CN113114156A - Mems谐振器自适应混沌控制电路及方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种MEMS谐振器自适应混沌控制电路及方法，属于电路领域。基于能量流理论，MEMS谐振器的动力学微分方程与电路微分方程相一致。据此，选用合适的电子元件设计了它的模拟电路，实验数据(时程图和相图)揭示了MEMS谐振器在58.704Hz(1.68V)和58.791kHz(1.71V)附近固有的混沌行为。在此基础上，提出了一种自适应混沌控制方案，构建了由误差模块、参数更新模块和控制输入模块组成的模拟控制电路。最后，实验研究表明，所提出的自适应控制方案具有良好的控制性能。

Description

MEMS谐振器自适应混沌控制电路及方法

技术领域

本发明属于电路领域，涉及MEMS谐振器自适应混沌控制电路及方法。

背景技术

MEMS以其体积小、可靠性高、功耗低等优点在科学技术发展中占有重要地位。从信号 滤波和陀螺仪到存储设备和气体传感器，它都扮演着重要的角色。然而，随着其工作条件的 改变，会表现出非常复杂和有趣的动力学行为，如混沌、Hopf分叉、双稳态特性等。这些不 规则的运动产生的混沌振荡会影响系统的稳定性，甚至导致系统失效。因此，大量学者对其 动态行为和控制方法进行了深入的研究。

基于模拟电路的物理实现方法因其响应速度快、易于实现受到越来越多的关注。García-Martínez等设计了差分映射的电子实现方案。Kengne等基于van der Bohr振子和Duffing 振子的耦合模型构建了相应的模拟电路，并进行了仿真分析。但是他们的研究仅仅停留在软 件仿真上，没有进行物理验证。Sabarathinam等首次采用简单模拟电路实现了Duffing型MEMS 谐振器。但本工作也只是通过模拟电路揭示了谐振器内部的混沌现象，并没有提出抑制混沌 的电路实现方案。

在动力学分析方面，Tajaddodoanfar等采用同伦分析方法分析了MEMS谐振器的非线性运 动特性。Luo等探索了分数阶MEMS谐振器的非线性特性。Saha等讨论了非线性单光纤环形腔 的混沌行为和双稳态特性。Zegadlo等揭示了线性增益和非线性吸收耦合环形谐振器系统的混 沌动力学行为。然而，这些混沌系统均是通过数值模拟软件进行的观察和验证，这不可避免 地存在由系统误差和统计误差引起的不确定性。此外，对于这种复杂的非线性系统，很难用 计算机捕捉到其瞬态变化。最大的缺点是，上述数学模型不能作为驱动方式控制电路的试验 台用来测试控制器的性能。

混沌振荡对系统的稳定运行有不利影响。因此，如何抑制振荡成为一个值得进一步探索 的棘手课题。Fossi等在backstepping框架下设计了一个控制器，抑制MEMS谐振器的混沌行为。 Zhao等开发了一种基于2型序列模糊神经网络的MEMS谐振器模糊混沌控制器。Song等提出了 一种二阶快速终端滑模控制方法，能够有效地抑制混沌。然而，这些控制方案在理论上过于 复杂，偏离了工程实际，例如，现有文献中基于2型序列模糊神经网络的迭代运算无法用电路 元件进行实现。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种MEMS谐振器自适应混沌控制电路及方法。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

MEMS谐振器自适应混沌控制电路，包括MEMS谐振器的模拟电路和自适应混沌控制的 模拟电路；

所述MEMS谐振器的模拟电路由积分电路1、积分电路2、比例放大电路1、比例放大电路2、AD633JN乘法器1～5、控制输入信号、交流电压信号和求和支路1～6组成；

