CN112936271A - 一种绳驱柔性机械臂及其三维空间静力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种绳驱柔性机械臂及其三维空间建模方法，该机械臂包括驱动基座、n个臂杆、n个关节、3n根绳索和末端执行器，n个关节分别连接在每相邻两个臂杆之间以及最端部的臂杆和末端执行器之间，3n根绳索的第一端均由驱动基座进行驱动，3n根绳索的第二端分别连接在n个关节的端部，其中每个关节由3根绳索驱动，臂杆的两端部以及末端执行器的一端分别设有旋转支架且每个臂杆的两端部分别设置的旋转支架的旋转轴相互垂直，每相邻两个臂杆的两个旋转支架以及最端部的臂杆和末端执行器的两个旋转支架分别通过销轴连接在万向节上以形成关节，且形成关节的每两个旋转支架之间相互垂直。本发明能够完成各类复杂高精度任务。

Description

一种绳驱柔性机械臂及其三维空间静力学建模方法

技术领域

本发明涉及机械人技术领域，尤其涉及一种绳驱柔性机械臂及其三维空间静力学建模方法。

背景技术

近些年来，随着科技水平的逐渐进步，复杂机械和设备层出不穷，而随之带来的检测维修，制造装配等问题日益凸显。高端制造设备其内部往往具有极其复杂的结构，同时也具有极少的空腔体积，这使得整个设备内部的环境非常受限。在这种受限环境下，目前大多数采用的检测与维修方式是人工介入，例如飞机发动机的维修方式是从机翼上将发动机进行拆卸，然后再拆解发动机，最后将发动机组装回去，整个过程带来的经济损失大约为40万美元。对于一些高温、高压、强辐射的环境，人工介入会对操作者的身体带来极大的损害，例如核电站中对泄漏管道进行检测维修。对操作空间进行限制的场合还有很多，例如在医学中，一些外科手术与微创检查都会深入人体内部进行操作，且在操作的过程中，要求不能触碰管道内壁。传统的工业机器人需要在空旷开阔的地方进行操作，很难在复杂受限的环境下执行任务，因此研究能够进入复杂受限的环境工作的机器人显得格外重要。仿蛇的绳驱机械臂在学术界与工业界受到广泛的关注。

绳驱机械臂具有广泛的应用前景，具有传统的工业机械臂不具备的特点，如：良好的弯曲特性、灵活性、控制的快速响应性。这些特点使得它能在狭小空间操作，完成太空探索、水下探索、核废料处理等高难度任务。

绳驱机械臂因为自由度多，关节之间相互耦合，所以对其的静力学建模较为复杂，特别是三维空间的静力学建模。而三维空间的静力学建模在绳索的强度校核、驱动控制机械臂运动等方面有着重要的应用。

中国专利文献CN110076775A公开了一种绳驱动连续型机械臂的三维静力学建模方法，它是基于伪刚体理论建立的中间连接部分为弹性材料的绳驱机械臂静力学，考虑了绳索拉力，末端外力，以及重力的因素；中国专利文献CN105150219A公开了一种基于绳索驱动的超冗余柔性机械臂，为用万向节连接的绳驱机械臂，这种机械臂能够在恶劣的环境下工作，因为所有的部件都是刚性的，温度与工况对其影响很小；此机械臂的驱动部分在集中在一个驱动箱中，暴露在外面的只有驱动绳索和机械臂臂段。但是以上所公开的方案中都存在各种问题，导致难以完成各类复杂高精度任务。

以上背景技术内容的公开仅用于辅助理解本发明的构思及技术方案，其并不必然属于本专利申请的现有技术，在没有明确的证据表明上述内容在本专利申请的申请日已经公开的情况下，上述背景技术不应当用于评价本申请的新颖性和创造性。

发明内容

为解决上述技术问题，本发明提出一种绳驱柔性机械臂及其三维空间静力学建模方法，能够完成各类复杂高精度任务。

为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案：

本发明的一个实施例公开了一种绳驱柔性机械臂，包括驱动基座、n个臂杆、n个关节、3n根绳索和末端执行器，n个所述关节分别连接在每相邻两个所述臂杆之间以及最端部的所述臂杆和所述末端执行器之间，3n根所述绳索的第一端均由所述驱动基座进行驱动，3n根所述绳索的第二端依次穿过所述臂杆两端设置的圆盘上的过绳孔以分别连接在n个所述关节的端部，其中每个所述关节由3根所述绳索驱动，所述臂杆的两端部以及所述末端执行器的一端分别设有旋转支架且每个所述臂杆的两端部分别设置的所述旋转支架的旋转轴相互垂直，每相邻两个所述臂杆的两个所述旋转支架之间以及最端部的所述臂杆和所述末端执行器的两个所述旋转支架之间分别通过销轴连接在万向节上以形成所述关节，且形成所述关节的每两个所述旋转支架之间相互垂直。

