的任何误差都会增加旋转动量的积累。推力矢量偏心是电推进卫星设计的重要关注领域，当进行卫星轨道转移时，推力偏心会改变转移方向，导致卫星无法移动到预定轨道。当进行姿态控制时，推力失准会产生干扰扭矩，并可能改变卫星的姿态。干扰扭矩一般通过卫星携带化学燃料所产生的反作用扭矩来抵消，并通过安装的万向支架调节反作用力的方向。如果能够预先得知推力偏差大小和方向，可以对万向支架性能提出要求，并可以进一步精确化学燃料的携带量，提高有效载荷。因此能够准确的测量推力方向对于卫星的姿态轨道控制非常重要，而且测试分析结果也是推力器在航天器上安装调整的重要依据。

测量霍尔推力器推力矢量偏心最好的方法是直接测量，但是这种方式要求推力器旋转，而且需要对现有的实验装置进行改造，比较复杂。通过法拉第探针测量霍尔推力器羽流区的离子电流，并计算得出推力矢量偏心是一种间接的测量方法。由于霍尔推力器典型羽流形貌呈双峰结构，且没有天然的双峰函数模型，故现有的计算方法会舍弃掉双峰之间凹陷的数据点，但是这样做会对最终计算造成不小的误差。这种处理方式也无法得到准确的推力矢量偏心结果。

发明内容

本发明为克服现有技术不足，提供一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法。

包含以下步骤：

步骤一：采用法拉第探针测量霍尔推力器羽流区离子电流密度；

步骤二：分析离子电流密度对推力矢量偏心的贡献；

步骤三：建立霍尔推力器羽流区的空间离子电流密度曲面模型；

步骤四：采用加权最小二乘法对曲面模型进行计算，得到计算推力矢量偏心的非线性方程组；采用布罗依登秩方法进行求解非线性方程组，并通过迭代方程反复迭代计算，得到推力矢量偏心结果。

本发明相比现有技术的有益效果是：

本发明的方法可用于霍尔推力器推力矢量偏心角度的计算，不需要改变实验装置只通过离子电流密度就可以得到结果，而且本方法在计算时不需要舍去双峰处的数据点，而是分析与推力器轴线不同夹角处离子电流密度对推力矢量的贡献，计算结果更加准确。对研究霍尔推力器推力矢量偏心提供了一种准确有效的计算方法。

下面结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步地说明：

附图说明

图1是离子电流密度对推力矢量贡献示意图；

图2是阵列法拉第探针测量远场羽流示意图；

图3是阵列法拉第探针测得的离子电流密度曲线图；

图4是拟合前后离子电流密度对比图。

具体实施方式

参见图1-图4所示，一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法，包括以下步骤：

步骤一：采用法拉第探针测量霍尔推力器羽流区离子电流密度；

步骤二：分析离子电流密度对推力矢量偏心的贡献；

步骤三：建立霍尔推力器羽流区的空间离子电流密度曲面模型；

步骤四：采用加权最小二乘法对曲面模型进行计算，得到计算推力矢量偏心的非线性方程组；采用布罗依登秩方法进行求解非线性方程组，并通过迭代方程反复迭代计算，得到推力矢量偏心结果。

进一步地，步骤一中将阵列法拉第探针放置于距离霍尔推力器四倍通道直径之外的位置，并采用圆弧扫描的方式，进行羽流区离子电流密度测量，并根据法拉第探针的有效收集面积和电路中电阻阻值得到离子电流密度；

u(θ)为拉第探针外接滤波电路中电阻两端的电压信号，R为电阻值，S为探针有效收集面积。

可选地，如图2所示，为了得到远场羽流区离子电流密度数据，阵列法拉第探针需要放置于距离推力器通道直径四倍以外的位置，既OO₁≥4倍通道直径。阵列法拉第探针扫描角度为±90度。图2中γ表示测量的半球面半径，γ＝x₀ ²+y₀ ²，N是羽流实际中心，O₁表示半球面中心，L表示选取的数据点所在的弧线；

步骤二的贡献是指离子电流密度分布对称程度：如图1所示：假设半球形羽流区中的离子都以相同的速度喷出，图1中实心黑点为数据点，是表示探针布置的位置，探针所在的位置以测量离子电流密度；

特定区域的面元dA的离子电流密度对推力dT的贡献可以表示为：

dT＝jdA (1)

其中，G(x,y)为离子电流密度，θ为某一时刻探针位置与推力器轴线的夹角，A是扫描的球面上的面元。

推力贡献与离子通量成正比，每个探针测量的特定区域可以表示为：

dA＝rdφ·dθ (2)

