CN113128022A - 一种预测颗粒与壁面发生碰撞后的恢复系数的算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了本发明提供了一种预测颗粒与壁面发生碰撞后的恢复系数的算法，基于模拟出的分形粗糙壁面，将颗粒碰撞壁面的角度、速度、落点代入颗粒冲蚀理论，即可得到颗粒与壁面发生碰撞后的恢复系数。本发明所公开的算法致力于在一定程度上反映颗粒与壁面碰撞的完整机理，并尽量简化分析与计算流程，使其适用于工程应用。

Description

一种预测颗粒与壁面发生碰撞后的恢复系数的算法

技术领域

本发明属于油、气输送管道研究领域，特别涉及该领域中的一种预测颗粒与壁面发生碰撞后的恢复系数的算法。

背景技术

石油和天然气不仅作为优质的能源为现代社会运转提供强大的动力，同时也是重要的工业生产原材料，应用于生活的方方面面。能源的持续开采导致陆上油气资源存量逐渐减少，开采率也逐渐降低。而海洋中的油气能源储量十分丰富，因此海底石油、天然气的开采研发引起越来越多国家的重视。目前，管道运输因其具有运输量大、工程量小、占地少、能耗小、安全可靠、连续性强等优点，已成为天然气、石油等危险化学品输送的首选方案。但是，油气管道在带来巨大好处的同时，也存在巨大威胁。管道内的固体颗粒冲蚀是非常严重的工程问题。因此，预测管道各配件尤其是弯头处固体颗粒冲蚀的速率和分布，然后采取针对性的预防措施，在实际工程中意义重大。

如图1所示，颗粒在与壁面碰撞过程中，由于能量的转移与耗散会导致颗粒的回弹速度小于颗粒的入射速度，其中能量通常以热量、噪音以及靶材的形变等形式耗散。这一变化可以用碰撞后速度与碰撞前速度的比值即恢复系数e来描述。Tabakoff在粉尘对管壁冲蚀研究中，通过分析实验数据提出，恢复系数可以分为一个法向恢复系数和一个切向恢复系数，即撞击后与撞击前的速度，在法向分量上和切向分量上的比值，恢复系数具体表现形式如下：

法向恢复系数：

切向恢复系数：

其中：V₁、V₂分别表示颗粒入射与回弹速度，脚标n、t分别代表入射与回弹速度平面的切向与法向，θ、β分别表示颗粒入射角与回弹角。

实际上，在碰撞过程中，颗粒与壁面的相互作用是固有且复杂的。碰撞过程的接触模型可以分为两种：静态接触模型和动态接触模型。静态接触模型主要分析颗粒的接触状态与接触应力之间的关系，这通常是动态接触模型的基础。动态接触模型通常在一个时间步中确定颗粒的动量和位移，使用离散元方法(Discrete Element Method，以下简称DEM)研究冲击回弹过程。DEM根据接触方法的不同，存在硬球理论和软球理论。硬球理论将颗粒和壁面视为完全刚性，并且颗粒与壁面之间的碰撞会在瞬间发生。软球理论认为颗粒在接触壁面时会发生塑性变形，整个碰撞过程可以通过虚拟垂向重叠和切向接触位移来描述。软球理论的难点是如何解释颗粒的动量损失。但是在固体颗粒冲蚀分析中，对颗粒与壁面碰撞过程的描述略有不同。以上所有模型并不适合直接应用于数值模拟。

发明内容

本发明所要解决的技术问题就是提供一种预测颗粒与壁面发生碰撞后的恢复系数的算法。

本发明采用如下技术方案：

一种预测颗粒与壁面发生碰撞后的恢复系数的算法，其改进之处在于，包括如下步骤：

步骤1，二维粗糙壁面轮廓的模拟：

采用二维W—M分形函数表征粗糙壁面轮廓的表达式为：

式中：Z(x)为表面轮廓高度；G为轮廓特征尺度系数；D为分形维数，取值范围为1—2；γ为分形尺度参数，取1.5；x为沿着轮廓水平方向的坐标；n为分形尺度指数，n1和n2分别为最高截断频率和最低截断频率，它们的表达式分别由以下两个公式推导出，其中L为采集样本的长度，S为样本的分辨率：

步骤2，求颗粒与壁面的碰撞点：

给定颗粒的初始位置坐标、初始速度v₁和初始入射角度θ，每运行一个瑞利时间，判断颗粒是否与壁面发生碰撞，直到求出第一个碰撞点；

步骤3，计算颗粒碰撞后理想平面上的法向恢复系数η_n和法向速度v_n2：

颗粒与理想平面碰撞的法向和切向恢复系数分别为η_n和η_t，与实际平面碰撞的法向和切向恢复系数分别为e_n和e_t，当具体到某一次颗粒碰撞时，颗粒与壁面粗糙结构碰撞的切平面可以视为一个虚拟的绝对光滑理想平面，它们之间存在矢量关系如下：

