CN112257291B - 基于区间参数pid控制器的双馈风力发电系统电流控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于区间参数PID控制器的双馈风力发电系统电流控制方法，包括建立三相静止、两相旋转坐标系下的双馈风力发电机和变换器的模糊区间数数学模型研究双馈电机在电网高电压故障时的电磁过程，并通过理论分析，推导出各种不同电网电压故障时的双馈电机定子磁链及转子感应电压的值，根据双馈风力发电系统的多参数不确定性特点，把模糊区间数引入双馈风力发电系统模型中，建立三相静止、两相旋转坐标系下的双馈风力发电机和变换器的模糊区间数数学模型；为双馈风力发电系统高电压穿越控制及保护策略的研究提供理论依据。

Description

基于区间参数PID控制器的双馈风力发电系统电流控制方法

技术领域

本发明涉及模糊区间数学模型技术领域，特别涉及一种基于区间参数PID控制器的双馈风力发电系统电流控制方法。

背景技术

模糊数学起源于美国著名的控制论专家L.A.Zadeh的模糊集合论，它的发现是数学发展史上的一座丰碑，使得我们由一个确定性的数学世界进入了不确定性的数学世界。之前在工程实践、科学研究乃至平常生活中，人们所碰到的需要研究的问题，基本上都属于确定性问题，如在某磁场内磁场强度与磁通之间、作用力与反作用力之间都存在确定性关系，属于确定性问题，我们可以用一般代数方程，或者使用微分方程等就可以解决问题。但对于某一对象的体积、重量的测量误差的大致估计；工厂使用产品的寿命的测量；机械部件某个部分出现损伤程度的鉴定；美与丑、大与小的划分等都没有完全确定的定义，属于不确定性问题，不能用上述常规方程进行研究，而L.A.Zadeh的模糊集合论的发表，创造了用于解决模糊现象的学科--模糊数学。模糊数学发展很迅速，各个领域都呈现出了百花齐放的现象。如在拓扑学、逻辑学、控制论、聚类分析、故障诊断诸多方面都取得了很大的突破。

区间数产生于模糊数，所谓区间数就是指把一个区间[a,b]作为一个整体来考虑，一般都是闭区间。假定给一个区间a，它的隶属函数在该区间上取1而在区间外取0。为了确定模糊区间形状，需要考虑二维空间，水平维度类似于在区间表示之中使用的方法，垂直维度则与隶属度的处理有关，因此受限于区间[0,1]。

区间运算是在一组区间上定义的算术，而区间其实就是实数轴上的一个闭区间，现代区间算术的发展始于R.E.Moore的论文。从那以后，成千上万的研究文章和大量的书籍出现在这个主题上，定期会议和特别会议都是关于这个问题的。

不确定参数系统研究

研究意义

(1)自动控制领域的研究工作具有长远的经济效益和社会效益。新疆是石油和矿产资源非常丰富的地区，能源和纺织为新疆的主流工业。新疆的第11个5年规划中，提到发展新兴绿色工业，现又提出跨越式发展长治久安的基本路线。随着科学技术的发展，新型工业不但趋于大型化、复杂化和自动化，而且是多能量、多变量以及数字控制和模拟控制并存。自动化程度的提高可以提高劳动生产效率、降低生产成本，但在传统的控制方法来进行控制时，当系统达到最优的控制参数状态下工作并不是很容易事，一旦发生故障而不能及时得到诊断和恢复，将带来巨大的经济损失。设计可靠的智能控制系统，或者将复杂系统的性能维持在高水平上，切实保障现代复杂系统的可靠性和安全性，是亟待解决的问题，具有十分重要的意义。

(2)工业控制过程中的被控对象比较复杂，建立对应的数学模型比较困难，采用传统的控制方法不易实现。而利用模糊控制不需要建立数学模型，只需建立模糊规则，设计出模糊控制器去控制被控对象。因此设计一个较好的模糊控制算法具有重要意义。所以基于区间分析的模糊方程求解技术在系统优化、控制和故障检测诊断技术中的应用研究已经成为自动控制领域的一个热点研究方向。

(3)在现实世界中，人们制定决策时经常会碰到各种不确定现象，其中随机现象和模糊现象是两种主要的不确定现象，随机性是指事件是否发生的，不确定用来描述和刻画随机现象的工具是随机变量，模糊性是指事件本身状态的不确定性，用来描述和刻画模糊现象的根据是模糊集随机多目标规划和模糊多目标规划，可以帮助人们分别在随机不确定环境和模糊不确定环境下做出决策。然而，在实际决策过程中，人们面临的常常是双重不确定性环境，即随机现象和模糊信息同时存在并相互融合，无法截然分开模糊随机变量是双重不确定变量的一种，它是描述双重不确定性现象，指模糊随机现象的一种有用的数学工具，模糊随机变量被定义为从概率空间映射到模糊变量构成的集合上的可测函数，简单的说，模糊随机变量就是一个取值为模糊集的随机变量，模糊随机现象在现实生活中广泛存在关于模糊随机多目标决策问题的研究，不但具有理论意义，同时也具有实际应用意义。

(4)参数估计在众多的领域如信号处理、模式识别、系统辨识等中起着重要的作用。在参数估计中，经典的基于统计特性的参数估计方法都是假设系统中的不确定性(或误差)服从一定的概率模型，然后根据不同的假设条件，相应的采用最大后验概率估计、最大似然估计、最小二乘估计等方法对参数进行估计。但是当系统为非线性时，对其进行参数估计通常是通过优化某一目标函数来实现的，而现有的方法多是采用直接搜索算法而容易陷入目标函数的局部极值点，从而不能保证得到待估参数的最优值，通过基于区间分析的区间全局优化算法优化某一目标函数，则总可以求得待估参数的最优估计。