所述控制输入信号和交流电压信号分别通过求和支路1～6输入积分电路1和积分电路2；

所述控制输入信号与控制输入模块连接；

所述积分电路1与比例放大电路1连接；

所述积分电路1包括依次连接的100kΩ的电阻R1、放大器U1A和0.1μF的电容；

所述比例放大电路1包括依次连接的100kΩ的电阻R2、放大器U2A和100kΩ的电阻R10；

所述积分电路2与比例放大电路2连接；

所述积分电路2包括依次连接的放大器U3A和0.1μF的电容；

所述比例放大电路2包括依次连接的100kΩ的电阻R11、放大器U4A和100kΩ的电阻 R12；

所述求和支路1包括并联的1MΩ的电阻R3和28.4KΩ的电阻R4；

所述求和支路2包括依次连接的乘法器U32、乘法器U33和10.75kΩ的电阻R5；

所述求和支路3包括依次连接的乘法器U34和2.5KΩ的电阻R9；

所述求和支路4包括依次连接的乘法器U35和500KΩ的电阻R6；

所述求和支路5包括10KΩ的电阻R7；

所述求和支路6包括依次连接的乘法器U36、33.33KΩ的电阻R8和0.1μF的电容；

所述自适应混沌控制的模拟电路由依次连接的误差模块、参数

更新模块 和控制输入模块组成；

误差模块由6条支路e₁,e₂,a₁,x_1d,

组成；

支路e₁包括连接的100kΩ的电阻R22、100kΩ的电阻R23、放大器U9A、100kΩ的电阻 R25(其反向支路包括连接100kΩ的电阻R56、放大器U25A和100kΩ的电阻R55)；

支路e₂包括连接的100kΩ的电阻R24、100kΩ的电阻R26、放大器U10A、100kΩ的电阻R27、100kΩ的电阻R28、放大器U11A和100kΩ的电阻R29；

支路a₁包括连接的500Ω的电阻R15、100kΩ的电阻R18、放大器U7A、100kΩ的电阻R19、100kΩ的电阻R21、放大器U8A和100kΩ的电阻R20；

支路x_1d包括连接的100kΩ的电阻R13、放大器U6A和100kΩ的电阻R14；

支路

包括连接的10nF的电容、放大器U5A和100kΩ的电阻R17；

支路

包括连接的10nF的电容C14、放大器U24A和100kΩ的电阻R54；

参数

更新模块包含1个AD633JN乘法器和2个比例放大电路；

参数

更新模块包含1个AD633JN乘法器和2个比例放大电路；

参数

更新模块包含3个AD633JN乘法器和2个比例放大电路；

参数

更新模块包含6个AD633JN乘法器和4个比例放大电路；其中，第一个比例放大 电路包括求和支路11、求和支路12、求和支路13和求和支路14；

所述求和支路11包括连接的乘法器U56、0.1μF的电容C37、0.1μF的电容C38和250Ω的电阻R40；

所述求和支路12包括100kΩ的电阻R38；

所述求和支路13包括连接的乘法器U57、0.1μF的电容C39、0.1μF的电容C40和333.33 Ω的电阻R37；

所述求和支路14包括5kΩ的电阻R39；

控制输入模块包括并联的求和支路21～27以及串联的2个比例放大电路；

所述求和支路21包括连接的乘法器U59、0.1μF的电容C43、0.1μF的电容C44和10Ω的电阻R60；

所述求和支路22包括连接的乘法器U60、0.1μF的电容C45、0.1μF的电容C46和10Ω的电阻R59；

所述求和支路23包括连接的乘法器U61、0.1μF的电容C47、0.1μF的电容C48和10Ω的电阻R58；

所述求和支路24包括连接的乘法器U62、0.1μF的电容C49、0.1μF的电容C50和10Ω的电阻R57；

所述求和支路25包括100kΩ的电阻R61；

所述求和支路26包括100kΩ的电阻R62；

所述求和支路27包括100kΩ的电阻R63。

基于所述电路的MEMS谐振器自适应混沌控制方法，包括以下步骤：

该方法包括以下步骤：

S1：系统建模；

S2：模拟电路构建与非线性分析；

S3：控制器设计及其电路实现。

可选的，所述S1具体为：谐振器电极上的直流和交流电压源共同作用产生驱动电压 V_b+V_AC sinΩt，驱动电压与平行板之间的相互作用产生外部驱动力F_act使微梁振动，力平衡方 程为

