CN113055069B - 基于admm的单组多播单流系统预编码矩阵设计的方法 - Google Patents

基于admm的单组多播单流系统预编码矩阵设计的方法 Download PDF

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CN113055069B CN202110284924.9A CN202110284924A CN113055069B CN 113055069 B CN113055069 B CN 113055069B CN 202110284924 A CN202110284924 A CN 202110284924A CN 113055069 B CN113055069 B CN 113055069B
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Abstract

本发明提供一种基于ADMM单组多播单流系统下的预编码矩阵设计的方法，实现步骤为：设置单组多播单流系统参数；构建单组多播单流系统的数学模型；对单组多播单流系统的数学模型进行重建；定义基于重建模型的增广拉格朗日函数；利用交替方向乘子法ADMM对增广拉格朗日函数进行求解；获取单组多播单流系统预编码矩阵。本发明将以最小化传输功率为目标函数的单组多播单流系统的数学模型的问题求解转换成凸优化问题求解，基于ADMM得到的预编码矩阵对发射信号进行处理，较大程度降低发射信号的传输功率，有效提高物理层多播系统的频谱效率和能量效率。

Description

基于ADMM的单组多播单流系统预编码矩阵设计的方法
技术领域
本发明属于无线通信技术领域，涉及一种单组多播单流系统预编码矩阵设计的方法，具体涉及一种基于ADMM的单组多播单流系统预编码矩阵设计的方法，可用于移动电视、热点推送等场景的内容分发。
背景技术
随着现代无线通信技术和无线业务的不断发展，无线通信技术领域中用户数目以及服务需求迅猛增长。然而，无线通信技术中可用的频谱资源却非常有限。用户服务需求与频谱资源之间日益突出的矛盾，促使人们研究和发展高频谱利用率的传输技术。在这种背景下，无线物理层多播系统应运而生。
无线物理层多播系统是一种提高无线网络内容分发效率的有效途径。无线物理层多播系统包含一个基站和多个多播组，由基站向不同多播组传递无线信号，根据多播组的个数，物理层多播可细分为单组多播和多组多播。在单组多播中，所有用户都接收相同的信息。此外，根据多播系统中独立数据流的个数，物理层多播也可以分为单流多播和多流多播。单组多播单流系统包含一个基站和一个多播组，多播组内有多个用户，又因为是单流多播系统所以多播组内的用户都接收相同的信息。信息从发送端发射出去到被接收的过程中，一般会经历衰落特性十分复杂的无线信道，无线信道指的是从发射天线到接收天线的空间信道，用复数可以同时表示信道的衰减和时延，所以有关信道的变量通常是用复数描述。因为设计预编码矩阵要考虑信道的衰减和时延对发射信号的影响，所以预编码矩阵也属于复数域矩阵。为了降低发射信号的传输功率，进而提高物理层多播系统的频谱效率和能量效率，发送端需要通过预编码矩阵对发射信号进行波束成形处理。因此，如何通过设计单组多播单流系统的预编码矩阵对发射信号进行处理，从而尽可能降低发射信号的传输功率，是物理层单组多播传输方式设计中的关键。
目前，现有的面向多播的预编码矩阵设计的方法在总体上还远不如传统面向单播的预编码矩阵设计的方法成熟。具体来说，多播预编码矩阵设计问题通常是NP难(NP-hard)的，已有的算法计算复杂度普遍较高，可扩展性差。随着网络的密集化部署和大规模多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output:MIMO)技术的发展，无线通信系统的规模也在不断增加，未来的无线通信系统需要为大量设备提供大容量和多样化的数据服务，这些设备不仅包括人类使用的移动智能终端，还包括专用的机器类型设备。由此可见，大规模是未来无线通信系统的一个重要特征，这些系统可能包含上百根发射天线和用户终端。然而，现有的多播预编码矩阵设计的方法通常是非凸的二次约束二次规划(QuadraticallyConstrained Quadratic Programming:QCQP)问题，其最优解很难获得。一种经典的方法是采用半正定松弛(Semi-Definite Relaxation:SDR)技术将原始的非凸QCQP问题松弛为凸的半正定规划(Semi-Definite Programming:SDP)问题。通过求解松弛后的SDP问题，可以获得原问题最优目标函数的一个上界或下界。然而，基于SDR的方法抬升了优化变量的维度，使得问题的计算复杂度增加，而且随着多播组内用户数目的增加，其性能下降非常严重的计算复杂度普遍较高，难以扩展到大规模的无线通信系统。因此，设计降低发射信号的传输功率的预编码矩阵，实现多播预编码在大规模无线系统中的应用，是十分有必要的。