本发明的一个实施例公开了一种根据上述的绳驱柔性机械臂的三维空间静力学建模方法，包括：

S1：对所述绳驱柔性机械臂进行受力分析以列出力矩平衡方程，并通过所述力矩平衡方程建立根据所述绳索的拉力求解所述关节的力矩的关系式；

S2：通过根据所述绳索的拉力求解所述关节的力矩的关系式，建立根据所述关节的力矩求解所述绳索的拉力的关系式；

S3：建立所述末端执行器和各个所述臂杆的力平衡和力矩平衡方程，并结合根据所述关节的力矩求解所述绳索的拉力的关系式，求解得到所有绳索在三维空间的受力情况。

优选地，步骤S1具体包括：对所述绳驱柔性机械臂进行受力分析以列出力矩平衡方程为：

式中，T_iα代表第i关节中的俯仰角方向的力矩，T_iβ代表第i关节中的偏航角方向的力矩，r₀为圆盘的半径，

为第i+n×k号绳索与X轴的夹角，F_i+n×k为第i+n×k号绳索的拉力，n为关节或臂杆的数量；

通过所述力矩平衡方程建立根据所述绳索的拉力求解所述关节的力矩的关系式为：

式中，ⁱJ_Fjc∈R^2×3是驱动空间到关节空间的力雅可比矩阵在第i关节的子矩阵。

优选地，步骤S2中通过根据所述绳索的拉力求解所述关节的力矩的关系式，建立根据所述关节的力矩求解所述绳索的拉力的关系式为：

式中，z是任意的3维列向量，(ⁱJ_Fjc)⁺是ⁱJ_Fjc的伪逆矩阵，I₃是一个3阶的单位矩阵。

优选地，步骤S2还包括，根据所述关节的力矩求解所述绳索的拉力时使得驱动能量Q取得最小值，其中驱动能量Q的表达式为：

优选地，步骤S3中建立的所述末端执行器的力平衡和力矩平衡方程为：

式中，²ⁿF_cable→n+1为绳索对所述末端执行器的作用力在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿF_e为末端执行器所受的力在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿF_n→n+1为第n臂杆对所述末端执行器的作用力在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿG为末端执行器的重力在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿr₀为所述圆盘上的圆盘中心到绳孔中心的位置矢量在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿM_e为末端执行器所受的力矩在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿL_g为第n关节的中心到末端执行器的中心的位置矢量在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿM_n→n+1为第n臂杆对末端执行器的作用力矩在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿr_g为DH坐标系{2n-2}的原点指向末端执行器质心的位置矢量在DH坐标系{2n}下的表示，其中第n臂杆与末端执行器之间通过第n关节连接。

优选地，步骤S3中建立的各个所述臂杆的力平衡和力矩平衡方程为：

式中，^2i-2F_cable→i为绳索对第i臂杆的作用力在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2F_i+1→i为第i+1臂杆对第i臂杆的作用力在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2F_i-1→i为第i-1臂杆对第i臂杆的作用力在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2G₀为臂杆的重力在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2G_u为万向节的重力在DH坐标系{2i-2}下的表示，

为穿过第i关节的所有绳索对第i臂杆的近似作用力之和在DH坐标系{2i-2}下的表示，i_total表示穿过第i关节的绳索，^2i-2r₀为所述圆盘上的圆盘中心到绳孔中心的位置矢量在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2M_i+1→i为第i+1臂杆对第i臂杆的作用力矩在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2M_i-1→i为第i-1臂杆对第i臂杆的作用力矩在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2L₀为相邻关节中心之间的位置矢量在DH坐标系{2i-2}下的表示，L₀为相邻关节中心之间的长度，h为单个臂杆的吊耳高度。

本发明的一个实施例公开了一种绳驱柔性机械臂的绳索强度校核方法，包括上述的三维空间静力学建模方法的步骤S1～S3，以及采用寻优解的方法求解所述绳驱柔性机械臂在所有的构型中的最大拉力，并根据该最大拉力对所述绳索的强度进行校核。

优选地，其中的寻优解的方法为遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法或蚁群算法。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：本发明提出的绳驱柔性机械臂，其中的臂杆为垂直型，不仅能够增加在实际装配时的成功率，而且其中的万向节始终是以俯仰-偏航为一个运动模块，能够降低建模的复杂度，且该绳驱柔性机械臂采用万向节连接，而不是柔性材料连接，能适应温差较大，辐射较强的恶劣环境，增加其使用范围。

