CN112883508B - 一种基于平行空间滤波的弹簧阻尼系统状态估计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于平行空间滤波的弹簧阻尼系统状态估计方法，属于参数估计技术领域。本申请通过平行空间集员估计方法表示状态可行集，不需要知道模型噪声的先验分布或要求噪声满足高斯分布，增加了状态估计的实用性和可靠性；通过平行空间对系统状态的包络，解决了椭球、全对称多胞体等几何体集员辨识保守性大的问题，更高效、准确地对状态进行估计；Stirling展开只需要设置合理的步长，不需要计算雅可比矩阵、海森矩阵，减小了计算量。由于stirling不涉及微分运算或求导运算，只需插值的四则运算，因而适用电机的死驱系统或饱和系统等非线性程度较严重的系统。
Description
技术领域
本发明涉及一种基于平行空间滤波的弹簧阻尼系统状态估计方法，属于参数估计技术领域。
背景技术
弹簧阻尼系统是实际工业生产过程涉及机械振动系统中的一类普遍使用的结构，是一种典型的非线性系统，在生活中具有相当广泛的用途，例如汽车减震装置、用来消耗碰撞能量的缓冲器等。它在工业生产中主要起到吸收和耗散生产能量的作用，其吸收和耗散能量的大小关系到生产过程的安全稳定，因此保证系统的可控性和安全性是一项重要课题。准确连续地估计出系统的状态参数是对其进行有效控制和保证安全性的前提，对整个系统的稳定运行有着重要意义。
传统对于非线性系统的状态参数估计是贝叶斯经典方法，例如扩展卡尔曼滤波、粒子滤波等，它要求对噪声的概率分布满足先验性高斯假设。但实际由于生产过程的复杂性和未知性，总不能得到噪声的精确分布，或者虽然已知噪声分布，但属于非高斯或非白噪声情况，这些情形使得基于概率的状态估计结果不精确甚至失灵；另一方面，传统处理非线性系统的泰勒展开手段需要求雅可比矩阵或海森矩阵，计算量大且模型可微分性要求较高，对于一些非线性程度较高的系统级数发散。
为克服实际环境中扰动和噪声的分布局限性，现有的非线性系统状态估计通过椭球、全对称多胞体等集合表示状态可行集，通过集合的交并运算得出状态的估计值。但这种方法存在保守性较大、精确度不高等问题。
发明内容
为了进一步降低估计的状态可行集的保守性、提高估计的精确度，本发明提供了一种基于平行空间滤波的弹簧阻尼系统状态估计方法，所述方法包括：
步骤一：建立弹簧阻尼系统的非线性离散模型；
步骤二：对步骤一建立的弹簧阻尼系统的非线性离散模型中的非线性部分做Stirling一阶展开，并给高阶误差项定界；
步骤三：引用超平行体分别包络高阶误差项、噪声项和线性化部分，并对三者的闵可夫斯基和进行降维得到预测步超平行体Pk+1|k；
步骤四：利用k+1时刻弹簧阻尼系统的非线性离散模型的输出数据构建线性观测集Sk+1；
步骤五：对预测步超平行体Pk+1|k与线性观测集Sk+1求交集得到k+1时刻包含状态参数的超平行体Pk+1|k+1，其中心点即为k+1时刻状态参数的估计值。
可选的，所述步骤一：建立弹簧阻尼系统的非线性离散模型，包括：
弹簧阻尼系统的非线性离散通用模型为：
其中，表示k时刻弹簧状态向量，包括弹簧位移、速度和力矩，/>表示k时刻的弹簧系统物理量的观测值；f(xk)和h(xk)分别是关于xk的非线性函数，和/>分别是过程噪声和测量噪声，二者均是未知有界量。
可选的，所述步骤二：对步骤一建立的弹簧阻尼系统的非线性离散模型中的非线性部分做Stirling一阶展开，并给高阶误差项定界，包括：
式(S1)中的f(xk)＝[f1(xk) f2(xk) ... fn(xk)]T是n×1维向量；对f(xk)中的每一个分量fi(xk)和h(xk+1)分别在k时刻的状态估计值和k+1时刻的预测值/>处做Stirling一阶展开，得到：