例如，2014年，L.Tran、M.F.Hanif和M.Juntti在IEEE Signal ProcessingLetters的21期第一卷114页上发表了名为A Conic Quadratic Programming Approach toPhysical Layer Multicasting for Large-Scale Antenna Arrays的期刊，公开了一种单组多播单流系统预编码矩阵设计的方法，该方法在复数域上定义系统的预编码矩阵，以最小化发射信号的传输功率为目标函数，并以用户接收信噪比不小于最小信噪比门限值为约束条件构建单组多播单流系统数学模型，以SDR的解决方案为基准，通过使用逐次凸逼近策略，将对该数学模型的求解转换成对一个可证明收敛的迭代二阶锥规划(second-ordercone programming：SOCP)问题求解，得到目标函数收敛时的预编码矩阵，该方法大幅降低了计算复杂度，并且一定程度上提升了多播系统的频谱效率和能量效率，但该方法所设计的预编码矩阵对系统的传输功率的改善仍然满足不了未来为大量设备提供大容量和多样化的数据服务的无线通信系统对频谱效率的要求。
发明内容
本发明的目的在于针对上述已有技术的不足，提供了一种基于ADMM的单组多播单流系统的预编码矩阵设计的方法，用以解决现有技术中存在的传输功率较高的技术问题。
为实现上述目的，本发明的技术方案包括如下步骤：
(1)设置单组多播单流系统参数：
设置包含基站G和用户集合U＝{Uk|1≤k≤K}的单组多播单流系统，基站G带有N个发射天线，每个用户Uk带有一个接收天线，基站G到用户Uk传输信道的损耗和白噪声方差分别为hk和
Figure BDA0002980073800000031
作用于基站G的预编码矩阵为w，
Figure BDA0002980073800000032
用户集合U接收的最小信噪比门限值为γth，用户Uk的接收信噪比为γk，其中Uk表示第k个用户，K表示用户总数，K≥2，N≥2，
Figure BDA0002980073800000033
表示复数域，
Figure BDA00029800738000000314
表示
Figure BDA0002980073800000035
上维度为N×1的全体向量；
(2)构建单组多播单流系统的数学模型
Figure BDA0002980073800000036
(2a)计算单组多播单流系统中基站G的传输功率P＝||w||2，并构建P为最小值时的目标函数f(w)：
Figure BDA0002980073800000037
其中，min表示求最小值运算，||·||表示求二范数运算，(·)2表示求平方运算；
(2b)计算第k个用户Uk的接收信噪比
Figure BDA0002980073800000038
并构建Uk的信噪比γk满足最小信噪比门限值γth的约束条件
Figure BDA0002980073800000039
其中，[·]H表示共轭转置运算；
(2c)根据目标函数f(w)和约束条件
Figure BDA00029800738000000310
构建单组多播单流系统的数学模型
Figure BDA00029800738000000311
Figure BDA00029800738000000312
Figure BDA00029800738000000313
其中，s.t.表示受约束于；
(3)对单组多播单流系统的数学模型
Figure BDA0002980073800000041
进行重建：
(3a)将模型
Figure BDA0002980073800000042
中的约束条件
Figure BDA0002980073800000043
转换为二次等式约束
Figure BDA0002980073800000044
其中，zk和u均表示辅助变量，
Figure BDA0002980073800000045
u＝w；
(3b)对w、u、hk和zk进行复数域到实数域的转换：
Figure BDA0002980073800000046
Figure BDA0002980073800000047
得到模型
Figure BDA0002980073800000048
的重建模型
Figure BDA0002980073800000049
Figure BDA00029800738000000410
Figure BDA00029800738000000411
u′＝w′
z′k≥0
Figure BDA00029800738000000412
其中，w′、u′、h′k和z′k分别表示w、u、hk和zk复数域到实数域的转换结果，[·]表示矩阵，Re(·)表示取实部，Im(·)表示取虚部，
Figure BDA00029800738000000413
表示实数域，
Figure BDA00029800738000000414
表示实数域
Figure BDA00029800738000000415
上维度为2N×2的全体矩阵，
Figure BDA00029800738000000416
表示实数域
Figure BDA00029800738000000417
上维度为2N×1的全体向量；
(4)定义基于重建模型
Figure BDA00029800738000000418
的增广拉格朗日函数L：
定义基于重建模型
