CN113077376A - 一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法，包括以下步骤，a.计算原始彩色图像的三元数小数阶极复指数变换；b.通过复制扩展构造幅值序列；c.将幅值序列二值化处理得到二值化幅值序列；d.将二值化幅值序列变为二值特征图像；e.使用异或操作将LOGO图像嵌入到二值特征图像中得到零水印图像；f.最后进行零水印验证。本发明结合三元数理论，构造了三元数小数阶极复指数变换，利用了彩色图像三个通道之间的关系，避免了信息冗余，并提高了彩色图像的表示和计算效率。并且通过将构造的三元数小数阶极复指数变换应用于彩色图像重构和零水印算法中，验证了三元数小数阶极复指数变换良好的稳定性。

Description

一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法

技术领域

本发明涉及图像处理技术领域，尤其涉及一种彩色图像零水印算法，具体是指一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法。

背景技术

矩的概念最早出现在统计学及经典力学的研究领域，1962年由Hu首次提出Hu不变矩并引入到了图像处理领域，提出了用于描述图像特征的图像矩理论。图像矩作为描述图像的一种多畸变不变的图像特征，被广泛应用到图像处理的各个领域，例如图像水印、人脸识别和图像分析等。在Hu提出Hu不变矩之后，学者们相继提出了geometric moments，complex moments和rotational moments。但是这些矩的基函数都是非正交的，是非正交矩，存在信息冗余和对噪声敏感等问题，从而导致很难重构原始图像。

为解决重构难的问题，学者们由正交函数理论出发提出了正交矩的概念。正交矩弥补了非正交矩存在的缺陷，克服了信息冗余和对噪声敏感等问题，可以通过少量矩来重构原始图像。

正交矩分为离散正交矩和连续正交矩。虽然连续正交矩取得了一定的发展，然而传统的图像连续正交矩只能取整数阶，在重构性能和抗噪性能方面受到了制约，并且存在数值不稳定问题。为此，本发明通过改造整数阶连续正交矩的径向基函数，构造了小数阶连续正交矩。

为了将图像连续正交矩应用于彩色图像，通常有两种处理方法：一种是将彩色图像转换为灰度图像，再计算其连续正交矩；另一种是分别计算彩色图像三个通道的连续正交矩，然后对其进行简单的组合。很显然，这两种方法都无法捕获通道之间的相关性，会丢失图像信息，影响矩的计算精度。为此，将四元数理论应用于彩色图像连续正交矩中，充分保留了彩色图像通道之间的内在联系。四元数连续正交矩保留了彩色图像三个通道之间的关系，但是四元数的第四维在处理彩色图像时会产生信息冗余，并且计算成本高。为了克服这些缺点，本发明提出了三元数彩色图像处理的概念。三元数彩色图像处理同样保留了彩色图像三个通道之间的关系，并且相比于四元数彩色图像处理，三元数彩色图像处理利用三维数据描述彩色图像，有效避免了信息冗余，并提高了计算效率。

发明内容

极复指数变换(polar complex exponential transform，简写为PCET)是基于正交投影基的二维变换，极坐标图像f(r,θ)阶数为n、重复度为m(|n|＝|m|＝0,1,2...∞)的PCET定义为：

其中，[.]^*代表复数的共轭，基函数H_nm(r,θ)为径向基函数R_n(r)和角向傅里叶因子e^jmθ的乘积，即

H_nm(r,θ)＝R_n(r)e^jmθ

其中径向基函数R_n(r)为

其在0≤r≤1内是正交的：

由角向傅里叶因子的性质和上式可知，基函数H_nm(r)在单位圆内是正交的：

其中π是归一化因子，δ是为克罗内克函数(Kronecker delta)，定义为：

本发明构造了一种新型的小数阶极复指数变换(decimal-order polar complexexponential transform，DPCET)，具有比整数阶PCET和分数阶极复指数变换(fractional-order polar complex exponential transform，FrPCET)更强的重构性能；然后利用三元数理论，将其扩展为适用于彩色图像处理的三元数小数阶极复指数变换(triniondecimal-order polar complex exponential transform，简写为TDPCET)。