其中，h为步长，H.O.T1和H.O.T2为高阶误差项，Fk是Stirling展开矩阵参数；
且
构造凸函数g1(xk)、g2(xk)，设两者之差表示fi(xk)，则：
fi(xk)＝g1(xk)-g2(xk) (S6)
令线性化部分由式(S2)和(S6)确定H.O.T1表达式：
是fi(xk)展开后的高阶误差项；根据凸函数的微分性质对式(S8)进行放缩，得到H.O.T1满足：
其中分别为g1(xk)和g2(xk)的线性化部分且：
其中Stirling展开矩阵参数G1k、G2k由式(S4)形式计算；
将已知k时刻超平行体Pk|k的2n个顶点带入式(S9)和(S10)，取最大值和最小值/>得到H.O.T1的边界：
其中和/>是/>的最小值和最大值，i＝1，2，…，n。
可选的，所述步骤三：引用超平行体分别包络高阶误差项、噪声项和线性化部分，并对三者的闵可夫斯基和进行降维得到预测步超平行体Pk+1|k，包括：
3.1构造高阶误差项超平行体PE；
用超平行体包络H.O.T1，其中：
3.2构造过程噪声项超平行体Pw；
设过程噪声ωk的边界为εw，则包络ωk的超平行体为其中：
pω＝{0，0，...，0} (S16)
Tw＝diag{εw，εw，...，εw} (S17)
3.3构造线性化部分超平行体PL；
设k时刻包含状态向量xk的超平行体为带入到线性化部分/>后的超平行体表示为/>
3.4构造预测步超平行体Pk+1|k；
计算三者的闵可夫斯基和得到预测步全对称多胞体，即带入参数可得：
Pk+1|k＝Zk+1|k↓ (S19)
其中Zk+1|k↓代表降维，采用奇异值分解(svd)或其他降维手段将[Te，Tw，FkTk|k]降至n×n得到预测步超平行体Pk+1|k。
可选的，所述步骤四：利用k+1时刻弹簧阻尼系统的非线性离散模型的输出数据构建线性观测集Sk+1，包括：
根据k+1时刻弹簧阻尼系统的非线性离散模型的输出数据得到线性观测集合：
其中
变量上标i表示此向量的第i个元素，表示vk第i个元素的边界值，/>表示H.O.T2的第i个元素，其上下界为/>计算参照S3～S13。
可选的，所述步骤五：对预测步超平行体Pk+1|k与线性观测集Sk+1求交集得到k+1时刻包含状态参数的超平行体Pk+1|k+1，包括：
将Sk+1分解为m个条带，并依次与Pk+1|k相交：
计算所得超平行体再依次与/>相交得到其中心点/>就是(k+1)时刻的状态参数估计值。
可选的，所述计算包括：
令Pk+1|k＝Pk+1|k(xc，T)，T＝[t1，t2，...，tn]，pn+1和cn+1由式(S24)、(S25)计算：
设置参量：
5.1：得到紧缩条带表达式：
5.2：对于i＝1，2，...，n，当pn+1ti＝0时，超平行体不紧缩，即 当pn+1ti≠0时，设置参量：
得到紧缩超平行体表达式：
5.3：计算得到更新后的/>
当i*＝(n+1)时，当i*≠(n+1)时，得到表达式：
得到(k+1)时刻包含状态参数的超平行体其中心点/>就是(k+1)时刻的Pk+1|k与/>相交后的状态参数估计值；令/>T＝T*进行(S24)～(S40)以计算重复迭代直到计算出/>
可选的，所述方法还包括获取预定时间范围内弹簧的输出数据。
可选的，弹簧阻尼系统的输出数据表示观测到的弹簧位移。
可选的，所述方法应用于非线性系统。
本发明有益效果是：
