CN113010974A - 一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法 - Google Patents

一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，该方法包括：提炼了影响齿轮传动稳定性及准确性的各种内外激励因素，重点引入了由于重载造成的传动轴与支撑元件变形等因素造成的时变中心距对啮合线的影响以及由于偏载导致的齿轮摆动效应，建立齿轮传动系统的弯‑扭‑摆耦合非线性动力学方程并进行求解，并借助非线性动力学理论提取系统稳定运动的参数区间，使系统规避复杂的非线性动力学行为，实现指导齿轮加工设计、参数优化的目的。

Description

一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化 设计方法
技术领域
本发明涉及一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，它在提炼影响齿轮传动稳定性及准确性的各种内外激励因素的基础上，重点计入由于重载造成的传动轴与支撑元件变形等因素而引发的时变中心距对啮合线的影响以及由于偏载导致的齿轮摆动效应，建立齿轮传动系统的弯-扭-摆耦合非线性动力学方程并进行求解，借助非线性动力学理论判断系统的运动稳定性，提取系统稳定运动的参数区间，规避复杂的动力学特性响应，从而实现指导齿轮加工设计、参数优化的目的。
背景技术
传统的齿轮传动系统设计过程大多是针对齿轮、传动轴等传动零部件进行强度设计，包括齿轮选材、受力分析、齿轮疲劳强度的校核计算及传动轴的刚度、强度校核等，认定满足强度设计的参数即为可选参数，很少从系统运动稳定性的角度进行优化设计。但是在风电、船舶领域，由于齿轮传动系统结构复杂，齿轮长期处于重载、偏载等特殊工况下，即便齿轮传动系统在设计过程中满足各种强度校核，仍会因为运动失稳而出现齿轮断齿失效等现象。这是由于齿轮传动系统结构复杂、载荷工况多样化等原因会导致出现各种内外激励，在内外激励耦合作用下系统的运动状态会表现出各种复杂的非线性动力学行为，从而严重影响齿轮传动系统的运动平稳性、准确性及可靠性。
内外激励的耦合作用会导致齿轮传动系统表现出各种复杂的非线性动力学行为，例如：周期运动、拟周期运动、分叉、混沌、幅值突变等。其中，分叉是指动力系统受到扰动后，其拓扑结构发生改变的行为；而混沌运动则是指初始值非常靠近的两条轨道，随着时间的发展会指数分离，对轨道的长时期行为不可能做出准确的预测。分叉、混沌以及由于共振导致的幅值突变等特殊的非线性动力学行为都会使得齿轮间啮合力长期处于无规律的运动状态，甚至发生突变，从而导致整个齿轮传动系统产生振动、噪声，因而降低齿轮传动系统的使用寿命。
因此，针对工作在重载、偏载等特殊工况下的复杂齿轮传动系统，在满足传动零部件强度设计的基础上，还应该从提高系统运动稳定性的角度进行齿轮传动系统的优化设计，进一步提高齿轮传动系统的工作性能及可靠性。
发明内容
本发明解决的技术问题是：为克服现有技术的不足，本发明提供一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，针对重载、偏载工况下的单级或多级渐开线直齿轮传动系统建立非线性动力学模型，绘制出系统最大振动幅值随参数变化的分叉图，提炼影响系统运动稳定性的关键参数，提取系统稳定运动的参数区间，实现对齿轮传动系统的优化设计。
本发明解决所述技术问题的技术方案是：
一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，该方法具体的步骤如下：
步骤一：提炼在重载偏载工况下影响齿轮传动系统运动准确性和平稳性的各种内外激励因素，主要包括：时变啮合刚度、齿轮传递误差、齿侧间隙、输入输出力矩、时变啮合中心距以及偏载力矩；
步骤二：计算传动轴的弯曲变形，将轴等效为材质均匀且各项同性的梁单元，可将轴的横向变形描述为：
Figure BDA0002909486110000021
