CN113392368B - 一种基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法 - Google Patents

一种基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法，包括：(1)将非均匀空化情况下的流体机械振动噪声信号总结为空化调幅信号模型；(2)给出相对调制强度、平均载波功率和绝对调制强度的定义；(3)采集流体机械的振动或噪声时域信号作为监测信号，并对其中心化处理；(4)求解中心化信号的谱相关密度；(5)将谱相关密度沿着载波频率轴进行平均，得到平均谱相关；(6)基于空化调幅信号模型，进行循环平稳整体推导；(7)从平均谱相关中获取一系列特定观测值，求解绝对调制强度谱，用以表征非均匀空化条件下的空化状态。利用本发明，能够在低信噪比和强干扰噪声下有效地实现流体机械空化状态表征。

Description

一种基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征 方法
技术领域
本发明属于信号处理领域，尤其是涉及一种基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法。
背景技术
流体机械广泛应用于日常生活、工业生产和军事应用等领域中，具有不可替代的重要作用。而空化作为一类最常发的流体现象，普遍存在于各类流体机械中，造成水力性能损失、严重噪声振动和过流部件腐蚀等严重后果，如何防止空化带来的危害是流体机械领域受到重点关注的问题。
通过状态监测和特征提取的方式来探测流体机械的空化状态具有诸多应用价值和广泛应用前景，其中基于不同信号类型又分为非常规监测方式和常规监测方式：
非常规监测方式主要包括了高速摄影技术、X光探测、超声波探测等，这些监测方式需要昂贵的专用信号采集设备，因而大多数只适用于空化状态识别的实验室研究，无法很好地应用于工业现场。非常规监测方式能够直接拍摄或者间接探测到流场信息，对于早期微弱空化具有较好的识别效果，尤其是高速摄影技术能够直接观测流场中有无空泡，常常被用作空化研究的基准方法。如公开号为CN110017965A的中国专利文献公开了一种用于研究超声空化气泡动力学过程的实验系统。
但是以高速摄影技术为代表的非常规监测方式受到工业现场种种限制，目前难以作为流体机械空化状态识别的常用手段。
常规监测方式主要包括了振动、噪声和压力脉动测量，其具有设备布置便捷、状态信息丰富的优势，被广泛应用于流体机械的工业现场。如公开号为CN112729836A的中国专利文献公开了一种循环改进型的水轮机空蚀初生状态判别系统及其方法。
但是由于其余振动噪声源的干扰和复杂的传递路径影响，导致常规监测方式的监测信号信噪比低，难以有效地探测到早期空化状态。基于常规监测方式进行流体机械空化状态识别的后续信号特征提取工作大多停留在时域参数统计、频谱分析和时频分析等层面，可以诊断空化完全发展的严重阶段，但是对于早期空化或者初生空化收效甚微。
发明内容
本发明提供了一种基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法，针对于非均匀分布的空化状态，能够基于振动噪声等常规监测方式，在低信噪比和强噪声干扰下有效地提取流体机械空泡破裂强度和空泡空间分布等状态信息，可广泛运用于各类流体机械空化状态表征，以预防空化危害。
一种基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法，包括以下步骤：
(1)面向于非均匀空化情况，将流体机械振动噪声信号建模为具有独立随机载波的空化调幅信号模型；
(2)基于空化调幅信号模型，给出相对调制强度、平均载波功率和绝对调制强度的定义；
(3)采集流体机械的振动或噪声时域信号作为监测信号，并将监测信号中心化得到中心化信号；
(4)求解中心化信号的谱相关密度；
(5)将谱相关密度沿着载波频率轴进行平均化操作，得到平均谱相关；
(6)基于具有独立随机载波的空化调幅信号模型，进行循环平稳整体推导，建立相对调制强度、平均载波功率和平均谱相关之间的数学联系；