进一步地，以上述提出的绳驱柔性机械臂为基础，提出了其在三维空间任意位姿状态下的静力学模型，该模型综合考虑了末端外力，外力矩，万向节重力，臂杆重力，绳索拉力，绳索对臂杆的支持力等，仅忽略了绳与圆孔之间的摩擦力，模型具有较高的计算精度，进一步能够完成各类复杂高精度任务。并在该三维空间静力学模型的基础上，提出用遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法或蚁群算法进行优化求解，计算在机械臂所有可能的位姿状态下，绳索所会承受的最大拉力，以此来完成绳索的强度校核，只要绳索的最大抗拉力超过这个数值，那么机械臂无论如何运动绳索都不会断裂，从而防止绳索在使用过程中发生断裂。

附图说明

图1是本发明优选实施例的绳驱柔性机械臂的结构示意图；

图2是图1机械臂的臂杆结构与现有技术的臂杆结构的对比图；

图3是图1机械臂的关节结构示意图；

图4是图1机械臂的DH坐标系的建立示意图；

图5是图1机械臂的静力学建模分析图；

图6a是图1机械臂中的某段臂杆的布绳圆盘模型图；

图6b是图1机械臂中的某段臂杆的布绳圆盘简图；

图7是图1机械臂的末端执行器的受力分析图；

图8是图1机械臂的第i臂杆的受力分析图；

图9是遗传算法的流程图；

图10是采用遗传算法迭代200次的进化曲线图。

具体实施方式

为了使本发明实施例所要解决的技术问题、技术方案及有益效果更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

需要说明的是，当元件被称为“固定于”或“设置于”另一个元件，它可以直接在另一个元件上或者间接在该另一个元件上。当一个元件被称为是“连接于”另一个元件，它可以是直接连接到另一个元件或间接连接至该另一个元件上。另外，连接既可以是用于固定作用也可以是用于电路连通作用。

需要理解的是，术语“长度”、“宽度”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明实施例和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。

此外，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括一个或者更多该特征。在本发明实施例的描述中，“多个”的含义是两个或两个以上，除非另有明确具体的限定。

通过分析研究，发明人发现在中国专利文献CN110076775A中存在以下缺陷：(1)中间的连接部件为弹性材料，这种材料在不同温度，不同工况条件下会有不同的弹性系数，工作时不确定性因素较多使得误差大幅增加，导致难以完成各类复杂高精度任务；(2)未考虑绳对圆盘的支持力作用，穿过圆盘的绳对圆盘有一定的支持力，这个支持力能够减少计算的绳拉力与实际的绳拉力之间的误差。在中国专利文献CN105150219A中存在以下缺陷：(1)臂型为平行型，即关节的运动是俯仰-偏航-偏航-俯仰(PYYP)，这增加了机械臂的建模复杂性和装配难度。(2)未对机械臂进行三维任意位姿下的静力学分析，没有提出绳索的强度校核方法。针对中间连接部件为弹性材料的弊端，本发明使用刚性万向节连接机械臂每段臂杆，这样使机械臂在各种恶劣环境下都能使用，与温度、辐射等条件无关。针对臂杆为平行型所带来的装配上与建模上的困难，本发明使用垂直型臂杆，保证关节的运动始终是俯仰-偏航(PY)为一个运动模块，提升装配成功率以及简化模型。

基于上述研究中所存在的缺陷，本发明提出的机械臂整体的结构如图1所示，本实施例中以包括五个关节的机械臂为例，其中包括驱动基座30，5个臂杆11、12、13、14、15，5个关节21、22、23、24、25，15根绳索和末端执行器16(也是第6臂杆)，图1中末端执行器16上夹取了一重物块40。结合图2和图3，5个关节分别连接在每相邻两个臂杆之间以及最端部的臂杆15和末端执行器16之间，15根绳索的第一端均由驱动基座30进行驱动，15根绳索的第二端依次穿过臂杆两端设置的圆盘上的过绳孔61以分别连接在5个关节的端部，其中每个关节由3根绳索驱动，臂杆的两端部以及末端执行器的一端分别设有旋转支架且每个臂杆的两端部分别设置的旋转支架的旋转轴101、102相互垂直，每相邻两个臂杆的两个旋转支架以及最端部的臂杆和末端执行器的两个旋转支架分别通过销轴52连接在万向节51上以形成关节，且形成关节的每两个旋转支架之间相互垂直。

