CN113445993A - 一种基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型，涉及抽油设备故障诊断技术领域，包括以下步骤：（1）将抽油杆柱简化为多质量—弹簧系统，建立抽油杆柱多自由度运动微分方程。（2）利用傅里叶级数法给出悬点位移、悬点载荷和泵端载荷的近似表达式代入方程。（3）利用振型叠加法将抽油杆柱多自由度运动微分方程化为若干个单自由度运动微分方程。（4）利用单自由度系统振动求解公式求解方程。（5）利用悬点载荷求解和对比系数求出泵端载荷表达式的傅里叶系数，求出泵端载荷表达式和位移表达式。本发明使得模型求解过程更简便，使得模型建立过程简单易懂，提高了故障诊断的效率与准确度。

Description

一种基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型

技术领域

本发明涉及抽油设备故障诊断技术领域，尤其是一种基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型。

背景技术

随着石油不断开采，有杆泵抽油系统工作环境也日益恶劣。因此抽油机故障诊断成为国内学者研究的热门领域。目前国内外有杆抽油系统故障诊断均是以井下泵功图作为判断依据。井下泵功图相对于地面示功图可以更准确地反映出井下实际工况，其不同曲线形态代表了不同的工况。但是实测法获取井下泵功图无法做到实时观察工况，耗资巨大且工艺复杂，所以没有得到广泛应用。因此只能靠模型计算获得井下泵功图。

在现有的抽油机井泵功图转化模型中，主要依据抽油杆柱特性建立抽油杆柱波动方程，并利用差分法求解方程得出泵端载荷和位移。但是现有泵功图转化模型建立过程均比较复杂，且方程求解过程繁琐。

发明内容

本发明需要解决的技术问题是提供一种基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型，本发明提出了基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型，通过将不同时刻实测示功图通过模型转化为井下泵功图，减小了模型的求解难度，使得模型建立过程简单易懂，求解过程简便，从而便于更准确的判断井下工况，能够高效地将实测的地面示功图转化为井下泵功图，提高了故障诊断的效率与准确度，具有实际工程意义。

为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：

一种基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型，所述方法包括以下步骤：

步骤1、将抽油杆柱简化为多质量—弹簧系统，建立抽油杆柱多自由度运动微分方程，运动微分方程的矩阵形式为

式中：

为广义坐标下结构总节点加速度列阵；

为广义坐标下结构总节点速度列阵；{x}为广义坐标下结构总节点位移列阵；{m}为广义坐标下结构总节点质量列阵；{c}为广义坐标下结构总节点油液阻尼列阵；

为悬点速度表达式；

为悬点加速度表达式；{p}为节点受到的泵端载荷列阵；[M]为质量矩阵；[C]为阻尼矩阵；[K]为刚度矩阵；

步骤2、利用傅里叶级数法给出悬点位移、悬点载荷和泵端载荷的近似表达式：

悬点位移

悬点载荷

泵端载荷

式中：a₀、a_n、b_n为悬点位移傅里叶表达式中的傅里叶系数；c₀、c_n、d_n为悬点载荷傅里叶表达式中的傅里叶系数；e₀、e_n、f_n为泵端载荷傅里叶表达式中的傅里叶系数；ω₀为曲柄转动的平均角速度，单位为rad；t为曲柄运动的时间，单位为s；

步骤3、利用振型叠加法将抽油杆柱多自由度运动微分方程化为若干个单自由度运动微分方程，单自由度运动微分方程的矩阵形式为：

式中：

为正则坐标下结构总节点加速度列阵；

为正则坐标下结构总节点速度列阵；{θ}为正则坐标下结构总节点位移列阵；[C_N]为油液阻尼的正则对角矩阵；

为固有频率的平方的对角矩阵；{Q_Ψn}为正则力表达式中sin前的系数列阵；{R_Ψn}为正则力表达式中cos前的系数列阵；{e}为正则力表达式的常数项列阵；

步骤4、利用单自由度系统振动求解公式求解方程，杆柱任意节点的位移表达式为：

步骤5、利用悬点载荷求解和对比系数求出泵端载荷表达式的傅里叶系数，求出泵端载荷表达式和位移表达式，对比系数的过程为：

本发明技术方案的进一步改进在于：在步骤1中，抽油杆柱多自由度运动微分方程的计算步骤如下：

(1)由抽油杆柱简化的多质量—弹簧系统中的节点的受力分析得到单个节点的运动微分方程为：

式中：x_A为任意时刻悬点位移，m；m_i,j为第i级杆柱第j个节点的质量，单位为kg；x_i,j为第i级杆柱第j个节点的绝对位移，单位为m；c_i,j为第i级杆柱的第j个节点的油液阻力系数，单位为Pa·s；k_i,j为第i级杆柱第j个节点下端弹簧的弹簧常数，单位为N/m；