通过平行空间集员估计方法表示状态可行集，不需要知道模型噪声的先验分布或要求噪声满足高斯分布，增加了状态估计的实用性和可靠性；通过平行空间对系统状态的包络，解决了椭球、全对称多胞体等几何体集员辨识保守性大的问题，更高效、准确地对状态进行估计；Stirling展开只需要设置合理的步长，不需要计算雅可比矩阵、海森矩阵，减小了计算量。由于stirling不涉及微分运算或求导运算，只需插值的四则运算，因而适用电机的死驱系统或饱和系统等非线性程度较严重的系统。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是本发明一个实施例中公开的一种基于平行空间滤波的弹簧阻尼系统状态估计方法的流程图。
图2是本发明一个实施例中采用现有椭球集员估计方法、现有全对称多胞体集员估计以及本申请提供的方法对弹簧阻尼系统的位移状态估计边界的仿真结果对比图。
图3是本发明一个实施例中采用现有椭球集员估计方法、现有全对称多胞体集员估计以及本申请提供的方法对弹簧阻尼系统的速度状态的估计边界的仿真结果对比图。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明实施方式作进一步地详细描述。
实施例一：
本实施例提供一种基于平行空间滤波的弹簧阻尼系统状态估计方法，以二维系统状态向量为例进行说明，参见图1，所述方法包括：
步骤一：建立弹簧阻尼系统的非线性模型结构；
弹簧阻尼系统的Duffing方程：
其中x表示弹簧在伸长或压缩方向上的位移；是x的导数，表示在此方向的速度；是/>的导数，表示此方向的加速度。设置k0＝1.5、kd＝3表示弹簧的刚度参数，c＝1.2表示阻尼系数；
设置采样时间ΔT＝0.01，设置表示k时刻系统状态向量(弹簧阻尼系统的系统状态向量包括弹簧位移和速度)，x1，k表示k时刻弹簧在伸长或压缩方向上的位移，即系统状态向量的第一个元素，x2，k表示k时刻在此方向的速度，即系统状态向量的第二个元素，由位移与速度的关系有/> 和/>分别是过程噪声和测量噪声，均是未知有界量。系统输出数据为弹簧位移，即x1，k。根据上述设置，弹簧阻尼系统的状态空间表达式为：
其中Hk＝[1 0]，表示观测矩阵。
令分别表示状态x1，k、x2，k的导数，表示状态在单位时间内的增量：
式(3)、(4)带入式(2)进行离散化，考虑过程噪声ωk得到弹簧阻尼系统的离散模型：
步骤二：对步骤一得到的弹簧阻尼系统的离散模型中的非线性部分做Stirling一阶展开，并给高阶误差项定界；
令f1(xk)＝x1，k+ΔTx2，k，f2(xk)＝x2，k+ΔT(-k0x1，k(1+kdx1，k 2)-cx2，k)，f(xk)＝[f1(xk)f 2(xk)]T。
将f1(xk)和f2(xk)分别在k时刻已知状态参数的估计值处stirling展开，以f1(xk)为例：
其中，表示状态参数的估计值；/>表示f1(xk)做Stirling展开后的高阶误差项。
取步长h＝0.01，计算Stirling展开的矩阵参数Fk1：
其中
令DC规划参数α＝0.001，构造凸函数g1(xk)、g2(xk)，两者之差表示f1(xk)：
令线性化部分 Stirling展开的矩阵参数G1k和G2k的计算为：
其中
得到的边界/>
令DC规划参数α＝0.001，构造凸函数g1(xk)、g2(xk)，两者之差表示f2(xk)：
令线性化部分 G1k和G2k的计算为：
其中
得到的边界/>
令表示f2(xk)的高阶误差项，根据式(10)、(11)/>的边界/>得到H.O.T1的边界值：
步骤三：引用超平行体分别包络高阶误差项、噪声项和线性化部分，三者闵可夫斯基和降维得到预测步超平行体Pk+1|k，包括：
3.1构造高阶误差项超平行体PE。
用超平行体包络H.O.T1，其中：
3.2构造过程噪声项超平行体Pw。
设过程噪声ωk的边界为εw，包络ωk超平行体为其中：
pω＝{0，0} (22)
Tw＝diag{εw，εw} (23)
3.3构造线性化部分超平行体PL。