每个万向节的俯仰运动和偏航运动需要三根绳索驱动，因此穿过第1臂杆11的绳索最多，为15根，穿过第5臂杆15的绳索最少，为3根，穿过第5臂杆15的三根绳索最终控制着末端执行器。本实施例中只是示意，本发明的推导适用于任意关节数量，各个臂杆之间依靠万向节连接，一个万向节就是一个关节，驱动箱驱动绳索运动，绳索驱动臂杆运动，臂杆绕关节可以做俯仰运动和偏航运动，故一个关节有两个自由度。此机械臂的臂杆如图2的右边所示，臂杆的第一旋转轴101和第二旋转轴102是垂直的，而不是像左边一样是平行的，这样能够增加实际在机械臂臂杆装配时的成功率，并且简化推导的模型。臂杆之间通过万向节51相连，如图3所示。

对于图1所示的机械臂模型，其臂杆是垂直型的，按照机器人学中经典的DH建模方法。可以建立图4所示的DH坐标系，通过DH坐标系之间的变化法则能够得到如表1所示的DH参数表，表中θ_l是相邻两连杆公垂线的夹角，d_l是第l个关节角(俯仰角或偏航角)所连接的相邻两连杆公垂线间的距离，a_l是连杆长度，α_{DH_l}是连杆扭转角，L₀为相邻关节中心之间的长度，L_g为第5关节(与末端执行器相邻的在末端的关节)到末端执行器中心的距离，α_i是第i关节的俯仰角，β_i是第i关节的偏航角，第i关节的i可取值为1、2、3、4、5。

表1绳驱机械臂的DH坐标系的参数表

在绳驱超冗余机械臂的控制过程中，可能需要实时地分析绳索的受力情况，而在机械臂各个关节的运动速度较慢的情况下，可以将机械臂的受力情况简化为静力学分析，即机械臂始终处于平衡状态。

驱动空间是指绳驱机械臂中绳索相关的物理参数，如绳索的驱动拉力、绳索的驱动速度、绳索的变化长度等，本方案中对于静力学的建模讨论的是绳索的驱动拉力；关节空间是指绳驱机械臂中关节相关的物理参数，如：关节力矩、关节角度、关节角速度等，本方案中对于静力学的建模讨论的是关节力矩；工作空间是指绳驱机械臂中末端相关的物理参数，如：末端所受力矩、末端所受外力、末端速度等，本方案中对于静力学的建模讨论的是末端所受的外力和外力矩。在静力学分析中，驱动空间包含的是各个绳索拉力组成的矩阵；关节空间包含的是机械臂各个关节的力矩组成的矩阵；工作空间包含的是机械臂末端执行器所受的力和力矩组成的矩阵。这三者之间的关系如图5所示。图5中F_i代表第i号驱动绳索的拉力，F_i+5代表第i+5号驱动绳索的拉力，F_i+10代表第i+10号驱动绳索的拉力，有对应关系。T_iα代表第i关节中的俯仰角方向的力矩，T_iβ代表第i关节中的偏航角方向的力矩，工作空间中的F_ex，F_ey，F_ez分别代表末端执行器所受的力和T_ex，T_ey，T_ez代表末端执行器所受的力矩。

1、驱动空间到关节空间的映射

驱动空间到关节空间的映射关系实际上就是已知绳索拉力，求解关节角的力矩。在以下的受力分析中，不考虑布绳圆盘与绳之间的摩擦力，且布绳圆盘只是改变绳拉力的方向，而不改变其大小。如图6a和图6b中绘制出了实际使用的布绳圆盘上，绳孔的分布情况。

在图6b中，画出了控制第1关节的第1号绳索、第6号绳索、第11号绳索的受力情况，“×”代表受力方向垂直纸面向内，绳索按照逆时针进行编号。对图6b进行受力分析，因为整个机械臂的驱动部分固定在某个固定基座上，而且万向节能够提供空间的X、Y、Z方向的力，因此利用力平衡的条件求解出来的只是万向节上承担的力以及固定基座上承担的力，对绳索拉力的分析没有帮助。本小节对机械臂的受力分析只列出力矩平衡方程，以寻找绳索拉力与关节力矩之间的关系，而不列力平衡方程。

将绳中的三个力对坐标原点取矩，将力矩分解到X轴和Y轴方向上，分解的结果就是关节空间中的力矩。关节空间中的力矩与驱动空间的力满足如下关系式：

式中，r₀——圆盘的半径；

——第i+5k号绳索与X轴的夹角；

F_i+5k——第i+5k号绳索的拉力。

由于绳孔均匀分布，故有以下关系：

驱动空间的力到关节空间的力矩这一映射关系，可以用一个矩阵来描述，不妨记这个矩阵为ⁱJ_Fjc∈R^2×3，其表示的物理含义是：驱动空间到关节空间的力雅可比矩阵在第i关节的子矩阵。根据式(1)和式(2)，并结合ⁱJ_Fjc的物理含义可知：

