CN113050274A - 基于小波边界元模型的三角晶格声子晶体带隙设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于小波边界元模型的三角晶格声子晶体带隙设计方法，采用小波分析与边界元法相结合的方式，即用区间B样条小波尺度函数代替传统边界元的多项式插值来近似边界变量和边界形状。由于声子晶体是周期型结构，在一个单胞中建立了基体与散射体的边界积分方程组，之后，结合Bloch理论以及基体与散射体间的连续性条件，构造了三角晶格声子晶体带隙设计的小波边界元模型，进而计算获得声子晶体带隙特性。该小波边界元模型吸取了小波多分辨率分析和边界元方法降维特性的优势，提供的算例表明：本数值计算模型灵活性好、效率高、计算规模小、精度高，适合于三角晶格声子晶体带隙设计。

Description

基于小波边界元模型的三角晶格声子晶体带隙设计方法

技术领域

本发明属于声学功能材料结构设计领域，具体是指基于小波边界元模型的三角晶格声子晶体带隙设计方法。

背景技术

声子晶体是由周期性分布的基体和散射体所组成的人造复合材料。声子晶体最突出特性是其带隙特性，即禁止在一定的频率范围内传播声波或弹性波。这种特性可以在工程领域中广泛应用，例如：声波导，降噪，声学滤波器以及换能器等。近年来，许多研究者致力于声子晶体带隙设计方面的研究，旨在设计出一种具有良好带隙特性的声子晶体结构。

准确地计算出声子晶体带隙特性是带隙设计的基础。许多研究人员致力于声子晶体带隙特性的计算，旨在开发出一种最简单有效的数值计算方法，例如平面波扩展法，时域有限差分法，多重散射理论，DtN-map映射法，有限元法，集中质量法等。但是，最常用的平面波扩展法不适用于固/液和液/固混合体系。时域有限差分法考虑了这种混合模式，但忽略了交界面上的连续性，会带来计算误差。多重散射理论考虑了交界面上的连续性条件，但是它只限于圆形横截面的散射体，并且特征值方程是非线性的，导致计算过程很复杂。DtN-map映射法可以推导出以Bloch波矢作为特征值的线性特征值方程，但是该方法不能用于任意形状的散射体，因此无法广泛使用。

有限元法是一种理想的计算声子晶体带隙特性的方法，其表现为良好的收敛性，兼容性和准确性。但是，它涉及大型矩阵求解，非常耗时。集中质量法通过将集中质量矩阵应用于离散的有限元刚度矩阵中来提高计算效率。但是，此方法不能满足多场耦合的情况。与有限元法相比，边界元法似乎是一个更好的选择，因为它具有降维的特性，不需要对求解域域内离散，并且通过选择合适的基本解可以自动满足辐射条件，因此，最近几年也被用于声子晶体带隙特性的计算。小波边界元法是一种将边界元法和小波分析结合在一起的高性能数值分析方法，既可以利用边界元法降维特性，又可以利用小波多分辨率分析特性，即存在用于结构分析的多种小波基，根据求解问题的精度需要，采用不同的小波基。

然而，对如何构造三角晶格声子晶体带隙设计的小波边界元模型，进而实现声子晶体带隙特性计算，尚无涉及。

发明内容

本发明的目的是为了克服现有技术存在的缺点和不足，而提供一种基于小波边界元模型的三角晶格声子晶体带隙设计方法。

为实现上述目的，本发明的技术方案是包括以下步骤：

S1:将小波分析与边界元法相结合，用BSWI尺度函数取代传统边界元的多项式插值来近似边界变量和几何形状，在一个单胞内建立了三角晶格声子晶体基体与散射体离散的边界积分方程，进一步计算获得代数方程组；

S2:根据步骤S1中得到的代数方程组，对于给定的角频率，结合周期性边界条件以及基体与散射体间的交界面连续条件，进一步构造出计算三角晶格声子晶体带隙特性的小波边界元模型；

S3:通过不断调整三角晶格声子晶体的填充比，获得实际需要的带隙特性，最终完成三角晶格声子晶体带隙设计。

进一步设置是所述的步骤S1包括以下步骤：

1)运用一维BSWI尺度函数作为插值函数来近似边界变量和边界形状，得到基体与散射体统一的离散化边界积分方程形式：

其中，P和Q分别代表源点和场点，c(P)＝β/2π表示与源点P处边界形状有关的系数，β为P处切线张角，u^*(P,Q)为本声学问题基本解，q^*(P,Q)为基本解沿外法线方向的方向导数，L_i为单元的长度，