设k时刻包含状态向量xk的超平行体为带入到线性化部分后的超平行体表示为/>
3.4构造预测步超平行体Pk+1|k。
三者的闵可夫斯基和得到预测步全对称多胞体，即带入参数可得：
Pk+1|k＝Zk+1|k↓ (S19)
其中Zk+1|k↓代表降维，采用奇异值分解(svd)或其他降维手段将[Te，Tw，FkTk|k]降至n×n得到Pk+1|k。
步骤四：利用(k+1)时刻非线性模型的输出数据构建线性观测集Sk+1，包括：
根据输出数据得到线性观测集合：
其中
变量上标i表示此向量的第i个元素，表示vk第i个元素的边界值，/>的上下界为/>Hk+1的计算参考(7)。
由于此实施例中构造的式(5)所示的弹簧阻尼系统的离散模型中Hk＝[1 0]是线性观测值，因此直接构造pi和ci：
步骤五：Pk+1|k与Sk+1求交集更新得到Pk+1|k+1，中心点即为(k+1)时刻状态参数的估计值，包括：
将Sk+1分解为m个条带，并依次与Pk+1|k相交：
由于此实施例中构造的模型(5)中的k+1时刻输出值yk+1是一维，只需计算 分三个步骤说明具体措施：
令Pk+1|k＝Pk+1|k(xc，T)，T＝[t1，t2，...，tn]，pn+1和cn+1由式(25)、(26)计算：
设置参量：
5.1：得到紧缩条带表达式：
5.2：对于i＝1，2，当pn+1ti＝0时，超平行体不紧缩，即当pn+1ti≠0时，设置参量：/>
得到紧缩超平行体表达式：
5.3：计算得到更新后的/>
当i*＝3时，当i*≠3时，得到/>表达式：
得到(k+1)时刻包含状态参数的超平行体其中心点/>就是(k+1)时刻的Pk+1|k与/>相交后的状态参数估计值。令/>T＝T*进行(32)～(48)以计算重复迭代直到计算出/>由于此实施例中yk是一维的，只进行一次迭代。
在本实施例中所述基于平行空间滤波的弹簧阻尼系统状态估计方法需要获取预设时间段内弹簧的观测输出数据。弹簧阻尼系统实际的输出数据表示观测到的弹簧位移。
图1是本发明的流程图，图2是本实施例中弹簧阻尼系统的位移状态的真值和估计边界，图3是本实施例中速度状态的真值和估计边界。表1是本实施例中本发明方法和现有椭球集员方法、现有全对称多胞体方法进行6次仿真的状态估计值与真值之间的误差均值，可以看出，本发明方法得出的状态估计值与真值之间的误差均值更小，说明本申请方法得到状态估计值更精确。对于单次仿真，仿真总时刻k＝100，且误差均值err计算公式为：
其中和/>分别表示k＝i时刻的弹簧在伸长或压缩方向上的位移真值和在此方向的速度真值，/>和/>分别表示k＝i时刻的弹簧在伸长或压缩方向上的位移估计值和在此方向的速度估计值。
表1：本发明方法和现有椭球集员方法、现有全对称多胞体方法状态估计值与真值之间的误差均值
由图2和图3可以看出，现有处理非线性系统的方法和本发明所述的一种基于平行空间滤波的弹簧阻尼系统状态估计方法均可对系统状态真值进行有效估计，但本发明方法的边界显然更加紧致，估计的保守性较小，表1中的误差平均值代表准确度水平，可以看出本发明方法准确度较高。
本实施例中对比的现有处理非线性系统的方法包括现有椭球集员方法和现有全对称多胞体方法，其中现有椭球集员方法可参考“沈强，刘洁瑜，赵乾，王琪.非线性系统中心差分集员估计方法[J].控制理论与应用，2019，36(8)：1239-1249.”和“周波，钱堃，马旭东，戴先中.一种新的基于保证定界椭球算法的非线性集员滤波器[J].自动化学报，2013，39(2):150-158.”；现有全对称多胞体方法可参考“Alamo T，Bravo J M，Camacho EF.Guaranteedstate estimation by zonotopes[J].Automatica，2005:1035-1043.”