式中，T_iα——第i关节的俯仰力矩；

T_iβ——第i关节的偏航力矩。

2、关节空间到驱动空间的映射

关节空间到驱动空间的映射关系实际上就是已知关节角的力矩，求解绳索拉力。由式(5)可知，ⁱJ_Fjc是行满秩的，因此通过关节力矩反解驱动空间的力矩一定是可以得到精确解的。由式(4)可知，绳索上的力一定满足：

式中，z是任意的3维列向量，(ⁱJ_Fjc)⁺是ⁱJ_Fjc的伪逆矩阵，I₃是一个3阶的单位矩阵，式(7)为其表达式

(ⁱJ_Fjc)⁺＝(ⁱJ_Fjc)^T(ⁱJ_Fjc(ⁱJ_Fjc)^T)^-1 (7)

式(6)揭示了根据关节的力矩求解绳索拉力存在无穷解，多解的存在就带来了择优问题。当各个绳索的驱动正常时，从最小驱动能量的角度，应当选择最小范数解，即从式(6)找到一组解，使得式(8)中的Q取得最小值。

当某一绳索驱动不正常时，所选择的解应当保证不正常的绳索驱动力尽可能地小，甚至为0。

3、关节空间与工作空间的映射关系

因为关节空间与工作空间的静力平衡方程同时包含了关节力矩与末端执行器的受力，所以这里分析工作空间与关节空间的映射关系。

假设末端执行器的受力为：

对于末端执行器而言，其受力情况如图7所示。图中F_e，M_e代表末端所受的力和力矩；mg代表末端执行器的重力；F₅，F₁₀，F₁₅代表第5，10，15号绳索的拉力；F_5→6代表第5臂杆对第6臂杆(即为末端执行器)的作用力；M_5→6代表第5臂杆对第6臂杆(即为末端执行器)的作用力矩。

末端执行器的力平衡和力矩平衡方程为：

其中

式中：字母左上方的编号10代表向量在DH坐标系{10}下的表示，例如¹⁰F_e代表末端执行器所受的力在DH坐标系{10}下的表示，其他矢量依此类推。¹⁰F_cable→6代表绳索对第6臂杆(末端执行器)的作用力在DH坐标系{10}下的表示；¹⁰R₀代表在DH坐标系{0}相对于DH坐标系{10}的旋转变换矩阵；¹⁰r_g代表DH坐标系{8}的原点指向末端执行器质心的位置矢量在DH坐标系{10}下的表示，¹⁰T₁₀(1∶3，4)为DH坐标系{10}相对于DH坐标系{10}的位置矢量(代表¹⁰T₁₀中第1～3行且位于第4列的子矩阵，其中的括号内的逗号前面的代表行，逗号后面的代表列，A∶B代表从第A行或列到第B行或列)，¹⁰T₈(1∶3，4)为DH坐标系{8}相对于DH坐标系{10}的位置矢量(代表¹⁰T₈中第1～3行且位于第4列的子矩阵，其中的括号内的逗号前面的代表行，逗号后面的代表列，A∶B代表从第A行或列到第B行或列)，M_5x为关节5提供的沿X轴方向的力矩大小，r_g为DH坐标系{8}的原点指向末端工具的质心的长度。

式(9)中将力与力矩平衡方程都放在坐标系{10}中分析，因为坐标系{10}的X轴始终与末端执行器的的中轴线重合。重合之后能带来两点静力分析上的好处，其一是在力矩平衡方程中，由于万向节的特性，前段臂杆对末端执行器能提供沿X轴方向的力矩M_5x；其二是可以与前述分析的力矩T_iα，T_iβ联系起来。

在力矩平衡方程的分析中，将所有的力对坐标系{8}的原点取矩，而不是坐标系{10}的原点。因为对坐标系{8}的原点取矩可以消除前段臂杆对末端执行器的未知力F_5→6的作用，使力矩平衡方程尽可能简单。因此式(9)中的¹⁰r_g表示坐标系{8}的原点指向末端执行器质心的位置矢量在坐标系{10}下的表示，可以写为式(10)中的形式。

式(9)中包含6个方程、9个未知数，选取一个合适的z使得式(8)中的Q取得最小值，从而再引入3个方程，这使得式(9)有唯一解。

接着对第i臂杆进行分析，其中下述所分析的为中间的第2、3、4、5臂杆，第6臂杆即为末端执行器。

对于中间的第i臂杆而言，其受力情况如图8所示。图8中F_{app，i_total}代表穿过第i关节的绳索对第i臂杆的近似作用力，i_total表示穿过第i关节的绳索；m₀g代表臂杆的重力；m_ug代表万向节的重力；F_i-1、F_i+4、F_i+9代表第i-1、i+4、i+9号绳索的拉力；F_i+1→i代表第i+1臂杆对第i臂杆的作用力；F_i-1→i代表第i-1臂杆对第i臂杆的作用力；M_i+1→i代表第i+1臂杆对第i臂杆的作用力矩；M_i-1→i代表第i-1臂杆对第i臂杆的作用力矩。

