CN112541239B - 一种用于储能飞轮的飞轮转子分析方法 - Google Patents

Abstract

一种用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，涉及储能飞轮技术领域，本发明采用基于Timoshenko梁理论的有限元法计算转子的临界转速及振动模态，Timoshenko梁理论不仅考虑了剪切变形和转动惯量的影响，还能准确分析转轴的高阶横向振动模态，被广泛应用在旋转轴的分析计算中，能为储能飞轮其他部件的结构设计提供参考依据，能为储能飞轮工业化、产品化提供帮助等，适合大范围的推广和应用。

Description

一种用于储能飞轮的飞轮转子分析方法

技术领域

本发明涉及储能飞轮技术领域，具体涉及一种用于储能飞轮的飞轮转子分析方法。

背景技术

已知的，飞轮储能技术已经应用于电力系统电网调频、削峰填谷、风电与光伏发电并网、轻轨制动动能再生、不间断电源(UPS)、高功率脉冲电源、卫星储能/姿控等众多领域，美国、德国、日本等发达国家对飞轮储能技术的开发和应用比较多。日本已经制造出在世界上容量最大的变频调速飞轮蓄能发电系统(容量26.5MVA,电压1100V,转速510690r/min,转动惯量710t·m2)。美国马里兰大学也已研究出用于电力调峰的24kwh的电磁悬浮飞轮系统。飞轮重172.8kg,工作转速范围11,610—46,345rpm,破坏转速为48,784rpm,系统输出恒压110-240V,全程效率为81％。经济分析表明,运行3年时间可收回全部成本。飞轮储能技术在美国发展得很成熟,他们制造出一种装置,在空转时的能量损耗达到0.1％每小时。欧洲的法国国家科研中心、德国的物理高技术研究所、意大利的SISE均正开展高温超导磁悬浮轴承的飞轮储能系统研究。

我国在飞轮储能方面的研究起步较晚，目前飞轮储能技术难点主要集中在转子材料及制造和电磁轴承等方面，除清华大学等高等院校在转子及电磁轴承方面有一些研究和进展外，一些企业通过收购国外公司后具备生产相关产品的能力，且技术严重依靠国外技术团队支撑，这就导致这些公司在自主技术方面的薄弱性，而且一些材料方面也严重需要进口，为后期实际产品运行检修维护埋下隐患等。

因此，如何提供一种完全拥有自主知识产权的飞轮储能技术就显得尤为重要，而在飞轮储能技术中，飞轮转子组件是其中的关键部件之一，那么如何提供一种用于储能飞轮的飞轮转子分析方法就成了本领域技术人员的长期技术诉求。

发明内容

为克服背景技术中存在的不足，本发明提供了一种用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，本发明为储能飞轮其他部件的结构设计提供参考依据，为储能飞轮工业化、产品化提供帮助等。

为实现如上所述的发明目的，本发明采用如下所述的技术方案：

一种用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，所述分析方法具体包括如下步骤：

第一步、计算转动惯量：

首先设定储能飞轮可用储电量为1.25kWh，储能飞轮运行转速为8000rpm～10500rpm，根据飞轮转子的动能计算公式为：

式中，E为飞轮储存的动能，单位焦耳；J为转子转动惯量，单位为千克米方；ω为转子的角速度，单位为弧度/秒；

储电量1.25kWh单位换算为焦耳：

E＝1.25kWh×1000W/kW×3600s/h＝4500000J＝4.5MJ；

考虑到储能飞轮的放电深度，即有效放电量满足4.5MJ，恒功率放电时的转速区间设置为8000rpm～10500rpm；

将E＝4500000J，ω₂＝10500*π/30＝1099.56rad/s，ω₁＝8000*π/30＝837.76rad/s，带入上式，可得：J＝2E/(ω₂ ²-ω₁ ²)＝9000000/(1099.5²-837.76²)＝17.74kg*m²；

第二步、估算转动应力：

对于实心圆盘类的飞轮转子，由于离心力产生的应力，沿直径方向的分布是不均匀的，圆盘转子的芯部应力最大，外圆边缘处的应力最小，应力值的大小与圆盘转子的泊松比v、密度ρ和圆盘边缘的线速度V_max有关，其计算公式为：