其中y(x,t)为轴的横向变形，Ni(x)为位移函数，ui(t)为两端节点位移；
步骤三：考虑到重载工况下支撑轴承、传动轴等元件发生弹性变形，可将其等效为弹簧-阻尼模型，提炼整个系统的动能函数、势能函数及耗散能函数；
步骤四：建立齿轮传动系统弯-扭-摆耦合非线性动力学方程，并对无量纲化后的方程进行求解，提取系统的稳态响应解；
步骤五：通过控制变量法，绘制单一内外激励变量取不同参数时系统的分叉图，提取系统稳定运动的参数区间；
步骤六：通过正交实验法，绘制多个内外激励变量取不同参数时系统的相轨迹图、庞加莱映射图、时间历程图，判断系统在多参数耦合作用下的稳定性；
步骤七：借助分叉图、相轨迹图等，以规避分叉、混沌等特殊非线性动力学行为为目标，得到参数可选区间，进而实现对齿轮传动系统的优化设计。
优选的，该优化设计方法适用于重载偏载工况下单级或多级直齿轮传动系统的优化设计。
优选的，该方法可以对齿轮的时变啮合刚度、啮合阻尼、齿侧间隙、齿轮传递误差、传动轴弯曲刚度及弯曲阻尼、支撑轴承刚度及阻尼进行参数优化。
优选的，该方法可以对齿轮传动系统的啮合频率、输入扭矩及输出扭矩进行参数优化，使系统避开相应的分叉、混沌等复杂的非线性运动状态区间。
优选的，在计算传动轴在弯曲变形时，仅考虑传动轴两端的横向位移，n＝2，则传动轴在x、y方向的弹性变形可表示为：
Figure BDA0002909486110000031
其中：
xbi(i＝1、2)，为传动轴支撑端变形量；
δi＝li/l(i＝1、2)；
li，为齿轮旋转中心到相应轴承质心的距离；
l，为传动轴的长度。
优选的，在考虑时变啮合中心距的情况下，齿轮副沿动态啮合线方向的相对位移λ为：
λ＝(x1-x2)sin(α-β)-(y1-y2)cos(α-β)+r1θz1-r2θz2-e(t) (11)
其中：
Figure BDA0002909486110000032
上述表达式中的参数α为齿轮副动态啮合角；β为主、从动轮任意时刻质心相对位置角；x、y分别表示为主、从动轮任意时刻沿X、Y轴的振动位移。
优选的，该方法中将齿轮副等效为弹簧-阻尼模型，齿轮副间的动态啮合力可以表示为：
Figure BDA0002909486110000033
其中：
Figure BDA0002909486110000034
上述表达式中的k(t)为时变啮合刚度；c为啮合阻尼；f(λ)为间隙函数；2b为齿侧间隙。
优选的，偏载力矩可表示为：
T＝Fτ (5)
上述表达式中的F为动态啮合力；τ为偏载系数。
本发明与现有技术相比的优点在于：
(1)本发明区别于传统的齿轮优化设计方法，不是对传动零部件进行强度设计，而是在强度设计的基础上，针对具有重载、偏载特征的单级或多级齿轮传动系统，进一步从运动稳定性的角度进行优化设计，提出一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，结合系统运动稳定性，提取关键参数可选区间，使系统规避复杂的非线性动力学行为，从而提高齿轮传动系统的工作性能，实现对传动系统的优化设计；
(2)本发明建立了齿轮传动系统的非线性动力学模型，建模过程中更是考虑到重载工况下传动轴的弯曲变形、支撑原件的变形等因素，重点引入易被忽视的由于传动轴与支撑原件变形等因素造成的时变齿轮中心距对啮合线方向的影响以及由于齿轮变形、加工误差等因素造成沿齿宽方向非均布的偏载力矩所引起的齿轮摆动效应，建模考虑因素更加全面，更能真实反映齿轮传动系统的复杂动力学行为，对齿轮优化设计的指导更具有实际意义。
附图说明
图1为本发明中的齿轮传动系统刚度-阻尼模型示意图；
图2为本发明中齿轮传动系统优化设计方法流程图；
图3为系统运动状态随内激励误差变化的分叉图；
图4为系统运动状态随无量纲啮合频率变化的分叉图；
图5为系统运动状态随无量纲啮合刚度变化的分叉图；
图6为系统运动状态随啮合阻尼系数变化的分叉图；
图7为系统运动状态随无量纲支撑刚度变化的分叉图；
图8为内激励误差较小时系统的单周期运动状态图；
图9为内激励误差较大时系统的混沌运动状态图；
具体实施方式