(7)从平均谱相关中获取一系列特定观测值，求解绝对调制强度，最终得到绝对调制强度谱，用以表征非均匀空化条件下的空泡破裂强度和空泡空间分布。
本发明的方法能够克服已有的时域参数统计、频域分析以及时频分析不能准确、有效、敏感地探测并识别流体机械空化状态的缺陷，该方法简便易行，能够在低信噪比和强干扰噪声下有效地实现流体机械空化状态表征。
步骤(1)中，信号建模的具体步骤为：
(1-1)若流体机械叶轮轴频为α1，叶片数为N,根据流体机械叶轮旋转对于空泡溃灭信号的调制机理，假设只有轴频、小于叶频的轴频系列谐波以及叶频αk＝kα1(k＝1,2,…,N)是真实调制频率，并将空泡溃灭所致的振动噪声视为载波信号；
(1-2)面向于叶轮中空化非均匀分布的情况，假设各真实调制频率所对应载波是相互独立的随机信号vk(t)；
(1-3)建立具有独立随机载波的空化调幅信号模型x(t)如下：
式中，Ak为各调制成分对应的调制波幅值。
步骤(2)中，相对调制强度、平均载波功率和绝对调制强度的具体定义为：
(2-1)将各调制成分对应的调制波幅值Ak定义为相对调制强度；
(2-2)将各调制成分对应的载波信号vk(t)的平均功率谱密度Pm(αk)定义为平均载波功率；
(2-3)将各调制成分对应的相对调制强度与平均载波功率的乘积AkPm(αk)定义为绝对调制强度。
步骤(3)中，将监测信号中心化的步骤为：
(3-1)计算监测信号的平均值；
(3-2)将监测时域信号减去平均值，得到中心化信号。
步骤(4)的具体步骤为：
(4-1)考察x(t)的时变自相关函数Rx(t,τ)：
式中，t代表时间，τ代表时间延迟，*为共轭符号，E[·]表示统计平均。
(4-2)对时变自相关函数Rx(t,τ)进行时间维度t的傅里叶变换，从而计算得到循环自相关函数Rx(α,τ)，如下：
式中，-T/2和T/2为时间积分区间的下限和上限，e为自然常数，j为虚数符号，α为调制频率。
(4-3)对循环自相关函数Rx(α,τ)进行时延维度τ的傅里叶变换，从而得到谱相关密度Sx(α,f)，如下：
式中，f为载波频率。
步骤(5)的具体步骤为：
(5-1)选定载波积分区间[fl,fu]，fl和fu为所选定的载波频率下限和载波频率上限，通常默认的载波积分范围为[0,Fs/2]，Fs为信号采样频率；
(5-2)在选定的载波积分区间内[fl,fu]，沿载波频率f方向对谱相关密度Sx(α,f)进行平均化，得到平均谱相关
步骤(6)中，循环平稳整体推导的步骤包括：
(6-1)对调幅信号x(t)以载波频率f1和f2为频率中心进行窄带滤波，得到以下滤波结果xΔf(t；f1)和xΔf(t；f2)：
(6-2)将滤波结果xΔf(t；f1)和xΔf(t；f2)代入如下谱相关计算公式(f1和f2为对应的两个相关频率)：
可以进一步得到如下的谱相关结果corrx(f1,f2)：
(6-3)由于不同载波vk(t)(k＝1,2,…,N)彼此为相互独立的随机载波，所以只有基于同一载波的滤波成分的谱相关项为非零值。此外，同一载波的谱相关项的两个相关频率必须相等，该谱相关项才为非零值。令f＝(f1+f2)/2，α＝f1-f2(α≥0)，根据以上两条性质，可以推导得到两个滤波成分xΔf(t；f1)和xΔf(t；f2)产生的谱相关的理论结果：
式中，为载波vk(t)的功率谱密度，(I)表示调制频率为0的谱相关项累加结果，(II)为对应于各真实调制频率的谱相关项，(III)为对应各真实调制频率二倍谐波的谱相关项。
(6-4)进一步考虑不同真实调制频率的谱相关项和不同真实调制频率而被谐波的谱相关项之间产生的线性叠加效应，得到累积谱相关ck如下(分别对应N为偶数和奇数的情况)：
(6-5)理论上，平均谱相关与累积谱相关ck是等价的，即有：
在此基础上，可以建立平均谱相关与相对调制强度以及平均载波功率的数学联系如下：
步骤(7)中，绝对调制强度谱的求解过程为：
(7-1)结合流体机械叶轮旋转对于空泡溃灭信号的调制机理，为了简化运算过程，可以将所有相对调制强度视为1，即有：
A1＝A1＝…＝Ak＝1
(7-2)假设流体机械中心化信号的平均谱相关为根据(6-5)中平均谱相关/>与相对调制强度以及平均载波功率的数学联系，可以计算各真实调制频率的平均载波功率如下：
(7-3)将各真实调制频率的相对调制强度与平均载波功率相乘，得到绝对调制强度，从而求得绝对调制强度谱。
