CN112464532A - 一种纳米级硬质合金颗粒生长规律研究方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法,包括以下步骤：S1、建立硬质合金颗粒单元尺寸生长离散化数学模型；S2、求出离散化后的表示初试颗粒体积单元尺寸的方程；S3设计结构化立方法求对应的非线性方程的稳定接并研究其收敛性；本发明使用结构化立方法求解对应的非线性方程，相比于现有的加倍迭代算法，本方法更加精确，迭代次数少，精度高。

Description

一种纳米级硬质合金颗粒生长规律研究方法

技术领域

本发明涉及一种硬质合金领域，更具体地，涉及一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法。

背景技术

一直以来，我国很多企业由于缺乏合适的粉末制备方法难以制备出细颗粒硬质合金材料。但近年来，粉末制造方面出现了很多进展，这些进展为实现纳米级粒度硬质合金粉末开辟了新的途径。一般来说，颗粒处于0.5-1微米的称为亚微米颗粒合金；小于0.5微米的称为超细颗粒合金；而在100纳米左右的称为纳米颗粒合金。相对于传统的粗粒合金，纳米颗粒合金在材料的硬度、韧性等方面具有极大的提升。为了制备微小颗粒硬质合金，一种传统的方法为液相烧结。在这种方法中，通常为了阻碍颗粒的生长需要使用抑制剂，常用的抑制剂包括钒，钽和铬的碳化物等。然而这些颗粒生长抑制剂对于非常小的颗粒的硬质合金制备无效。另一种制造纳米颗粒硬质合金的方法为固态烧结。不同于液相烧结中的颗粒粗化，已有固态烧结研究显示，在固态下会发50％以上的颗粒致密化。在升温过程中致密化速率较高，在等温保持过程中致密化速率降低。由此若用固态烧结制造纳米颗粒硬质合金就需要对固态烧结行为进行全面研究。由于微观结构的演变能够反映烧结的进展，而微观结构的变化则显示颗粒相当大的结块，因此颗粒尺寸会随着烧结时的能量和时间的增加而相应增加，但其具体增长机制尚不完全明确，因此研究颗粒尺寸和颗粒分布的规律将对制造纳米颗粒硬质的烧结机理和动力学原理起到极大的帮助。

目前采用体胞模型来研究硬质合金晶体颗粒增长是一种常用的方法，但是这个模型通常会对合金晶体颗粒实际结构进行了大量的简化，此外模型中假定晶粒为圆形或方形，与实际有较大的差别，不能反映材料的真实微观结构。从而不能在普遍意义上指导材料研制开发。

发明内容

本发明针对问题。提供一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法。

为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法，包括以下步骤：

S1、建立硬质合金颗粒单元尺寸生长离散化数学模型；

S2、求出离散化后的表示初试颗粒体积单元尺寸的非线性方程；非线性方程表达式为：

X+BX^-1A＝Q；

S3、设计结构化立方法求对应的非线性方程的稳定解并研究其收敛性；

S4、求出非线性方程的解之后对应到硬质合金颗粒单元尺寸生长离散化数学模型中，求得纳米级硬质合金颗粒生长数值。

进一步的，在步骤S2中采用五点中心有限差方法进行离散化。

进一步的，离散化时采用等尺寸分布的网格，网格大小为h＝1/m，离散区域为Ω＝[-0.5,正无穷)×[-0.5,0.5]。

进一步的，在步骤S2中通过构造矩阵的方法求得离散化后的非线性方程。

进一步的，构造的矩阵表示为：

K_a＝Γ_mΨΓ_m+1,

F_a＝[e₁ ⁽ⁿ⁾,...,e_m ⁽ⁿ⁾]

G_a＝[e_m(m-1)+1 ⁽ⁿ⁾,...,e_n ⁽ⁿ⁾]

K_b＝K_a ^*；F_b＝G_a、G_b＝F_a。

进一步的，对矩阵进行处理，得到非线性方程的系数矩阵，非线性方程的系数矩阵为：

A＝F_aK_aG_a*,B＝F_bK_aG_b*,Q＝(E+iη)I_n-H_b

其中，η为小的正常数，E为感兴趣的能量值。

进一步的，在步骤S3中，求非线性方程的稳定解包括以下过程：先预处理，构建矩阵，再通过反复迭代，直至矩阵收敛。

进一步的，预处理构造的矩阵为：

本发明的有益效果为：

附图说明

图1为两种计算方法在能量值为0时迭代次数对比图；

图2为两种计算方法在能量值为5.4时迭代次数对比图；

图3为两种计算方法在能量值为8.85时迭代次数对比图；

图4为两种计算方法在能量值为12时迭代次数对比图；

图5为两种计算方法在问题规模为1000时迭代次数对比图；

图6为两种计算方法在问题规模为10000时迭代次数对比图；

图7为两种计算方法在问题规模为100000时迭代次数对比图；

图8为两种计算方法在问题规模为1000000时迭代次数对比图。

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明作进一步的说明。

一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法，包括以下步骤：一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法