阶数为n、重复度为m的DPCET定义为：

其中，|n|＝|m|＝0,1,2,3...∞，I_nm(r,θ)为基函数，为径向基函数R_n(r)和角向傅里叶因子e^jmθ的乘积：

I_nm(r,θ)＝R_n(r)e^jmθ

其中

t表示小数阶的取值，为大于0的实数(当t＝1时，DPCET即为整数阶PCET)。

径向基函数R_n(r)在0≤r≤1内满足以下正交关系:

角向傅里C足以下正交关系：

由角向傅里叶因子和径向基函数的性质可知，基函数I_nm(r,θ)在单位圆(0≤r≤1,0≤θ≤2π)内是正交的：

根据正交完整函数系理论，图像可以使用无限的正交函数序列重建。使用有限数目的DPCET系数可以近似重构原始图像，并且所用的系数越多，重构程度越高。若已知DPCET的最高阶n_max和最大重复度m_max，可以得到原始图像f(r,θ)的重构公式：

随着彩色图像在各种领域的广泛应用，彩色图像处理的研究倍受学者的关注。英国数学家Hamilton在1843年提出四元数理论，后来应用到彩色图像处理中。然而大多数的彩色图像由三个通道组成，因此在用四元数表示彩色图像过程中额外的一个通道会存在信息冗余和计算成本高的缺点。对于存在的上述缺点，研究者提出了三元数的概念，三元数有三个通道，可以用于表示彩色图像，有效保留彩色图像三个通道之间的内在联系；并且对彩色图像进行处理不会出现信息冗余，同时会降低计算成本。为将构造的DPCET应用于彩色图像，本发明结合三元数理论构造了适用于彩色图像处理的三元数小数阶极复指数变换(trinion decimal-order polar complex exponential transform，简写为TDPCET)，具有比三元数整数阶PCET(trinion integer-order polar complex exponential transform，简写为TPCET)和三元数分数阶PCET(trinion fractional-order polar complexexponential transform，简写为TFrPCET)更强的重构性能。

三元数是复数的推广，不同于四元数彩色图像处理，三元数有三个通道，处理彩色图像时不会出现信息冗余。一个三元数μ由一个实部和两个虚部组成：

μ＝α+βi+γj

其中α、β、γ是实数，i和j为两个虚部单位，遵循以下规则：

i²＝j,ij＝ji＝-1,j²＝-i

三元数μ＝α+βi+γj可以通过欧拉公式转换为以下形式：

其中

三元数μ的幅值为

当|μ|＝1时，该三元数为单位三元数；当α＝0时，称为纯三元数。三元数的共轭μ^*表示为μ^*＝α-βi-γj。

三元数满足加法和乘法交换律，即：

μ_a+μ_b＝μ_b+μ_a,μ_aμ_b＝μ_bμ_a

需要注意的是，三元数是不可逆的。

根据三元数的定义，一幅M×N大小的极坐标彩色RGB图像g(r,θ)可以用一组纯三元数表示为以下形式：

g(r,θ)＝g_R(r,θ)+g_G(r,θ)i+g_B(r,θ)j

其中g_R(x,y)、g_G(x,y)和g_B(x,y)分别代表彩色图像的R、G、B分量。三元数彩色图像处理将彩色图像作为一个整体进行描述，有效保持了R、G、B三个分量之间的内在联系。此外，三元数比四元数少一个虚部分量，可以在代数上更有效地表示三分量彩色图像。

由于三元数是不可逆的，不能直接使用指数型基函数定义TDPCET，这样就给定义的三元数的积分计算带来了不便。因此，在计算过程中需要用欧拉公式将指数型角向傅里叶因子转换为三角函数形式。

假设彩色RGB图像g(r,θ)是一幅极坐标图像，TDPCET在极坐标下定义为：

其中μ₁＝β₁i+γ₁j为任一单位纯三元数。

根据正交完整函数系理论，使用有限数量的TDPCET系数可以近似重构原始彩色图像。若已知最高阶数n_max和最大重复度m_max的TDPCET，原始彩色图像g(r,θ)近似重构公式为：