Figure BDA00029800738000000419
的增广拉格朗日函数L1和L2：
Figure BDA0002980073800000051
Figure BDA0002980073800000052
其中，y表示(u′-w′)的拉格朗日乘子，
Figure BDA0002980073800000053
yk表示
Figure BDA0002980073800000054
的拉格朗日乘子，
Figure BDA0002980073800000055
ρ0表示||u′-w′||2的罚系数，
Figure BDA0002980073800000056
ρk表示
Figure BDA0002980073800000057
的罚系数，
Figure BDA0002980073800000058
L1(w′,u′,z′k,yk,y)和L2(w′,u′,z′k,yk,y)表示关于w′、u′、z′k、yk和y的增广拉格朗日函数，∑表示求和运算，[·]T表示转置运算；
(5)利用交替方向乘子法ADMM对增广拉格朗日函数L进行求解：
(5a)初始化迭代次数为t，第t次迭代的预编码矩阵为(w′)t，第t次迭代的辅助变量为(u′)t和
Figure BDA0002980073800000059
第t次迭代yk和y的拉格朗日乘子分别为
Figure BDA00029800738000000510
和yt，保存更新前w′的值的临时变量为wtemp，保存更新前u′的值的临时变量为utemp，最大迭代次数为T，T≥30000，并令t＝1；
(5b)令wtemp＝w′，并根据
Figure BDA00029800738000000511
对(w′)t进行更新，得到更新后的预编码矩阵w″，并令w′＝w″，其中，
Figure BDA00029800738000000512
表示函数f(x)具有最小值时x的取值，[·]-1表示求逆运算；
(5c)令utemp＝u′，并根据
Figure BDA00029800738000000513
对(u′)t进行更新，得到更新后的u″，并令u′＝u″；
(5d)根据
Figure BDA00029800738000000514
对(z′)t k进行更新，得到更新后的z″k″，并令z′k＝z″k″，并根据y+ρ0(u′-w′)对yt进行更新，得到更新后的y″，并令y＝y″；
(5e)根据
Figure BDA0002980073800000061
对
Figure BDA0002980073800000062
进行更新，得到更新后的y″k，并令yk＝y″k；
(5f)判断
Figure BDA0002980073800000063
||u′-w′||≤10-6、||wtemp-w′||≤10-6、||utemp-u′||≤10-6，或t＝T是否成立，若是，得到更新后的预编码矩阵
Figure BDA0002980073800000064
否则，令t＝t+1，并执行步骤(5b)；
(6)获取单组多播单流系统预编码矩阵：
对更新后的预编码矩阵
Figure BDA0002980073800000065
进行实数域到复数域的转换，得到最优预编码矩阵，即单组多播单流系统预编码矩阵。
本发明与现有技术相比，具有如下优点：
本发明通过将不等约束转换成二次等式约束，将以最小化传输功率为目标函数的单组多播单流系统的数学模型的问题求解转换成凸优化问题求解，然后基于ADMM对该凸优化问题求解，ADMM在求解凸优化问题时具有良好的收敛性和较高的收敛速度，基于ADMM得到的预编码矩阵对发射信号进行处理，较大程度降低发射信号的传输功率，与现有技术相比，有效提高物理层多播系统的频谱效率和能量效率。
附图说明
图1为本发明的实现流程图。
具体实施方式
以下结合附图和具体实施例，对本发明作进一步详细描述：
参照图1，本发明包括如下步骤：
步骤1)设置单组多播单流系统参数：
设置包含基站G和用户集合U＝{Uk|1≤k≤K}的单组多播单流系统，因为该系统是单组多播系统，所以只包含一个多播组也就是用户集合U，基站G带有N个发射天线，又因为是单流系统，多播组内的用户只接受单数据流，因此每个用户Uk带有一个接收天线，基站G到用户Uk传输信道的损耗和白噪声方差分别为hk和
Figure BDA0002980073800000066
传输信道是无线信道，无线信道指的是从发射天线到接收天线的空间信道，用复数可以同时表示信道的衰减和时延，所以通常是用复数描述，hk是一个N×1维的复向量，作用于基站G的预编码矩阵为w，
Figure BDA0002980073800000071
w也是一个N×1维的复向量，因为在单流系统中w一般被称为波束成形向量，在己有的部分文献中，波束成形被看成是秩为1的预编码，同时N×1维的向量属于矩阵，因此称w为预编码矩阵，用户集合U接收的最小信噪比门限值为γth，用户Uk的接收信噪比为γk，其中Uk表示第k个用户，K表示用户总数，K≥2，N≥2，
Figure BDA0002980073800000072
表示复数域，
Figure BDA0002980073800000073
表示
Figure BDA0002980073800000074