其中m_eff、b、b₁、b₂分别表示系统的有效集中质量、阻尼系数、线性机械刚度和立方机 械刚度，z为梁的垂直位移，d为初始间隙宽度，F_act和V_bias为静电驱动力和偏置电压，V_AC和Ω为交流电源的振幅和频率，C₀表示平行板之间的电容；

通过变换方程，MEMS谐振器的数学模型被改写如下：

其中x＝z/d,ω＝Ω/ω₀,T＝ω₀t,

A＝2γV_AC/V_b,k₁＝1-4γ,μ＝b/(m_effω₀),k₃＝β-8γ,

相关参数β＝12,γ＝0.338，μ＝0.01。

可选的，所述S2具体包括以下步骤：

S21：模拟电路设计；

基于能量流理论，利用电阻、电容、运算放大器TL074CN和乘法器AD633电子元件构建模拟电路，设置静态平衡电阻进行偏移补偿，积分漂移电阻来抑制积分漂移引起的饱和与 截止现象，滤波电路用于消除干扰信号；其中交流电压信号V1表示Asin(ωT)，节点电压x1和 x2代表MEMS谐振器的状态变量x₁和x₂，输出为

的乘法器AD633用于生 成非线性项；基于基尔霍夫电压定律，相应的电路方程如下：

为将数学模型的数值运算映射到电子电路中，进行如下时间缩放：τ＝10^-2T，通过时间缩 放，模型中的数字运算得以在电子器件带宽内实现；

S22：非线性分析

采用双通道信号发生器为所构建的电路提供交流信号，采用直流稳压电源为运算放大器 TL074CN和乘法器AD633提供14V工作电压。

可选的，控制器设计：通过添加控制输入u，将MEMS谐振器的控制方程写为

定义跟踪误差e₁和e₂

e₁＝x₁-x_1d,e₂＝x₂-α₁, (23)

其中x_1d和α₁为理想轨迹和虚拟控制项，

λ是正数；

由于MEMS谐振器工作状态的变化和外界环境干扰带来的不确定性，MEMS谐振器的参 数μ、k₁、k₂和A未知，需要对其进行估计；定义参数估计误差如下

其中

和

是μ,k₁,k₃和A的估计参数；

选择Lyapunov函数为

其中ρ_i,i＝1,…,6正常数；

对V求导；得到

给出控制律和参数更新律：

其中β_i＝ρ_i+2/ρ₂,(i＝1，…，4)；

针对MEMS谐振器的混沌控制问题，设计具有自适应律(11)的控制输入(10)；通过选择 参数，闭环系统中的所有信号全局渐近稳定，混沌振荡被抑制；

Proof:：基于(10)和(11)，对Lyapunov函数的导数进行简化：

令ρ₁＝ρ₂，进一步得到

其中λ＞0,ρ₁＞0，当

e₁≡e₂≡0，根据LaSalle定理，系统全局渐近稳定；

电路实现：模拟控制电路由三个模块构成：误差模块、参数更新模块和控制输入模块；

误差模块：将跟踪误差转换为电压信号，其电路方程如下

该模块实现对x_1d和a₁的求导，电路方程如下：

其中dx1d和da1是微分电路的输出电压信号；

参数更新模块：用于估计和更新未知参数的作用；对应于参数更新律(12)，电路方程如 下：

控制输入模块：将控制输入(10)转换为电压信号输入C_input，电路方程如下：

将控制输入模块的节点C_input连接到MEMS谐振器的等效电路中，进行混沌抑制。

本发明的有益效果在于：

(1)以能量流理论为基础，构建了模拟电路用来等效MEMS谐振器。实验结果揭示了MEMS谐振器在1.71V、58.791Hz和1.68V、58.704Hz下固有的混沌行为。与已有文献相比， 它能够更清楚地显示不同激励电压下的瞬态变化过程。