其中μ₂＝α₂+β₂i+γ₂j是一个三元数，且满足μ₁μ₂＝-1。

本发明针对现有技术的不足，提供了一种避免了信息冗余并提高了彩色图像表示和计算效率的基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法。

本发明是通过如下技术方案实现的，提供一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法，包括以下步骤，

a.计算原始彩色图像的三元数小数阶极复指数变换；

b.将步骤a中得到的三元数小数阶极复指数变换通过复制扩展构造与原始二值LOGO图像等长度的幅值序列；

c.将步骤b中得到的幅值序列二值化处理得到二值化幅值序列；

d.将二值化幅值序列变为二值特征图像；

e.使用异或操作将LOGO图像嵌入到二值特征图像中得到零水印图像；

f.零水印验证。

进一步的，所述步骤a具体计算过程如下

假设I＝{f(x,y),0≤x,y≤N}为原始彩色图像，计算原始彩色图像I的三元数小数阶极复指数变换得到M个矩值，

其中，

分别代表彩色图像三个通道R、G、B对应三个分量的小数阶极复指数变换，Real(p)和Imag(p)分别代表复数p的实部和虚部；近似重构原始图像g(r,θ)的过程如下：

其中，R′(r,θ),G′(r,θ)和B′(r,θ)分别代表重构的彩色图像g′(r,θ)对应的R、G、B三个通道，

R′(r,θ)＝Re(A(r,θ))+α₂Im(A(r,θ))-γ₂Im(B(r,θ))-β₂Im(C(r,θ))

G′(r,θ)＝Re(B(r,θ))+β₂Im(A(r,θ))+α₂Im(B(r,θ))-γ₂Im(C(r,θ))

B′(r,θ)＝Re(C(r,θ))+γ₂Im(A(r,θ))+β₂Im(B(r,θ))+α₂Im(C(r,θ))

其中，A(r,θ),B(r,θ)和C(r,θ)分别是A_nm,B_nm和C_nm重构得到的矩阵，

进一步的，所述步骤b中构造幅值序列过程如下：

假设L＝{l(i,j),0≤i≤P,0≤j≤Q}为原始二值Logo图像，将步骤a得到的M个矩值进行多次复制扩展，得到P×Q个矩值，计算矩的幅值并构造长度为P×Q的幅值序列A＝{a(i),0≤i＜P×Q}。

进一步的，所述步骤c中将幅值序列A二值化，得到二值化幅值序列

A_b＝{a_b(i),0≤i＜P×Q}:

其中，T为二值化阈值，此处取A的均值。

进一步的，所述步骤d中将二值化幅值序列A_b变为P行Q列的二值特征图像F＝{f(i,j),0≤i＜P,0≤j＜Q}。

进一步的，所述步骤e中使用异或操作将Logo图像L嵌入至二值特征图像F中得到零水印图像W＝{w(i,j),0≤i＜P,0≤j＜Q}

W＝XOR(L_s,F)

进一步的，还包括步骤f，所述步骤f为零水印验证过程，零水印验证过程包括以下分步骤：

g1:计算待验证彩色图像I^*的TDPCET,得到M个矩值；

g2:将上述M个矩值通过多次复制扩展为P×Q个矩值，然后计算矩的幅值构造长度为P×Q的幅值序列A^*＝{a^*(i),0≤i＜P×Q}；

g3:将幅值序列A^*二值化，得到二值化幅值序列

其中，T^*为二值化阈值，此处取A^*的均值；

g4:将二值化幅值序列

变为P行Q列的二值特征图像F^*＝{f^*(i,j),0≤i＜P,0≤j＜Q}；

g5:将零水印图像W与二值特征图像F^*进行异或得到检测的Logo图像，

L^*＝{l^*(i,j),0≤i＜P,0≤j＜Q}:

L^*＝XOR(W,F^*)

使用位正确率(bit correctness ratio，BCR)来衡量检测的Logo图像L^*和原始Logo图像L的一致性，其定义为

其中,C为检测的Logo图像中正确的位数,P×Q为Logo图像的尺寸，BCR的值在0与1之间。

综上所述，本发明通过改造整数阶PCET的径向基函数，将整数阶PCET推广至小数阶，并结合三元数理论构造出了适用于彩色图像处理的TDPCET，将彩色图像作为一个整体进行处理，充分利用了彩色图像三个通道之间的关系；与四元数彩色图像处理相比，TDPCET利用三维数据描述彩色图像，避免了信息冗余，并提高了彩色图像的表示和计算效率，通过将构造的TDPCET应用于彩色图像重构和零水印算法中，验证了TDPCET良好的稳定性。

附图说明

图1为本发明一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法流程图；

图2为本发明实施例中做实验所用原始图像；

图3本发明实施例实验中TPCET,TFrPCET和TDPCET的彩色重构图像对比结果(最大矩阶数n_max＝10,20,30,40,50示意图；

图4为发明实施例实验中TPCET和TFrPCET和TDPCET的平均MSRE对比结果示意图；

图5为发明实施例实验中添加0.02椒盐噪声后TPCET和TFrPCET和TDPCET的平均MSRE对比结果示意图；

图6为发明实施例实验中添加窗口为5×5的均值滤波后TPCET和TFrPCET和TDPCET的平均MSRE对比结果示意图；

图7为发明实施例实验中添加质量因子为20的JPEG压缩后TPCET和TFrPCET和TDPCET的平均MSRE对比结果示意图；

图8为本发明实验实施例中零水印算法的流程示意图；

图9为本发明实验实施例中所用Logo图像；

图10为本发明实施例实验中经过各种攻击后受攻击的图像，检测的Logo图像以及对应的BCR值。

具体实施方式

为能清楚说明本发明方案的技术特点，下面结合附图，并通过具体实施方式，对本方案进一步阐述。

一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法，假设I＝{f(x,y),0≤x,y≤N}为原始彩色图像,L＝{l(i,j),0≤i≤P,0≤j≤Q}为原始二值Logo图像,一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法，包括以下步骤，

a.计算原始彩色图像的三元数小数阶极复指数变换；

b.将步骤a中得到的三元数小数阶极复指数变换通过复制扩展构造与原始二值LOGO图像等长度的幅值序列；

c.将步骤b中得到的幅值序列二值化处理得到二值化幅值序列；

d.将二值化幅值序列变为二值特征图像；

e.使用异或操作将LOGO图像嵌入到二值特征图像中得到零水印图像；

f.零水印验证。

在本实施例中，所述步骤a中计算原始彩色图像I的三元数小数阶极复指数变换得到M个矩值，具体计算过程如下

其中，

分别代表彩色图像三个通道R、G、B对应三个分量的小数阶极复指数变换，Real(p)和Imag(p)分别代表复数p的实部和虚部。近似重构原始图像g(r,θ)的过程如下：

其中，R′(r,θ),G′(r,θ)和B′(r,θ)分别代表重构的彩色图像g′(r,θ)对应的R、G、B三个通道，

R′(r,θ)＝Re(A(r,θ))+α₂Im(A(r,θ))-γ₂Im(B(r,θ))-β₂Im(C(r,θ))

G′(r,θ)＝Re(B(r,θ))+β₂Im(A(r,θ))+α₂Im(B(r,θ))-γ₂Im(C(r,θ))

B′(r,θ)＝Re(C(r,θ))+γ₂Im(A(r,θ))+β₂Im(B(r,θ))+α₂Im(C(r,θ))

其中，A(r,θ),B(r,θ)和C(r,θ)分别是A_nm,B_nm和C_nm重构得到的矩阵，

所述步骤b中构造幅值序列过程如下：

假设L＝{l(i,j),0≤i≤P,0≤j≤Q}为原始二值Logo图像，将步骤a得到的M个矩值进行多次复制扩展，得到P×Q个矩值，计算矩的幅值并构造长度为P×Q的幅值序列A＝{a(i),0≤i＜P×Q}。