以下结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明，但本发明的实施不限于此。
本发明提出一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，通过建立齿轮传动系统的非线性动力学模型，结合非线性动力学理论知识，来实现对齿轮的优化设计。
包括齿轮传动系统的非线性动力学建模和动力学特性分析。为了清晰简明的阐述本发明提出的方法，在图1中用简化模型替代具体的齿轮传动系统模型。该方法设计流程图如图2所示，具体步骤如下：
步骤一：提炼在重载偏载工况下影响齿轮传动系统运动准确性和平稳性的各种内外激励因素，主要包括：时变啮合刚度、齿轮传递误差、齿侧间隙、时变啮合中心距以及偏载力矩。
Figure BDA0002909486110000051
Figure BDA0002909486110000052
Figure BDA0002909486110000053
λ＝(x1-x2)sin(α-β)-(y1-y2)cos(α-β)+r1θz1-r2θz2-e(t) (4)
T＝Fmτ (5)
其中，k(t)为时变啮合刚度，k0为平均啮合刚度，ωm为啮合频率；e(t)为齿轮传递误差，e0为平均传递误差；f(x,b)为齿侧间隙函数，x为沿啮合线方向的振动位移，2b为齿侧间隙；λ为考虑时变啮合中心距后齿轮副沿啮合线方向的振动位移，x、y为齿轮沿X、Y轴的振动位移，θ为齿轮的扭转位移；T为偏载力矩，Fm为啮合力，τ为偏载系数。
步骤二：计算传动轴的弯曲变形，将轴等效为材质均匀且各项同性的梁单元，可将轴的横向变形描述为：
Figure BDA0002909486110000054
其中y(x,t)为轴的横向变形，Ni(x)为位移函数，ui(t)为两端节点位移。
轴的弹性变形量可表示为：
Figure BDA0002909486110000055
其中：
xbi(i＝1、2)，为传动轴支撑端变形量；
N1(x)＝1-δ1、N2(x)＝δ2、δi＝li/l(i＝1、2)； (8)
li，为齿轮旋转中心到相应轴承质心的距离；
l，为传动轴的长度。
步骤三：考虑到重载工况下支撑轴承、传动轴等原件发生弹性变形，可将其等效为弹簧-阻尼模型，提炼整个系统的动能函数、势能函数及耗散能函数。
其中，主动轮振动系统的广义自由度zi依次取x1、y1、xb1、yb1、xb2、yb2、θx1、θy1、θz1；对应的广义自由度的广义力分别为：
Figure BDA0002909486110000061
动态啮合力为：
Figure BDA0002909486110000062
动能函数为：
Figure BDA0002909486110000063
势能函数为：
Figure BDA0002909486110000064
耗能函数为：
Figure BDA0002909486110000065
同理可得，从动轮的广义力、动能函数、势能函数及耗能函数。
步骤四：利用拉格朗日方法建立齿轮传动系统弯-扭-摆耦合非线性动力学方程，并对方程进行无量纲化，提取系统的稳态响应解；
针对主动轮应用拉格朗日方程：
Figure BDA0002909486110000066
式中，T、U和V分别为动能函数、势能函数和耗能函数；zi为各自由度的广义坐标，
Figure BDA0002909486110000067
为各自由度的广义速度；Qi为除粘性耗散力以外的非保守广义力。
将各函数代入拉格朗日方程中可得到主动轮动力学方程，同理可得，从动轮的动力学方程。
为了便于非线性动力学方程的求解，引入如下无量纲参数：
τ＝ωnt、bc为位移标称尺度，X＝x/bc、X1＝x1/bc、X2＝x2/bc、Y1＝y1/bc、Y2＝y2/bc、Xb1＝xb1/bc、Xb2＝xb2/bc、Yb1＝yb1/bc、Yb2＝yb2/bc、Xb3＝xb3/bc、Xb4＝xb4/bc、Yb3＝yb3/bc、Yb4＝yb4/bc、ξ＝c/mωn、ωh＝ωm/ωn，可得到最终的主动轮无量纲方程。
步骤五：通过控制变量法，绘制单一内外激励变量取不同参数时系统的分叉图，提取系统稳定运动的参数区间。
