CN113333785B - 非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工方法 - Google Patents

Abstract

本发明非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工方法属于复杂曲面零件慢刀伺服车削技术领域，涉及一种非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工方法。该方法先建立复杂曲面非回转区域截面轮廓曲线函数，构造非回转区域周向几何特征评价系数。求解周向区域刀具进给运动轨迹函数，并将其进行傅里叶级数展开。建立周向加工区域分割准则，进行复杂曲面周向加工区域分割。以机床伺服性能为约束，基于曲面分割结果确定区域主轴转速变化曲线，实现曲面周向子区域正弦型变主轴转速规划。最后，进行单次走刀过程加工轨迹设计与修正，完成非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工工艺规划。该方法适用于复杂曲面分区车削加工，可显著提高加工质量。

Description

非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工方法

技术领域

本发明属于复杂曲面零件慢刀伺服车削技术领域，涉及一种非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工方法。

背景技术

精密车削由于其连续性切削特点，易获得高表面质量，适用于复杂曲面零件的高质高效加工。随着直线电机、主轴伺服等新技术应用在精密车削加工中，车床主轴既可以提供主运动也可以作为C轴实现旋转进给运动，传统普通车削方法仅满足加工回转面零件的局限性被打破，一种基于伺服系统的车削创成方法逐渐适用于具有非回转区域几何特征的复杂曲面零件(即本方法所述非圆截面零件)的精密加工。其中，相较于快刀伺服车削，慢刀伺服车削可实现较大行程伺服车削，因此更适用于截面轮廓波动起伏较大的非圆截面零件加工。

车削非圆截面零件要求车床X轴和Z轴随着C轴进给联动，通过多轴插补实现目标截面轮廓形状的加工。然而，当采用全域统一参数整体加工法进行非圆截面零件的慢刀伺服车削加工时，为确保在复杂曲面区域波动频率较大位置处仍能满足机床伺服运动性能，往往使用保守主轴转速，这就使得在加工过程中表面切削速度不稳定，加工表面质量不均匀，局部切削区域往往因为切削速度过低而出现表面加工缺陷甚至无法实现车削创成；若以最小切削速度为约束进行全域恒转速加工，则切削复杂曲面几何特征急变区域时又会导致机床进给不稳定，从而影响加工精度。

Mishra等人的文献“Experimental investigations on slow tool servoprocess parameters for freeform optics machining”，Materials and ManufacturingProcesses，2020，35(7)，797-810，面向自由曲面慢刀伺服车削加工，采用优化方法求解单一加工参数的权重，并找到这些加工参数的最佳范围，以提高加工表面光洁度。该方法通过开展10-110RPM范围的不同主轴转速试验，发现了主轴转速过低会增加表面粗糙度，而主轴转速过高时又会导致X轴和Z轴的显著随动误差这一现象，并针对其试验样件明确最优主轴转速为50RPM。然而，该研究缺乏理论指导，对主轴转速的选取结果不具有普适性，且该研究缺乏对变主轴转速加工方法的研究，对于进一步发挥慢刀伺服车削系统的潜在加工能力具有一定的局限性。刘建群等人的专利“一种变主轴转速数控车修不同导程外螺纹的方法”，公开号CN110722224A，该专利按照工件表面不同螺纹导程将加工区域划分为不同的走刀切削区域，不同走刀过程采用不同的主轴转速，从而消除数控车削中的变速乱牙现象。然而，该方法在单次走刀过程中依然采用恒主轴转速切削方式，且对单次走刀过程中的“去除材料余量转速”“为达到螺纹最终尺寸、提高表面质量转速”和“满足其他要求转速”等不同转速的选取与设计缺乏理论依据。周晓勤等人的专利“一种主动改变主轴转速的离轴车削自由曲面方法”，公开号CN102107372A，该专利首先将多个自由曲面工件等间隔离轴安装，然后根据加工过程中刀触点的坐标位置调整主轴回转速度以提高加工表面切削速度的一致性。该方法事实上为沿工件回转半径方向，根据刀触点所在回转半径实时调整该环刀具轨迹对应的主轴转速，即沿回转半径方向变主轴转速，然而，沿回转周向切削时仍采用恒转速切削。对于沿周向凹凸起伏的工件来说，该方法仍然无法保证加工表面切削速度的匀化，且该方法缺少对加工过程中不同主轴转速间合理过渡的研究，对提高加工表面质量和加工精度具有较大的局限性。