所述步骤c中将幅值序列A二值化，得到二值化幅值序列A_b＝{a_b(i),0≤i＜P×Q}:

其中，T为二值化阈值，此处取A的均值。

所述步骤d中将二值化幅值序列A_b变为P行Q列的二值特征图像F＝{f(i,j),0≤i＜P,0≤j＜Q}。

所述步骤e中使用异或操作将Logo图像L嵌入至二值特征图像F中得到零水印图像W＝{w(i,j),0≤i＜P,0≤j＜Q}

W＝XOR(L_s,F)。

在本实施例中，还包括步骤f，所述步骤为零水印验证过程，零水印验证过程包括以下分步骤：

g1:计算待验证彩色图像I^*的TDPCET,得到M个矩值；

g2:将上述M个矩值通过多次复制扩展为P×Q个矩值，然后计算矩的幅值构造长度为P×Q的幅值序列A^*＝{a^*(i),0≤i＜P×Q}；

g3:将幅值序列A^*二值化，得到二值化幅值序列

其中，T^*为二值化阈值，此处取A^*的均值；

g4:将二值化幅值序列

变为P行Q列的二值特征图像F^*＝{f^*(i,j),0≤i＜P,0≤j＜Q}；

g5:将零水印图像W与二值特征图像F^*进行异或得到检测的Logo图像，

L^*＝{l^*(i,j),0≤i＜P,0≤j＜Q}:

L^*＝XOR(W,F^*)

使用位正确率(bit correctness ratio，BCR)来衡量检测的Logo图像L^*和原始Logo图像L的一致性，其定义为

其中,C为检测的Logo图像中正确的位数,P×Q为Logo图像的尺寸，BCR的值在0与1之间。

下面通过实验数据对本发明的有益效果进行分析和说明。

实验采用USC-SIPI image database中的30幅128×128的彩色图像对TDPCET的性能进行衡量,主要从TDPCET的图像重构性能以及TDPCET在零水印方面的应用两个方面进行实验。图2是为本实施例中所用到的1幅彩色图像。

1、图像重构实验

图像的重构性能是图像连续正交矩的重要特征，反映了图像连续正交矩的精确性。假设K为一个常数，在使用TDPCET重构图像时，可以限制参与重构的矩的个数来提高运算效率，如表1所示。运用表1中的限制条件后，实验采用的图像矩的个数明显少于使用全部矩，从而减少了图像重构时间的消耗。

表1矩的重构限制条件及重构所用的矩的个数

本实验采用均方重构误差(mean square reconstruction error,MSRE)来度量图像的重构误差.对于一幅大小为M×N的图像f(x,y)及其重构图像

MSRE定义为：

1.1、原始图像重构

本实验使用128×128的Lena图像作为实验图像进行主观重构图像对比，结果如图3中所示，其中最大矩阶数n_max＝10,20,30,40,50，然后使用30幅图像的平均MSRE来对比TDPCET与TPCET和TFrPCET的重构误差，如图4所示，其中TDPCET的小数阶分别取t＝0.7,0.8,0.9，TFrPCET的分数阶分别取t＝1.7,1.8,1.9。

从图3中可以看出，使用TFrPCET重构的彩色图像亮度明显高于原始图像，意味着其重构性能较差；由图4可以明显看出，对于TDPCET，随着阶数的增加，误差逐渐减小，达到一定的阶数后，误差逐渐增大。此外，本发明构造的TDPCET的图像重构误差整体均小于TFrPCET和TPCET，表现出更优越的重构性能。

1.2、噪声攻击

本实验采用大小为128×128的30幅彩色图像作为实验图像，首先对30幅图像添加噪声密度为0.02的椒盐噪声，然后使用TPCET和TFrPCET和TDPCET对其进行重构，并计算30幅图像的平均MSRE。由图5可以看出添加噪声后的彩色图像重构误差整体变大，意味着噪声会影响图像的重构性能。需要特别说明的是，添加噪声后TDPCET的重构性能仍整体高于TFrPCET和TPCET的重构性能。