将每个节点的运动微分方程写成方程组，并写成矩阵形式，得到抽油杆柱多自由度运动微分方程。

本发明技术方案的进一步改进在于：在步骤3中，单自由度运动微分方程的求解的计算步骤如下：

步骤二中用傅里叶级数法给出了泵端载荷和悬点位移的近似表达式，并代入到了方程中，运动微分方程右端sin，cos前的系数矩阵如下式：

将其带入单自由度系统在简谐激励力下的响应求解公式，并将不同频率的简谐力激励下的响应叠加，得到杆柱每个节点的响应表达式。

本发明技术方案的进一步改进在于：在步骤5中，悬点载荷求解及对比系数的计算步骤如下：

悬点载荷的表达式为：

PRL＝k_e(x_A-q₁)+G′_rod

式中：k_e为抽油杆柱悬挂系统的等效弹簧常数；G′_rod为杆柱在油液中的自重；

由于q₁中含有悬点载荷函数、悬点位移函数、泵端载荷函数中的各项傅立叶系数，悬点载荷函数与悬点位移函数中的傅立叶系数已求得，只有泵端载荷函数中的傅立叶系数未知，令上式与步骤二中得到的悬点载荷表达式中cos与sin前的傅立叶系数对应相等，求得泵端载荷表达式的傅里叶系数；

对比系数确定泵端载荷傅里叶系数：

由上式求得泵端载荷傅里叶系数e_n，f_n，e₀，得到泵端载荷的表达式。

由于采用了上述技术方案，本发明取得的技术进步是：

本发明提出了基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型，通过将不同时刻实测示功图通过模型转化为井下泵功图，减小了模型的求解难度，使得模型建立过程简单易懂，求解过程简便，从而便于更准确的判断井下工况，能够高效地将实测的地面示功图转化为井下泵功图，提高了故障诊断的效率与准确度，具有实际工程意义。

附图说明

图1为本发明的抽油杆柱多质量—弹簧模型图；

图2为本发明的抽油杆柱节点受力分析模型图；

图3为本发明正常工况的地面悬点示功图和井下泵功图；

图4为本发明游动阀漏失的地面悬点示功图和井下泵功图；

图5为本发明固定阀漏失的地面悬点示功图和井下泵功图；

图6为本发明供液不足的地面悬点示功图和井下泵功图；

图7为本发明上碰泵的地面悬点示功图和井下泵功图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明做进一步详细说明：

如图1、图2、图3、图4、图5、图6、图7所示，一种基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型，所述方法包括以下步骤：

步骤1、将抽油杆柱简化为多质量—弹簧系统，对单个节点进行动力学分析，建立抽油杆柱多自由度运动微分方程。

图1是多质量—弹簧系统，质量节点借弹簧彼此相连，上端连接于抽油机悬点处，下端受到泵端载荷，且只限于在竖直面上纵向振动。取质量节点偏离其平衡位置的位移{x}为广义坐标，用列向量表示为：

{x}＝[x_1,1,x_1,2,…,x_i-1,j,x_i,1,…,x_i,j]^T 1)

除了最下端节点，其余每个节点受到4个力，分别是节点相邻两个弹簧作用的弹性力，油液阻尼力和悬点拉力，其中每个节点受到的泵端载荷用列向量表示为：

{p}＝[0,0,…,…,P_p(t)]^T 2)

由图2的单个节点受力分析可得抽油杆柱多自由度运动微分方程，用矩阵形式表示为：

式中：

为广义坐标下结构总节点加速度列阵；

为广义坐标下结构总节点速度列阵；{m}为广义坐标下结构总节点质量列阵；{c}为广义坐标下结构总节点油液阻尼列阵；

为悬点速度表达式；

为悬点加速度表达式。

质量矩阵

阻尼矩阵

刚度矩阵

其中：

式中：ρ_i为第i级杆柱的密度，kg/m³；E_i为第i级杆柱的弹性模量，Pa；A_i为第i级杆柱的横截面积，m²；L_i为第i级杆柱的长度，m；D_t为油管内径，m；D_i为第i级杆柱直径，m；D_c为杆箍直径，m；μ为液体动力粘度，Pa·s。