图8中会出现“坐标系{-1}”以及“坐标系{-2}”，这均代指设置在驱动基座部分的坐标系。第i臂杆的静力平衡方程为式(11)。

式中：

由牛顿第三定律可得：

式中，F_i-1、F_i+4、F_i+9分别为第i-1、i+4、i+9号绳索的拉力，^2i-2R_2i为坐标系{2i}相对于坐标系{2i-2}的旋转变换矩阵，^2i-2T_2i-4(1∶3，4)为坐标系{2i-4}相对于坐标系{2i-2}的位置矢量，M_(i-1)x为第i-1关节对第i关节沿X轴方向力矩大小，^2i-2R₀为坐标系{0}相对于坐标系{2i-2}的旋转变换矩阵。

式(11)考虑了万向节的重力G_u以及穿过第i关节的绳索对第i臂杆的近似作用力F_{app，i_total}，^2i-2G_u代表万向节的重力矢量G_u在坐标系{2l-2}的坐标表示，^2i-2F_{app，i_total}代表近似作用力F_{app，i_total}在坐标系{2i-2}的坐标表示。同样，这里选坐标系{2l-2}为力学分析的相对坐标系也是出于前述的两点好处。

从式(11)与式(12)中可知，这里的近似作用力^2i-2F_{app，i_total}有两点近似，一是不考虑绳与孔之间的摩擦，二是认为^2i-2F_{app，i_total}的方向与坐标系{2l-2}的YOZ平面平行。其中^2i-2F_{app，i_total}的大小是利用叠加原理得到的，当偏航角为0时，力矢量为[0 F_isinα_i 0]^T，当俯仰角为0时，力矢量为[0 0 -F_isinβ_i]^T，因此将两者叠加即可得到^2i-2F_app，i＝[0 F_isinα_i-F_isinβ_i]^T，其中α_i是第i关节的俯仰角，β_i是第i关节的偏航角，F_m是第i号绳索的拉力。

代表的是穿过第i关节的所有绳索i_total对第i臂杆的近似作用力之和，例如：当i＝3时，穿过第3关节对第3臂杆有作用力的绳索序号有i_total＝3，4，5，8，9，10，13，14，15号，共9根绳，对于其它第i关节，依此类推。

式(12)中^2i-2T_2i-4代表从坐标系{2i-2}到坐标系{2i-4}的齐次变换矩阵，而^{2i- 2}T_2i-4＝^2i-2T_2i-3 ^2i-3T_2i-4，其中^lT_l-1的表达式为式(14)：

^2i-2R_2i代表从坐标系{2i-2}到坐标系{2i}的旋转变换矩阵，而^2i-2R_2i＝^2i-2R_2i-1 ^{2i- 1}R_2i，其中^l-1R_l的表达式为式(15)：

公式(14)、(15)中的θ_l，α_{DH_l}，a_l，d_l为机械臂DH坐标系的参数；

联立式(6)、(9)和(11)，在式(6)中按最小二乘解求解，即可解出所有绳索在三维空间中的受力情况。

4、采用遗传算法完成绳索强度校核

遗传算法是根据大自然中生物体进化规律而设计提出的一种基于自然选择和遗传学机理的计算模型，可以通过模拟自然进化过程来搜索空间中的最优解。该算法将问题的求解过程转换成类似生物进化中的染色体基因的交叉、变异等，主要通过编码、初始群体生成、适应度评估、选择、交叉、变异等过程。

在给定俯仰角和偏航角的可行范围内，任意一组可行角度通过式(6)(9)(11)都能求出对应的一组绳索拉力，而遗传算法可以求解出在无穷组可行角度中那组对应着最大绳索拉力的角度，并给出这个最大绳索拉力。

下述将遗传算法结合应用在绳驱机械臂绳索强度校核中，用遗传算法求解绳索最大拉力的过程如图9所示。下面依次讲述图9中的具体流程：

S1：设置遗传算法参数。在进行遗传算法计算之前，需要设置个体数目、最大遗传代数、代沟率、交叉概率、变异概率。这里不妨设置个体数目为100个，最大遗传代数为200个，代沟率为0.95，交叉概率为0.5，变异概率为0.01，每个变量设置20位二进制编码。

S2：初始化种群并编码。因为5关节机械臂有10个自由度，所以一个个体的染色体是200位的二进制编码，然后根据用户输入的个体数目初始化种群，个体数目越多，种群多样性越好，越容易找到全局最优解。

