CN112862718A - 一种基于功率谱密度约束的模式分解滤波方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种基于功率谱密度约束的模式分解滤波方法，该方法首先计算噪声图像的二维功率谱密度，从中提取需滤除噪声对应的频域坐标区范围；然后，采用二维切比雪夫多项式对噪声图像进行模式分解，将图像信息从空间域转换至拟合系数变换域，计算二维系数谱；随后，通过多项式索引阶数与功率谱区域的映射关系，滤除系数谱中的噪声模式；最后，根据已滤除噪声模式的系数谱重建滤波后的图像。本发明相较于常用的滤波算法，能够根据功率谱密度约束对图像中的特定频带噪声进行滤除，相比于常规滤波方法，所占用的内存更少，能够应用于超大图像矩阵的滤波。
Description
技术领域
本发明涉及计算机网络技术领域，尤其涉及一种基于功率谱密度(PowerSpectral Density，以下简称PSD)约束的模式分解滤波方法。
背景技术
数字图像是许多研究和应用中获取信息的来源，但在图像采集和传输过程中由于多方面原因会引入噪声。在图像处理和计算机领域，图像去噪是改善图像质量的重要预处理手段，直接关系到图像分割、目标识别和边缘提取等后续图像处理的效果。
图像去噪算法具有多种不同的发展方向，包括空域滤波、变换域滤波等。空域滤波直接在原始图像上进行数据运算，常用的滤波算法有均值滤波和中值滤波。虽然空域滤波的处理速度较快，但在降噪同时会使图像产生模糊，并且难以设计针对特定频率滤波的空域滤波器。变换域滤波通过将图像从空间域转换到变换域，再对变换域进行处理，进行反变换后获取去除噪声的图像。常用的变换域去噪算法如基于傅里叶变换的低通滤波易因图像边缘的不连续性和窗函数的选择不当而引入额外误差。此外，在处理高像素图像时，上述的常规滤波方法所占用的内存资源急剧增加，对计算机的内存容量提出了更高要求。
发明内容
本发明的目的在于针对现有技术的不足，提供一种基于功率谱密度约束的模式分解滤波方法，在保持较好的滤波效果的同时，相比于常规滤波方法，占用更小的内存容量。本方法采用二维切比雪夫多项式对噪声图像进行模式分解，根据系数谱与功率谱区域之间的映射关系，直接滤除噪声对应的模式。
本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：
一种基于功率谱密度约束的模式分解滤波方法，该方法包括以下步骤：
步骤一：在直角坐标系中定义噪声图像，图像的定义域为长宽均自定义为D的正方形区域，几何中心设为原点，水平向右和竖直向下分别为x和y正方向，由此计算噪声图像对应的二维功率谱密度，再根据二维功率谱密度分布提取需滤除噪声对应的频域坐标区范围；
步骤二：采用二维切比雪夫多项式对噪声图像进行模式分解，将图像信息从空间域转换至拟合系数变换域；所述二维切比雪夫多项式
由x和y方向的一维切比雪夫多项式Tn(x)、Tm(y)构造而成，
计算对应的二维系数谱，任意拟合系数
通过多项式阶数进行索引；其中，非负整数n为Tn(x)的阶数，非负整数m为Tm(y)的阶数；
步骤三：根据多项式索引阶数与二维功率谱密度频谱区域的映射关系，将噪声对应的二维切比雪夫多项式模式从系数谱中滤除，系数谱中噪声模式的阶数满足关系式
其中fr1和frh分别为噪声在功率谱密度中对应的最低和最高径向频率；
步骤四：基于已滤除噪声模式的系数谱重建滤波后的图像。
进一步地，所述步骤二通过以下子步骤来实现：
(2.1)在直角坐标系中将噪声图像定义域归一化为x，y∈[-1，1]，图像在x方向和y方向的采样数分别为Nx和Ny，则图像矩阵表示为
其中W(xi，yj)表示第j行i列的采样值，
相邻采样点之间的距离为xi+1-xi＝2/(Nx-1)和yj+1-yj＝2/(Ny-1)；
(2.2)分别计算分解所需的二维切比雪夫多项式项数Ntotal和y方向的插值采样点数Nsy
Ntotal＝N×M
N＝round(πNx/2)+1
M＝round(πNy/2)+1
其中，round()表示四舍五入取整；
(2.3)生成以2为底的一维Halton序列并取前Nsy项，将此序列记为行向量yH，计算y方向的插值采样点坐标序列
计算x方向的插值采样点坐标序列
其中Nsx取奇数且需满足条件Nsx≥N，角度序列θs＝[0，Δ，...，(Nsx-1)Δ]，Δ＝π/(Nsx-1)；