(2)与现有技术不同，本发明没有止步于MEMS谐振器的电路模型，而是进一步提出了一种自适应混沌控制方法，并实现了其物理电路。同时，利用所构建的等效电路作为试验台，验证了控制电路的有效性。

本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某 种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发 明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作优选的详 细描述，其中：

图1为静电驱动MEMS谐振器结构图；

图2为MEMS谐振器的模拟电路；

图3为误差模块；

图4为参数更新模块；

图5为控制输入模块；

图6为本发明电路总图。

具体实施方式

以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露 的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加 以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精 神下进行各种修饰或改变。需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本 发明的基本构想，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。

其中，附图仅用于示例性说明，表示的仅是示意图，而非实物图，不能理解为对本发明 的限制；为了更好地说明本发明的实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表 实际产品的尺寸；对本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理 解的。

本发明实施例的附图中相同或相似的标号对应相同或相似的部件；在本发明的描述中， 需要理解的是，若有术语“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”等指示的方位或位置关系为基 于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所 指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此附图中描述位置关系 的用语仅用于示例性说明，不能理解为对本发明的限制，对于本领域的普通技术人员而言， 可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。

本请参阅图1～图6，本发明研究了静电驱动MEMS谐振器的自适应混沌控制问题，并 通过模拟电路进行了实时实验验证。

(1)系统建模

图1给出了静电驱动型MEMS谐振器的结构示意图。谐振器电极上的直流和交流电压源 共同作用产生驱动电压V_b+V_AC sinΩt，驱动电压与平行板之间的相互作用产生外部驱动力F_act使微梁振动。其力平衡方程为

其中m_eff、b、b₁、b₂分别表示系统的有效集中质量、阻尼系数、线性机械刚度和立方机 械刚度，z为梁的垂直位移，d为初始间隙宽度，F_act和V_bias为静电驱动力和偏置电压，V_AC和Ω为交流电源的振幅和频率，C₀表示平行板之间的电容。

通过变换上述方程，MEMS谐振器的数学模型被改写如下：

其中x＝z/d,ω＝Ω/ω₀,T＝ω₀t,

A＝2γV_AC/V_b,k₁＝1-4γ,μ＝b/(m_effω₀),k₃＝β-8γ,

相关参数β＝12,γ＝0.338，μ＝0.01。

(2)模拟电路构建与非线性分析

A.模拟电路设计

基于能量流理论，利用电阻、电容、运算放大器TL074CN和乘法器AD633等电子元件构建模拟电路，如图2所示。在图2中，比例放大电路、积分电路和微分电路用于实现加、 减、乘、除、积分和微分的数学运算。另外，在实际电路搭建过程中，设置静态平衡电阻进 行偏移补偿，积分漂移电阻来抑制积分漂移引起的饱和与截止现象，滤波电路用于消除干扰 信号。其中交流电压信号V1表示Asin(ωT)，节点电压x1和x2代表MEMS谐振器的状态变量 x₁和x₂，输出为

的乘法器AD633用于生成非线性项。基于基尔霍夫电压定律，相应的电路方程如下

评论1：为了精确地将数学模型的数值运算映射到电子电路中，进行了如下时间缩放 τ＝10^-2T，通过时间缩放，模型中的数字运算得以在电子器件带宽内实现。

B.非线性分析

为了揭示MEMS谐振器的非线性行为，便于后续控制器设计，采用双通道信号发生器为 所构建的电路提供交流信号，采用直流稳压电源为运算放大器TL074CN和乘法器AD633提 供14V工作电压。图3展示了实验平台，示波器通道1和2与电路节点x1和x2相连，并将 初始值设置为0。图4为A为1.71V，f为58.791Hz时，电压信号x1和x2的相图与时程图。 与之相似，图4为A＝1.68V、f＝58.704Hz时的相图和时程图。从图4可以明显看出，模拟电 路出现了混沌振荡。