发明内容

本发明为克服现有技术缺陷，针对具有非回转区域几何特征的复杂曲面零件慢刀伺服车削加工过程中，全域统一参数整体加工方法缺乏对加工质量与机床进给运动平稳性的综合考虑，影响加工表面质量甚至引发局部误差等问题，发明一种非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工方法。通过对截面几何特征进行分析，沿曲面周向划分不同加工子区域，采用分区域多次走刀车削加工方法，并根据曲面各子区域几何复杂程度进行区域正弦型主轴转速规划。同时，对不同子区域单次走刀过程的空行程刀具路径和刀具切入/切出方向进行设计和修正。最终，实现复杂曲面周向分区域变主轴转速车削加工。在满足机床伺服运动性能的情况下，确保加工曲面轮廓精度的同时提高加工表面质量，为复杂曲面的高精车削加工提供技术支撑。

本发明的技术方案是一种非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工方法，其特征在于，该方法先建立复杂曲面非回转区域截面轮廓曲线函数，构造非回转区域周向几何特征评价系数；求解周向区域刀具进给运动轨迹函数，并将其进行傅里叶级数展开；建立周向加工区域分割准则，进行复杂曲面周向加工区域分割；以机床伺服性能为约束，基于曲面分割结果确定区域主轴转速变化曲线，实现曲面周向子区域正弦型变主轴转速规划；最后，进行单次走刀过程加工轨迹设计与修正，从而完成非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工工艺规划；方法的具体实施步骤如下：

步骤1，复杂曲面非回转区域截面轮廓曲线函数构造；

首先建立工件坐标系O-x_wy_wz_w，其中，坐标系原点O为加工时工件的回转中心，在加工初始状态，工件坐标系x_w轴与机床坐标系X轴重合，工件坐标系z_w轴与机床坐标系Z轴重合；在XOZ平面，设非回转区域截面轮廓上各点对应的回转半径-极半径为R，回转角-极角为θ，则将复杂曲面非回转区域的截面轮廓曲线函数表示为：

R＝f(θ),θ∈[0,2π] (1)

取截面轮廓曲线函数的周期为主轴回转周期2π，则其傅里叶级数展开表达式为：

其中，R₀为截面轮廓的基圆回转半径，R_n为截面轮廓第n次谐波的幅值，为截面轮廓第n次谐波的初相位；以上傅里叶系数计算式为：

步骤2，构造复杂曲面非回转区域的周向几何特征评价系数：

a)构造复杂曲面非回转区域的理论区域周向几何特征评价系数，基于傅里叶级数展开的结果，非回转区域理论区域周向几何特征评价系数G为：

为确保在实际工艺规划过程中该评价系数可计算，设定傅里叶级数拟合误差ε_f，若以m阶傅里叶级数逼近截面轮廓曲线函数，则拟合误差为：

其中，p为截面轮廓取样点数，θ_i为第i个点对应的回转角；

给定傅里叶级数拟合精度E，当时，则确定以该m阶傅里叶级数逼近截面轮廓曲线函数；

b)构建复杂曲面非回转区域的实际区域周向几何特征评价系数：

复杂曲面非回转区域的实际区域周向几何特征评价系数G_j为：

将区域周向几何特征评价系数作为周向区域主轴转速规划的依据；

步骤3，复杂曲面非回转区域的分割及加工区域刀具进给运动轨迹函数求解；

将截面轮廓以Δθ_S为回转角差值等角度预分为k段，每一段预分的截面轮廓称为一个预分段，则当车刀沿第j个预分段车削时，机床X轴相对加工时间t的进给运动轨迹为：

X_j(t)＝R_j(ω_jt) (7)

