CN112784459A - 一种基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法 - Google Patents

一种基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法，首先，将仿真模型撕裂成一系列无重叠的子域；然后，在子域交界面上引入传输条件，建立子域有限元方程和全域交界面拉格朗日乘子方程，对其中涉及的数值格林函数矩阵用自适应交叉近似算法和奇异值压缩算法先后进行压缩；最后解出拉格朗日乘子并回代入子域有限元方程中，获得全域电场分布。和传统有限元撕裂对接法相比，本发明所述方法具有更高的求解效率和更低的内存消耗。针对有限大周期性结构，由于压缩的过程只需对几个代表性的子域进行，和传统有限元撕裂对接法相比优势更加明显。

Description

一种基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法
技术领域
本发明涉及电磁仿真方法，尤其涉及一种基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法。
背景技术
随着科学技术的发展，尤其是计算机技术的逐渐升级完善，内存的扩大，运算能力的提高，推动了计算电磁学的飞速发展，传统的计算电磁学问题已经能够在单一计算机上独立分析。但也正因如此，实际的工程需求越来越高，问题越来越复杂，有些模型即便能在单台计算机分析，但所需的时间和内存消耗也是巨大的，而有很多模型需要多台计算机联合求解，有限元撕裂对接法就是一种能满足分布式高效求解的方法。
有限元撕裂对接法是将计算模型分区求解，并通过引入传输条件和拉格朗日乘子来实现区域耦合的方法，虽然求解效率高，但是求解拉格朗日乘子的过程中会涉及到数值格林函数的矩阵-矢量乘，数值格林函数通常是一个大小为两区域邻接面上对偶未知量的满阵，当模型较复杂时未知量数目将会极大，该高阶满阵的矩阵-矢量乘会导致计算效率低下，内存消耗巨大，这也与引入有限元撕裂对接法以降低求解复杂模型内存要求，提高求解效率的初衷相违背。
发明内容
发明目的：针对以上问题，本发明提出一种基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法，采用三维数值模拟方法，可实现对于任意三维复杂模型电场的精确高效仿真。
技术方案：本发明所采用的技术方案是一种基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法，该方法包括以下步骤：
Step 1：对仿真模型进行三维建模，将原始仿真模型撕裂为一系列无重叠的子域，并对各子域进行网格离散，在相邻子域交界面处引入Robin传输条件及拉格朗日乘子来实现子域之间的对接；
Step 2：确定三维电场控制方程，从三维电场控制方程出发，建立子域有限元线性方程，采用高斯消元法提取子域数值格林函数矩阵，导出全域交界面上关于拉格朗日乘子的方程；具体的，步骤Step 2包括以下过程：
Step 2.1：通过微麦克斯韦方程组和介质本构关系推导出电磁场矢量波动方程并消去磁场分量后导出三维电场控制方程；
Step 2.2：将每个子域作为独立系统，从三维电场控制方程出发，通过惠特尼基函数展开以及伽辽金法，建立子域有限元线性方程；
Step 2.3：采用高斯消元法提取子域数值格林函数矩阵，导出全域交界面上关于拉格朗日乘子的方程。
Step 3:对子域数值格林函数矩阵分层分组后采用自适应交叉近似算法对其进行压缩，并引入奇异值分解算法进一步压缩；具体的，步骤Step 3包括以下过程：
Step 3.1：建立子域交界面棱边集合的八叉树结构；
Step 3.2：基于八叉树结构对子域数值格林函数矩阵进行分层分组，划分出远场子矩阵和近场子矩阵；
Step 3.3：对近场子矩阵采用矩量法存储，而对互作用小的远场子矩阵采用自适应交叉近似算法进行压缩，并引入奇异值分解算法进一步压缩，压缩后的矩阵以分层低秩分解的形式存储。
Step 4:利用压缩后的子域数值格林函数矩阵来参与对全域拉格朗日乘子方程的求解，将获得的解代入各子域有限元方程即可求出全域的电场分布，最终提取出关心的电磁参数。
有益效果：本发明与现有技术相比，其显著效果是：
(1)求解效率高，利用模型分区求解，将大未知量问题分解成多个小未知量边值问题求解，提高了求解效率，对于某些周期性模型的求解效率提升尤为显著；