和

是分别表示第i个单元的位移值和位移法向导数值所组成的列向量，Φ指的是BSWI尺度函数所组成的行向量，T^e为本声学问题所对应的转换矩阵，u^*(P,Q)，q^*(P,Q)，Φ及T^e的表达式分别为：

其中，k_t＝ω/c_t为横向波数，ω是角频率，c_t表示横波波速，r＝|x_P-x_Q|表示源点与场点的距离，

表示第一类0阶汉克尔函数；

其中，

表示第一类1阶汉克尔函数，x_i(Q)与x_i(P)分别表示源点与场点的坐标点，n_i(Q)表示场点处的方向余弦；

其中，m与j分别表示BSWI尺度函数的阶数和尺度，ξ∈[0,1]为局部坐标；

T^e＝[Φ^T(ξ₁)Φ^T(ξ₂)ΛΦ^T(ξ_N-1)Φ^T(ξ_N)]^-T

其中，ξ_i为第i个节点的局部坐标值，N表示小波单元节点的个数；

从而进一步得到代数方程组：

[H]{U}+[G]{Q}＝0。

其中，H和G为系统矩阵，U和Q分别表示所有节点位移和位移法向导数所组成的列向量；

进一步设置是所述步骤S2中包括以下步骤：

1)构造带隙计算模型，设定基体外边界分别用N₁个BSWI小波单元离散化，基体内边界与散射体边界用N₂个BSWI小波单元进行离散，对于基体和散射体，所述的代数方程组进一步写成：

其中，上标α和γ分别表示与源点在基体边界Γ_α和散射体边界Γ_γ有关的量，β表示与场点在边界Γ_β有关的量，所有带有下标“0”的量都与基体有关，带有下标“1”的量与散射体有关；

结合周期性边界条件、基体与散射体交界面连续条件并分离出含有Bloch波矢的项，可得：

其中，η＝μ₁/μ₀是求解带隙特性的子矩阵系数，

k_x,k_y为第一布里渊区Bloch波矢，a为晶格常数，

和

表示场点在基体的边界Γ₁上，将所有节点都视为源点时积分分别涉及u^*(P,Q)和q^*(P,Q)所得到的矩阵，其余类似，另外有：

分离出在三角晶格简约布里渊区每个边界上的未知Bloch波矢项，得三角晶格声子晶体的小波边界元带隙计算模型

其中，

或

k_x,k_y为第一布里渊区Bloch波矢，a为晶格常数，Y＝ξX，I是单位矩阵；

2)在简约布里渊区Γ-X-M-Γ的每个边界上涉及到的矩阵A、B、C为

(1)Γ-X'上，

(2)X-M上，

(3)M-Γ，

根据上述矩阵A、B、C，可求得三角晶格简约布里渊区Γ-X-M-Γ的每个边界上未知的Bloch波矢，并用其作为所在边界横坐标的值，用简约波矢M、Γ、X作为横坐标，归一化频率ωa/(2πc)为纵坐标，根据Bloch波矢与归一化频率对应关系描点，就可获得三角晶格声子晶体带隙特性。

本发明的有益效果：本发明将小波分析与边界元法相结合，用BSWI尺度函数取代传统边界元的多项式插值，结合单胞技术，建立了关于三角晶格声子晶体基体与散射体的代数方程组。之后，基于周期性边界条件、基体与散射体连续性条件，构造了三角晶格声子晶体带隙计算模型，进而获得声子晶体带隙特性。具有下列区别于传统边界元求解方法的显著优势：

1)本发明结合边界元的降维特性与B样条函数的多分辨率分析、优良逼近特性进行结构分析，在声子晶体带隙特性计算过程中，用精确的BSWI尺度函数取代传统的多项式插值来构造试函数，进而构造小波单元，最终能够以较少的单元数和时间获得较高的计算精度。这使得小波边界元模型较传统边界元模型具有更好的计算效率和准确性；

2)本发明独创性地在边界元法中用多节点单元来进行三角晶格声子晶体带隙特性计算，在频率域内，最终可以获得容易求解的广义线性特征值方程组，即三角晶格声子晶体带隙计算模型；