与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：
1、本发明面向于流体机械非均匀空化的情况，建立具有独立载波的空化调幅信号模型，将叶轮旋转信息概括为调制波，将空泡溃灭信号总结为载波，信号模型中各部分具有明确的物理意义。
2、本发明应用循环平稳理论对流体监测信号进行分析，能够极大地降低高斯白噪声和非高斯噪声的干扰，有效地将空泡溃灭信号受到叶轮旋转所产生的二阶循环平稳信号成分提取出来。
3、本发明定义了相对调制强度、绝对调制强度和平均载波功率等参量，用以描绘流体机械内部的空泡破裂强度和空泡空间分布等关键状态信息。
4、本发明通过理论推导，建立了谱相关和相对调制强度、绝对调制强度、平均载波功率等参量之间的数学关系，能够基于绝对调制强度谱准确有效地表征流体机械空化状态。
附图说明
图1为本发明一种基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法的流程示意图；
图2为本发明实施例中无噪声仿真信号的平均谱相关结果；
图3为本发明实施例中无噪声仿真信号的绝对调制强度谱结果；
图4为本发明实施例中含高斯噪声仿真信号的绝对调制强度谱结果；
图5为本发明实施例中含冲击噪声仿真信号的绝对调制强度谱结果；
图6为本发明实施例中离心泵正常状态下的叶轮入口流场图；
图7为本发明实施例中离心泵正常状态下的绝对调制强度谱结果；
图8为本发明实施例中离心泵初生空化状态下的叶轮入口流场图；
图9为本发明实施例中离心泵初生空化状态下的绝对调制强度谱结果；
图10为本发明实施例中离心泵微弱空化状态下的叶轮入口流场图；
图11为本发明实施例中离心泵微弱空化状态下的绝对调制强度谱结果；
图12为本发明实施例中离心泵严重空化状态下的叶轮入口流场图；
图13为本发明实施例中离心泵严重空化状态下的绝对调制强度谱结果。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明做进一步详细描述，需要指出的是，以下所述实施例旨在便于对本发明的理解，而对其不起任何限定作用。
如图1所示，一种基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法，包括以下步骤：
S01，信号建模
面向于非均匀空化情况，将流体机械振动噪声信号建模为具有独立随机载波的空化调幅信号模型。信号建模的具体步骤为：
S101，若流体机械叶轮轴频为α1，叶片数为N,根据流体机械叶轮旋转对于空泡溃灭信号的调制机理，假设只有轴频、小于叶频的轴频系列谐波以及叶频αk＝kα1(k＝1,2,…,N)是真实调制频率，并将空泡溃灭所致的振动噪声视为载波信号；
S102，面向于叶轮中空化非均匀分布的情况，假设各真实调制频率所对应载波是相互独立的随机信号vk(t)；
S103，建立具有独立随机载波的空化调幅信号模型x(t)如下：
式中，Ak为各调制成分对应的调制波幅值。
S02，定义调制强度参量
基于空化调幅信号模型，给出相对调制强度、平均载波功率和绝对调制强度的定义。各调制强度参量的具体定义为：
S201，将各调制成分对应的调制波幅值Ak定义为相对调制强度；
S202，将各调制成分对应的载波信号vk(t)的平均功率谱密度Pm(αk)定义为平均载波功率；
S203将各调制成分对应的相对调制强度与平均载波功率的乘积AkPm(αk)定义为绝对调制强度。
S03，监测信号中心化
采集流体机械的振动或噪声时域信号作为监测信号，并将监测信号中心化得到中心化信号。监测信号中心化的具体步骤为：
S301，计算监测信号的平均值；
S302，将监测时域信号减去平均值，得到中心化信号。
S04，求解谱相关密度
求解中心化信号的谱相关密度，求解谱相关密度的具体步骤为：
S401，考察x(t)的时变自相关函数Rx(t,τ)：
式中，t代表时间，τ代表时间延迟，*为共轭符号，E[·]表示统计平均。
S402，对时变自相关函数Rx(t,τ)进行时间维度t的傅里叶变换，从而计算得到循环自相关函数Rx(α,τ)，如下：
式中，-T/2和T/2为时间积分区间的下限和上限，e为自然常数，j为虚数符号，α为调制频率。