其中边缘处的线速度V_max＝ω·R,式中R为实心圆盘的半径，对于钢质实心圆盘，设计线速度为330米/秒；

第三步、建立飞轮转子数学模型：

A、建立转子模型：

设定储能飞轮转子长1400mm，最大直径600mm，转子为单圆盘偏置结构，两端由金属叠片组成的磁悬浮轴承支撑部位，在工作状态下，转子靠两端的磁轴承弹性支撑做立式旋转运动，根据转子结构特性把转子合理简化为由无质量弹性轴与刚性薄圆盘构成的旋转结构，以转子下部的支撑点为原点建立坐标系oxyz，转子轴向方向为oz轴，水平方向为ox，垂直于oxz平面向外为oy轴，转子弹性转轴两端支撑在磁轴承A和B上，磁轴承简化为弹性支撑，刚性薄圆盘到下支撑点的距离为a，其转子质量、极转动惯量和赤道转动惯量分别为m_d、J_p、J_d。在转子运动的任意时，两支承点坐标分别为A′(x_A，y_A)和B′(x_B，y_B)；圆盘的形心及坐标o′(x，y)，圆盘偏置引起的摆角为θ_x，θ_y，轴长为l；

B、转子系统的涡动微分方程：

利用转子圆盘与弹性支撑的位移和速度，计算转子系统的势能与动能，然后采用lagrange方程建立转子的弹性支撑单盘偏置转子的稳态微分方程，忽略阻尼的影响，稳态涡动时圆盘与支撑共计8个自由度，由第二拉格朗日方程得：

其中：

m_d、J_p、J_d分别为转子质量、极转动惯量和赤道转动惯量；

K_ed为磁轴承的刚度矩阵，K_ed为磁轴承的刚度，K₁为o′xz平面内整个系统的刚度矩阵，K_c为不计支撑弹性的弹性转轴的刚度矩阵；Φ为偏置矩阵，反应刚体自由度对圆盘位移的影响；

x、y、θ_x、θ_y分别为转子形心的绝对位移和转角；x_A、y_A、x_B、y_B分别为两端支撑A和B的位移；

e为转子偏心距；Ω为转子自转角速度；

f_Ax和f_Ay分别为轴承A端x和y方向所受的电磁力；f_Bx、f_By分别为轴承B端x和y方向所受的电磁力；

C、Timoshenko梁理论：

采用基于Timoshenko梁理论的有限元法计算转子的临界转速及振动模态，运动方程包含剪切变形、转动惯量、陀螺力矩，在复坐标中写成如下形式：

式中：q、φ为复横向位移和截面偏转角位移，q＝x+iy，φ＝θ_x+iθ_y；F和M为复剪切力和弯矩，F＝F_x+iF_y，M＝M_x+iM_y；ρ、E及G分别为材料的密度、弹性模量及剪切模量；A、I_ρ及I_d分别为截面积、极转动惯量及直径转动惯量，κ为Timoshenko剪切系数；

D、转子单元运动方程：

采用弹性轴段单元来离散化转子，该单元的广义坐标是两端节点的位移，仅考虑横向振动时，单元位移向量包括四个位移和四个转角：

δ＝[x₁ y₁ φ_x1 φ_y1 x₂ y₂ φ_x2 φ_y2]^r

引入Timoshenko梁的典型位移函数：

其中

Φ为梁弯曲刚度和剪切刚度比，

式中：EI为梁的弯曲刚度，κGA为剪切刚度；

轴段单元内任一截面的位移用该单元的节点位移表示为：

只考虑轴段的横向振动，且转子轴段截面为对称圆截面，则在固定坐标系中的动能和势能表达式为：

将式

代入

得：

忽略轴段内阻尼将(3-16)式代入Lagrange方程，可得轴段单元运动方程：

式中，Q＝[F_x1 F_y1 M_x1 M_y1 F_x2 F_y2 M_x2 M_y2]。

所述的用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，所述第一步中转子在8000rpm～10500rpm之间充放电时，飞轮转子的转动惯量要大于等于17.74kg*m²。

所述的用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，所述第三步中

是两个4阶矩阵方程合并成的8阶矩阵方程，由于该转子系统结构轴对称，取复向量z＝u₁+ju₂，简化方程为：

令u＝u₀e^jωt，代入稳态自由涡动微分方程：

[-M₁ω²+J₁Ωω+K_e]z₀＝0

得频率方程：

|-M₁ω²+J₁Ωω+K_e|＝0

对于同步正向涡动Ω＝ω，方程可简化为：

|(-M₁+J₁)ω²+K_e|＝0

由于刚度矩阵恒正定，而惯性矩阵可能正定，也可能非正定，对于后者，由方程求出的涡动角速度的平方ω²可能是负实数，在物理上无意义，故同步正向涡动临界角速度可能少于4个；