步骤六：通过正交实验法，绘制多个内外激励变量取不同参数时系统的相轨迹图、庞加莱映射图、时间历程图，判断系统在多参数耦合作用下的稳定性。
步骤七：借助分叉图、相轨迹图等，以规避分叉、混沌等特殊非线性动力学行为为目标，得到参数可选区间，进而实现对齿轮传动系统的优化设计。
为进一步直观表述本发明的优越性，给定下述算例。
主、从动轮齿数分别为30、36；模数为3mm；中心距为99mm；压力角20°；重合度1.6732；主从动轮质量为0.6kg、0.85kg；主、从动轮转动惯量600kgmm、1200kgmm；轴承质量0.2kg、支撑刚度3×108N/m、支撑阻尼系数1.4；传动轴的质量0.2kg、弯曲刚度2.4×107N/m、阻尼系数0.0006。
为了求解方便需将无量纲化方程转化为状态方程：
Figure BDA0002909486110000071
其中，X为沿啮合线方向的无量纲位移；FM为无量纲外部激励；Fe为内部误差激励；s为啮合阻尼系数；ωh为无量纲啮合频率；Kb传动轴无量纲化弯曲刚度；Cb传动轴弯曲阻尼系数；Kbxy支撑轴承无量纲化支撑刚度；Cbxy支撑轴承阻尼系数；Mb1支撑轴承质量。利用Matlab软件可以绘制出齿轮传动系统的相轨迹图、庞加莱映射图、时间历程图以及齿轮副间的动态啮合力图。
通过控制变量法，固定其他参变量，以内部误差激励Fe为变量绘制出系统沿啮合线方向的无量纲位移随Fe变化的分叉图，如图3所示。通过观察图3可以看出，当系统参数Fe处于(-12.8 14.5)时，齿轮传动系统处于一倍周期运动状态；当控制参数Fe处于(-15.5-12.8)∪(14.5 17.7)时，齿轮传动系统的运动状态经倍周期分叉变化为二倍周期运动；继而随Fe绝对值的增大，系统逐渐演变为混沌状态。
为了进一步探究系统的运动状态在多参数耦合作用下的稳定性，可以绘制出系统的相轨迹图、庞加莱映射图。选定参数ωh＝0.1，K1＝0.65，s＝0.07，Fe＝11，Kbxy＝11时，图(8)中相轨迹为一条封闭曲线，且庞加莱映射图中仅有一个点，则说明系统处于稳定的单周期运动状态。当固定其他参数值时，选定内部误差激励Fe＝29时，图(9)中相轨迹在有限空间内处于杂乱无章的状态，且庞加莱映射图上表现为离散点集，则说明此时系统处于混沌运动状态。通过观察图(8)中的动态啮合力曲线可以发现系统在做单周期运动时动态啮合力也做相应的单周期运动，而图(9)中的动态啮合力则杂乱无章，且幅值波动较大，会严重影响齿轮传动的稳定性、准确性及可靠性。
与Fe类似，通过观察图4-7系统随无量纲化啮合频率ωh、啮合刚度K1、啮合阻尼系数s、支撑刚度Kbxy变化的分叉图，并且结合系统在多参数耦合作用下的稳定性分析，可以得到系统处于稳定运动状态时的参数区间表，如表1所示。
表1系统处于稳定运动时参数区间
无量纲化参数 参数区间
内部误差F<sub>e</sub> (-12.8 14.5)
啮合频率ω<sub>h</sub> (0 0.53)∪(0.53 0.74)
啮合刚度K<sub>1</sub> (0.62 0.95)
啮合阻尼系数s (0.038 0.089)
支撑刚度K<sub>bxy</sub> (10.5 20)
本发明通过对系统运动稳定性的判断可以得到系统稳定运动的参数区间，以使系统规避复杂的分叉、混沌、幅值突变等特殊的非线性动力学行为为目标，实现对齿轮传动系统的优化设计。
以上所述，仅为一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法的具体实施例，是为了便于本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内理解和应用本发明，但本发明的保护范围不局限于此，在本技术方案的基础上做出不需要经过创造性劳动的等效原理方法变化或者各种替换都在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，其特征在于，该优化设计方法具体步骤如下：