S403，对循环自相关函数Rx(α,τ)进行时延维度τ的傅里叶变换，从而得到谱相关密度Sx(α,f)，如下：
式中，f为载波频率。
S05，求解平均谱相关
将谱相关密度沿着载波频率轴进行平均化操作，得到平均谱相关。求解平均谱相关的具体步骤为：
S501，选定载波积分区间[fl,fu]，fl和fu为所选定的载波频率下限和载波频率上限，通常默认的载波积分范围为[0,Fs/2]，Fs为信号采样频率；
S502，在选定的载波积分区间内[fl,fu]，沿载波频率f方向对谱相关密度Sx(α,f)进行平均化，得到平均谱相关
S06，循环平稳整体推导
基于具有独立随机载波的调幅信号模型，进行循环平稳整体推导，建立相对调制强度、平均载波功率和平均谱相关之间的数学联系。循环平稳整体推导的具体步骤为：
S601，对调幅信号x(t)以载波频率f1和f2为频率中心进行窄带滤波，得到以下滤波结果xΔf(t；f1)和xΔf(t；f2)：
S602，将滤波结果xΔf(t；f1)和xΔf(t；f2)代入如下谱相关计算公式(f1和f2为对应的两个相关频率)：
可以进一步得到如下的谱相关结果corrx(f1,f2)：
S603，由于不同载波vk(t)(k＝1,2,…,N)彼此为相互独立的随机载波，所以只有基于同一载波的滤波成分的谱相关项为非零值。此外，同一载波的谱相关项的两个相关频率必须相等，该谱相关项才为非零值。令f＝(f1+f2)/2，α＝f1-f2(α≥0)，根据以上两条性质，可以推导得到两个滤波成分xΔf(t；f1)和xΔf(t；f2)产生的谱相关的理论结果：
式中，为载波vk(t)的功率谱密度，(I)表示调制频率为0的谱相关项累加结果，(II)为对应于各真实调制频率的谱相关项，(III)为对应各真实调制频率二倍谐波的谱相关项。
S604，进一步考虑不同真实调制频率的谱相关项和不同真实调制频率而被谐波的谱相关项之间产生的线性叠加效应，得到累积谱相关ck如下(分别对应N为偶数和奇数的情况)：
S605，理论上，平均谱相关与累积谱相关ck是等价的，即有：
在此基础上，可以建立平均谱相关与相对调制强度以及平均载波功率的数学联系如下：
S07，求解绝对调制强度谱
从平均谱相关中获取一系列特定观测值，求解绝对调制强度，最终得到绝对调制强度谱，用以表征非均匀空化条件下的空泡破裂强度和空泡空间分布。求解绝对调制强度谱的具体步骤为：
S701，结合流体机械叶轮旋转对于空泡溃灭信号的调制机理，为了简化运算过程，可以将所有相对调制强度视为1，即有：
A1＝A1＝…＝Ak＝1
S702，假设流体机械中心化信号的平均谱相关为根据(6-5)中平均谱相关/>与相对调制强度以及平均载波功率的数学联系，可以计算各真实调制频率的平均载波功率如下：
S703，将各真实调制频率的相对调制强度与平均载波功率相乘，得到绝对调制强度，从而求得绝对调制强度谱。
为验证本发明的有效性，分别对仿真信号和不同空化状态下的离心泵振动信号进行绝对调制强度谱分析，具体如下：
运用以上方法对具有独立载波的调幅信号x(t)进行分析：
式中,各个调制频率为α1＝50Hz，α2＝100Hz，α3＝150Hz，α4＝200Hz，其对应的随机载波总功率分别为5kW,10kW,15kW,20kW。由于载波信号的采样频率设置为20kHz,所以可以将总功率除以采样频率进一步得到各载波的平均功率分别为0.25W/Hz,0.5W/Hz,0.75W/Hz,1W/Hz。
对应的平均谱相关结果和绝对调制强度谱结果，分别如图2和图3所示。其中黑线表示仿真信号的实际分析结果，而小实心点表示在各调制频率处的理论值，可以看出，仿真信号的平均谱相关和绝对调制强度谱分析结果略微低于理论值，这是由谱相关的窄带滤波过程造成的能量泄漏所导致，但是总体来说，平均谱相关和绝对调制强度谱比较接近理论真实值，尤其是绝对调制强度谱可以有效地估计出绝对调制强度。
向以上仿真信号中加入高斯白噪声或向以上仿真信号中加入随机冲击性噪声，其对应的绝对调制强度谱结果分别如图4和图5所示，可以看出在高斯白噪声和随机冲击性噪声干扰下，本发明提出的绝对调制强度谱仍然可以有效地估计出各个调制频率所对应的绝对调制强度。