对于同步反向涡动Ω＝-ω，方程可简化为：

|(-M₁-J₁)ω²+K_e|＝0

惯性矩阵恒正定，故方程求出涡动角速度的平方ω²恒为正实数，故同步反向涡动临界角速度总有4个。

所述的用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，所述第三步中当转子结构参数一定时，刚度系数主要取决于磁轴承与控制系统的设计，不同的控制规律刚度特性不同，反之，确定转速和刚度后，可以反求出相应的控制参数。

所述的用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，所述第三步中剪切系数κ对Timoshenko旋转梁的振动分析结果有影响，其大小与材料特性和截面几何形状有关，对圆截面κ＝6(1+μ)²/(7+12μ+4μ⁴)。

采用如上所述的技术方案，本发明具有如下所述的优越性：

本发明采用基于Timoshenko梁理论的有限元法计算转子的临界转速及振动模态，Timoshenko梁理论不仅考虑了剪切变形和转动惯量的影响，还能准确分析转轴的高阶横向振动模态，被广泛应用在旋转轴的分析计算中，能为储能飞轮其他部件的结构设计提供参考依据，能为储能飞轮工业化、产品化提供帮助等，适合大范围的推广和应用。

附图说明

图1是本发明中转子动力学模型示意图；

图2是本发明中Timoshenko梁；

图3是本发明中轴单元。

具体实施方式

通过下面的实施例可以更详细的解释本发明，本发明并不局限于下面的实施例；

本发明结合附图1～3所述的一种用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，所述分析方法具体包括如下步骤：

第一步、计算转动惯量：

首先设定储能飞轮可用储电量为1.25kWh，储能飞轮运行转速为8000rpm～10500rpm，根据飞轮转子的动能计算公式为：

式中，E为飞轮储存的动能，单位焦耳；J为转子转动惯量，单位为千克米方；ω为转子的角速度，单位为弧度/秒；

储电量1.25kWh单位换算为焦耳：

E＝1.25kWh×1000W/kW×3600s/h＝4500000J＝4.5MJ；

考虑到储能飞轮的放电深度，即有效放电量满足4.5MJ，恒功率放电时的转速区间设置为8000rpm～10500rpm；

将E＝4500000J，ω₂＝10500*π/30＝1099.56rad/s，ω₁＝8000*π/30＝837.76rad/s，带入上式，可得：J＝2E/(ω₂ ²-ω₁ ²)＝9000000/(1099.5²-837.76²)＝17.74kg*m²；

因此要求转子在8000rpm～10500rpm之间充放电时，飞轮转子的转动惯量要大于等于17.74kg*m²；

上述的飞轮转子转动惯量计算为理论值，实际设计的转子转动惯量只要大于17.74kg*m²就可以有效放出4.5MJ(即1.25kwh)的电量；

第二步、估算转动应力：

根据文献《磁悬浮轴承——理论、设计及旋转机械应用》中关于高速转子设计准则与限制特征的要求，对于实心圆盘类的飞轮转子，由于离心力产生的应力，沿直径方向的分布是不均匀的，圆盘转子的芯部应力最大，外圆边缘处的应力最小，应力值的大小与圆盘转子的泊松比v、密度ρ和圆盘边缘的线速度V_max有关，其计算公式为：

其中边缘处的线速度V_max＝ω·R,式中R为实心圆盘的半径，对于钢质实心圆盘，设计线速度为330米/秒；此时不同种类钢质材料圆盘的圆盘中心最大应力如下表所示：

中心最大应力表

从上表中材料可以看出，S06钢屈服强度可达1160MPa，安全系数达到了3.3，但由于飞轮转子的尺寸较大，相应的体积和重量也很大，因此在进行材料的热处理时，很难保证实心圆盘中心的冷却速度，因此实际钢转子能够保证的屈服强度大约在1000MPa，同时考虑到疲劳和安全因素，转子的理论安全系数应该能保证在2.5以上；