1.3、滤波攻击

本实验采用大小为128×128的30幅彩色图像作为实验图像，首先对30幅图像添加窗口为5×5的均值滤波，然后使用TPCET和TFrPCET和TDPCET对其进行重构，并计算30幅图像的平均MSRE。由图6可以看出添加滤波攻击后图像的重构误差会变小，可见滤波攻击会影响图像的重构性能。但是整体趋势保持不变，TDPCET的重构误差仍整体小于TFrPCET和TPCET的重构误差。

1.4、JPEG压缩攻击

本实验采用大小为128×128的30幅彩色图像作为实验图像，首先对30幅图像添加质量因子为20的JPEG压缩，然后使用TPCET和TFrPCET和TDPCET对其进行重构，并计算30幅图像的平均MSRE。由图7可以看出添加质量因子为20的JPEG压缩后，TDPCET仍然可以很好地重构出原始彩色图像，并且图像的重构误差整体小于TFrPCET和TPCET的重构误差。

2、零水印算法的应用

为了进一步验证所提出的TDPCET的良好性能，本发明将TDPCET应用于一种简单有效的彩色图像零水印算法中，并且提供了鲁棒性实验结果和与同类方法的实验对比结果。

2.1、零水印算法

零水印算法主要包括两个过程，零水印构造和零水印验证。零水印构造主要是利用图像的TDPCET来构造零水印信息，零水印验证主要是用来对待验证的图像进行版权验证。零水印算法的流程示意图如图8所示。

2.2、鲁棒性实验

本实验采用30幅128×128的彩色图像对所提出的零水印算法的性能进行测试，采用一幅大小为32×32的二值图像作为Logo图像。其中从图像库中随机选取的6幅彩色图像和1幅Logo图像，如图9所示为所选取的1幅Logo图。实验算法的鲁棒性测试具体的攻击和参数见表2.

表2图像攻击及其参数

为了验证本算法的鲁棒性，TDPCET的小数阶取t＝0.9。在图10中给出了Lena图像受到各种类型的攻击后的受攻击图像和检测到的Logo图像以及对应的BCR值。由结果可以看出，本文所提出的基于TDPCET的零水印方案，在Lena图像经过各种攻击后，本算法都具有很高的BCR值，尤其是一部分攻击后的BCR值可以达到1，并且我们可以提取出很理想的水印图像。因此本水印算法具有很好的鲁棒性。

2.3、同类方法对比实验

本小节将提出的算法与三种零水印算法进行比较，实验结果采用30幅图像的平均BCR值来衡量。表3中显示了本算法与其他三种算法的BCR值对比，从表3中可以明显看出，本算法的BCR明显普遍高于其他算法的BCR，从而说明了本文提出的零水印算法具有更强的鲁棒性，同时验证了TDPCET良好的稳定性。

表3稳定性比较(BCR)

最后，还应说明，上述举例和说明也并不仅限于上述实施例，本发明未经描述的技术特征可以通过或采用现有技术实现，在此不再赘述；以上实施例及附图仅用于说明本发明的技术方案并非是对本发明的限制，参照优选的实施方式对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，本技术领域的普通技术人员在本发明的实质范围内所做出的变化、改型、添加或替换都不脱离本发明的宗旨，也应属于本发明的权利要求保护范围。

Claims (7)

1.一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法，包括以下步骤，

a.计算原始彩色图像的三元数小数阶极复指数变换；

b.将步骤a中得到的三元数小数阶极复指数变换通过复制扩展构造与原始二值LOGO图像等长度的幅值序列；

c.将步骤b中得到的幅值序列二值化处理得到二值化幅值序列；

d.将二值化幅值序列变为二值特征图像；

e.使用异或操作将LOGO图像嵌入到二值特征图像中得到零水印图像；

f.零水印验证。

2.根据权利要求1所述的一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法，其特征在于，所述步骤a具体计算过程如下：