φ为微面元dA在投影面上的有限测量边缘与投影面上水平中心线的夹角，每个探针测量的特定区域都可以近似看成小矩形，矩形的长近似等于探针有限测量边缘与推力器中心连线所夹圆心角对应的弧长，宽近似于球形羽流的分割宽度。在离子电流的测量过程中，有限测量边缘与推力器中心连线所夹的圆心角dφ保持不变，也就是说小矩形的长是恒定的，进一步推导：

dA∝rdθ (3)

在某一时刻探针位置与推力器轴线的夹角记为θ，则：

r＝Rsinθ (4)

将(4)式带入到公式(3)中可以得到：

dA∝Rsinθdθ (5)

在保持推力器出口平面中心到法拉第探针的距离R和测量的单位角度dθ不变情况下，得到通过离子电流计算推力矢量偏心的加权函数：

dA∝sinθ (6)

通过公式(6)，可以得知以圆弧方式测量远场羽流离子电流密度中，通过对离子电流密度数据进行加权，处理得到对推力矢量的贡献程度。

进一步地，所述步骤三具体为：

第一步：根据霍尔推力器远场羽流区等离子体密度符合高斯曲线函数的特点，推导高斯函数曲面模型，用以计算空间推力矢量偏心；

其中：G(x,y)是离子电流密度，x₀和y₀分别是推力矢量在x方向水平面和y方向垂直平面的偏心角度，x,y分别是探针距推力器轴线角度和探针阵列角度，其中a₁、b和c是待拟合参数，因为霍尔推力器羽流在理想情况下是轴对称的，因此有b＝c。进一步有：

第二步：将等式两边同时取对数，得到便于计算的多项式函数模型：

Z＝A+Bx+Cy+Dx²+Ey² (9)

其中：

优选地，所述步骤四具体为：

第一步:根据加权最小二乘法特点，得到最佳平方逼近函数：

其中，z_ij(x_ij,y_ij)表示相应空间位置处离子电流密度对数值，ρ_ij为空间离子电流密度加权函数，Z为模型拟合点；

Z(x_ij,y_ij)＝A+Bx_ij+Cy_ij+Dx_ij ²+Ey_ij ² (11)

第二步：分别对拟合参数A、B、C、D、E求偏导，整理得到推力矢量偏心计算矩阵；

整理得：

其中加权函数为：

ρ²＝sin²(x-x₀)+sin²(y-y₀) (14)

式(13)为求解推力矢量偏心的非线性方程组，只需要根据五个方程就可以解出A、B、C、D和E的值，再通过公式(10)即可进一步求解推力矢量偏心。

第三步：由于权函数是未知数，非线性方程组无法化简，每个方程都是上万个多项式相加的形式，直接求解复杂。采用布罗依登秩方法进行迭代求解，给出迭代初值和迭代方程，计算得到推力矢量偏心角度；

布罗依登秩方法进行求解非线性方程组为：

给出迭代初值：

X₀＝[X₁,X₂,X₃,X₄]^T (16)

X₁、X₂、X₃和X₄分别代表拟合参数a₁、拟合参数b、x方向偏心角度x₀和y方向偏心角度y₀，给出迭代初始值：

给出迭代方程：

通过迭代方程反复迭代计算，最终得到收敛的推力矢量偏心结果。

下面结合实施例对本发明计算方法作进一步地说明：

本实施例以霍尔推力器为例，介绍通过离子电流密度计算推力矢量偏心的方法，图1是离子电流密度对推力矢量贡献示意图；图2是阵列法拉第探针测量远场羽流示意图；图3是阵列法拉第探针测得的离子电流密度曲线图；图4是拟合前后离子电流密度对比图。

下面给出本发明方法的实验结果验证：

当霍尔推力器工作在额定工况下，放电电压300V，阳极工质流量2.44mg/s，放电功率600W，推力矢量偏心通过该方法计算得出。采用31个法拉第探针测量远场羽流区离子电流密度，31个法拉第探针呈圆弧方式阵列布置，阵列角度为±31度。计算结果详见下表所示。

实验中31个法拉第探针阵列±30度测得的离子电流密度数据如图3所示，在给出迭代初始值分别为[10,10,10,10]、[20,20,20,20]和[30,30,30,30]的情况下，分别在迭代148次、209次和404次得到了相同的收敛结果，x方向推力矢量偏心角度为1.015度，y方向推力矢量偏心角度为0.23度，证明了计算的可行性。计算前后得到的离子电流模型如图4所示，之所以拟合前后离子电流密度峰值有一定差距的原因是，接近推力器轴线的离子电流密度对推力矢量偏心的贡献很低，因此拟合后的曲线是以加权后的离子电流密度为准，而对推力矢量偏心贡献比较大的地方一般位于推力器轴线夹角10度至20度的地方。

本发明已以较佳实施案例揭示如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可以利用上述揭示的结构及技术内容做出些许的更动或修饰为等同变化的等效实施案例，均仍属本发明技术方案范围。