(2)内存消耗低，在求解时将高阶满阵分解成多个低阶满阵，由于矩阵-矢量乘的内存消耗是指数级增长，所以分解后的求解所需内存远低于高阶满阵直接求解；
(3)求解精度高，计算机内存一定，相对于传统的串行整个子域，采用并行计算，各子域可容纳更多未知量，运算结果更加精确。
(4)本发明与CN110096799A-一种基于区域分解法的三维电磁热效应的仿真方法以及基于H-矩阵信息压缩技术的高效电磁仿真方法研究相比，采用了不同的传输条件和压缩方法，在求解拉格朗日乘子中使用了自适应交叉近似算法和奇异值分解算法对数值格林函数进行压缩存储，大大提高了数值格林函数矩阵-矢量乘的运算效率，降低了复杂模型分析时的存储要求，且在对某些特定结构比如有限周期性结构进行分析时，其效率提升更加明显。
附图说明
图1是本发明的流程图；
图2是本发明所述耶路撒冷型FSS阵列及单元结构示意图；
图3是本发明所述耶路撒冷型FSS阵列区域划分示意图
图4是本发明所述10×10耶路撒冷型FSS阵列双站RCS曲线。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步的说明。
如图1所示给出了本发明所述的基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法的主要流程，包括以下步骤：
Step 1：对仿真模型进行三维建模，将原始仿真模型撕裂为一系列无重叠的子域，并对各子域进行网格离散，在相邻子域交界面处引入Robin传输条件及拉格朗日乘子来实现子域之间的对接；其具体过程包括：
为解决子域耦合问题，在待求子域i中引入Robin传输条件以及拉格朗日乘子，电场拉格朗日乘子是一个电场边界未知量；
Figure BDA0002919078320000031
其中，α是一个常数，通常取为复数，如α＝jk0，Λi为电场边界未知量；
Step 2：确定三维电场控制方程，从三维电场控制方程出发，建立子域有限元线性方程，采用高斯消元法提取子域数值格林函数矩阵，导出全域交界面上关于拉格朗日乘子的方程；其具体过程包括：
Step 2.1：通过微麦克斯韦方程组和介质本构关系推导出电磁场矢量波动方程并消去磁场分量后导出三维电场控制方程；
Figure BDA0002919078320000032
其中μr为相对磁导率,E为电场，k0为自由空间波数，εr为相对介电常数，Z0是本征阻抗，Jimp是内部外加电流；
Step 2.2：将每个子域作为独立系统，从三维电场控制方程出发，通过惠特尼基函数展开以及伽辽金法，建立子域有限元线性方程；
KiEi＝fi-Gi (3)
其中：
Figure BDA0002919078320000033
Figure BDA0002919078320000034
Figure BDA0002919078320000035
其中Ni表示基函数，Ui表示边界激励，若所有源为内部源时则可不考虑；
公式(3)中Ki为有子域有限元系统矩阵，Ei为子域内待求电场系数，对其根据棱边类型不同分类，可以分为全域拐角自由度和子域剩余自由度，如此划分后公式(3)可写为如下格式：
Figure BDA0002919078320000041
其中
Figure BDA0002919078320000042
分别表示子域有限元系统矩阵根据前述自由度分类后的子矩阵，
Figure BDA0002919078320000043
表示从子域剩余自由度中提取出交界面上自由度的布尔矩阵，λi表示拉格朗日乘子，代表Robin传输条件在子域有限元线性方程中的贡献；
Step 2.3：采用高斯消元法提取子域数值格林函数矩阵，导出全域交界面上关于拉格朗日乘子的方程。
根据Robin传输条件，通过引入的拉格朗日乘子对相邻子域的邻接面上的电、磁场连续性进行加强；
Figure BDA0002919078320000044
Figure BDA0002919078320000045
其中，
Figure BDA0002919078320000046
和
Figure BDA0002919078320000047
分别表示Γij上从子域i指向子域j以及从子域j指向子域i的单位法向量。
将(8),(9)两式联立并进行伽辽金测试可得：
Figure BDA0002919078320000048
其中：
Figure BDA0002919078320000049
然后通过建立全域子域的映射布尔矩阵，再通过高斯消元法可获得：
Figure BDA00029190783200000410
其中：