图5进一步证明了MEMS谐振器在另一种情况下可以产生两个吸引子的混沌振动。MEMS谐振器在特定的工作条件下发生的混沌振荡，严重影响系统的稳定性，甚至导致系统失效。因此，研究一种抑制振荡的方法十分迫切。

(3)控制器设计及其电路实现

控制器设计

通过添加控制输入u，将MEMS谐振器的控制方程写为

定义跟踪误差e₁和e₂

e₁＝x₁-x_1d,e₂＝x₂-α₁, (40)

其中x_1d和α₁为理想轨迹和虚拟控制项，

λ是正数。

由于MEMS谐振器工作状态的变化和外界环境干扰带来的不确定性，MEMS谐振器的参 数μ、k₁、k₂和A未知，需要对其进行估计。因此，定义参数估计误差如下

其中

和

是μ,k₁,k₃和A的估计参数。

选择Lyapunov函数为

其中ρ_i,i＝1,…,6正常数.

对V求导,得到

然后，给出了控制律和参数更新律

其中β_i＝ρ_i+2/ρ₂,(i＝1，…，4).

定理1：针对MEMS谐振器的混沌控制问题，设计了具有自适应律(11)的控制输入(10)。 通过选择参数，闭环系统中的所有信号全局渐近稳定，混沌振荡被抑制。

Proof:：基于(10)和(11)，对Lyapunov函数的导数进行简化

令ρ₁＝ρ₂，进一步得到

其中λ＞0,ρ₁＞0，当

e₁≡e₂≡0，根据LaSalle定理，系统全局渐近稳定。

电路实现

使用电子元件构建了所提控制方案的模拟电路。模拟控制电路由三个模块构成：误差模 块、参数更新模块和控制输入模块。

模块1：误差模块将跟踪误差转换为电压信号。该模块的电路图和电子元件的参数如图6 所示，其电路方程如下

此外，该模块实现了对x_1d和a₁的求导，电路方程如下

其中dx1d和da1是微分电路的输出电压信号。

模块2：参数更新模块，起到估计和更新未知参数的作用。对应于参数更新律(12)，电路 方程如下

模块3：控制输入模块将控制输入(10)转换为电压信号输入C_input，其电路方程如下

如图2中框图：控制输入信号所示，将模块3中的节点C_input连接到MEMS谐振器的等效电路中，进行混沌抑制。

(4)实验分析

令控制器参数β₁＝β₂＝0.2,β₃＝2,β₄＝0.1。以幅值为10V、频率为55Hz的正弦交流电压信号x_1d为理想信号。x1和x2的性能曲线可知，在随机选取的时间周期内，不同驱动电压下的信号 x1与x1d、x2与x2d几乎完全重合，同时，误差变量e₁在±0.8V内，e₂在±0.4V内。值得一提的 是，根据示波器的扫描时间可知，实际电压信号可以在毫秒尺度内跟踪到理想信号。因此， 有如下结论：状态信号x₁可以快速且准确地跟踪给定信号x_1d。此外，与图5和图6中对应的 时间历程图相比，一旦将输出电压信号C_input接入到构建的电路模型中，混沌振荡转化为周期 运动。由此可见，该控制电路具有良好的混沌抑制能力。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施 例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进 行修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求 范围当中。

Claims (5)

1.MEMS谐振器自适应混沌控制电路，其特征在于：包括MEMS谐振器的模拟电路和自适应混沌控制的模拟电路；

所述MEMS谐振器的模拟电路由积分电路1、积分电路2、比例放大电路1、比例放大电路2、AD633JN乘法器1～5、控制输入信号、交流电压信号和求和支路1～6组成；