(2.4)基于x和y方向的一维插值采样点序列xs和ys生成二维插值坐标网格，网格点对应的采样值通过对原始图像数据W进行线性插值获取，计算得到插值数据矩阵为
(2.5)以Ws的最后一列为对称轴，将其向右翻转并删去最后一列，与原矩阵拼接为Wnew，该矩阵的大小为Nsy×2(Nsx-1)；
(2.6)对Wnew的每一行行向量使用快速傅里叶变换分别计算一维频谱，取各个一维频谱的前N项乘以恢复系数2/Nsx后取实部得到频率特征，再将零频对应的频率特征缩放为原来的1/2，得到提取的二维频率特征为
其中X(k，ys，i)(k＝0，1，...，N-1，i＝1，2，...，Nsy)表示Wnew的第i行行向量经过FFT得到的频谱的第k项频率特征；
(2.7)构造N组线性方程组
其中Tm(ys，i)为第m阶一维切比雪夫多项式在ys，i处的取值；
(2.8)采用最小二乘法求解步骤(2.7)的每一组方程组，计算得到如下的二维系数谱
其中，N-1和M-1分别为进行模式分解所需的二维切比雪夫多项式在两个维度的阶数n和m的最大值。
进一步地，所述步骤四通过以下子步骤来实现：
(4.1)计算一维切比雪夫多项式Tm(y)的前M项在图像y方向采样点处的取值，形成如下矩阵T
(4.2)计算权重函数矩阵A
A＝Ta'
其中，a′为已滤除噪声的系数谱，该矩阵的大小与原始系数谱a相同，且该矩阵中噪声对应的二维切比雪夫多项式模式在系数谱中的幅值已置为0；
(4.3)将图像在x方向的采样点坐标通过如下公式进行变换
θi＝arctan xi,i＝1,2,...,Nx
(4.4)计算以阶数n为角频率的余弦函数在θi处的取值为
(4.5)计算滤波后的重建图像为
W'＝AC
其中矩阵W′表示大小为Ny×Nx的重建图像。
进一步地，为了提高噪声对应的频域分布定位精度，在步骤一计算功率谱密度之前，需对图像进行补零延拓以提高频谱分辨率。
本发明的有益效果如下：
本发明通过功率谱密度简单直观地实现噪声的频域定位，将噪声频谱与二维切比雪夫多项式模式高度关联，在保证较好的滤波效果的前提下，所需的内存资源少于常规滤波方法，能够用来处理高像素图像。
附图说明
图1为基于功率谱密度约束的模式分解滤波方法流程图；
图2为添加泊松噪声的Lena图、Airplane图的二维PSD分布图。
图3为对添加泊松噪声的Lena图使用本发明方法和常规滤波方法的去噪效果对比图。
图4为对添加泊松噪声的Airplane图使用本发明方法和常规滤波方法的去噪效果对比图。
图5为本发明方法和常规滤波方法处理高像素图像时所占用的最大内存对比图。
具体实施方式
下面根据附图和优选实施例详细描述本发明，本发明的目的和效果将变得更加明白，应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
如图1所示，本发明的基于功率谱密度约束的模式分解滤波方法，包括以下步骤：
步骤一：在直角坐标系中定义噪声图像，图像的定义域为长宽均自定义为D的正方形区域，几何中心设为原点，水平向右和竖直向下分别为x和y正方向，由此计算噪声图像对应的二维功率谱密度，再根据二维PSD分布提取需滤除噪声对应的频域坐标区范围；
为了提高噪声对应的频域分布定位精度，在步骤一计算功率谱密度之前，需对图像进行补零延拓以提高频谱分辨率。
步骤二：采用二维切比雪夫多项式对噪声图像进行模式分解，将图像信息从空间域转换至拟合系数变换域；所述二维切比雪夫多项式
由x和y方向的一维切比雪夫多项式Tn(x)、Tm(y)构造而成，
计算对应的二维系数谱，任意拟合系数
通过多项式阶数进行索引；其中，非负整数n为Tn(x)的阶数，非负整数m为Tm(y)的阶数；
步骤二具体通过如下子步骤来实现：
(1)在直角坐标系中将噪声图像定义域归一化为x，y∈[-1，1]，图像在x方向和y方向的采样数分别为Nx和Ny，则图像矩阵表示为
其中W(xi，yj)表示第j行i列的采样值，x1＝y1＝-1，
相邻采样点之间的距离为xi+1-xi＝2/(Nx-1)和yj+1-yj＝2/(Ny-1)；
(2)进行模式分解所需的二维切比雪夫多项式在两个维度的阶数n和m的最大值分别取N-1和M-1，其中N＝round(πNx/2)+1和M＝round(πNy/2)+1，round()表示四舍五入取整，则分解所需的二维切比雪夫多项式项数Ntotal＝N×M，y方向的插值采样点数