步骤一：提炼在重载偏载工况下影响齿轮传动系统运动准确性和平稳性的各种内外激励因素，其中包括时变啮合刚度、齿轮传递误差、齿侧间隙、时变啮合中心距以及偏载力矩；
步骤二：计算传动轴的弯曲变形，将轴等效为材质均匀且各项同性的梁单元，可将轴的横向位移变形描述为：
Figure FDA0002909486100000011
其中y(x,t)为轴的横向变形，Ni(x)为位移函数，ui(t)为两端节点位移；
步骤三：考虑到重载工况下支撑轴承、传动轴等原件发生弹性变形，可将其等效为弹簧-阻尼模型，提炼整个系统的动能函数、势能函数及耗散能函数；
步骤四：建立齿轮传动系统弯-扭-摆耦合非线性动力学方程，并对无量纲化后的方程进行求解，提取系统的稳态响应解；
步骤五：通过控制变量法，绘制单一内外激励变量取不同参数时系统的分叉图，提取系统稳定运动的参数区间；
步骤六：通过正交实验法，绘制多个内外激励变量取不同参数时系统的相轨迹图、庞加莱映射图、时间历程图，判断系统在多参数耦合作用下的稳定性；
步骤七：通过参考分叉图、相轨迹图等，可以使系统规避分叉、混沌等特殊非线性动力学行为，得到参数可选区间，进而实现对齿轮的优化设计。
2.如权利要求1所述的一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，其特征在于，该方法适用于重载偏载工况下单级或多级直齿轮传动系统的优化设计。
3.如权利要求1所述的一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，其特征在于，该方法可以对齿轮的时变啮合刚度、啮合阻尼、齿侧间隙、齿轮传递误差、传动轴弯曲刚度及弯曲阻尼、支撑轴承刚度及阻尼进行参数优化。
4.如权利要求1所述的一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，其特征在于，该方法可以对齿轮传动系统的啮合频率、输入扭矩及输出扭矩进行参数优化，使系统避开相应的分叉、混沌等复杂的非线性运动状态区间。
5.如权利要求1所述的一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，其特征在于，步骤一中，在计算传动轴在弯曲变形时，仅考虑传动轴两端的横向位移，n＝2，则传动轴在x、y方向的弹性变形可表示为：
Figure FDA0002909486100000021
其中：
xbi(i＝1、2)，为传动轴支撑端变形量；
δi＝li/l(i＝1、2)；
li，为齿轮旋转中心到相应轴承质心的距离；
l，为传动轴的长度。
6.如权利要求1所述的一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，其特征在于，步骤一中，在考虑时变啮合中心距的情况下，齿轮副沿动态啮合线方向的相对位移λ为：
λ＝(x1-x2)sin(α-β)-(y1-y2)cos(α-β)+r1θz1-r2θz2-e(t) (11)
其中：
Figure FDA0002909486100000022
Δx＝x2-x1；Δy＝y2-y1；
上述表达式中的参数α为齿轮副动态啮合角；β为主、从动轮任意时刻质心相对位置角；x、y分别表示为主、从动轮任意时刻沿X、Y轴的振动位移。
7.如权利要求1所述的一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，其特征在于，该方法中将齿轮副等效为弹簧-阻尼模型，齿轮副间的动态啮合力可以表示为：
Figure FDA0002909486100000023
其中：
Figure FDA0002909486100000024
上述表达式中的k(t)为时变啮合刚度；c为啮合阻尼；f(λ)为间隙函数；2b为齿侧间隙。
8.如权利要求1所述的一种基于运动稳定性的面向重载与偏载齿轮传动系统的优化设计方法，其特征在于，步骤一中，偏载力矩可表示为：
T＝Fτ (5)
上述表达式中的F为动态啮合力；τ为偏载系数。
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