S1、建立硬质合金颗粒单元尺寸生长离散化数学模型；

纳米级的硬质合金颗粒生长模型对应到一个半无限的Hamiltonian算子

S2、求出离散化后的表示初试颗粒体积单元尺寸的非线性方程；

对上述算子采用五点中心有限差分方法进行离散化，其中网格采用等尺寸分布的网格，其大小为h＝1/m，离散区域为Ω＝[-0.5,正无穷)×[-0.5,0.5]，其中

为第一Brillouin区域Ω^*＝[-π,π]²的数；

其中

且B_ρ(j)＝{(x₁,x₂)|(x₁-j)²+x₂ ²<ρ,0<ρ<0.5},

表示Dielectric函数

设矩阵

其中e_j ^(m),T_m为一个m×m的三对角矩阵，其主对角元为4，上下两个次对角元为-1；D_m为m×m三对角矩阵，其主对角元为0，上下两个次对角元分别为-1和1；e_j ^(m)表示m×m的单位矩阵的第j列。对角矩阵Γj的对角元为矩阵Υ的第j列，且满足

在模型中，若设n＝m²且构造矩阵

K_a＝Γ_mΨΓ_m+1,

F_a＝[e₁ ⁽ⁿ⁾,...,e_m ⁽ⁿ⁾]

G_a＝[e_m(m-1)+1 ⁽ⁿ⁾,...,e_n ⁽ⁿ⁾]

K_b＝K_a ^*；F_b＝G_a、G_b＝F_a。

同时构造每个子块的维数为m×m的块三对角矩阵H_b，其主对角块、上对角块和下对角块矩阵分别为H_b(j,j)＝Γ_jΦΓ_j,H_b(j,j+1)＝Γ_jΦΓ_j,H_b(j+1,j)＝H_b(j,j+1) ^*,j＝1,2,...,m。这样非线性矩阵方程的系数矩阵为

A＝F_aK_aG_a*,B＝F_bK_aG_b*,Q＝(E+iη)I_n-H_b,

其中η为小的正常数，E为感兴趣的能量值。这样得到纳米级硬质合金颗粒生长规律对应的非线性方程

X+BX^-1A＝Q。

S3、设计结构化立方法求对应的非线性方程的稳定解并研究其收敛性；

A₀＝A,B₀＝B,Q₀＝Q,P₀＝0,S₀＝Q-BQ^-1A,R＝Q-AQ^-1B

A_k+1＝A_k(Q_k-P_k)^-1A_kS_k ^-1A_k,

B_k+1＝B_kS_k ^-1B_k(Q_k-P_k)^-1B_k

Q_k+1＝Q_k-B_kS_k ^-1A_k,

P_k+1＝P_k+A_kR_k ^-1B_k.

S_k+1＝Q_k+1-P_k+1-B_k+1(Q_k+1-P_k+1)^-1A_k+1,

R_k+1＝Q_k+1-P_k+1-A_k+1(Q_k+1-P_k+1)^-1B_k+1.

纳米级硬质合金生长规律中大规模矩阵A和B一般具有结构A＝F_aK_aG_a ^*和B＝F_bK_bG_b ^*，设

上述的结构化立方法变为

1.预处理步:构造矩阵

2.迭代步：给定矩阵K₀ ^A＝K_a,K₀ ^B＝K_b,K₀ ^Q＝0,K₀ ^P＝0,K₀ ^S＝K_bT₂₁K_a,K₀ ^R＝K_aT₁₂K_b,N₀ ^Q＝(I-J₀ ^QT)^-1J₀ ^Q,N₀ ^S＝(I-J₀ ^ST)^-1J₀ ^S和N₀ ^R＝(I-J₀ ^RT)^-1J₀ ^R，对k>0做如下迭代直至收敛：