假设I＝{f(x,y),0≤x,y≤N}为原始彩色图像，计算原始彩色图像I的三元数小数阶极复指数变换得到M个矩值：

其中，

其中，μ₁＝β₁i+γ₁j，为任一单位纯三元数(实部为0)。β₁、γ₁是实数，i和j为两个虚部单位。R_n(r)为径向基函数，

分别代表彩色图像三个通道R、G、B对应三个分量的小数阶极复指数变换，Real(p)和Imag(p)分别代表复数p的实部和虚部；

近似重构原始图像g(r,θ)的过程如下：

其中，μ₂＝α₂+β₂i+γ₂j，是一个三元数，其中α₂、β₂、γ₂是实数，i和j为两个虚部单位，并且满足μ₁μ₂＝-1。R′(r,θ),G′(r,θ)和B′(r,θ)分别代表重构的彩色图像g′(r,θ)对应的R、G、B三个通道，

R′(r,θ)＝Re(A(r,θ))+α₂Im(A(r,θ))-γ₂Im(B(r,θ))-β₂Im(C(r,θ))

G′(r,θ)＝Re(B(r,θ))+β₂Im(A(r,θ))+α₂Im(B(r,θ))-γ₂Im(C(r,θ))

B′(r,θ)＝Re(C(r,θ))+γ₂Im(A(r,θ))+β₂Im(B(r,θ))+α₂Im(C(r,θ))

其中，A(r,θ),B(r,θ)和C(r,θ)分别是A_nm,B_nm和C_nm重构得到的矩阵，

3.根据权利要求2所述的一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法，其特征在于，所述步骤b中构造幅值序列过程如下：

假设L＝{l(i,j),0≤i≤P,0≤j≤Q}为原始二值Logo图像，将步骤a得到的M个矩值进行多次复制扩展，得到P×Q个矩值，计算矩的幅值并构造长度为P×Q的幅值序列A＝{a(i),0≤i＜P×Q}。

4.根据权利要求3所述的一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法，其特征在于，所述步骤c中将幅值序列A二值化，得到二值化幅值序列A_b＝{a_b(i),0≤i＜P×Q}:

其中，T为二值化阈值，此处取A的均值。

5.根据权利要求4所述的一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法，其特征在于，所述步骤d中将二值化幅值序列A_b变为P行Q列的二值特征图像F＝{f(i,j),0≤i＜P,0≤j＜Q}。

6.根据权利要求5所述的一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法，其特征在于，所述步骤e中使用异或操作将Logo图像L嵌入至二值特征图像F中得到零水印图像W＝{w(i,j),0≤i＜P,0≤j＜Q}

W＝XOR(L_s,F)。

7.根据权利要求6所述的一种基于三元数小数阶极复指数变换的彩色图像零水印算法，其特征在于，还包括步骤f，所述步骤f为零水印验证过程，零水印验证过程包括以下分步骤：

g1:计算待验证彩色图像I^*的TDPCET,得到M个矩值；

g2:将上述M个矩值通过多次复制扩展为P×Q个矩值，然后计算矩的幅值构造长度为P×Q的幅值序列A^*＝{a^*(i),0≤i＜P×Q}；

g3:将幅值序列A^*二值化，得到二值化幅值序列

其中，T^*为二值化阈值，此处取A^*的均值；

g4:将二值化幅值序列

变为P行Q列的二值特征图像F^*＝{f^*(i,j),0≤i＜P,0≤j＜Q}；

g5:将零水印图像W与二值特征图像F^*进行异或得到检测的Logo图像，

L^*＝{l^*(i,j),0≤i＜P,0≤j＜Q}:

L^*＝XOR(W,F^*)

使用正码率(bit correctness ratio，BCR)来衡量检测的Logo图像L^*和原始Logo图像L的一致性，其定义为

其中,C为检测的Logo图像中正确的位数,P×Q为Logo图像的尺寸，BCR的值在0与1之间。

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