所述控制输入信号和交流电压信号分别通过求和支路1～6输入积分电路1和积分电路2；

所述控制输入信号与控制输入模块连接；

所述积分电路1与比例放大电路1连接；

所述积分电路1包括依次连接的100kΩ的电阻R1、放大器U1A和0.1μF的电容；

所述比例放大电路1包括依次连接的100kΩ的电阻R2、放大器U2A和100kΩ的电阻R10；

所述积分电路2与比例放大电路2连接；

所述积分电路2包括依次连接的放大器U3A和0.1μF的电容；

所述比例放大电路2包括依次连接的100kΩ的电阻R11、放大器U4A和100kΩ的电阻R12；

所述求和支路1包括并联的1MΩ的电阻R3和28.4KΩ的电阻R4；

所述求和支路2包括依次连接的乘法器U32、乘法器U33和10.75kΩ的电阻R5；

所述求和支路3包括依次连接的乘法器U34和2.5KΩ的电阻R9；

所述求和支路4包括依次连接的乘法器U35和500KΩ的电阻R6；

所述求和支路5包括10KΩ的电阻R7；

所述求和支路6包括依次连接的乘法器U36、33.33KΩ的电阻R8和0.1μF的电容；

所述自适应混沌控制的模拟电路由依次连接的误差模块、参数

更新模块和控制输入模块组成；

误差模块由6条支路e₁,e₂,a₁,x_1d,

组成；

支路e₁包括连接的100kΩ的电阻R22、100kΩ的电阻R23、放大器U9A、100kΩ的电阻R25(其反向支路包括连接100kΩ的电阻R56、放大器U25A和100kΩ的电阻R55)；

支路e₂包括连接的100kΩ的电阻R24、100kΩ的电阻R26、放大器U10A、100kΩ的电阻R27、100kΩ的电阻R28、放大器U11A和100kΩ的电阻R29；

支路a₁包括连接的500Ω的电阻R15、100kΩ的电阻R18、放大器U7A、100kΩ的电阻R19、100kΩ的电阻R21、放大器U8A和100kΩ的电阻R20；

支路x_1d包括连接的100kΩ的电阻R13、放大器U6A和100kΩ的电阻R14；

支路

包括连接的10nF的电容、放大器U5A和100kΩ的电阻R17；

支路

包括连接的10nF的电容C14、放大器U24A和100kΩ的电阻R54；

参数

更新模块包含1个AD633JN乘法器和2个比例放大电路；

参数

更新模块包含1个AD633JN乘法器和2个比例放大电路；

参数

更新模块包含3个AD633JN乘法器和2个比例放大电路；

参数

更新模块包含6个AD633JN乘法器和4个比例放大电路；其中，第一个比例放大电路包括求和支路11、求和支路12、求和支路13和求和支路14；

所述求和支路11包括连接的乘法器U56、0.1μF的电容C37、0.1μF的电容C38和250Ω的电阻R40；

所述求和支路12包括100kΩ的电阻R38；

所述求和支路13包括连接的乘法器U57、0.1μF的电容C39、0.1μF的电容C40和333.33Ω的电阻R37；

所述求和支路14包括5kΩ的电阻R39；

控制输入模块包括并联的求和支路21～27以及串联的2个比例放大电路；

所述求和支路21包括连接的乘法器U59、0.1μF的电容C43、0.1μF的电容C44和10Ω的电阻R60；

所述求和支路22包括连接的乘法器U60、0.1μF的电容C45、0.1μF的电容C46和10Ω的电阻R59；

所述求和支路23包括连接的乘法器U61、0.1μF的电容C47、0.1μF的电容C48和10Ω的电阻R58；

所述求和支路24包括连接的乘法器U62、0.1μF的电容C49、0.1μF的电容C50和10Ω的电阻R57；

所述求和支路25包括100kΩ的电阻R61；

所述求和支路26包括100kΩ的电阻R62；

所述求和支路27包括100kΩ的电阻R63。

2.基于权利要求1所述电路的MEMS谐振器自适应混沌控制方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