颗粒入射速度的单位向量为：

微观尺度上碰撞位置的切向量可以表示为：

其中，n_n为微观尺度理想平面上的碰撞位置的法向量，n_t为微观尺度理想平面上的碰撞位置的切向量；

颗粒的回弹速度为：

宏观尺度上碰撞位置的法向量和切向量分别为：

在实际平面上的法向恢复系数为：

理想平面上的法向恢复系数定义为理想光滑平面上颗粒碰撞后法向速度与碰撞前法向速度之比：

τ_w为壁面屈服应力，其值为弹性屈服极限Y_w的2.1—2.3倍，m_p为颗粒质量，d_p为颗粒直径，v_n1为碰撞前的法向速度：

其中，G为剪切模量，ζ为泊松比，脚标p、w分别表示颗粒与壁面；

v_yield为屈服速度，

其中，ρ为密度，脚标p表示颗粒；

即可求出理想平面上的法向恢复系数η_n；

颗粒碰撞壁面后的法向速度v_n2：

v_n2＝v_n1η_n (12)

步骤4，计算颗粒碰撞后的切向速度v_t2：

其中：v为颗粒线速度，ω为颗粒角速度，μ_f为摩擦系数，d_p为颗粒直径，sgn为符号函数；η_n为理想平面的法向恢复系数，脚标n、t分别代表法向和切向，脚标1、2分别代表碰撞和回弹过程；

步骤5，求解颗粒碰撞壁面后的反弹速度v₂：

该反弹速度也是下次碰撞时的入射速度；

步骤6，求解颗粒碰撞壁面后的角度：二维粗糙壁面轮廓

根据二维粗糙壁面轮廓碰撞点的斜率及相对应的几何角度关系，可求出颗粒碰撞后的反弹角度，该反弹角也是下次碰撞时的入射角；

步骤7，求解经过多次反弹离开壁面时的恢复系数：

颗粒经过多次碰撞，最终离开壁面时的角度为β，速度为v_f，即可求出颗粒离开壁面时实际平面的法向恢复系数e_n和切向恢复系数e_t；

法向恢复系数e_n：

切向恢复系数e_t：

本发明的有益效果是：

本发明所公开的算法，旨在预测颗粒在壁面发生多次碰撞—反弹后离开壁面时的速度恢复系数。基于分形理论模拟出二维粗糙壁面轮廓，通过颗粒运动方程可以得到颗粒的运动轨迹，进而预测出颗粒离开粗糙壁面时的恢复系数。以上过程将管道内颗粒碰撞—反弹的微观机理与宏观表现紧密联系起来，简化了碰撞模型，可以有效地节省时间和计算资源。

附图说明

图1是颗粒碰撞—反弹示意图；

图2是理想平面恢复系数η与实际平面恢复系数e的区分示意图；

图3(a)是工况I的法向恢复系数分布图；

图3(b)是工况I的切向恢复系数分布图；

图3(c)是工况II的法向恢复系数分布图；

图3(d)是工况II的切向恢复系数分布图；

图3(e)是工况III的法向恢复系数分布图；

图3(f)是工况III的切向恢复系数分布图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图和实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明提供了一种预测颗粒与壁面发生碰撞后的恢复系数的算法，基于模拟出的分形粗糙壁面，将颗粒碰撞壁面的角度、速度、落点代入颗粒冲蚀理论，即可得到颗粒与壁面发生碰撞后的恢复系数。新算法致力于在一定程度上反映颗粒与壁面碰撞的完整机理，并尽量简化分析与计算流程，使其适用于工程应用，具体包括如下步骤：

(1)粗糙壁面的W－M分形函数模拟：

目前，采用分形函数建立随机粗糙壁面的方法主要有布朗函数模拟法、Weierstrass-Mandelbrot函数模拟法(简称W－M函数)、复合分形模拟法等。其中W－M分形函数是在力学和摩擦学领域应用非常广泛的一种建立分形粗糙壁面的方法，具有连续性以及传统意义上的自仿射性，而且生成的曲线处处连续且不可导。采用二维W－M分形函数表征粗糙表面轮廓表达式为：