上维度为N×1的全体向量，本实例中，N＝32，K＝64；
步骤2)构建单组多播单流系统的数学模型
Figure BDA0002980073800000075
步骤2a)计算单组多播单流系统中基站G的传输功率P＝||w||2，并构建P为最小值时的目标函数f(w)：
Figure BDA0002980073800000076
其中，min表示求最小值运算，||·||表示求二范数运算，(·)2表示求平方运算；
步骤2b)计算第k个用户Uk的接收信噪比
Figure BDA0002980073800000077
并构建Uk的信噪比γk满足最小信噪比门限值γth的约束条件
Figure BDA0002980073800000078
其中，[·]H表示共轭转置运算；
步骤2c)根据目标函数f(w)和约束条件
Figure BDA0002980073800000079
构建单组多播单流系统的数学模型
Figure BDA00029800738000000710
Figure BDA00029800738000000711
Figure BDA00029800738000000712
该系统要降低的是发射信号的传输功率，所以目标函数是最小化发射功率，而发射功率是通过预编码矩阵定义的，同时需要约束条件来保证用户接收信噪比大于最小信噪比门限值，进而保证用户接收信息的质量，因此最后要求解的是保证用户接收信噪比大于最小信噪比门限值的条件下，使发射功率达到最小的预编码矩阵，其中，s.t.表示受约束于；
步骤3)对单组多播单流系统的数学模型
Figure BDA0002980073800000081
进行重建：
步骤3a)由于ADMM算法对凸优化问题的求解具有较好的收敛性和较快的收敛速度。因为模型
Figure BDA0002980073800000082
中存在不等约束，所以需要将不等约束转换成等式约束，进而将模型
Figure BDA0002980073800000083
中的非凸的二次约束二次规划问题转换成凸优化问题，因此将模型
Figure BDA0002980073800000084
中的约束条件
Figure BDA0002980073800000085
转换为二次等式约束
Figure BDA0002980073800000086
使约束条件满足凸函数要求，其中，zk和u均表示辅助变量，
Figure BDA0002980073800000087
u＝w；
步骤3b)对w、u、hk和zk进行复数域到实数域的转换：
Figure BDA0002980073800000088
Figure BDA0002980073800000089
得到模型
Figure BDA00029800738000000810
的重建模型
Figure BDA00029800738000000811
Figure BDA00029800738000000812
Figure BDA00029800738000000813
u′＝w′
z′k≥0
Figure BDA00029800738000000814
其中，w′、u′、h′k和z′k分别表示w、u、hk和zk复数域到实数域的转换结果，考虑到对复数求导的困难性，因此将复数域的变量转换成实数域的变量，简化ADMM求解运算，[·]表示矩阵，Re(·)表示取实部，Im(·)表示取虚部，
Figure BDA00029800738000000815
表示实数域，
Figure BDA00029800738000000816
表示实数域
Figure BDA00029800738000000817
上维度为2N×2的全体矩阵，
Figure BDA00029800738000000818
表示实数域
Figure BDA00029800738000000819
上维度为2N×1的全体向量；
步骤4)定义基于重建模型
Figure BDA00029800738000000820
的增广拉格朗日函数L：
定义基于重建模型
Figure BDA00029800738000000821
的增广拉格朗日函数L1和L2：
Figure BDA0002980073800000091
Figure BDA0002980073800000092
其中，y表示(u′-w′)的拉格朗日乘子，
Figure BDA0002980073800000093
yk表示
Figure BDA0002980073800000094
的拉格朗日乘子，
Figure BDA0002980073800000095
ρ0表示||u′-w′||2的罚系数，
Figure BDA0002980073800000096
ρk表示
Figure BDA0002980073800000097
的罚系数，
Figure BDA0002980073800000098
L1(w′,u′,z′k,yk,y)和L2(w′,u′,z′k,yk,y)表示关于w′、u′、z′k、yk和y的增广拉格朗日函数，拉格朗日函数可以将一个有α个变量与β个约束条件的最优化问题转换成一个解有α+β个变量的方程组的解的问题，而增广拉格朗日法是加了惩罚项的拉格朗日法，目的是使得算法收敛的速度更快，∑表示求和运算，[·]T表示转置运算；