第三步、建立飞轮转子数学模型：

A、建立转子模型：

设定储能飞轮转子长1400mm，最大直径600mm，转子为单圆盘偏置结构，两端由金属叠片组成的磁悬浮轴承支撑部位，在工作状态下，转子靠两端的磁轴承弹性支撑做立式旋转运动，根据转子结构特性把转子合理简化为由无质量弹性轴与刚性薄圆盘构成的旋转结构，以转子下部的支撑点为原点建立坐标系oxyz，转子轴向方向为oz轴，水平方向为ox，垂直于oxz平面向外为oy轴，具体如图1所示，转子弹性转轴两端支撑在磁轴承A和B上，磁轴承简化为弹性支撑，刚性薄圆盘到下支撑点的距离为a，其转子质量、极转动惯量和赤道转动惯量分别为m_d、J_p、J_d。在转子运动的任意时，两支承点坐标分别为A′(x_A，y_A)和B′(x_B，y_B)；圆盘的形心及坐标o′(x，y)，圆盘偏置引起的摆角为θ_x，θ_y，轴长为l；

B、转子系统的涡动微分方程：

利用转子圆盘与弹性支撑的位移和速度，计算转子系统的势能与动能，然后采用lagrange方程建立转子的弹性支撑单盘偏置转子的稳态微分方程，忽略阻尼的影响，稳态涡动时圆盘与支撑共计8个自由度，由第二拉格朗日方程得：

其中：

m_d、J_p、J_d分别为转子质量、极转动惯量和赤道转动惯量；

K_ed为磁轴承的刚度矩阵，K_ed为磁轴承的刚度，K₁为o′xz平面内整个系统的刚度矩阵，K_c为不计支撑弹性的弹性转轴的刚度矩阵；Φ为偏置矩阵，反应刚体自由度对圆盘位移的影响；

x、y、θ_x、θ_y分别为转子形心的绝对位移和转角；x_A、y_A、x_B、y_B分别为两端支撑A和B的位移；

e为转子偏心距；Ω为转子自转角速度；

f_Ax和f_Ay分别为轴承A端x和y方向所受的电磁力；f_Bx、f_By分别为轴承B端x和y方向所受的电磁力；

是两个4阶矩阵方程合并成的8阶矩阵方程，由于该转子系统结构轴对称，取复向量z＝u₁+ju₂，简化方程为：

令u＝u₀e^jωt，代入稳态自由涡动微分方程：

[-M₁ω²+J₁Ωω+K_e]z₀＝0

得频率方程：

|-M₁ω²+J₁Ωω+K_e|＝0

对于同步正向涡动Ω＝ω，方程可简化为：

|(-M₁+J₁)ω²+K_e|＝0

由于刚度矩阵恒正定，而惯性矩阵可能正定，也可能非正定，对于后者，由方程求出的涡动角速度的平方ω²可能是负实数，在物理上无意义，故同步正向涡动临界角速度可能少于4个；

对于同步反向涡动Ω＝-ω，方程可简化为：

|(-M₁-J₁)ω²+K_e|＝0

惯性矩阵恒正定，故方程求出涡动角速度的平方ω²恒为正实数，故同步反向涡动临界角速度总有4个；

通过

能看出涡动特性受到电磁力和结构动力学参数的共同影响；

当转子结构参数一定时，刚度系数主要取决于磁轴承与控制系统的设计，不同的控制规律刚度特性不同；反之，确定转速和刚度后，可以反求出相应的控制参数。由此，可以通过理论研究来指导主动磁悬浮轴承的设计；

C、Timoshenko梁理论：

转子动力学有限元法能对大型复杂转子系统直接列出运动方程，考虑更复杂的边界条件和更多的内部影响因素。有限单元法常将轴段用连续梁来描述，不同的梁模型对高速旋转机械的动力学响应分析结果会有较大的影响，采用基于Timoshenko梁理论的有限元法计算转子的临界转速及振动模态，被广泛应用在旋转轴的分析计算中，图2为Timoshenko模型，运动方程包含剪切变形、转动惯量、陀螺力矩，在复坐标中可写成如下形式：