以上结果证明，对于具有独立载波的调幅信号，无论是在无噪声的情况中还是在高斯白噪声或者随机冲击性噪声干扰下，本发明提出的方法均能够有效准确地估计出各真实调制频率的绝对调制强度。
运用以上方法对不同非均匀空化状态下的离心泵振动信号进行分析，其结果如图6-图13所示：
图6是正常状态下的离心泵叶轮入口区域流场图，图中显示无空泡，图7是正常状态下的离心泵振动信号的绝对调制强度谱，其中轴频αs占据主导地位，二倍轴频2αs占据次要地位。正常状态下的绝对调制强度谱分布由流体机械的叶型设计和来流情况等综合决定，在空化状态表征中应将其视为对比标准。
图8是初生空化状态下的离心泵叶轮入口区域流场图，图中显示有三个叶片上出现了微小的空泡(用小圈标出)，图9是初生空化状态下的离心泵振动信号的绝对调制强度谱，可以发现轴频αs依旧占据主导地位，但此时三倍轴频3αs占据次要地位，这主要由三个叶片上出现的微小空泡溃灭所引起。此外，由于空化早期发展阶段的空泡在未破裂前具有改善流动不稳定区域的作用，所以反而会导致离心泵振动下降，可以将图9与图7对比，发现初生空化状态下的平均载波功率相较于正常状态大幅下降，验证了绝对调制强度谱的有效性。
图10是是微弱空化状态下的离心泵叶轮入口区域流场图，图中显示有两个叶片上出现了严重泡空化(用实线标出)，其余三个叶片有微小的空泡(用虚线标出)。图11是微弱空化状态下的离心泵振动信号的绝对调制强度谱，其中轴频αs占据主导地位，二倍轴频2αs重新占据次要地位，这主要由两个叶片上的严重泡空化溃灭所引起。
图12是严重空化状态下的离心泵叶轮入口区域流场图，图中显示有一个叶片上出现了严重云空化(用实线标出)，有两个叶片出现了云空化(用带箭头的虚线标出)，其余两个叶片出现了泡空化(用不带箭头的虚线标出)。图13是严重空化状态下的离心泵振动信号的绝对调制强度谱，其中轴频αs占据绝对的主导地位，这是由于离心泵内的空化已发展至严重阶段，且空泡在叶轮上的空间分布极其不均匀所导致的，而三倍轴频3αs占据次要地位，这主要由三个叶片上的云空化溃灭所引起。将图13与图9、图11对比，可以发现随着空化发展至严重阶段，发现严重空化状态下的平均载波功率相较于初生空化状态和微弱空化状态大幅上升，说明了空泡溃灭的强度大大提高，进而验证了绝对调制强度谱的有效性。
以上所述的实施例对本发明的技术方案和有益效果进行了详细说明，应理解的是以上所述仅为本发明的具体实施例，并不用于限制本发明，凡在本发明的原则范围内所做的任何修改、补充和等同替换，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)面向于非均匀空化情况，将流体机械振动噪声信号建模为具有独立随机载波的空化调幅信号模型；
(2)基于空化调幅信号模型，给出相对调制强度、平均载波功率和绝对调制强度的定义；
(3)采集流体机械的振动或噪声时域信号作为监测信号，并将监测信号中心化得到中心化信号；
(4)求解中心化信号的谱相关密度；
(5)将谱相关密度沿着载波频率轴进行平均化操作，得到平均谱相关；
(6)基于具有独立随机载波的空化调幅信号模型，进行循环平稳整体推导，建立相对调制强度、平均载波功率和平均谱相关之间的数学联系；
(7)从平均谱相关中获取一系列特定观测值，求解绝对调制强度，最终得到绝对调制强度谱，用以表征非均匀空化条件下的空泡破裂强度和空泡空间分布。
2.根据权利要求1所述的基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法，其特征在于，步骤(1)中，信号建模的具体步骤为：
(1-1)若流体机械叶轮轴频为α1，叶片数为N,根据流体机械叶轮旋转对于空泡溃灭信号的调制机理，假设只有轴频、小于叶频的轴频系列谐波以及叶频αk＝kα1(k＝1,2,…,N)是真实调制频率，并将空泡溃灭所致的振动噪声视为载波信号；
(1-2)面向于叶轮中空化非均匀分布的情况，假设各真实调制频率所对应载波是相互独立的随机信号vk(t)；
(1-3)建立具有独立随机载波的空化调幅信号模型x(t)如下：
式中，Ak为各调制成分对应的调制波幅值。
3.根据权利要求1所述的基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法，其特征在于，步骤(2)中，所述相对调制强度、平均载波功率和绝对调制强度的定义具体为：