S3：二进制转化为十进制。根据用户设置的俯仰角和偏航角的可行范围，将200位的二进制编码映射成10个在可行范围内的十进制数。

S4：适应度计算。10个十进制数构成一个个体，每个个体都能计算出此时所有绳索中的拉力最大值。最大拉力值越大的个体，其适应度越大。

S5：自然选择。按照随机遍历采样的方式，从100个个体中选择95个适应度较大的个体，同一个体可以被选中多次。这95个个体将作为交叉变异的子代。

S6：交叉。一个个体以0.5的概率决定是否与其临近个体进行交叉，若这个个体进行一次交叉后，不会与其它个体进行第二次交叉。这里采用的交叉方式为多点交叉，因为每个个体有200位二进制编码，代表着10个自由度，采用单点交叉会减缓种群进化速度，采用两点交叉会使得种群多样性不足，所以多点交叉的方式与10个自由度都变化这一需求相契合，采取多点交叉效果最佳。

S7：变异。进行交叉后的优秀个体的每个二进制位以0.01的概率进行变异，变异操作可以丰富种群多样性。

S8：重组。先计算95个子代的最大拉力值，然后替代父代中最大拉力值较小的95个个体，最后组成有100个个体的新种群。

重复S4-S8，直到种群进化了给定的200次迭代次数，最后输出最优解。

假设绳驱机械臂的末端执行器受到竖直向下的3g重力作用，各关节俯仰角的可行范围是[-35°，35°]，各关节偏航角的可行范围是[-35°，35°]，臂杆长度L₀＝96mm，末端执行器长度L_g＝110mm，基座臂杆长度L_b＝81mm，吊耳高度h＝15mm，分布绳孔半径r₀＝27.5mm。本发明采用安装Sheffield遗传算法工具箱的MATLAB软件对包含5个关节的绳驱机械臂进行分析，用遗传算法求解的迭代进化曲线如图10所示，从图中可以看到，当进化到100代之后，种群基本趋于稳定，绳索拉力的最大值维持在1900N附近，这说明设置迭代次数为200是合理的。并且算得最大拉力值为为1940.67N，其对应的关节角度为[-4.47°，-33.11°，-34.90°，34.97，-35.00°，-34.87°，-34.85°，-34.97°，-34.74°，-31.13°]。这说明只要保证绳索强度大于1940.67N，这样无论机械臂处于何种关节状态，绳索都不会断裂。上述基于遗传算法的绳索强度校核适用于任意臂杆数量的绳驱机械臂。

本发明优选实施例提出了一种解决万向节连接的绳驱机械臂三维空间静力学建模方法，并使用遗传算法解决绳索强度校核。与中国专利文献CN105150219A不同的是，这里的机械臂臂杆是垂直型，不是平行型，垂直型臂杆的设计能够降低装配难度，简化机械臂运动学及静力学模型；并针对这种臂杆类型建立静力学模型和完成对机械臂绳索的强度校核。

针对机械臂三维空间的静力学模型，本发明考虑了绳索拉力、绳对布绳圆盘的支持力、臂杆的重力、万向节的重力、外力，忽略了绳与孔之间的摩擦力，建立了较为完备三维空间静力学模型，模型具有较高的计算精度，进一步能够完成各类复杂高精度任务。根据三维空间的静力学模型，能够在低速情况下控制机械臂运动，并且静力学模型是动力学模型的基础，完备的静力学能够为未来基于牛顿欧拉法的动力学模型做铺垫。进一步地，针对机械臂在各种位姿状态下的受力情况，本发明提出了基于遗传算法的求解驱动绳索最大拉力的方法，以此来完成驱动绳索的强度校核，给出驱动绳索所承受的最大拉力，从而保证机械臂无论在何种位姿状态下，机械臂绳索都不会发生断裂。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干等同替代或明显变型，而且性能或用途相同，都应当视为属于本发明的保护范围。

Claims (9)

1.一种绳驱柔性机械臂，其特征在于，包括驱动基座、n个臂杆、n个关节、3n根绳索和末端执行器，n个所述关节分别连接在每相邻两个所述臂杆之间以及最端部的所述臂杆和所述末端执行器之间，3n根所述绳索的第一端均由所述驱动基座进行驱动，3n根所述绳索的第二端依次穿过所述臂杆两端设置的圆盘上的过绳孔以分别连接在n个所述关节的端部，其中每个所述关节由3根所述绳索驱动，所述臂杆的两端部以及所述末端执行器的一端分别设有旋转支架且每个所述臂杆的两端部分别设置的所述旋转支架的旋转轴相互垂直，每相邻两个所述臂杆的两个所述旋转支架之间以及最端部的所述臂杆和所述末端执行器的两个所述旋转支架之间分别通过销轴连接在万向节上以形成所述关节，且形成所述关节的每两个所述旋转支架之间相互垂直。