Figure BDA00029190783200000411
Figure BDA00029190783200000412
Figure BDA00029190783200000413
Figure BDA00029190783200000414
其中
Figure BDA00029190783200000415
即为子域数值格林函数矩阵，是一个对称满阵,Ti j是用以从子域i的交界面中提取它自己和子域j交界面上的未知量的布尔矩阵；
通过布尔矩阵完成全域-子域映射方程及全域拐角方程；
Figure BDA00029190783200000416
Figure BDA0002919078320000051
构建全域邻接面上的关于拉格朗日乘子的方程；
Figure BDA0002919078320000052
其中
Figure BDA0002919078320000053
Figure BDA0002919078320000054
Step 3:采用自适应交叉近似算法对子域数值格林函数矩阵进行分层压缩，并引入奇异值分解算法进一步压缩；其具体过程包括：
Step 3.1：用方形盒子对棱边集合进行分层分组。分层分组的方式为递归八分，即：依次沿x、y、z坐标轴方向递归的切分方形盒子，直至每个盒子的棱边数目达到预设的值，建立起子域交界面棱边集合的八叉树结构；
Step 3.2：基于八叉树结构对子域数值格林函数矩阵进行分层分组，自作用组和相邻互作用组判为近场组，否则判为远场组。近场组生成近场子矩阵，远场组生成远场子矩阵，划分出远场子矩阵和近场子矩阵；
Step 3.3：对近场子矩阵采用矩量法存储，而对互作用小的远场子矩阵采用自适应交叉近似算法进行压缩，并引入奇异值分解算法进一步压缩，压缩后的矩阵以分层低秩分解的形式存储。
自适应交叉近似算法是一种改进型交叉近似算法，对于一个低秩矩阵，仅需知道部分矩阵信息，对矩阵进行抽行抽列更新，矩阵的秩达到停止准则后即可将该高维低秩矩阵分解为存储需求更低的两个小矩阵的形式。
对远场子矩阵进行自适应交叉近似压缩：
Figure BDA0002919078320000055
其中
Figure BDA0002919078320000056
为数值格林函数的m阶远场满阵，N1 (m×n)与N2 (n×m)为压缩后的两个矩阵且n＜＜m
接着对分解完的矩阵进行进一步奇异值分解，舍弃预设精度范围之外的特征值，获得矩阵的低秩分解表达式，以减少在求解全域拉格朗日乘子方程中涉及到数值格林函数矩阵-矢量乘时的内存消耗，提高求解效率，同时求解精度也保留在一定范围内；
N1 (m×n)＝Q1 (m×τ)R1 (τ×n) (23)
Figure BDA0002919078320000057
Figure BDA0002919078320000058
Figure BDA0002919078320000061
其中Q1，R1，Q2，R2分别为N1，N2进行QR分解后的矩阵，τ＜n＜m，将
Figure BDA0002919078320000062
进行奇异值分解后得到U(τ×l)S(l×l)V(l×τ)，其中若S(l×l)为一个低秩对角矩阵，可以舍弃以牺牲较少的精度获取更高的效率；
Step4：利用压缩后的子域数值格林函数矩阵来参与对全域拉格朗日乘子方程的求解，将获得的解代入各子域有限元方程即可求出全域的电场分布，最终提取出关心的电磁参数。
采用本发明所述方法对耶路撒冷型FSS阵列仿真，如图2所示，单元中心之间的距离均为T＝15.2mm，采用16×16的网格来划分每一个单元，每个小网格的尺寸为Δx＝0.95mm,Δy＝0.95mm。频率f＝10GHz，入射方向为θinc＝0°，φinc＝0°的平面波照射，采用PML为截断边界。图3给出了3×3FSS阵列包含了9个基本子域，接着仿真10×10、20×20和40×40三组FSS阵列。图4给出了10×10FSS阵列的双站RCS，并和传统有限元撕裂对接法的仿真结果进行了比较验证了本发明方法的精确性。表1给出了本发明所述方法和金建铭的"ANew Dual-Primal Domain Decomposition Approach for Finite Element Simulationof 3-D Large-Scale Electromagnetic Problems"(Y.Li and J.Jin,IEEE Transactionson Antennas and Propagation,vol.55,no.10,pp.2803-2810,Oct.2007.)一文中所述的传统有限元撕裂对接法的仿真数据对比，可以看出本发明所述方法在求解时间和内存消耗性能上都提升了约2.5倍，验证了本发明所述方法的优越性。