步骤2、利用傅里叶级数法给出悬点位移、悬点载荷和泵端载荷的近似表达式代入方程。

悬点位移

悬点载荷

泵端载荷

式中的傅立叶系数a、b、c、d由下式给出，泵端载荷的傅立叶系数将在后文求出。

式中：T为抽油机的运行周期，s；ω₀为曲柄转动的角速度，rad；

为截断的傅立叶级数的个数。

步骤3、利用振型叠加法将多自由度运动微分方程解耦，利用质量矩阵、刚度矩阵的正交性，将其化为r个单自由度运动微分方程。

假设式(3)有形如

的解，式中{X}为振幅列阵，ω_r为固有频率，

为初相位。不考虑式(3)右端的广义力，将式(12)代入，得到一个关于{X}的代数方程组的矩阵形式：

为了求得式(3)的非平凡解，必须使式(13)的系数行列式等于零，即

由式(14)求得的ω_r便是r阶固有频率。

将r阶固有频率分别代入式(15)便得固有振型矩阵{V}。

选取常数α_i，使{U⁽ⁱ⁾}＝α_i{V⁽ⁱ⁾}，使其满足式(16),求得的{U}便是正则振型矩阵^[12]。

{U}^T[M]{U}＝1 (16)

式(3)中同时含有静力耦合与动力耦合，这里选取主坐标{x}＝[U]{θ}代入式(7)，便可将式(3)解耦，并左乘[U]^T，利用质量矩阵与刚度矩阵的正交性，可将式(3)化为r个互不耦合的单自由度运动微分方程^[13]，其矩阵形式如式(17)：

式中：

为主坐标下结构总节点加速度列阵；

为主坐标下结构总节点速度列阵；{θ}为主坐标下结构总节点位移列阵；[C_N]为油液阻尼的正则对角矩阵；

为固有频率的平方的对角矩阵。

其中：

{e}中的元素为泵端载荷表达式中的傅里叶系数常数项与正则振型矩阵中的元素对应相乘得到的，用列向量的形式表示为：

步骤4、利用单自由度系统振动求解公式求解方程。

式(17)是二阶常系数非齐次线性微分方程，方程的解是由两部分组成，一部分是齐次方程通解，是瞬态响应，随着时间的增加，逐渐衰减到零，所以不必考虑。另一部分是非齐次方程的特解，是一种持续的等幅振动，是稳态响应，其频率与激振力的频率相同，所以在此只讨论稳态响应。

按单自由度系统振动求解公式得：

其中：

式中：Z_r为动力放大系数；

为相位角，rad；λ_r为频率比；ζ_r为阻尼比；C_c为临界阻尼系数。

则原几何坐标所表示的稳态响应：

{x}＝[U]{θ} (22)

式(22)求得的是杆柱总节点的绝对位移列阵，每个节点的绝对位移加上悬点位移，才是该节点的实际位移。所以，杆柱总节点的实际位移为：

步骤5、利用悬点载荷求解和对比系数求出泵端载荷表达式的傅里叶系数，求出泵端载荷表达式和位移表达式。

利用杆柱第一个节点的位移和拟合的悬点位移求出悬点载荷，令拟合的悬点载荷与求得的悬点载荷相等，得到泵端载荷表达式的各项傅立叶系数，泵端载荷表达式和位移表达式都已求出，便可得井下泵功图。利用式(24)可求得悬点载荷

PRL＝k_e(x_A-q₁)+G′_rod (24)

由于q₁中含有悬点载荷函数、悬点位移函数、泵端载荷函数中的各项傅立叶系数，悬点载荷函数与悬点位移函数中的傅立叶系数由式(4)求得，只有泵端载荷函数中的傅立叶系数未知，令式(9)与式(24)中cos与sin前的傅立叶系数对应相等，便可求得泵端载荷表达式的傅里叶系数。

对比系数确定泵端载荷傅里叶系数：

由式(25)求得泵端载荷傅里叶系数e_n，f_n，e₀，便可得到泵端载荷的表达式，杆柱最后一个节点的位移为泵端位移，以泵端位移为横坐标，泵端载荷为纵坐标便可绘制出井下泵功图。

下面结合实例进一步对本发明进行说明，取油井仿真参数：油井的基础参数为泵挂为2000m，动液面为1400m，泵径为44mm，冲程为4.8m，冲次为3/min，井液黏度为0.6Pa·s，含水率为95％，GOR为50％，油压为0.6Mpa，套压为0.3MPa，泵处油液温度为80℃，油液密度为860kg/m³，气体密度为0.85kg/m³，杆柱组合为25mm钢杆×500m+22mm钢杆×700m+19mm钢杆×800m,弹性模量为2.1N/m²，钢杆密度为7.8×10³kg/m³，油管规格为62mm,油管锚定。将前述的建模方法编制了Matlab应用程序，经过仿真可以得到不同工况下示功图转化出的泵功图，将每种工况的地面示功图和泵功图共同绘制在一个坐标系内，如图3至图7所示。