2.一种根据权利要求1所述的绳驱柔性机械臂的三维空间静力学建模方法，其特征在于，包括：

S1：对所述绳驱柔性机械臂进行受力分析以列出力矩平衡方程，并通过所述力矩平衡方程建立根据所述绳索的拉力求解所述关节的力矩的关系式；

S2：通过根据所述绳索的拉力求解所述关节的力矩的关系式，建立根据所述关节的力矩求解所述绳索的拉力的关系式；

S3：建立所述末端执行器和各个所述臂杆的力平衡和力矩平衡方程，并结合根据所述关节的力矩求解所述绳索的拉力的关系式，求解得到所有绳索在三维空间的受力情况。

3.根据权利要求2所述的三维空间静力学建模方法，其特征在于，步骤S1具体包括：对所述绳驱柔性机械臂进行受力分析以列出力矩平衡方程为：

式中，T_iα代表第i关节中的俯仰角方向的力矩，T_iβ代表第i关节中的偏航角方向的力矩，r₀为圆盘的半径，

为第i+n×k号绳索与X轴的夹角，F_i+n×k为第i+n×k号绳索的拉力，n为关节或臂杆的数量；

通过所述力矩平衡方程建立根据所述绳索的拉力求解所述关节的力矩的关系式为：

式中，ⁱJ_Fjc∈R^2×3是驱动空间到关节空间的力雅可比矩阵在第i关节的子矩阵。

4.根据权利要求3所述的三维空间静力学建模方法，其特征在于，步骤S2中通过根据所述绳索的拉力求解所述关节的力矩的关系式，建立根据所述关节的力矩求解所述绳索的拉力的关系式为：

式中，z是任意的3维列向量，(ⁱJ_Fjc)是ⁱJ_Fjc的伪逆矩阵，I₃是一个3阶的单位矩阵。

5.根据权利要求4所述的三维空间静力学建模方法，其特征在于，步骤S2还包括，根据所述关节的力矩求解所述绳索的拉力时使得驱动能量Q取得最小值，其中驱动能量Q的表达式为：

6.根据权利要求2所述的三维空间静力学建模方法，其特征在于，步骤S3中建立的所述末端执行器的力平衡和力矩平衡方程为：

式中，²ⁿF_cable→n+1为绳索对所述末端执行器的作用力在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿF_e为末端执行器所受的力在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿF_n→n+1为第n臂杆对所述末端执行器的作用力在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿG为末端执行器的重力在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿr₀为所述圆盘上的圆盘中心到绳孔中心的位置矢量在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿM_e为末端执行器所受的力矩在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿL_g为第n关节的中心到末端执行器的中心的位置矢量在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿM_n→n+1为第n臂杆对末端执行器的作用力矩在DH坐标系{2n}下的表示，²ⁿr_g为DH坐标系{2n-2}的原点指向末端执行器质心的位置矢量在DH坐标系{2n}下的表示，其中第n臂杆与末端执行器之间通过第n关节连接。

7.根据权利要求2所述的三维空间静力学建模方法，其特征在于，步骤S3中建立的各个所述臂杆的力平衡和力矩平衡方程为：

式中，^2i-2F_cable→i为绳索对第i臂杆的作用力在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2F_i+1→i为第i+1臂杆对第i臂杆的作用力在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2F_i-1→i为第i-1臂杆对第i臂杆的作用力在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2G₀为臂杆的重力在DH坐标系{2i-2}下的表示，^{2i- 2}G_u为万向节的重力在DH坐标系{2i-2}下的表示，

为穿过第i关节的所有绳索对第i臂杆的近似作用力之和在DH坐标系{2i-2}下的表示，i_total表示穿过第i关节的绳索，^2i-2r₀为所述圆盘上的圆盘中心到绳孔中心的位置矢量在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2M_i+1→i为第i+1臂杆对第i臂杆的作用力矩在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2M_i-1→i为第i-1臂杆对第i臂杆的作用力矩在DH坐标系{2i-2}下的表示，^2i-2L₀为相邻关节中心之间的位置矢量在DH坐标系{2i-2}下的表示，L₀为相邻关节中心之间的长度，h为单个臂杆的吊耳高度。

8.一种绳驱柔性机械臂的绳索强度校核方法，其特征在于，包括权利要求2至7任一项所述的三维空间静力学建模方法的步骤S1～S3，以及采用寻优解的方法求解所述绳驱柔性机械臂在所有的构型中的最大拉力，并根据该最大拉力对所述绳索的强度进行校核。

9.根据权利要求8所述的绳索强度校核方法，其特征在于，其中的寻优解的方法为遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法或蚁群算法。

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