其中，ω_j为切削该段时的主轴旋转角速度，R_j为第j段截面轮廓曲线函数；

将该运动轨迹函数进行m_j阶傅里叶级数展开，得到：

其中，为第j段截面轮廓的基圆回转半径，/>为第j段截面轮廓第n次谐波的幅值，/>为第j段截面轮廓第n次谐波的初相位；以上傅里叶系数计算式为：

则车刀切削该预分段时的X轴进给速度计算为：

给定主轴转速ω和傅里叶级数拟合精度E，沿各预分段进行相应X轴运动轨迹函数的傅里叶级数展开及拟合精度检验，若第j个预分段对应运动轨迹函数求解得到的符合拟合精度的傅里叶级数展开式阶数为1，则将第j个预分段与下一个预分段，即第j+1个预分段合并为同一区域，称为预分段区域，记作[j,j+1]，并以相同方法再次进行傅里叶级数展开，直到在预分段区域[j,j+q]得到的符合拟合精度的傅里叶级数展开式阶数大于1时，则将预分段区域[j,j+q-1]作为确定的非圆截面零件周向加工子区域，记作第j个子区域S_j；该过程即确保各子区域中的傅里叶级数频域图中只有单一幅值谱线，不计基圆回转半径所在的零谱线；计算各子区域的区域周向几何特征评价系数，其中，第j个子区域S_j对应幅频特性曲线的单一幅值为R_j，该幅值谱线所在谐波的初相位为则该子区域对应的区域周向几何特征评价系数G_j为：

G_j＝R_j (11)

车刀切削该子区域时的X轴进给速度计算为：

逐次计算直至将复杂曲面非回转区域全部截面轮廓分割为符合要求的不同子区域，从而实现沿复杂曲面非回转区域截面轮廓周向的区域分割；

步骤4，复杂曲面周向子区域正弦型变主轴转速规划

采用正弦型变主轴转速法，即该区域内主轴转速数值随加工时间呈正弦曲线变化，进行区域转速规划；

给定车床X轴满足伺服运动性能的最大进给速度为V_X，仍以第j个子区域S_j为例，则根据式(12)，该子区域的限定主轴转速n_0j(r/min)的取值范围为：

该子区域的主轴转速变化曲线为：

其中，表示子区域S_j中第u个点对应的回转角，则计算得到的/>即为该点处的主轴转速值；参数A_j需满足：

0≤A_j≤G_j (15)

当非回转区域截面轮廓几何特征复杂性较强时，各预分段区域难以满足单一幅值谱线的要求，在这种情况下，将周向区域分割准则进行调整，即确保各子区域中的傅里叶级数频域图中的幅值谱线数量在L条之内，根据实际加工需要，1＜L<5；根据式(4)，周向区域分割准则调整前的第j个子区域S_j对应周向几何特征评价系数为：

周向区域分割准则调整后的子区域周向几何特征评价系数表达为G_M，则第j个子区域S_j对应的该系数G_Mj为：

则计算该子区域的最大限定主轴转速n_0j(r/min)为：

该子区域的主轴转速变化曲线调整为：

按照相同的要求，规划各子区域的主轴转速，完成非圆截面零件周向分区域变主轴转速规划；

步骤5，采取分区域多次走刀车削加工，在实际切削区域规划刀具轨迹，在非切削区域对应规划空行程刀具路径，并修正单次走刀路径轨迹；

经步骤3得到区域各点处极角-主轴转速的对应关系；为避免子区域间主轴转速的突变，本方法采取分区域多次走刀车削加工方法，即每个子区域对应一次走刀过程，各子区域对应的单次走刀过程中，将曲面划分为实际切削区域和非切削区域，在实际切削区域规划刀具轨迹，在非切削区域对应规划空行程刀具路径，并针对刀具轨迹和空行程刀具路径连接处进行拼接，形成完整的单次走刀加工轨迹；