步骤5)利用交替方向乘子法ADMM对增广拉格朗日函数L进行求解：
步骤5a)初始化迭代次数为t，第t次迭代的预编码矩阵为(w′)t，第t次迭代的辅助变量为(u′)t和
Figure BDA0002980073800000099
第t次迭代yk和y的拉格朗日乘子分别为
Figure BDA00029800738000000910
和yt，保存更新前w′的值的临时变量为wtemp，保存更新前u′的值的临时变量为utemp，最大迭代次数为T，T≥30000，并令t＝1；
步骤5b)令wtemp＝w′，并根据
Figure BDA00029800738000000911
对(w′)t进行更新，得到更新后的预编码矩阵w″，并令w′＝w″，其中，
Figure BDA00029800738000000912
表示函数f(x)具有最小值时x的取值，[·]-1表示求逆运算；
步骤5c)令utemp＝u′，并根据
Figure BDA00029800738000000913
对(u′)t进行更新，得到更新后的u″，并令u′＝u″；
步骤5d)根据
Figure BDA0002980073800000101
对
Figure BDA0002980073800000102
进行更新，得到更新后的z″k，并令z′k＝z″k，并根据y+ρ0(u′-w′)对yt进行更新，得到更新后的y″，并令y＝y″；
步骤5e)根据
Figure BDA0002980073800000103
对
Figure BDA0002980073800000104
进行更新，得到更新后的y″k，并令yk＝yk″；
步骤5f)判断
Figure BDA0002980073800000105
||u′-w′||≤10-6、||wtemp-w′||≤10-6、||utemp-u′||≤10-6，或t＝T是否成立，若是，得到更新后的预编码矩阵
Figure BDA0002980073800000107
，否则，令t＝t+1，并执行步骤(5b)，ADMM对变量的更新是交替的，在一次迭代中对五个变量进行更新，可以更快速的达到停止条件得到最优解，因此ADMM在求解凸优化问题时具有良好的收敛性和较高的收敛速度，基于ADMM得到的预编码矩阵对发射信号进行处理，较大程度降低发射信号的传输功率，有效提高物理层多播系统的频谱效率和能量效率。；
步骤6)获取单组多播单流系统预编码矩阵：
对更新后的预编码矩阵
Figure BDA0002980073800000106
进行实数域到复数域的转换，得到最优预编码矩阵，即单组多播单流系统预编码矩阵。

Claims (1)

1.一种基于交替方向乘子法ADMM的单组多播单流系统预编码矩阵设计的方法，其特征在于包括如下步骤：
(1)设置单组多播单流系统参数：
设置包含基站G和用户集合U＝{Uk|1≤k≤K}的单组多播单流系统，基站G带有N个发射天线，每个用户Uk带有一个接收天线，基站G到用户Uk传输信道的损耗和白噪声方差分别为hk和
Figure FDA0003387683160000011
Figure FDA0003387683160000012
作用于基站G的预编码矩阵为w，
Figure FDA0003387683160000013
用户集合U接收的最小信噪比门限值为γth，用户Uk的接收信噪比为γk，其中Uk表示第k个用户，K表示用户总数，K≥2，N≥2，
Figure FDA0003387683160000014
表示复数域，
Figure FDA0003387683160000015
表示
Figure FDA0003387683160000016
上维度为N×1的全体向量；
(2)构建单组多播单流系统的数学模型
Figure FDA0003387683160000017
(2a)计算单组多播单流系统中基站G的传输功率P＝||w||2，并构建P为最小值时的目标函数f(w)：
Figure FDA0003387683160000018
其中，min表示求最小值运算，||·||表示求二范数运算，(·)2表示求平方运算；
(2b)计算第k个用户Uk的接收信噪比
Figure FDA0003387683160000019
并构建Uk的信噪比γk满足最小信噪比门限值γth的约束条件
Figure FDA00033876831600000110
其中，[·]H表示共轭转置运算；
(2c)根据目标函数f(w)和约束条件
Figure FDA00033876831600000111
构建单组多播单流系统的数学模型
Figure FDA00033876831600000112
Figure FDA0003387683160000021
Figure FDA0003387683160000022
其中，s.t.表示受约束于；
(3)对单组多播单流系统的数学模型
Figure FDA0003387683160000023
进行重建：
(3a)将模型
Figure FDA0003387683160000024
中的约束条件
Figure FDA0003387683160000025
转换为二次等式约束
Figure FDA0003387683160000026