3)通过构建三角晶格声子晶体带隙设计的小波边界元模型，不断调整声子晶体填充比，可高精度、快速收敛地获得所需要的带隙特性，最终完成三角晶格声子晶体带隙设计。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，根据这些附图获得其他的附图仍属于本发明的范畴。

图1是本发明的三角晶格第一布里渊区；

图2是本发明的三角晶格基体(a)和散射体(b)的域和边界；

图3是本发明的小波边界元模型计算的带隙特性(空心点)和传统边界元模型计算的带隙特性(实心点)；

图4是本发明的使用高阶次尺度函数的小波边界元模型计算的带隙特性；

图5是本发明的使用不同单元数的传统边界元模型计算的带隙特性；

图6本发明的流程图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作进一步地详细描述。

如图6所示，实施本发明的流程如下步骤：

S1:将小波分析与边界元法相结合，用BSWI尺度函数取代传统边界元的多项式插值来近似边界变量和几何形状，在一个单胞内建立了三角晶格声子晶体基体与散射体离散的边界积分方程，进一步计算获得代数方程组；

S2:根据步骤S1中得到的代数方程组，对于给定的角频率，结合周期性边界条件以及基体与散射体间的交界面连续条件，进一步构造出计算三角晶格声子晶体带隙特性的小波边界元模型；

S3:通过不断调整三角晶格声子晶体的填充比，获得实际需要的带隙特性，最终完成三角晶格声子晶体带隙设计。

本发明将小波分析与边界元法相结合，用BSWI尺度函数取代传统边界元的多项式插值。考虑到声子晶体是周期性结构，在一个单胞内建立了基体与散射体的边界积分方程组，此后结合周期性条件、基体与散射体连续性条件，进而构造了三角晶格声子晶体带隙特性计算模型。

三角晶格声子晶体问题在域Ω内的控制方程为：

其中，

指微分算子，u指沿z方向的位移，k_t＝ω/c_t为横向波数，ω是角频率，c_t指横波波速，其求解公式为：

其中，μ和ρ分别指材料的剪切模量和密度。基于基本解与格林公式，可以得到方程(1)的边界积分方程：

其中，P和Q分别指边界上的源点和场点，c是与源点P处边界形状有关的系数，n是边界外法向量，u^*(P,Q)和

分别是基本解和其法向导数：

其中，r＝|x_P-x_Q|表示源点与场点的距离，

和

分别是第一类0阶和1阶汉克尔函数。

由于声子晶体是周期型结构，只需研究其单胞，基体外边界所有边界变量(位移及其法向导数)必须满足周期性边界条件，即Bloch理论，用统一的表达式表示为：

χ(x+l)＝e^ik·lχ(x) (6)

其中，l＝m₁a_x+m₂a_y，a_x和a_y晶格基向量，m₁和m₂是大小从0到晶格常数a变化的系数，χ是所有边界变量的统称，k＝(k_x,k_y)是Bloch波矢。

为了区分与基体和散射体有关的量，本专利中所有带有下标“0”的量都与基体有关，带有下标“1”的量与散射体有关。

由于边界变量在基体和散射体之间的交界面处是连续的，则有：

采用一维BSWI尺度函数插值时，令

单元的位移及位移法向导数可以表示为：

其中，

表示m阶j尺度的BSWI尺度函数组成的行向量，T^e为转换矩阵，见公式(9)，u^e，q^e分别为物理空间中位移列向量和位移法向导数列向量，见公式(10)：

其中，字母N代表阶数为m，尺度为j的BSWI尺度函数

的维数，同时也表示一个BSWI单元的节点总数。

公式(3)被离散为n个单元可以表示为：

其中，L_i表示第i个单元的总长度，

和

分别表示第i个单元的位移值和位移法向导数值所组成的列向量。

公式(11)中的项都可以直接通过积分得到，转换矩阵T^e可以根据所给的尺度函数表达式计算，将这些都考虑在内之后，得：

其中，h^(P,i,1)与g^(P,i,1)表示第一个尺度函数作为被考察函数时与基本解所得到的积分值，以此类推。将求和公式展开并将涉及到同一节点的系数进行叠加，可得：

式中的NP代表总的节点个数，U和Q分别表示所有节点处的位移值和位移法向导数值所组成的列向量。如果将所有节点都视为源点，则可以形成代数方程组为：

[H]{U}+[G]{Q}＝0 (14)