以等角度法非回转区域截面轮廓曲线取离散的初始刀触点，设相邻刀触点间的极角差值为Δθ_C，则截面轮廓曲线第q个初始刀触点T_q的极坐标(ρ_q,θ_q)计算为：

ρ_q＝R((q-1)Δθ_C) (20)

生成的初始刀触点中，位于所规划单次走刀实际切削区域的初始刀触点将保留并作为刀具轨迹的实际刀触点，位于非切削区域的初始刀触点沿截面径向向外侧偏置Δd距离，从而形成初始空行程刀具路径点；

为避免单次走刀刀具切入/切出过程中接刀不当和机床进给突变的问题，将基于确定的刀具切入/切出速度，对空行程刀具路径点进行修正，从而实现空行程刀具路径和刀具轨迹的拼接，确保加工轨迹的连续性；

以第j个子区域S_j对应的单次走刀空行程刀具路径修正为例，设单次走刀实际切削区域包含x个实际刀触点，对应极角范围为[θ_c,θ_c+(x-1)Δθ_C]，将与该子区域中心处相对回转中心对称的极角对应空行程刀具路径点作为切入修正区域起始点计算式为：

将实际切削区域起始点作为切入修正区域末点计算式为：

根据式(12)和式(14)，机床沿空行程刀具路径向实际切削区域进给时的刀具切入速度v_ci为：

以车床X轴满足伺服运动性能的最大进给速度V_X为约束，将切入修正区域在R-θ坐标系展开，计算修正曲线方程，其中切入修正区域第n个点 修正后的极半径/>计算式为：

其中，为Hermite基函数值，计算式为：

将切入修正区域各点按照式(24)计算修正后的极半径，完成该切入修正区域的空行程刀具路径修正；

同理，将实际切削区域末点作为该单次走刀加工轨迹切出修正区域起始点将切入修正区域起始点/>作为切出修正区域末点，记作根据式(12)和式(14)，机床沿刀具轨迹向非切削区域进给时的刀具切出速度v_co为：

以车床X轴满足伺服运动性能的最大进给速度V_X为约束，将切出修正区域在R-θ坐标系展开，计算修正曲线方程；其中，切出修正区域第n个点修正后的极半径为：

其中，为Hermite基函数值，计算式为：

通过加工轨迹修正，使单次走刀过程中机床进给稳定，保障实际切削区域尤其是区域边界处的加工质量；最终实现基于慢刀伺服车削的复杂曲面周向分区域变主轴转速加工工艺设计。

本发明的显著效果和益处是该方法针对带有周向起伏特征的复杂曲面全域统一参数慢刀伺服车削整体加工方法造成表面切削速度不稳定、影响加工质量，几何特征急变区域又会导致机床进给不稳定导致影响加工精度等问题，基于傅里叶级数分析非回转区域几何特征，沿复杂曲面周向划分不同加工子区域，根据曲面各子区域几何复杂程度进行区域正弦型主轴转速规划，设计各子区域对应单次走刀过程的实际切削刀具轨迹和空行程刀具路径，并对加工轨迹进行修正，最终实现复杂曲面周向分区域变主轴转速车削加工。该方法可显著提高加工表面质量，确保曲面加工轮廓精度，适用于具有非圆截面几何特征的复杂曲面的周向分区域车削加工。

附图说明

图1方法整体流程图。

图2复杂曲面零件截面轮廓曲线加工子区域划分结果。其中，1-子区域1，2-子区域2。

图3加工子区域频谱图。

图4加工子区域2走刀过程轨迹图。其中，1-未加工子区域1，2-空行程刀具路径图，3-加工子区域2刀具加工轨迹。

图5a)采用全域恒转速加工方法加工表面粗糙度，图5b)采用全域变转速加工方法加工表面粗糙度，图5c)采用区域恒转速加工方法加工表面粗糙度，图5d)采用本发明所述分区加工方法加工表面粗糙度。其中，Ra-加工表面粗糙度(μm)。