式中：q、φ为复横向位移和截面偏转角位移，q＝x+iy，φ＝θ_x+iθ_y；F和M为复剪切力和弯矩，F＝F_x+iF_y，M＝M_x+iM_y；ρ、E及G分别为材料的密度、弹性模量及剪切模量；A、I_ρ及I_d分别为截面积、极转动惯量及直径转动惯量，κ为Timoshenko剪切系数；剪切系数κ对Timoshenko旋转梁的振动分析结果有很大影响，其大小与材料特性和截面几何形状有关，对圆截面κ＝6(1+μ)²/(7+12μ+4μ⁴)；

D、转子单元运动方程：

采用如图3所示的弹性轴段单元来离散化转子，该单元的广义坐标是两端节点的位移，仅考虑横向振动时，单元位移向量包括四个位移和四个转角：

δ＝[x₁ y₁ φ_x1 φ_y1 x₂ y₂ φ_x2 φ_y2]^T

引入Timoshenko梁的典型位移函数：

其中

Φ为梁弯曲刚度和剪切刚度比，

式中：EI为梁的弯曲刚度，κGA为剪切刚度；

轴段单元内任一截面的位移用该单元的节点位移表示为：

只考虑轴段的横向振动，且转子轴段截面为对称圆截面，则在固定坐标系中的动能和势能表达式为：

将式

代入

得：

忽略轴段内阻尼将(3-16)式代入Lagrange方程，可得轴段单元运动方程：

式中，Q＝[F_x1 F_y1 M_x1 M_y1 F_x2 F_y2 M_x2 M_y2]。

本发明未详述部分为现有技术。

为了公开本发明的发明目的而在本文中选用的实施例，当前认为是适宜的，但是，应了解的是，本发明旨在包括一切属于本构思和发明范围内的实施例的所有变化和改进。

Claims (5)

1.一种用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，其特征是：所述分析方法具体包括如下步骤：

第一步、计算转动惯量：

首先设定储能飞轮可用储电量为1.25kWh，储能飞轮运行转速为8000rpm～10500rpm，根据飞轮转子的动能计算公式为：

式中，E为飞轮储存的动能，单位焦耳；J为转子转动惯量，单位为千克米方；ω为转子的角速度，单位为弧度/秒；

储电量1.25kWh单位换算为焦耳：

E＝1.25kWh×1000W/kW×3600s/h＝4500000J＝4.5MJ；

考虑到储能飞轮的放电深度，即有效放电量满足4.5MJ，恒功率放电时的转速区间设置为8000rpm～10500rpm；

将E＝4500000J，ω₂＝10500*π/30＝1099.56rad/s，ω₁＝8000*π/30＝837.76rad/s，带入上式，可得：J＝2E/(ω₂ ²-ω₁ ²)＝9000000/(1099.5²-837.76²)＝17.74kg*m²；

第二步、估算转动应力：

对于实心圆盘类的飞轮转子，由于离心力产生的应力，沿直径方向的分布是不均匀的，圆盘转子的芯部应力最大，外圆边缘处的应力最小，应力值的大小与圆盘转子的泊松比v、密度ρ和圆盘边缘的线速度V_max有关，其计算公式为：

其中边缘处的线速度V_max＝ω·R,式中R为实心圆盘的半径，对于钢质实心圆盘，设计线速度为330米/秒；

第三步、建立飞轮转子数学模型：

A、建立转子模型：

设定储能飞轮转子长1400mm，最大直径600mm，转子为单圆盘偏置结构，两端由金属叠片组成的磁悬浮轴承支撑部位，在工作状态下，转子靠两端的磁轴承弹性支撑做立式旋转运动，根据转子结构特性把转子合理简化为由无质量弹性轴与刚性薄圆盘构成的旋转结构，以转子下部的支撑点为原点建立坐标系oxyz，转子轴向方向为oz轴，水平方向为ox，垂直于oxz平面向外为oy轴，转子弹性转轴两端支撑在磁轴承A和B上，磁轴承简化为弹性支撑，刚性薄圆盘到下支撑点的距离为a，其转子质量、极转动惯量和赤道转动惯量分别为m_d、J_p、J_d， 在转子运动的任意时，两支承点坐标分别为A′(x_A，y_A)和B′(x_B，y_B)；圆盘的形心及坐标o′(x，y)，圆盘偏置引起的摆角为θ_x，θ_y，轴长为1；

B、转子系统的涡动微分方程：

利用转子圆盘与弹性支撑的位移和速度，计算转子系统的势能与动能，然后采用lagrange方程建立转子的弹性支撑单盘偏置转子的稳态微分方程，忽略阻尼的影响，稳态涡动时圆盘与支撑共计8个自由度，由第二拉格朗日方程得：