其中：

通常情况下会采用刚体位移法来确定H矩阵主对角线值，间接求出系数c的值，即：

在三角形晶格单胞中，基体和散射体的边界Γ、求解域D以及计算路径如图2所示。Γ₁～Γ₆为基体的外边界，边界上的节点位移和法向导数分别由

和

表示。Γ₀和Γ_0'分别是基体的内边界和散射体的外边界，它们相应的节点位移和位移法向导数表示为

和

此外，基体和散射体的求解域分别用D₀和D₁表示。

为了构造三角晶格声子晶体带隙计算模型，假设边界Γ₁～Γ₆分别用N₁个BSWI小波单元离散，Γ₀和Γ_0'用N₂个BSWI小波单元离散。对于基体与散射体，公式(14)可以分别写成以下形式：

其中，上标α和γ分别表示与源点在基体边界Γ_α和散射体边界Γ_γ有关的量，β表示与场点在边界Γ_β有关的量。根据基体与散射体连续性条件，可得：

其中，η＝μ₁/μ₀是计算声子晶体能带结构的子矩阵系数，其它在公式(19)中出现矩阵和向量可以表示为：

根据周期性边界条件(6)，基体边界Γ₁～Γ₆上的边界变量满足以下关系：

对于边界变量法向导数，由于外法向量方向是相反的，因此满足：

其中，

将公式(23)、(24)带入(19)中，并且分离出含有Bloch波矢的项，得：

其中：

由于第一布里渊区具有对称性，Bloch波矢通常沿三角晶格的简约布里渊区的边界取值，如图1中由路径Γ-X-M-Γ组成的三角形所示。在边界Γ-X上，

在边界X-M上，ξ_y＝-1；在边界M-Γ上，ξ_x＝1。但是，由于边界Γ-X上存在高阶特征值，计算该边界上的色散关系比较困难。根据布里渊区的旋转对称性，可以用Γ-X'上的波矢来代替Γ-X上的波矢，在边界Γ-X'上，ξ_y＝1。对于以上三种情况，可以用统一的表达式表示：

(ξ²C+ξB+A)X＝0 (27)

其中，

或

由于式(27)是二次特征值问题，并不是最终形式。将其通过适当的变形，得：

公式(28)为三角晶格声子晶体带隙特性计算模型。其中，Y＝ξX，I是单位矩阵。在三角晶格简约布里渊区每个边界上的A、B、C分别为：

(1)Γ-X'上，

(2)X-M上，

(3)M-Γ上，

考虑到特征值ξ限制在单位圆上，因此，要保证计算出的特征值|ξ|＝1。考虑到误差的存在，则有：

||ξ|-1|≤δ (29)

其中，δ是充分小的正数。选择一个合理的δ值至关重要，当δ太小时会出现丢根的情况，而δ太大则会导致伪根的存在。

根据公式(29)可求得简约布里渊区Γ-X-M-Γ的每个边界上未知的Bloch波矢，可用简约波矢M、Γ、X作为横坐标，所求的Bloch波矢作为所在边界横坐标x坐标值、归一化频率ωa/(2πc)为纵坐标y，根据归一化频率与所求Bloch波矢的对应关系，就可得到三角晶格声子晶体能带结构图，从而获得三角晶格声子晶体带隙特性。

实施例：本实施例主要验证三角晶格声子晶体带隙计算的小波边界元数值求解模型的优越性。将正方形金(Au)散射体嵌入到环氧树脂(epoxy)基体中，其中，对于金材料，ρ＝19500kg/m²，c_t＝1239m/s，对于环氧树脂材料，ρ＝1180kg/m²，c_t＝1160m/s。对于其他计算参数，填充比f＝0.3493，δ＝5×10^-2，最小归一化频率τ₀＝5×10^-3，最大归一化频率τ_max＝1.4，计算步长Δτ＝5×10^-3。此外，计算过程中使用2点积分公式，为了表达方便，在没有明确说明的情况下，所说的单元数为基体的离散单元数。