具体实施方式

结合技术方案与附图详细说明本发明的具体实施方式。

具有非回转区域几何特征的复杂曲面的慢刀伺服车削过程中，当采用全域统一参数整体车削加工时，为确保在曲面周向波动频率较大位置处仍能满足机床伺服运动性能，往往使用保守主轴转速，这就使得在加工过程中表面切削速度不稳定，加工表面质量不均匀；若以最小切削速度为约束进行全域恒转速加工，则切削复杂曲面几何特征急变区域又会导致机床进给不稳定，从而影响加工精度。针对这一情况，为了提高复杂曲面慢刀伺服车削的加工质量及机床进给平稳性，发明了非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工方法，整体流程如附图1所示。

实施例采用HAAS SL-20三轴车削中心，以具有周向低频起伏、曲率突变特征的非圆截面零件为例，借助MATLAB软件，详细说明本发明实施过程。

首先，利用MATLAB软件对该复杂曲面截面轮廓形状进行设计，在XOY坐标系中，整体截面轮廓以X轴为界分为上下截面，其中上截面的轮廓曲线函数为下截面的轮廓曲线函数为/>进而建立具有周向低频起伏、曲率突变特征的复杂曲面非回转区域截面轮廓，将该截面沿轴向拉伸5mm，完成复杂曲面建模。根据式(1)-(4)对截面轮廓曲线函数进行傅里叶级数展开，其中上截面的傅里叶级数展开表达式为R₁(θ)＝18+2cos2θ,θ∈[0,π]，下截面的傅里叶级数展开表达式为R₂(θ)＝22.5+2.5cos(2θ+π),θ∈[π,2π]。根据式(5)-(6)设定傅里叶级数拟合精度为0.5mm，并计算非回转区域周向几何特征评价系数，其中上截面的周向几何特征评价系数为K₁＝4，下截面的周向几何特征评价系数为K₂＝5。经式(7)-(12)分析截面轮廓不同位置处的幅频特性，并以此完成非圆截面零件加工区域的分割，将待加工的非圆截面零件沿周向分割为两个子区域：子区域1和子区域2，参见附图2，各子区域频谱图参见附图3。根据实验设备的实际伺服运动性能，取X轴满足伺服运动性能的最大进给速度V_X为12mm/s，通过式(13)-(19)计算各子区域正弦型变主轴转速加工的主轴转速变化曲线参数，其中，式(16)中的参数L取1。子区域1的限定主轴转速n₀₁为28RPM，其主轴转速变化正弦曲线的幅值A₁取4，初相位/>为0，主轴转速变化曲线函数为n₁(θ)＝32+4sinθ；子区域2的限定主轴转速n₀₂为20RPM，其主轴转速变化正弦曲线的幅值A₂取5，初相位/>为π，主轴转速变化曲线函数为n₂(θ)＝25+5sin(θ+π)；利用MATLAB软件计算加工非圆截面零件轮廓曲线上各点处的设计主轴转速。

如附图2所示的两个子区域组成的整体轮廓，根据本方法采用两次走刀过程实现该截面轮廓区域的车削加工。附图4表示出在加工子区域2时，子区域1为非切削区域，其中，1-未加工子区域1，2-空行程刀具路径图，3-加工子区域2刀具实际刀触点轨迹；加工子区域1时方法相同。通过式(20)生成加工区域初始刀触点，将单次走刀过程非切削区域的初始刀触点沿径向向外侧偏置10mm，生成单次走刀初始空行程刀具路径，确定修正区域，经式(21)-(28)完成单次走刀过程加工轨迹的修正。