生成以2为底的一维Halton序列并取前Nsy项，将此序列记为行向量yH，则y方向的插值采样点坐标序列
x方向的插值采样点坐标序列表示为行向量
其中Nsx取奇数且需满足条件Nsx≥N，角度序列θs＝[0，Δ，...，(Nsx-1)Δ]，Δ＝π/(Nsx-1)。基于x和y方向的一维插值采样点序列xs和ys生成二维插值坐标网格，网格点对应的采样值通过对原始图像数据W进行线性插值获取，计算得到插值数据矩阵为
以Ws的最后一列为对称轴，将其向右翻转并删去最后一列，与原矩阵拼接为Wnew，该矩阵的大小为Nsy×2(Nsx-1)；
(3)对Wnew的每一行行向量使用快速傅里叶变换分别计算一维频谱，取各个一维频谱的前N项乘以恢复系数2/Nsx后取实部得到频率特征，再将零频对应的频率特征缩放为原来的1/2，得到提取的二维频率特征为
其中X(k，ys，i)(k＝0，1，…，N-1，i＝1，2，...，Nsy)表示Wnew的第i行行向量经过FFT得到的频谱的第k项频率特征；
(4)构造N组线性方程组
其中Tm(ys，i)为第m阶一维切比雪夫多项式在ys，i处的取值；采用最小二乘法求解每一组方程组，计算得到的二维系数谱为
步骤三：根据多项式索引阶数与二维功率谱密度频谱区域的映射关系，将噪声对应的二维切比雪夫多项式模式从系数谱中滤除，系数谱中噪声模式的阶数满足关系式
其中frl和frh分别为噪声在功率谱密度中对应的最低和最高径向频率；
步骤四：基于已滤除噪声模式的系数谱重建滤波后的图像，该步骤通过以下子步骤来实现：
(1)将已滤除噪声的系数谱记为a′，该矩阵的大小与原始系数谱a相同，区别在于噪声对应的二维切比雪夫多项式模式在系数谱中的幅值已置为0；计算一维切比雪夫多项式Tm(y)的前M项在图像y方向采样点处的取值为
则权重函数矩阵为
A＝Ta'；
(2)将图像在x方向的采样点坐标变换为
θi＝arctan xi,i＝1,2,...,Nx,
并计算以阶数n为角频率的余弦函数在θi处的取值为
滤波后的重建图像为
W'＝AC
其中矩阵W′表示大小为Ny×Nx的重建图像。
下面以一个具体的测试实例证明本发明的有益效果。
在该测试实例中，测试对象为常用的数字信号处理测试图像：Lena 512×512、Airplane 512×512，两张测试图像均采用归一化灰度图像。图2(a)、(b)分别为添加泊松噪声的Lena图、Airplane图的二维PSD分布图，其中图像的能量主要分布在半径为1/4采样频率的圆形区域内，外部区域主要为高频噪声分布，据此提取需滤除的噪声频带范围。对添加泊松噪声的图像滤波，将本发明方法与常规滤波算法对比，滤波效果的比较参数为峰值信噪比(PSNR)，其中中值滤波的窗口大小为3×3，根据图2提取的噪声区域范围，基于傅里叶变换的低通滤波的截至频率为采样频率的1/4，基于本发明的低通滤波的截止频率也为采样频率的1/4，即采用648025项二维切比雪夫多项式拟合图像后，滤除系数谱中
的噪声模式。滤波效果如图3、4所示，基于本发明方法的去噪图像PSNR均能达到甚至略高于现有的中值滤波和基于傅里叶变换的低通滤波的PSNR，且此时，如图5所示，对于同一幅图像(图像的横纵像素数相等)，本发明的滤波方法对高像素图像进行滤波时所占用的最大内存明显小于其他两种滤波方法；且中值滤波和基于傅里叶变换的滤波方法所占用最大内存的增长速度远大于基于本发明的模式分解滤波方法。因此，在计算机内存资源有限的情况下，采用本发明的滤波方法能够用来处理高像素图像效果最优。
本领域普通技术人员可以理解，以上所述仅为发明的优选实例而已，并不用于限制发明，尽管参照前述实例对发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实例记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换。凡在发明的精神和原则之内，所做的修改、等同替换等均应包含在发明的保护范围之内。
Claims (4)
1.一种基于功率谱密度约束的模式分解滤波方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
步骤一：在直角坐标系中定义噪声图像，图像的定义域为长宽均自定义为D的正方形区域，几何中心设为原点，水平向右和竖直向下分别为x和y正方向，由此计算噪声图像对应的二维功率谱密度，再根据二维功率谱密度分布提取需滤除噪声对应的频域坐标区范围。