分别采用1个BSWI₂₃单元和8个传统的线性单元离散基体和散射体的每个边界。图3给出了两种离散方法的求解结果，其中，(c_t)₀表示基体材料的横向波速，实心点和空心点分别表示10个BSWI₂₃单元和80个传统线性单元的求解结果，图中阴影部分为三角晶格声子晶体带隙。从图中可以发现，两种单元的计算结果很吻合，都是291个特征值结果。但是，当采用BSWI多节点单元时，奇异积分的计算次数和相邻单元的叠加次数很少，这使得小波边界元模型的计算成本(160s)低于传统边界元的计算成本(201s)，相比之下，小波边界元计算模型的计算时间压缩了20.4％。此外，传统的边界元法已成功地应用于三角晶格声子晶体带隙特性计算，从而验证了小波边界元模型的可靠性和高效性。

另外，可以看出，在低频域中结果较好，但在高频域中的色散曲线不完整，这是因为求解精度不够导致在这些频率下计算出的特征值不满足公式(29)。为了补全这些色散曲线，将尺度函数的阶数从2提高到4，单元个数、积分点数和其他参数保持不变。此后，根据公式(29)可以得到333个特征值结果，高频域中的色散曲线也很完整，如图4所示。因此，可以根据小波边界元法模型中多种小波基可选择的优势，自由地提升BSWI尺度函数的阶数(或尺度)来实现所需的精度要求。

为了进一步说明BSWI高阶单元的优越性，同时选择用传统三次单元求解该体系。其中，基体和散射体的每个边界由3个三次单元离散，即基体的总单元数为30，散射体总单元数为12，其他参数保持不变。按照同样的方法，获得了315个求解结果如图5所示(空心点)。可以看出，高频域的色散曲线有些地方表现不完整，达不到10个BSWI₄₃单元的求解结果，这说明传统边界元法模型求解精度低。将基体与散射体的每个边界单元数增加到4，即基体的总单元数为40，散射体总单元数为16，其他参数保持不变。此后，可得到328个求解结果，如图5所示(实心点)，色散曲线在一些地方也得到了一些补充，但仍然达不到10个BSWI₄₃单元333个特征值的求解精度。这证明了小波边界元模型精度高、求解规模小。

本数值算例表明：与传统边界元模型相比，小波边界元模型在计算三角晶格声子晶体带隙方面具有计算效率高、灵活性好、精度高、求解规模小的特点。最后，可通过构造的三角晶格声子晶体带隙设计的小波边界元模型，不断调整三角晶格声子晶体填充比，可高性能地获得所需要的带隙特性，最终完成三角晶格声子晶体带隙设计，获得符合特定要求带隙特性的三角晶格声子晶体。本领域普通技术人员可以理解实现上述实施例方法中的全部或部分步骤是可以通过程序来指令相关的硬件来完成，所述的程序可以存储于一计算机可读取存储介质中，所述的存储介质，如ROM/RAM、磁盘、光盘等。

以上所揭露的仅为本发明较佳实施例而已，当然不能以此来限定本发明之权利范围，因此依本发明权利要求所作的等同变化，仍属本发明所涵盖的范围。

应当注意，本发明的实施例可以通过硬件、软件或者软件和硬件的结合来实现。硬件部分可以利用专用逻辑来实现；软件部分可以存储在存储器中，由适当的指令执行系统，例如微处理器或者专用设计硬件来执行。本领域的技术人员可以理解上述的设备和方法可以使用计算机可执行指令和/或包含在处理器控制代码中来实现，例如在可编程的存储器或者诸如光学或电子信号载体的数据载体上提供了这样的代码。

此外，尽管在附图中以特定顺序描述了本发明方法的操作，但是，这并非要求或者暗示必须按照该特定顺序来执行这些操作，或是必须执行全部所示的操作才能实现期望的结果。相反，流程图中描绘的步骤可以改变执行顺序。附加地或备选地，可以省略某些步骤，将多个步骤组合为一个步骤执行，和/或将一个步骤分解为多个步骤执行。还应当注意，根据本发明的两个或更多装置的特征和功能可以在一个装置中具体化。反之，上文描述的一个装置的特征和功能可以进一步划分为由多个装置来具体化。

虽然已经参考若干具体实施例描述了本发明，但是应当理解，本发明不限于所公开的具体实施例。本发明旨在涵盖所附权利要求的精神和范围内所包括的各种修改和等效布置。

Claims (3)

1.一种基于小波边界元模型的三角晶格声子晶体带隙设计方法，其特征在于包括以下步骤：

S1:将小波分析与边界元法相结合，用BSWI尺度函数取代传统边界元的多项式插值来近似边界变量和几何形状，在一个单胞内建立了三角晶格声子晶体基体与散射体离散的边界积分方程，进一步计算获得代数方程组；