为验证此方法的有效性，进行传统全域/恒转速加工与本发明所述周向分区域变主轴转速加工对比实验。设置对照组1为全域恒转速加工，即不划分加工子区域，全域截面轮廓一次走刀加工完成，主轴转速采取全域保守参数20RPM；设置对照组2为全域变转速加工，即不划分加工子区域，全域截面轮廓一次走刀加工完成，采用正弦型变主轴转速法加工，根据本方法所述规划方法，计算最大区域几何特征评价系数为K_G＝7.5，确定限定主轴转速n_0G为15RPM，主轴转速变化曲线函数幅值A_G取7.5；

设置对照组3为区域恒转速加工，即根据本方法所述区域分割策略将加工区域划分为不同子区域，全域截面轮廓一次走刀加工完成，各子区域内采用恒定主轴转速，转速值分别取区域保守参数28RPM和20RPM。

第4组设置为实验组，即前述本发明分区加工工艺规划。设定曲面轴向行距为0.1mm，背吃刀量10μm，采用CQ2MLE/50°HD金刚石车刀，刀具刃圆半径2mm，后角15°。

实验结果表明，采用全域恒转速加工得到的曲面表面粗糙度为0.536μm，采用全域变转速加工得到的曲面表面粗糙度为0.338μm，采用区域恒转速加工得到的曲面表面粗糙度为0.408μm，采用本发明方法得到的曲面表面粗糙度为0.263μm。由此可见，对于恒转速加工，采用分区加工法加工表面粗糙度降低23.88％；对于变转速加工，采用分区加工法加工表面粗糙度降低22.19％，实验数据证明采用本发明所述分区加工方法可以有效提高加工表面质量。对于全域加工，采用正弦型变主轴转速法加工表面粗糙度降低了36.94％；对于分区加工，采用正弦型变主轴转速法加工表面粗糙度降低了35.54％，实验数据证明采用本发明所述正弦型变主轴转速法加工可以有效提高加工表面质量，且对于改善表面质量起到更关键的作用。综上所述，采用本发明所述分区域变主轴转速方法得到的曲面加工表面质量显著优于其他对照组，尤其相比全域恒转速加工法表面粗糙度可降低50.93％。以上所示结果参见附图5a)、b)、c)、d)。

经过对实验数据的综合分析，可见判定结果与实验结果一致。说明利用本发明的非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工方法可有效提升复杂曲面加工质量，对工程实际中的慢刀伺服车削加工刀具轨迹及工艺参数规划具有重要的指导作用。

Claims (1)

1.一种非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工方法，其特征在于，该方法先建立复杂曲面非回转区域截面轮廓曲线函数，构造非回转区域周向几何特征评价系数；求解周向区域刀具进给运动轨迹函数，并将其进行傅里叶级数展开；建立周向加工区域分割准则，进行复杂曲面周向加工区域分割；以机床伺服性能为约束，基于曲面分割结果确定区域主轴转速变化曲线，实现曲面周向子区域正弦型变主轴转速规划；最后，进行单次走刀过程加工轨迹设计与修正，从而完成非圆截面零件周向分区域变主轴转速车削加工工艺规划；方法的具体实施步骤如下：

步骤1，复杂曲面非回转区域截面轮廓曲线函数构造；

首先建立工件坐标系O-x_wy_wz_w，其中，坐标系原点O为加工时工件的回转中心，在加工初始状态，工件坐标系x_w轴与机床坐标系X轴重合，工件坐标系z_w轴与机床坐标系Z轴重合；在XOZ平面，设非回转区域截面轮廓上各点对应的回转半径-极半径为R，回转角-极角为θ，则将复杂曲面非回转区域的截面轮廓曲线函数表示为：

R＝f(θ),θ∈[0,2π] (1)