表1采用不同方法对不同大小的耶路撒冷型FSS阵列进行仿真计算的效果对比表
Figure BDA0002919078320000063

Claims (8)

1.一种基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
Step 1：对仿真模型进行三维建模，将所述仿真模型撕裂为一系列无重叠的子域，并对各子域进行网格离散，在相邻子域交界面处引入Robin传输条件及拉格朗日乘子来实现子域之间的对接；
Step 2：确定三维电场控制方程，从三维电场控制方程出发，建立子域有限元线性方程，采用高斯消元法提取子域数值格林函数矩阵，导出全域交界面上关于拉格朗日乘子的方程；
Step 3：对子域数值格林函数矩阵分层分组，划分出远场子矩阵和近场子矩阵，对近场子矩阵采用矩量法存储，而对互作用小的远场子矩阵采用自适应交叉近似算法进行压缩，并引入奇异值分解算法进一步压缩，压缩后的矩阵以分层低秩分解的形式存储；
Step 4：利用压缩后的子域数值格林函数矩阵来参与对全域拉格朗日乘子方程的求解，将获得的解代入各子域有限元方程即可求出全域的电场分布，最终提取出关心的电磁参数。
2.根据权利要求1所述的基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法，其特征在于：所述步骤Step 2中所述三维电场控制方程是通过微麦克斯韦方程组和介质本构关系推导出电磁场矢量波动方程并消去磁场分量后导出的。
3.根据权利要求1所述的基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法，其特征在于：所述步骤Step 2中所述建立子域有限元线性方程的步骤包括：将每个子域作为独立系统，从三维电场控制方程出发，通过惠特尼基函数展开以及伽辽金法，建立子域有限元线性方程。
4.根据权利要求1所述的基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法，其特征在于：所述步骤Step 3中所述对子域数值格林函数矩阵分层分组的步骤包括：建立子域交界面棱边集合的八叉树结构；基于八叉树结构对子域数值格林函数矩阵进行分层分组，划分出远场子矩阵和近场子矩阵。
5.根据权利要求4所述的基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法，其特征在于：所述对远场子矩阵进行自适应交叉近似压缩过程为：
Figure FDA0002919078310000011
其中
Figure FDA0002919078310000012
为数值格林函数的m阶远场满阵，N1 (m×n)与N2 (n×m)为压缩后的两个矩阵且n＜＜m。
6.根据权利要求4所述的基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法，其特征在于：所述引入奇异值分解算法进一步压缩的步骤包括：对分解完的矩阵进行进一步奇异值分解，舍弃预设精度范围之外的特征值，获得矩阵的低秩分解表达式。
7.根据权利要求6所述的基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法，其特征在于：所述引入奇异值分解算法进一步压缩的过程包括：
N1 (m×n)＝Q1 (m×τ)R1 (τ×n)；
Figure FDA0002919078310000021
Figure FDA0002919078310000022
Figure FDA0002919078310000023
其中，Q1，R1，Q2，R2分别为N1，N2进行QR分解后的矩阵，τ＜n＜m，将
Figure FDA0002919078310000024
进行奇异值分解后得到U(τ×l)S(l×l)V(l×τ)，其中若S(l×l)为一个低秩对角矩阵。
8.根据权利要求1所述的基于压缩型有限元撕裂对接法的电磁仿真方法，其特征在于：所述仿真模型为有限周期性结构，每一个周期单元作为一个子域，相同的子域具有同样的数值格林函数矩阵，对几个典型的子域数值格林函数矩阵进行压缩。
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