本发明实施例中的部分步骤，可以利用软件实现，相应的软件程序可以存储在可读取的存储介质中，如光盘或硬盘等。
以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (5)
1.一种基于平行空间滤波的弹簧阻尼系统状态估计方法，其特征在于，所述方法包括：
步骤一：建立弹簧阻尼系统的非线性离散模型；
步骤二：对步骤一建立的弹簧阻尼系统的非线性离散模型中的非线性部分做Stirling一阶展开，并给高阶误差项定界；
步骤三：引用超平行体分别包络高阶误差项、噪声项和线性化部分，并对三者的闵可夫斯基和进行降维得到预测步超平行体Pk+1|k；
步骤四：利用k+1时刻弹簧阻尼系统的非线性离散模型的输出数据构建线性观测集Sk+1；
步骤五：对预测步超平行体Pk+1|k与线性观测集Sk+1求交集得到k+1时刻包含状态参数的超平行体Pk+1|k+1，其中心点即为k+1时刻状态参数的估计值；
所述步骤一：建立弹簧阻尼系统的非线性离散模型，包括：
弹簧阻尼系统的非线性离散通用模型为：
其中，表示k时刻弹簧状态向量，包括弹簧位移、速度和力矩，/>表示k时刻的弹簧系统物理量的观测值；f(xk)和h(xk)分别是关于xk的非线性函数，/>和分别是过程噪声和测量噪声，二者均是未知有界量；
所述步骤二：对步骤一建立的弹簧阻尼系统的非线性离散模型中的非线性部分做Stirling一阶展开，并给高阶误差项定界，包括：
式(S1)中的f(xk)＝[f1(xk) f2(xk) … fn(xk)]T是n×1维向量；对f(xk)中的每一个分量fi(xk)和h(xk+1)分别在k时刻的状态估计值和k+1时刻的预测值/>处做Stirling一阶展开，得到：
其中，h为步长，H.O.T1和H.O.T2为高阶误差项，Fk是Stirling展开矩阵参数；
且
构造凸函数g1(xk)、g2(xk)，设两者之差表示fi(xk)，则：
令线性化部分由式(S2)和(S6)确定H.O.T1表达式：
是fi(xk)展开后的高阶误差项；根据凸函数的微分性质对式(S8)进行放缩，得到H.O.T1满足：
其中分别为g1(xk)和g2(xk)的线性化部分且：
其中Stirling展开矩阵参数G1k、G2k由式(S4)形式计算；
将已知k时刻超平行体Pk|k的2n个顶点带入式(S9)和(S10)，取最大值和最小值得到H.O.T1的边界：
其中和/>是/>的最小值和最大值，i＝1,2,…,n；
所述步骤三：引用超平行体分别包络高阶误差项、噪声项和线性化部分，并对三者的闵可夫斯基和进行降维得到预测步超平行体Pk+1|k，包括：
3.1构造高阶误差项超平行体PE；
用超平行体包络H.O.T1，其中：
3.2构造过程噪声项超平行体Pw；
设过程噪声ωk的边界为εw，则包络ωk的超平行体为其中：
pω＝{0，0，...，0} (S16)
Tw＝diag{εw,εw，...，εw} (S17)
3.3构造线性化部分超平行体PL；
设k时刻包含状态向量xk的超平行体为带入到线性化部分/>后的超平行体表示为/>
3.4构造预测步超平行体Pl+1|k；
计算三者的闵可夫斯基和得到预测步全对称多胞体，即带入参数可得：
Pk+1|k＝Zk+1|k↓ (S19)
其中Zk+1|k↓代表降维，采用奇异值分解或其他降维手段将[Te，Tw，FkTk|k]降至n×n得到预测步超平行体Pk+1|k；
所述步骤四：利用k+1时刻弹簧阻尼系统的非线性离散模型的输出数据构建线性观测集Sk+1，包括：
根据k+1时刻弹簧阻尼系统的非线性离散模型的输出数据得到线性观测集合：
其中
变量上标i表示此向量的第i个元素，表示vk第i个元素的边界值，/>表示H.O.T2的第i个元素，其上下界为/>计算参照S3～S13；
所述步骤五：对预测步超平行体Pk+1|k与线性观测集Sk+1求交集得到k+1时刻包含状态参数的超平行体Pk+1|k+1，包括：
将Sk+1分解为m个条带，并依次与Pk+1|k相交：
计算所得超平行体再依次与/>相交得到/>其中心点/>就是(k+1)时刻的状态参数估计值。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述计算包括：
令Pk+1|k＝Pk+1|k(xc，T)，T＝[t1,t2，…，tn]，pn+1和cn+1由式(S24)、(S25)计算：
设置参量：
5.1：得到紧缩条带表达式：
5.2：对于i＝1,2,…,n，当pn+1ti＝0时，超平行体不紧缩，即 当pn+1ti≠0时，设置参量：
得到紧缩超平行体表达式：
5.3：计算得到更新后的/>
当i*＝(n+1)时，当i*≠(n+1)时，得到/>表达式：
得到(k+1)时刻包含状态参数的超平行体其中心点/>就是(k+1)时刻的Pk+1|k与/>相交后的状态参数估计值；令/>T＝T*进行(S24)～(S40)以计算重复迭代直到计算出/>
3.根据权利要求1-2任一所述的方法，其特征在于，所述方法还包括获取预定时间范围内弹簧的输出数据。
4.根据权利要求1-2任一所述的方法，其特征在于，弹簧阻尼系统的输出数据表示观测到的弹簧位移。
5.根据权利要求1-2任一所述的方法，其特征在于，所述方法应用于非线性系统。
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