取截面轮廓曲线函数的周期为主轴回转周期2π，则其傅里叶级数展开表达式为：

其中，R₀为截面轮廓的基圆回转半径，R_n为截面轮廓第n次谐波的幅值，为截面轮廓第n次谐波的初相位；以上傅里叶系数计算式为：

步骤2，构造复杂曲面非回转区域的周向几何特征评价系数：

a)构造复杂曲面非回转区域的理论区域周向几何特征评价系数，基于傅里叶级数展开的结果，非回转区域理论区域周向几何特征评价系数G为：

为确保在实际工艺规划过程中该评价系数可计算，设定傅里叶级数拟合误差ε_f，若以m阶傅里叶级数逼近截面轮廓曲线函数，则拟合误差为：

其中，p为截面轮廓取样点数，θ_i为第i个点对应的回转角；

给定傅里叶级数拟合精度E，当时，则确定以该m阶傅里叶级数逼近截面轮廓曲线函数；

b)构建复杂曲面非回转区域的实际区域周向几何特征评价系数：

复杂曲面非回转区域的实际区域周向几何特征评价系数G_j为：

将区域周向几何特征评价系数作为周向区域主轴转速规划的依据；

步骤3，复杂曲面非回转区域的分割及加工区域刀具进给运动轨迹函数求解；

将截面轮廓以Δθ_S为回转角差值等角度预分为k段，每一段预分的截面轮廓称为一个预分段，则当车刀沿第j个预分段车削时，机床X轴相对加工时间t的进给运动轨迹为：

X_j(t)＝R_j(ω_jt) (7)

其中，ω_j为切削该段时的主轴旋转角速度，R_j为第j段截面轮廓曲线函数；

将该运动轨迹函数进行m_j阶傅里叶级数展开，得到：

其中，为第j段截面轮廓的基圆回转半径，/>为第j段截面轮廓第n次谐波的幅值，/>为第j段截面轮廓第n次谐波的初相位；以上傅里叶系数计算式为：

则车刀切削该预分段时的X轴进给速度计算为：

给定主轴转速ω和傅里叶级数拟合精度E，沿各预分段进行相应X轴运动轨迹函数的傅里叶级数展开及拟合精度检验，若第j个预分段对应运动轨迹函数求解得到的符合拟合精度的傅里叶级数展开式阶数为1，则将第j个预分段与下一个预分段，即第j+1个预分段合并为同一区域，称为预分段区域，记作[j,j+1]，并以相同方法再次进行傅里叶级数展开，直到在预分段区域[j,j+q]得到的符合拟合精度的傅里叶级数展开式阶数大于1时，则将预分段区域[j,j+q-1]作为确定的非圆截面零件周向加工子区域，记作第j个子区域S_j；该过程即确保各子区域中的傅里叶级数频域图中只有单一幅值谱线，不计基圆回转半径所在的零谱线；计算各子区域的区域周向几何特征评价系数，其中，第j个子区域S_j对应幅频特性曲线的单一幅值为R_j，该幅值谱线所在谐波的初相位为则该子区域对应的区域周向几何特征评价系数G_j为：

G_j＝R_j (11)

车刀切削该子区域时的X轴进给速度计算为：

逐次计算直至将复杂曲面非回转区域全部截面轮廓分割为符合要求的不同子区域，从而实现沿复杂曲面非回转区域截面轮廓周向的区域分割；

步骤4，复杂曲面周向子区域正弦型变主轴转速规划

采用正弦型变主轴转速法，即该区域内主轴转速数值随加工时间呈正弦曲线变化，进行区域转速规划；

给定车床X轴满足伺服运动性能的最大进给速度为V_X，仍以第j个子区域S_j为例，则根据式(12)，该子区域的限定主轴转速n_0j(r/min)的取值范围为：

该子区域的主轴转速变化曲线为：

其中，表示子区域S_j中第u个点对应的回转角，则计算得到的/>即为该点处的主轴转速值；参数A_j需满足：

0≤A_j≤G_j (15)