仿真不同工况下直井的示功图转化出的泵功图，结果表明，本模型准确度较高，具有实际工程意义。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1、将抽油杆柱简化为多质量—弹簧系统，建立抽油杆柱多自由度运动微分方程，运动微分方程的矩阵形式为

式中：

为广义坐标下结构总节点加速度列阵；

为广义坐标下结构总节点速度列阵；{x}为广义坐标下结构总节点位移列阵；{m}为广义坐标下结构总节点质量列阵；{c}为广义坐标下结构总节点油液阻尼列阵；

为悬点速度表达式；

为悬点加速度表达式；{p}为节点受到的泵端载荷列阵；[M]为质量矩阵；[C]为阻尼矩阵；[K]为刚度矩阵；

步骤2、利用傅里叶级数法给出悬点位移、悬点载荷和泵端载荷的近似表达式：

悬点位移

悬点载荷

泵端载荷

式中：a₀、a_n、b_n为悬点位移傅里叶表达式中的傅里叶系数；c₀、c_n、d_n为悬点载荷傅里叶表达式中的傅里叶系数；e₀、e_n、f_n为泵端载荷傅里叶表达式中的傅里叶系数；ω₀为曲柄转动的平均角速度，单位为rad；t为曲柄运动的时间，单位为s；

步骤3、利用振型叠加法将抽油杆柱多自由度运动微分方程化为若干个单自由度运动微分方程，单自由度运动微分方程的矩阵形式为：

式中：

为正则坐标下结构总节点加速度列阵；

为正则坐标下结构总节点速度列阵；{θ}为正则坐标下结构总节点位移列阵；[C_N]为油液阻尼的正则对角矩阵；

为固有频率的平方的对角矩阵；{Q_Ψn}为正则力表达式中sin前的系数列阵；{R_Ψn}为正则力表达式中cos前的系数列阵；{e}为正则力表达式的常数项列阵；

步骤4、利用单自由度系统振动求解公式求解方程，杆柱任意节点的位移表达式为：

步骤5、利用悬点载荷求解和对比系数求出泵端载荷表达式的傅里叶系数，求出泵端载荷表达式和位移表达式，对比系数的过程为：

2.根据权利要求书1中所述的一种基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型，其特征在于：在步骤1中，抽油杆柱多自由度运动微分方程的计算步骤如下：

(1)由抽油杆柱简化的多质量—弹簧系统中的节点的受力分析得到单个节点的运动微分方程为：

式中：x_A为任意时刻悬点位移，m；m_i,j为第i级杆柱第j个节点的质量，单位为kg；x_i,j为第i级杆柱第j个节点的绝对位移，单位为m；c_i,j为第i级杆柱的第j个节点的油液阻力系数，单位为Pa·s；k_i,j为第i级杆柱第j个节点下端弹簧的弹簧常数，单位为N/m；

将每个节点的运动微分方程写成方程组，并写成矩阵形式，得到抽油杆柱多自由度运动微分方程。

3.权利要求书1中所述的一种基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型，其特征在于：在步骤3中，单自由度运动微分方程的求解的计算步骤如下：

步骤二中用傅里叶级数法给出了泵端载荷和悬点位移的近似表达式，并代入到了方程中，运动微分方程右端sin，cos前的系数矩阵如下式：

将其带入单自由度系统在简谐激励力下的响应求解公式，并将不同频率的简谐力激励下的响应叠加，得到杆柱每个节点的响应表达式。

4.权利要求书1中所述的一种基于离散系统的抽油机井泵功图转化模型，其特征在于：在步骤5中，悬点载荷求解及对比系数的计算步骤如下：

悬点载荷的表达式为：

PRL＝k_e(x_A-q₁)+G′_rod

式中：k_e为抽油杆柱悬挂系统的等效弹簧常数；G′_rod为杆柱在油液中的自重；

由于q₁中含有悬点载荷函数、悬点位移函数、泵端载荷函数中的各项傅立叶系数，悬点载荷函数与悬点位移函数中的傅立叶系数已求得，只有泵端载荷函数中的傅立叶系数未知，令上式与步骤二中得到的悬点载荷表达式中cos与sin前的傅立叶系数对应相等，求得泵端载荷表达式的傅里叶系数；

对比系数确定泵端载荷傅里叶系数：

由上式求得泵端载荷傅里叶系数e_n，f_n，e₀，得到泵端载荷的表达式。

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