S1：系统建模；

S2：模拟电路构建与非线性分析；

S3：控制器设计及其电路实现。

3.根据权利要求2所述的MEMS谐振器自适应混沌控制方法，其特征在于：所述S1具体为：谐振器电极上的直流和交流电压源共同作用产生驱动电压V_b+V_ACsinΩt，驱动电压与平行板之间的相互作用产生外部驱动力F_act使微梁振动，力平衡方程为

其中m_eff、b、b₁、b₂分别表示系统的有效集中质量、阻尼系数、线性机械刚度和立方机械刚度，z为梁的垂直位移，d为初始间隙宽度，F_act和V_bias为静电驱动力和偏置电压，V_AC和Ω为交流电源的振幅和频率，C₀表示平行板之间的电容；

通过变换方程，MEMS谐振器的数学模型被改写如下：

其中x＝z/d,ω＝Ω/ω₀,T＝ω₀t,

A＝2γV_AC/V_b,k₁＝1-4γ,μ＝b/(m_effω₀),k₃＝β-8γ,

相关参数β＝12,γ＝0.338，μ＝0.01。

4.根据权利要求3所述的MEMS谐振器自适应混沌控制方法，其特征在于：所述S2具体包括以下步骤：

S21：模拟电路设计；

基于能量流理论，利用电阻、电容、运算放大器TL074CN和乘法器AD633电子元件构建模拟电路，设置静态平衡电阻进行偏移补偿，积分漂移电阻来抑制积分漂移引起的饱和与截止现象，滤波电路用于消除干扰信号；其中交流电压信号V1表示Asin(ωT)，节点电压x1和x2代表MEMS谐振器的状态变量x₁和x₂，输出为

的乘法器AD633用于生成非线性项；基于基尔霍夫电压定律，相应的电路方程如下

为将数学模型的数值运算映射到电子电路中，进行如下时间缩放：τ＝10^-2T，通过时间缩放，模型中的数字运算得以在电子器件带宽内实现；

S22：非线性分析

采用双通道信号发生器为所构建的电路提供交流信号，采用直流稳压电源为运算放大器TL074CN和乘法器AD633提供14V工作电压。

5.根据权利要求4所述的MEMS谐振器自适应混沌控制方法，其特征在于：所述S3具体为：控制器设计：通过添加控制输入u，将MEMS谐振器的控制方程写为

定义跟踪误差e₁和e₂

e₁＝x₁-x_1d,e₂＝x₂-α₁, (6)

其中x_1d和α₁为理想轨迹和虚拟控制项，

λ是正数；

由于MEMS谐振器工作状态的变化和外界环境干扰带来的不确定性，MEMS谐振器的参数μ、k₁、k₂和A未知，需要对其进行估计；定义参数估计误差如下

其中

和

是μ,k₁,k₃和A的估计参数；

选择Lyapunov函数为

其中ρ_i,i＝1,…,6正常数；

对V求导；得到

给出控制律和参数更新律：

其中β_i＝ρ_i+2/ρ₂,(i＝1，…，4)；

针对MEMS谐振器的混沌控制问题，设计具有自适应律(11)的控制输入(10)；通过选择参数，闭环系统中的所有信号全局渐近稳定，混沌振荡被抑制；

Proof:：基于(10)和(11)，对Lyapunov函数的导数进行简化：

令ρ₁＝ρ₂，进一步得到

其中λ＞0,ρ₁＞0，当

e₁≡e₂≡0，根据LaSalle定理，系统全局渐近稳定；

电路实现：模拟控制电路由三个模块构成：误差模块、参数更新模块和控制输入模块；

误差模块：将跟踪误差转换为电压信号，其电路方程如下

该模块实现对x_1d和a₁的求导，电路方程如下：

其中dx1d和da1是微分电路的输出电压信号；

参数更新模块：用于估计和更新未知参数的作用；对应于参数更新律(12)，电路方程如下：

控制输入模块：将控制输入(10)转换为电压信号输入C_input，电路方程如下：

将控制输入模块的节点C_input连接到MEMS谐振器的等效电路中，进行混沌抑制。

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