(2-1)将各调制成分对应的调制波幅值Ak定义为相对调制强度；
(2-2)将各调制成分对应的载波信号vk(t)的平均功率谱密度Pm(αk)定义为平均载波功率；
(2-3)将各调制成分对应的相对调制强度与平均载波功率的乘积AkPm(αk)定义为绝对调制强度。
4.根据权利要求1所述的基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法，其特征在于，步骤(3)中，将监测信号中心化的具体步骤为：
(3-1)计算监测信号的平均值；
(3-2)将监测时域信号减去平均值，得到中心化信号。
5.根据权利要求1所述的基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法，其特征在于，步骤(4)的具体步骤为：
(4-1)考察x(t)的时变自相关函数Rx(t,τ)：
式中，t代表时间，τ代表时间延迟，*为共轭符号，E[·]表示统计平均；
(4-2)对时变自相关函数Rx(t,τ)进行时间维度t的傅里叶变换，从而计算得到循环自相关函数Rx(α,τ)，如下：
式中，-T/2和T/2为时间积分区间的下限和上限，e为自然常数，j为虚数符号，α为调制频率；
(4-3)对循环自相关函数Rx(α,τ)进行时延维度τ的傅里叶变换，从而得到谱相关密度Sx(α,f)，如下：
式中，f为载波频率。
6.根据权利要求1所述的基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法，其特征在于，步骤(5)的具体步骤为：
(5-1)选定载波积分区间[fl,fu]，fl和fu为所选定的载波频率下限和载波频率上限，通常默认的载波积分范围为[0,Fs/2]，Fs为信号采样频率；
(5-2)在选定的载波积分区间[fl,fu]内，沿载波频率f方向对谱相关密度Sx(α,f)进行平均化，得到平均谱相关
7.根据权利要求1所述的基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法，其特征在于，步骤(6)中，进行循环平稳整体推导的主要步骤为：
(6-1)对调幅信号x(t)以载波频率f1和f2为频率中心进行窄带滤波，得到以下滤波结果xΔf(t；f1)和xΔf(t；f2)：
(6-2)将滤波结果xΔf(t；f1)和xΔf(t；f2)代入如下谱相关计算公式：
进一步得到如下的谱相关结果corrx(f1,f2)：
(6-3)由于不同载波vk(t)(k＝1,2,…,N)彼此为相互独立的随机载波，所以只有基于同一载波的滤波成分的谱相关项为非零值；此外，同一载波的谱相关项的两个相关频率必须相等，该谱相关项才为非零值；
令fβ(f1+f2)/2，α＝f1-f2(α≥0)，推导得到两个滤波成分xΔf(t；f1)和xΔf(t；f2)产生的谱相关的理论结果：
式中，为载波vk(t)的功率谱密度，(I)表示调制频率为0的谱相关项累加结果，(II)为对应于各真实调制频率的谱相关项，(III)为对应各真实调制频率二倍谐波的谱相关项；
(6-4)进一步考虑不同真实调制频率的谱相关项和不同真实调制频率而被谐波的谱相关项之间产生的线性叠加效应，得到累积谱相关ck如下：
上述两式分别对应N为偶数和奇数的情况；
(6-5)平均谱相关与累积谱相关ck是等价的，即有：
在此基础上，建立平均谱相关与相对调制强度以及平均载波功率的数学联系如下：
上述两式分别对应N为偶数和奇数的情况。
8.根据权利要求7所述的基于绝对调制强度谱的流体机械非均匀空化状态表征方法，其特征在于，步骤(7)中，所述绝对调制强度谱的求解过程如下：
(7-1)结合流体机械叶轮旋转对于空泡溃灭信号的调制机理，将所有相对调制强度视为1，即有：
A1βA1＝…＝Ak＝1
(7-2)假设流体机械中心化信号的平均谱相关为根据步骤(6-5)中平均谱相关/>与相对调制强度以及平均载波功率的数学联系，计算各真实调制频率的平均载波功率如下：
(7-3)将各真实调制频率的相对调制强度与平均载波功率相乘，得到绝对调制强度，从而求得绝对调制强度谱。
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