K_k+1 ^A＝K_k ^A(T₁₁+T_(1,:)N_k ^RT_(:,1))K_k ^A(T₁₁+T_(1,:)N_k ^QT_(:,1))K_k ^A,

K_k+1 ^B＝K_k ^B(T₂₂+T_(2,:)N_k ^ST_(:,2))K_k ^B(T₂₂+T_(2,:)N_k ^QT_(:,2))K_k ^B

K_k+1 ^Q＝K_k ^Q-K_k ^B(T₂₁+T_(1,:)N_k ^ST_(:,1))K_k ^A,

K_k+1 ^P＝K_k ^P-K_k ^A(T₁₂+T_(1,:)N_k ^RT_(:,2))K_k ^B,

K_k+1 ^S＝K_k+1 ^Q-K_k ^B(T₂₁+T_(2,:)N_k ^QT_(:,1))K_k+1 ^A,

K_k+1 ^R＝K_k+1 ^P-K_k ^R(T₁₂+T_(1,:)N_k ^QT_(:,2))K_k+1 ^A,

N_k+1 ^Q＝(I-J_k+1 ^QT)^-1J_k+1 ^Q,

N_k+1 ^S＝(I-J_k+1 ^ST)^-1J_k+1 ^S

N_k+1 ^R＝(I-J_k+1 ^RT)^-1J_k+1 ^R

S4、求出非线性方程的解之后对应到硬质合金颗粒单元尺寸生长离散化数学模型中，求得纳米级硬质合金颗粒生长数值。

仿真实验：

一、

在数值仿真中对能量值E选取等分区间[0,15]的105个节点值。在105个能量值处都运行了结构化立方法和原来的加倍方法，相关的参数分别取m＝50，ρ＝0.3$，ε₁＝1，ε₂＝10，(k₁,k₂)＝(0.5,0.7)，η＝10^-8和tol＝10^-8，仿真实验在105个能量值处都运行了结构化立方法和原来的加倍方法，相对于约25秒的预处理计算时间,两种方法在每个能量值处迭代过程的时间差别都不超过0.1秒，因此可以忽略不计。在仿真中发现在所有的能量值中两种方法终止后的迭代次数分别少于56和34，说明发明的结构化立方法需要的迭代次数更少。下面图1—图4中记录了将两种方法在能量值在0、5.40、8.85、12.00处的计算结果，图中各个方法迭代时间占整个算法时间的比率为：

R_dct＝加倍算法迭代时间/(预处理时间+加倍算法迭代时间)％,

R_tct＝结构化立方法迭代时间/(预处理时间+结构化立方法)％。

从四个图中可以看出当两种算法满足终止条件时，四种情况下结构化立方法的迭代次数都约为原来方法的三分之二。这说明两种方法有差不多的效率指标，但是结构化立方法却能用更少的迭代次数获得比原来的加倍方法更低的方程残量水平。尤其在能量值为5.4和8.8处，结构化立方法获得的残量水平比原来加倍方法的精度高约1000倍。

二、随机生成了矩阵K_a，K_b，F_a,F_b G_a,G_b，其中r_a＝r_b＝3。进一步设构造矩阵

A＝F_aK_aG_a ^*,B＝F_bK_bG_b ^*,Q＝Q_t+iξI_n,

其中取常数ξ＝0.1为正的常数且算法容忍度为tol＝10^-10。对规模为n＝10³,10⁴,10⁵和10⁶的非线性矩阵方程进行计算。两种方法在每次迭代中计算的规范化残量记录在图5—图8中。

从图5——图8可以看出，原来的加倍算法在初始几步能获得比新提出的结构化立方法更低的方程残量。但是从第四步迭代开始，结构化立方法获得的方程残量有很明显的降低。对于规模为n＝10³的模型，两种算法的预处理时间都很短(大约0.008秒)，因此左上块的子图显示R_tct比R_dct要大得多，但是随着问题规模的增加，其他三个图显示R_tc和R_dct的差别越来越小，到规模为10⁵和10⁶时，两种方法的时间差别几乎可以忽略不计，即这意味着两种算法具有差不多的全局效率。但是结构化立方法需要的迭代次数约为原来加倍算法迭代次数的三分之二，而且能获得比原来的加倍方法更低的方程残量。

以上所述实施例仅是为充分说明本发明而所举的较佳的实施例，本发明的保护范围不限于此。本技术领域的技术人员在本发明基础上所作的等同替代或变换，均在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法，其特征在于，包括以下步骤：一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法

S1、建立硬质合金颗粒单元尺寸生长离散化数学模型；

S2、求出离散化后的表示初试颗粒体积单元尺寸的非线性方程；非线性方程表达式为：

X+BX^-1A＝Q；

S3、设计结构化立方法求对应的非线性方程的稳定解并研究其收敛性；

S4、求出非线性方程的解之后对应到硬质合金颗粒单元尺寸生长离散化数学模型中，求得纳米级硬质合金颗粒生长数值。

2.根据权利要求1所述的一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法，其特征在于，在步骤S2中采用五点中心有限差方法进行离散化。

3.根据权利要求2所述的一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法，其特征在于，离散化时采用等尺寸分布的网格，网格大小为h＝1/m，离散区域为Ω＝[-0.5,正无穷)×[-0.5,0.5]。

4.根据权利要求1所述的一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法，其特征在于，在步骤S2中通过构造矩阵的方法求得离散化后的非线性方程。

5.根据权利要求4所述的一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法，其特征在于，构造的矩阵表示为：

K_a＝Γ_mΨΓ_m+1,

F_a＝[e₁ ⁽ⁿ⁾,...,e_m ⁽ⁿ⁾]

G_a＝[e_m(m-1)+1 ⁽ⁿ⁾,...,e_n ⁽ⁿ⁾]

K_b＝K_a ^*；F_b＝G_a、G_b＝F_a。

6.根据权利要求5所述的一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法，其特征在于，对矩阵进行处理，得到非线性方程的系数矩阵，非线性方程的系数矩阵为：

A＝F_aK_aG_a*,B＝F_bK_aG_b*,Q＝(E+iη)I_n-H_b

其中，η为小的正常数，E为感兴趣的能量值。

7.根据权利要求1所述的一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法，其特征在于，在步骤S3中，求非线性方程的稳定解包括以下过程：先预处理，构建矩阵，再通过反复迭代，直至矩阵收敛。

8.根据权利要求7所述的一种纳米级硬质合金颗粒生长规律数值模拟研究方法，其特征在于，预处理构造的矩阵为：

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