Claims (8)

1.一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法，包含以下步骤：

步骤一：采用法拉第探针测量霍尔推力器羽流区离子电流密度；

步骤二：分析离子电流密度对推力矢量偏心的贡献；

所述贡献是指离子电流密度分布对称程度：

特定区域的面元dA的离子电流密度对推力dT的贡献可以表示为：

dT＝jdA (1)

dA∝sinθ

其中，θ为某一时刻探针位置与推力器轴线的夹角，A是扫描的球面上的面元；

贡献通过以下过程进行分析：半球形羽流区中的离子都以相同的速度喷出，每个探针测量的特定区域可以表示为：

dA＝rdφ·dθ (2)

φ为微面元dA在投影面上的有限测量边缘与投影面上水平中心线的夹角，在离子电流的测量过程中，有限测量边缘与推力器中心连线所夹的圆心角dφ保持不变，进一步推导：

dA∝rdθ (3)

在某一时刻探针位置与推力器轴线的夹角记为θ，则：

r＝R sinθ (4)

将(4)式带入到公式(3)中可以得到：

dA∝R sinθdθ (5)

在保持推力器出口平面中心到法拉第探针的距离R和测量的单位角度dθ不变情况下，得到通过离子电流计算推力矢量偏心的加权函数：

dA∝sinθ (6)

通过公式(6)，可以得知以圆弧方式测量远场羽流离子电流密度中，通过对离子电流密度数据进行加权，处理得到对推力矢量的贡献程度；

步骤三：建立霍尔推力器羽流区的空间离子电流密度曲面模型；

步骤四：采用加权最小二乘法对曲面模型进行计算，得到计算推力矢量偏心的非线性方程组；采用布罗依登秩方法进行求解非线性方程组，并通过迭代方程反复迭代计算，得到推力矢量偏心结果。

2.根据权利要求1所述一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法，其特征在于：步骤一是根据法拉第探针的有效收集面积和电路中电阻阻值得到离子电流密度；

G(x,y)为离子电流密度，u(θ)为拉第探针外接滤波电路中电阻两端的电压信号，R为电阻值，S为探针有效收集面积。

3.根据权利要求1所述一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法，其特征在于：步骤三的曲面模型建立过程如下：

第一步：根据霍尔推力器远场羽流区等离子体密度符合高斯曲线函数的特点，推导高斯函数曲面模型；

其中：G(x,y)是离子电流密度，x₀和y₀分别是推力矢量在x方向水平面和y方向垂直平面的偏心角度，x,y分别是探针距推力器轴线角度和探针阵列角度，其中a₁和b是待拟合参数；

第二步：将等式两边同时取对数，得到便于计算的多项式函数模型；

Z＝A+Bx+Cy+Dx²+Ey² (9)

其中：

4.根据权利要求3所述一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法，其特征在于：步骤四中采用加权最小二乘法对曲面模型计算过程为：

第一步:根据加权最小二乘法，得到最佳平方逼近函数：

其中，z_ij(x_ij,y_ij)表示相应空间位置处离子电流密度对数值，ρ_ij为空间离子电流密度加权函数，Z为模型拟合点；

Z(x_ij,y_ij)＝A+Bx_ij+Cy_ij+Dx_ij ²+Ey_ij ² (11)

第二步：分别对拟合参数A、B、C、D、E求偏导，整理得到推力矢量偏心计算矩阵；

5.根据权利要求4所述一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法，其特征在于：步骤四中非线性方程组如下：

其中加权函数为：ρ²＝sin²(x-x₀)+sin²(y-y₀) (14)

式(13)为求解推力矢量偏心的非线性方程组，只需要根据五个方程就可以解出A、B、C、D和E的值，再通过公式(10)可进一步求解推力矢量偏心。

6.根据权利要求5所述一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法，其特征在于：步骤四中布罗依登秩方法进行求解非线性方程组：

由于拟合参数D和E相等，四个方程进行求解，给出迭代初值：

X₀＝[X₁,X₂,X₃,X₄]^T (16)

X₁、X₂、X₃和X₄分别代表拟合参数a₁、拟合参数b、x方向偏心角度x₀和y方向偏心角度y₀，给出迭代初始值：

给出迭代方程：

通过迭代方程反复迭代计算，最终得到收敛的推力矢量偏心结果。

7.根据权利要求2或6所述一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法，其特征在于：步骤一中将阵列法拉第探针放置于距离霍尔推力器四倍通道直径之外的位置，并采用圆弧扫描的方式，进行羽流区离子电流密度测量。

8.根据权利要求7所述一种霍尔推力器推力矢量偏心计算方法，其特征在于：阵列法拉第探针呈圆弧式阵列布置。

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