实现将模型
Figure FDA0003387683160000027
中的非凸的二次约束二次规划问题转换成凸优化问题，其中，zk和u均表示辅助变量，
Figure FDA0003387683160000028
u＝w；
(3b)对w、u、hk和zk进行复数域到实数域的转换：
Figure FDA0003387683160000029
Figure FDA00033876831600000210
得到模型
Figure FDA00033876831600000211
的重建模型
Figure FDA00033876831600000212
Figure FDA00033876831600000213
Figure FDA00033876831600000214
u′＝w′
z′k≥0
Figure FDA00033876831600000215
其中，w′、u′、h′k和z′k分别表示w、u、hk和zk复数域到实数域的转换结果，[·]表示矩阵，Re(·)表示取实部，Im(·)表示取虚部，
Figure FDA00033876831600000216
表示实数域，
Figure FDA00033876831600000217
表示实数域
Figure FDA00033876831600000218
上维度为2N×2的全体矩阵，
Figure FDA00033876831600000219
表示实数域
Figure FDA00033876831600000220
上维度为2N×1的全体向量；
(4)定义基于重建模型
Figure FDA00033876831600000221
的增广拉格朗日函数L：
定义基于重建模型
Figure FDA00033876831600000222
的增广拉格朗日函数L1和L2：
Figure FDA0003387683160000031
Figure FDA0003387683160000032
其中，y表示(u′-w′)的拉格朗日乘子，
Figure FDA0003387683160000033
yk表示
Figure FDA0003387683160000034
的拉格朗日乘子，
Figure FDA0003387683160000035
ρ0表示||u′-w′||2的罚系数，
Figure FDA0003387683160000036
ρk表示
Figure FDA0003387683160000037
的罚系数，
Figure FDA0003387683160000038
L1(w′,u′,z′k,yk,y)和L2(w′,u′,z′k,yk,y)表示关于w′、u′、z′k、yk和y的增广拉格朗日函数，∑表示求和运算，[·]T表示转置运算；
(5)利用交替方向乘子法ADMM对增广拉格朗日函数L进行求解：
(5a)初始化迭代次数为t，第t次迭代的预编码矩阵为(w′)t，第t次迭代的辅助变量为(u′)t和
Figure FDA0003387683160000039
第t次迭代yk和y的拉格朗日乘子分别为
Figure FDA00033876831600000310
和yt，保存更新前w′的值的临时变量为wtemp，保存更新前u′的值的临时变量为utemp，最大迭代次数为T，T≥30000，并令t＝1；
(5b)令wtemp＝w′，并根据
Figure FDA00033876831600000311
对(w′)t进行更新，得到更新后的预编码矩阵w″，并令w′＝w″，其中，
Figure FDA00033876831600000312
表示函数f(x)具有最小值时x的取值，[·]-1表示求逆运算；
(5c)令utemp＝u′，并根据
Figure FDA00033876831600000313
对(u′)t进行更新，得到更新后的u″，并令u′＝u″；
(5d)根据
Figure FDA00033876831600000314
对
Figure FDA00033876831600000315
进行更新，得到更新后的z″k，并令z′k＝z″k，并根据y+ρ0(u′-w′)对yt进行更新，得到更新后的y″，并令y＝y″；
(5e)根据
Figure FDA0003387683160000041
对
Figure FDA0003387683160000042
进行更新，得到更新后的y″k，并令yk＝y″k；
(5f)判断
Figure FDA0003387683160000043
||wtemp-w′||≤10-6、||utemp-u′||≤10-6，或t＝T是否成立，若是，得到更新后的预编码矩阵
Figure FDA0003387683160000044
即重建模型
Figure FDA0003387683160000045
的凸优化问题求解结果，否则，令t＝t+1，并执行步骤(5b)；
(6)获取单组多播单流系统预编码矩阵：
对更新后的预编码矩阵
Figure FDA0003387683160000046
进行实数域到复数域的转换，得到最优预编码矩阵，即单组多播单流系统预编码矩阵。
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