S2:根据步骤S1中得到的代数方程组，对于给定的角频率，结合周期性边界条件以及基体与散射体间的交界面连续条件，进一步构造出计算三角晶格声子晶体带隙特性的小波边界元模型；

S3:通过不断调整三角晶格声子晶体的填充比，获得实际需要的带隙特性，最终完成三角晶格声子晶体带隙设计。

2.根据权利要求1所述的一种基于小波边界元模型的三角晶格声子晶体带隙设计方法，其特征在于：所述的步骤S1包括以下步骤：

1)运用一维BSWI尺度函数作为插值函数来近似边界变量和边界形状，得到基体与散射体统一的离散化边界积分方程形式：

其中，P和Q分别代表源点和场点，n代表单元的个数，c(P)＝β/2π表示与源点P处边界形状有关的系数，β为P处切线张角，u^*(P,Q)为本声学问题基本解，q^*(P,Q)为基本解沿外法线方向的方向导数，L_i为单元的长度，

和

是分别表示第i个单元的位移值和位移法向导数值所组成的列向量，Φ指的是BSWI尺度函数所组成的行向量，T^e为本声学问题所对应的转换矩阵，u^*(P,Q)，q^*(P,Q)，Φ及T^e的表达式分别为：

其中，k_t＝ω/c_t为横向波数，ω是角频率，c_t表示横波波速，r＝|x_P-x_Q|表示源点与场点的距离，

表示第一类0阶汉克尔函数；

其中，

表示第一类1阶汉克尔函数，x_i(Q)与x_i(P)分别表示源点与场点的坐标点，n_i(Q)表示场点处的方向余弦；

其中，m与j分别表示BSWI尺度函数的阶数和尺度，ξ∈[0,1]为局部坐标；

T^e＝[Φ^T(ξ₁)Φ^T(ξ₂)ΛΦ^T(ξ_N-1)Φ^T(ξ_N)]^-T

其中，ξ_i为第i个节点的局部坐标值，N表示小波单元节点的个数；

将每一个节点都设为源点，经过积分运算、矩阵组装可进一步得到代数方程组：

[H]{U}+[G]{Q}＝0。

其中，H和G为系统矩阵，U和Q分别表示所有节点位移和位移法向导数所组成的列向量。

3.根据权利要求2所述中的一种基于小波边界元模型的三角晶格声子晶体带隙设计方法，其特征在于：所述步骤S2中包括以下步骤：

1)构造带隙计算模型，设定基体外边界分别用N₁个BSWI小波单元离散化，基体内边界与散射体边界用N₂个BSWI小波单元进行离散，对于基体和散射体，所述的代数方程组进一步写成：

其中，上标α和γ分别表示与源点在基体边界Γ_α和散射体边界Γ_γ有关的量，β表示与场点在边界Γ_β有关的量，所有带有下标“0”的量都与基体有关，带有下标“1”的量与散射体有关；

结合周期性边界条件、基体与散射体交界面连续条件并分离出含有Bloch波矢的项，可得：

其中，η＝μ₁/μ₀是求解带隙特性的子矩阵系数，

k_x,k_y为第一布里渊区Bloch波矢，a为晶格常数，

和

表示场点在基体的边界Γ₁上，将所有节点都视为源点时积分分别涉及u^*(P,Q)和q^*(P,Q)所得到的矩阵，其余类似，另外有：

分离出在三角晶格简约布里渊区每个边界上的未知Bloch波矢项，得三角晶格声子晶体的小波边界元带隙计算模型

其中，ξ＝ξ_x或ξ＝ξ_y，Y＝ξX，I是单位矩阵；

2)在简约布里渊区Γ-X-M-Γ的每个边界上涉及到的矩阵A、B、C为

(1)Γ-X'上，

(2)X-M上，

(3)M-Γ，

根据上述矩阵A、B、C，可求得三角晶格简约布里渊区Γ-X-M-Γ的每个边界上未知的Bloch波矢，并用其作为所在边界横坐标的值，用简约波矢M、Γ、X作为横坐标，归一化频率ωa/(2πc)为纵坐标，根据Bloch波矢与归一化频率对应关系描点，就可获得三角晶格声子晶体带隙特性。

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