其中：

m_d、J_p、J_d分别为转子质量、极转动惯量和赤道转动惯量；

K_ed为磁轴承的刚度矩阵，K_ed为磁轴承的刚度，K₁为o′xz平面内整个系统的刚度矩阵，K_c为不计支撑弹性的弹性转轴的刚度矩阵；Φ为偏置矩阵，反应刚体自由度对圆盘位移的影响；

x、y、θ_x、θ_y分别为转子形心的绝对位移和转角；x_A、y_A、x_B、y_B分别为两端支撑A和B的位移；

e为转子偏心距；Ω为转子自转角速度；

f_Ax和f_Ay分别为轴承A端x和y方向所受的电磁力；f_Bx、f_By分别为轴承B端x和y方向所受的电磁力；

C、Timoshenko梁理论：

采用基于Timoshenko梁理论的有限元法计算转子的临界转速及振动模态，运动方程包含剪切变形、转动惯量、陀螺力矩，在复坐标中写成如下形式：

式中：q、φ为复横向位移和截面偏转角位移，q＝x+iy，φ＝θ_x+iθ_y；F和M为复剪切力和弯矩，F＝F_x+iF_y，M＝M_x+iM_y；ρ、E及G分别为材料的密度、弹性模量及剪切模量；A、I_ρ及I_d分别为截面积、极转动惯量及直径转动惯量，κ为Timoshenko剪切系数；

D、转子单元运动方程：

采用弹性轴段单元来离散化转子，该单元的广义坐标是两端节点的位移，仅考虑横向振动时，单元位移向量包括四个位移和四个转角：

δ＝[x₁ y₁ φ_x1 φ_y1 x₂ y₂ φ_x2 φ_y2]^T

引入Timoshenko梁的典型位移函数：

其中

Φ为梁弯曲刚度和剪切刚度比，

式中：EI为梁的弯曲刚度，κGA为剪切刚度；

轴段单元内任一截面的位移用该单元的节点位移表示为：

只考虑轴段的横向振动，且转子轴段截面为对称圆截面，则在固定坐标系中的动能和势能表达式为：

将式

代入

得：

忽略轴段内阻尼将(3-16)式代入Lagrange方程，可得轴段单元运动方程：

式中，Q＝[F_x1 F_y1 M_x1 M_y1 F_x2 F_y2 M_x2 M_y2]。

2.根据权利要求1所述的用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，其特征是：所述第一步中转子在8000rpm～10500rpm之间充放电时，飞轮转子的转动惯量要大于等于17.74kg*m²。

3.根据权利要求1所述的用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，其特征是：所述第三步中

是两个4阶矩阵方程合并成的8阶矩阵方程，由于该转子系统结构轴对称，取复向量z＝u₁+ju₂，简化方程为：

令u＝u₀e^jωt，代入稳态自由涡动微分方程：

[-M₁ω²+J₁Ωω+K_e]z₀＝0

得频率方程：

|-M₁ω²+J₁Ωω+K_e|＝0

对于同步正向涡动Ω＝ω，方程可简化为：

|(-M₁+J₁)ω²+K_e|＝0

由于刚度矩阵恒正定，而惯性矩阵可能正定，也可能非正定，对于后者，由方程求出的涡动角速度的平方ω²可能是负实数，在物理上无意义，故同步正向涡动临界角速度可能少于4个；

对于同步反向涡动Ω＝-ω，方程可简化为：

|(-M₁-J₁)ω²+K_e|＝0

惯性矩阵恒正定，故方程求出涡动角速度的平方ω²恒为正实数，故同步反向涡动临界角速度总有4个。

4.根据权利要求1所述的用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，其特征是：所述第三步中当转子结构参数一定时，刚度系数主要取决于磁轴承与控制系统的设计，不同的控制规律刚度特性不同，反之，确定转速和刚度后，可以反求出相应的控制参数。

5.根据权利要求1所述的用于储能飞轮的飞轮转子分析方法，其特征是：所述第三步中剪切系数κ对Timoshenko旋转梁的振动分析结果有影响，其大小与材料特性和截面几何形状有关，对圆截面κ＝6(1+μ)²/(7+12μ+4μ⁴)。

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