(2)跟踪颗粒在管壁上的运动：

在数值计算中通常对运动划分时间步长并逐步求解。颗粒运动的时间步长通常以瑞利时间为参考：

其中：χ为时间影响因素，推荐取值小于0.2，在本申请中，χ取0.1。

颗粒每运动一个瑞利时间，就需要判断是否与壁面发生碰撞，若发生碰撞，则按照碰撞—反弹的规律发生反弹，直到离开壁面。

(3)预测颗粒离开壁面时的恢复系数：

基于颗粒运动轨迹，求解颗粒碰撞管壁时的碰撞角度、碰撞速度以及落点。将颗粒的碰撞速度与碰撞角度代入相关的运动方程中，求出最后离开壁面时的速度及角度，即可得到相应的恢复系数。

实施例1，本实施例公开了一种预测颗粒与壁面发生碰撞后的恢复系数的算法，包括如下步骤：

步骤1，二维粗糙壁面轮廓的模拟：

采用二维W—M分形函数表征粗糙壁面轮廓的表达式为：

式中：Z(x)为表面轮廓高度；G为轮廓特征尺度系数，与轮廓幅值有关；D为分形维数，对于二维分形函数，分形维数D的取值范围为1—2，与轮廓曲线横向密度有关；γ为分形尺度参数，表示壁面起伏密度，其值对粗糙壁面频谱密度和粗糙壁面相位、频率分辨率有影响，γ服从正态分布，通常取1.5时比较合适；x为沿着轮廓水平方向的坐标；n为分形尺度指数，n1和n2分别为最高截断频率和最低截断频率，这两个频率与采集样本的长度L和样本的分辨率S有关。它们的表达式分别由以下两个公式推导出：

步骤2，求颗粒与壁面的碰撞点：

给定颗粒的初始位置坐标、初始速度v₁和初始入射角度θ，每运行一个瑞利时间，判断颗粒是否与壁面发生碰撞，直到求出第一个碰撞点；

步骤3，计算颗粒碰撞后理想平面上的法向恢复系数η_n和法向速度v_n2：

理想平面指平面没有粗糙起伏，呈绝对的平滑状态，颗粒与理想平面碰撞的法向和切向恢复系数分别为η_n和η_t。而实际平面通常是在微观上具有粗糙起伏结构的，与理想平面上的恢复系数η_n和η_t不同，实际平面上的法向和切向恢复系数e_n和e_t用于反映颗粒的宏观碰撞过程。当具体到某一次颗粒碰撞时，颗粒与壁面粗糙结构碰撞的切平面可以视为一个虚拟的绝对光滑理想平面，这两种恢复系数之间的差异如图2所示，虚线表示光滑的理想平面，实线表示材料微观上的实际表面。它们之间存在矢量关系如下：

颗粒入射速度的单位向量为：

微观尺度上碰撞位置的切向量可以表示为：

其中，n_n为微观尺度理想平面上的碰撞位置的法向量，n_t为微观尺度理想平面上的碰撞位置的切向量；

颗粒的回弹速度为：

宏观尺度上碰撞位置的法向量和切向量分别为：

在实际平面上的法向恢复系数为：

理想平面上的法向恢复系数定义为理想光滑平面上颗粒碰撞后法向速度与碰撞前法向速度之比，通过引入谢俊的动力冲击理论来计算此参数：

其中：τ_w为壁面屈服应力，其值为弹性屈服极限Y_w的2.1—2.3倍，m_p为颗粒质量，d_p为颗粒直径，v_n1为碰撞前的法向速度：

其中，G为剪切模量，ζ为泊松比，脚标p、w分别表示颗粒与壁面；

v_yield为屈服速度，可由下式计算：

其中，ρ为密度，脚标p表示颗粒；

即可求出理想平面上的法向恢复系数η_n；

颗粒碰撞壁面后的法向速度v_n2可由下式计算：

v_n2＝v_n1η_n (12)

步骤4，计算颗粒碰撞后的切向速度v_t2：

其中：v为颗粒线速度，ω为颗粒角速度，μ_f为摩擦系数，d_p为颗粒直径，sgn为符号函数；η_n为理想平面的法向恢复系数，脚标n、t分别代表法向和切向，脚标1、2分别代表碰撞和回弹过程；