步骤二：采用二维切比雪夫多项式对噪声图像进行模式分解，将图像信息从空间域转换至拟合系数变换域；所述二维切比雪夫多项式
由x和y方向的一维切比雪夫多项式Tn(x)、Tm(y)构造而成，
计算对应的二维系数谱，任意拟合系数
通过多项式阶数进行索引；其中，非负整数n为Tn(x)的阶数，非负整数m为Tm(y)的阶数；
步骤三：根据多项式索引阶数与二维功率谱密度频谱区域的映射关系，将噪声对应的二维切比雪夫多项式模式从系数谱中滤除，系数谱中噪声模式的阶数满足关系式
其中fr1和frh分别为噪声在功率谱密度中对应的最低和最高径向频率；
步骤四：基于已滤除噪声模式的系数谱重建滤波后的图像。
2.根据权利要求1所述的基于功率谱密度约束的模式分解滤波方法，其特征在于，所述步骤二通过以下子步骤来实现：
(2.1)在直角坐标系中将噪声图像定义域归一化为x，y∈[-1，1]，图像在x方向和y方向的采样数分别为Nx和Ny，则图像矩阵表示为
其中W(xi，yj)表示第j行i列的采样值，x1＝y1＝-1，
相邻采样点之间的距离为xi+1-xi＝2/(Nx-1)和yj+1-yj＝2/(Ny-1)；
(2.2)分别计算分解所需的二维切比雪夫多项式项数Ntotal和y方向的插值采样点数Nsy
Ntotal＝N×M
N＝round(πNx/2)+1
M＝round(πNy/2)+1
其中，round()表示四舍五入取整；
(2.3)生成以2为底的一维Halton序列并取前Nsy项，将此序列记为行向量yH，计算y方向的插值采样点坐标序列
计算x方向的插值采样点坐标序列
其中Nsx取奇数且需满足条件Nsx≥N，角度序列θs＝[0，Δ，...，(Nsx-1)Δ]，Δ＝π/(Nsx-1)；
(2.4)基于x和y方向的一维插值采样点序列xs和ys生成二维插值坐标网格，网格点对应的采样值通过对原始图像数据W进行线性插值获取，计算得到插值数据矩阵为
(2.5)以Ws的最后一列为对称轴，将其向右翻转并删去最后一列，与原矩阵拼接为Wnew，该矩阵的大小为Nsy×2(Nsx-1)；
(2.6)对Wnew的每一行行向量使用快速傅里叶变换分别计算一维频谱，取各个一维频谱的前N项乘以恢复系数2/Nsx后取实部得到频率特征，再将零频对应的频率特征缩放为原来的1/2，得到提取的二维频率特征为
其中X(k，ys，i)(k＝0，1，...，N-1，i＝1，2，...，Nsy)表示Wnew的第i行行向量经过FFT得到的频谱的第k项频率特征；
(2.7)构造N组线性方程组
其中Tm(ys，i)为第m阶一维切比雪夫多项式在ys，i处的取值；
(2.8)采用最小二乘法求解步骤(2.7)的每一组方程组，计算得到如下的二维系数谱
其中，N-1和M-1分别为进行模式分解所需的二维切比雪夫多项式在两个维度的阶数n和m的最大值。
3.根据权利要求1所述的基于功率谱密度约束的模式分解滤波方法，其特征在于，所述步骤四通过以下子步骤来实现：
(4.1)计算一维切比雪夫多项式Tm(y)的前M项在图像y方向采样点处的取值，形成如下矩阵T
(4.2)计算权重函数矩阵A
A＝Ta'
其中，a′为已滤除噪声的系数谱，该矩阵的大小与原始系数谱a相同，且该矩阵中噪声对应的二维切比雪夫多项式模式在系数谱中的幅值已置为0；
(4.3)将图像在x方向的采样点坐标通过如下公式进行变换
θi＝arctanxi,i＝1,2,...,Nx
(4.4)计算以阶数n为角频率的余弦函数在θi处的取值为
(4.5)计算滤波后的重建图像为
W'＝AC
其中矩阵W′表示大小为Ny×Nx的重建图像。
4.根据权利要求1所述的基于功率谱密度约束的模式分解滤波方法，其特征在于，为了提高噪声对应的频域分布定位精度，在步骤一计算功率谱密度之前，需对图像进行补零延拓以提高频谱分辨率。
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Legal Events
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|---|---|---|---|
| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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