当非回转区域截面轮廓几何特征复杂性较强时，各预分段区域难以满足单一幅值谱线的要求，在这种情况下，将周向区域分割准则进行调整，即确保各子区域中的傅里叶级数频域图中的幅值谱线数量在L条之内，根据实际加工需要，1＜L<5；根据公式(4)周向区域分割准则调整前的第j个子区域S_j对应周向几何特征评价系数为：

周向区域分割准则调整后的子区域周向几何特征评价系数表达为G_M，则第j个子区域S_j对应的该系数G_Mj为：

则计算该子区域的最大限定主轴转速n_0j(r/min)为：

该子区域的主轴转速变化曲线调整为：

按照相同的要求，规划各子区域的主轴转速，完成非圆截面零件周向分区域变主轴转速规划；

步骤5，采取分区域多次走刀车削加工，在实际切削区域规划刀具轨迹，在非切削区域对应规划空行程刀具路径，并修正单次走刀路径轨迹；

经步骤3得到区域各点处极角-主轴转速的对应关系；为避免子区域间主轴转速的突变，本方法采取分区域多次走刀车削加工方法，即每个子区域对应一次走刀过程，各子区域对应的单次走刀过程中，将曲面划分为实际切削区域和非切削区域，在实际切削区域规划刀具轨迹，在非切削区域对应规划空行程刀具路径，并针对刀具轨迹和空行程刀具路径连接处进行拼接，形成完整的单次走刀加工轨迹；

以等角度法非回转区域截面轮廓曲线取离散的初始刀触点，设相邻刀触点间的极角差值为Δθ_C，则截面轮廓曲线第q个初始刀触点T_q的极坐标(ρ_q,θ_q)计算为：

ρ_q＝R((q-1)Δθ_C) (20)

生成的初始刀触点中，位于所规划单次走刀实际切削区域的初始刀触点将保留并作为刀具轨迹的实际刀触点，位于非切削区域的初始刀触点沿截面径向向外侧偏置Δd距离，从而形成初始空行程刀具路径点；

为避免单次走刀刀具切入/切出过程中接刀不当和机床进给突变的问题，将基于确定的刀具切入/切出速度，对空行程刀具路径点进行修正，从而实现空行程刀具路径和刀具轨迹的拼接，确保加工轨迹的连续性；

以第j个子区域S_j对应的单次走刀空行程刀具路径修正为例，设单次走刀实际切削区域包含x个实际刀触点，对应极角范围为[θ_c,θ_c+(x-1)Δθ_C]，将与该子区域中心处相对回转中心对称的极角对应空行程刀具路径点作为切入修正区域起始点计算式为：

将实际切削区域起始点作为切入修正区域末点计算式为：

根据式(12)和式(14)，机床沿空行程刀具路径向实际切削区域进给时的刀具切入速度v_ci为：

以车床X轴满足伺服运动性能的最大进给速度V_X为约束，将切入修正区域在R-θ坐标系展开，计算修正曲线方程，其中切入修正区域第n个点 修正后的极半径/>计算式为：

其中，为Hermite基函数值，计算式为：

将切入修正区域各点按照式(24)计算修正后的极半径，完成该切入修正区域的空行程刀具路径修正；

同理，将实际切削区域末点作为该单次走刀加工轨迹切出修正区域起始点将切入修正区域起始点/>作为切出修正区域末点，记作/>根据式(12)和式(14)，机床沿刀具轨迹向非切削区域进给时的刀具切出速度v_co为：

以车床X轴满足伺服运动性能的最大进给速度V_X为约束，将切出修正区域在R-θ坐标系展开，计算修正曲线方程，其中切出修正区域第n个点修正后的极半径/>为：

其中，为Hermite基函数值，计算式为：

通过加工轨迹修正，使单次走刀过程中机床进给稳定，保障实际切削区域的加工质量；最终实现基于慢刀伺服车削的复杂曲面周向分区域变主轴转速加工工艺设计。