步骤5，求解颗粒碰撞壁面后的反弹速度v₂：

该反弹速度也是下次碰撞时的入射速度；

步骤6，求解颗粒碰撞壁面后的角度：二维粗糙壁面轮廓

根据二维粗糙壁面轮廓碰撞点的斜率及相对应的几何角度关系，可求出颗粒碰撞后的反弹角度，该反弹角也是下次碰撞时的入射角；

步骤7，求解经过多次反弹离开壁面时的恢复系数：

颗粒经过多次碰撞，最终离开壁面时的角度为β，速度为v_f，即可求出颗粒离开壁面时实际平面的法向恢复系数e_n和切向恢复系数e_t；

法向恢复系数e_n：

切向恢复系数e_t：

基于蒙特卡洛方法编写一个恢复系数预测程序，该程序设置固定的材料属性参数、固定的颗粒入射角与入射速度，每次释放一个颗粒，颗粒碰撞一个由壁面模型随机生成的壁面结构，得到碰撞后的速度与碰撞角度，从而得到一种模型组合单次实验的切向与法向恢复系数。将随机过程重复20,000次，统计模拟结果并生成恢复系数的概率密度分布。通过改变固定的材料属性参数可以预测不同种类材料的恢复系数概率密度分布，也可通过改变固定的颗粒入射角与入射速度，分别研究颗粒入射角与入射速度对恢复系数的影响。由于Tabakoff仅采用沙子和铝合金作为颗粒与靶材进行试验，因此依据Tabakoff实验设置固定的材料属性，通过选取三个实验工况，改变固定的颗粒入射角与入射速度，如图3(a)—3(f)所示，得到三组恢复系数的概率密度分布预测结果，并与Tabakoff实验数据进行对比。三个实验工况预测参数如下表所示，这三种工况选取参数的取值跨度较大，所呈现的实验结果具有较高的可信性，因此本算法能够提供较高的计算精度。

恢复系数预测参数表。

Claims (1)

1.一种预测颗粒与壁面发生碰撞后的恢复系数的算法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，二维粗糙壁面轮廓的模拟：

采用二维W—M分形函数表征粗糙壁面轮廓的表达式为：

式中：Z(x)为表面轮廓高度；G为轮廓特征尺度系数；D为分形维数，取值范围为1—2；γ为分形尺度参数，取1.5；x为沿着轮廓水平方向的坐标；n为分形尺度指数，n1和n2分别为最高截断频率和最低截断频率，它们的表达式分别由以下两个公式推导出，其中L为采集样本的长度，S为样本的分辨率：

步骤2，求颗粒与壁面的碰撞点：

给定颗粒的初始位置坐标、初始速度v₁和初始入射角度θ，每运行一个瑞利时间，判断颗粒是否与壁面发生碰撞，直到求出第一个碰撞点；

步骤3，计算颗粒碰撞后理想平面上的法向恢复系数η_n和法向速度v_n2：

颗粒与理想平面碰撞的法向和切向恢复系数分别为η_n和η_t，与实际平面碰撞的法向和切向恢复系数分别为e_n和e_t，当具体到某一次颗粒碰撞时，颗粒与壁面粗糙结构碰撞的切平面可以视为一个虚拟的绝对光滑理想平面，它们之间存在矢量关系如下：

颗粒入射速度的单位向量为：

微观尺度上碰撞位置的切向量可以表示为：

其中，n_n为微观尺度理想平面上的碰撞位置的法向量，n_t为微观尺度理想平面上的碰撞位置的切向量；

颗粒的回弹速度为：

宏观尺度上碰撞位置的法向量和切向量分别为：

在实际平面上的法向恢复系数为：

理想平面上的法向恢复系数定义为理想光滑平面上颗粒碰撞后法向速度与碰撞前法向速度之比：

τ_w为壁面屈服应力，其值为弹性屈服极限Y_w的2.1—2.3倍，m_p为颗粒质量，d_p为颗粒直径，v_n1为碰撞前的法向速度：

其中，G为剪切模量，ζ为泊松比，脚标p、w分别表示颗粒与壁面；

v_yield为屈服速度，

其中，ρ为密度，脚标p表示颗粒；

即可求出理想平面上的法向恢复系数η_n；

颗粒碰撞壁面后的法向速度v_n2：

v_n2＝v_n1η_n (12)

步骤4，计算颗粒碰撞后的切向速度v_t2：

其中：v为颗粒线速度，ω为颗粒角速度，μ_f为摩擦系数，d_p为颗粒直径，sgn为符号函数；η_n为理想平面的法向恢复系数，脚标n、t分别代表法向和切向，脚标1、2分别代表碰撞和回弹过程；

步骤5，求解颗粒碰撞壁面后的反弹速度v₂：

该反弹速度也是下次碰撞时的入射速度；

步骤6，求解颗粒碰撞壁面后的角度：二维粗糙壁面轮廓

根据二维粗糙壁面轮廓碰撞点的斜率及相对应的几何角度关系，可求出颗粒碰撞后的反弹角度，该反弹角也是下次碰撞时的入射角；

步骤7，求解经过多次反弹离开壁面时的恢复系数：

颗粒经过多次碰撞，最终离开壁面时的角度为β，速度为v_f，即可求出颗粒离开壁面时实际平面的法向恢复系数e_n和切向恢复系数e_t；

法向恢复系数e_n：

切向恢复系数e_t：

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