(5)模糊关系方程在模糊数学的理论及其应用中占有十分重要的地位，许多综合决策的逆问题，都可归结为模糊关系方程的求解。而模糊关系方程的求解又依赖于模糊线性方程组的求解。基于区间分析的模糊方程求解用于自动控制系统的控制、决策、故障诊断、参数优化等技术中，因此具有重要的实际意义。

国内外研究现状及分析

1965年，美国著名的控制论专家Lofti A.Zadeh(1921年生于伊朗)创立了模糊集合论，为解决复杂系统的控制问题提供了强有力的数学工具。1974年，Mamdani(E.H.Mamdani)和他的学生在英国伦敦的Queen Mary大学将模糊集合和模糊语言逻辑用于控制，创立了基于模糊语言描述控制规则的模糊控制器，并被成功地用于工业过程控制。提出了模糊自动控制理论。目前，模糊控制已经有了广泛的应用前景。

模糊控制是近代控制理论中建立在模糊集合论基础上的一种基于语言规则与模糊推理的控制理论，它是智能控制的一个重要分支。模糊控制具有以下几个特点：

模糊控制器的设计不依赖于被控对象的精确数学模型

模糊控制易于被操作人员接受

模糊控制便于计算机软件实现

鲁棒性和适应性好

模糊控制首先需要将输入量模糊化，在本系统中建立如风电系统风力和蓄电池容量等输入量的隶属度函数，然后进行模糊规则的制定，再根据模糊推理的公式进行计算，最后将得到的模糊量清晰化后得到输出量。

自从提出模糊集理论以来，该理论已在现代社会的各个领域得到了广泛的应用，Atanassov对模糊集理论进行了拓展，提出了直觉模糊集理论。由于直觉模糊集同时考虑了隶属度、非隶属度和犹豫度三方面信息，因此它比传统的模糊集在处理模糊性和不确定性方面更具灵活性和实用性等。对直觉模糊集进一步推广，提出区间直觉模糊集的概念，Atanassov定义了区间直觉模糊集的一些基本运算。Bustince等定义了区间直觉模糊集的关联度。Hung等利用形心法来计算区间直觉模糊集的关联系数Mondal等研究了区间直觉模糊集的拓扑性质。Deschrijver等探讨了区间直觉模糊集L-模糊集等模糊集之间的关系。目前对区间直觉模糊集的研究主要集中在性质、相关性等方面，而对多准则区间直觉模糊决策问题的讨论，对区间直觉模糊集理论的实际应用研究还较少见到。但在实际决策中，由于决策问题自身的模糊性和不确定性，导致了方案的准则值和准则权系数的模糊性，对方案排序造成困难，因而对该类问题加以研究有着很大的实际意义。

区间分析或称区间数学最早是对估计误差研究而提出来的，自1966年第一本区间数学的专著出版以来，它的发展很快，但区间数在运算时，同一个自变量的运算次不同，可能得到不同的扩展区间，一些文献对此做了研究，但什么样的运算次序最佳，至今是没有解决问题。灰色系统理论自1982年由我国控制论专家提出之后，其理论和应用都得到了很大的发展，一种理论的成熟取决于它的数学描述的完善程度。灰色系统理论也不例外。灰色系统理论的数学基础研究是随着灰色系统理论的发展而产生的一门崭新的数学研究领域。王清印等专家教授创造性地提出了灰集合的概念，在此基础上，提出了区间灰数的数学运算的法则。但灰数运算时，与区间数学一样，许多代数性质不能展开，因而限制了它的发展。为此，王清印教授又提出了泛灰集合的概念以及泛灰代数基础、泛灰数学分析基础。

对于区间数数据的定义、运算、排序及其应用，已有不少文章进行了研究。区间数作为表示人们对真实外界的基于经验的模糊评判标准，有时对于所考虑的问题，我们只能得到一系列的区间数数据，如何从一组已知的区间数数据，合理地提取出具有实际意义的指标，是值得探究的问题。

1976年，E.Sanchez首先发表了关于模糊关系方程求解的文章，随后模糊关系方程越来越多地被用于解决实际问题，如模糊控制、模糊诊断、模糊评判、模糊决策中的一些问题。关于模糊线性方程组的求解方法归纳起来主要有两种：Tsukamoto方法和简化方法，Tsukamoto方法是依据每个n元一次模糊关系方程的解来构造整个模糊关系方程的解，其思路简单，但当模糊矩阵的维数增多时，其计算量便可能以指数律增长，而有些解的解出完全是不必要的。简化方法是将模糊关系方程作为一个整体来处理，先将其化成最简形式，然后着手求解。算法的核心是如何并行地、不重复、不遗漏地得到全部极小解正规路径和极小解。其中借鉴了遗传算法的思想，由各处理机产生第一代解，然后以第一代解为父体进行杂交，演化出第二代解，使第二代解具有更大范围内的遗传信息，依次演化下去，直到求出最终所有的解。算法在求解的同时，尽快产生部分最终解，并能有效地平衡负载。

实际优化中，由于客观或人为因素，所建系统模型中往往存在很多不确定因素，为了解决参数不确定优化问题，人民提出了随机规划、模型规划和区间规划等3种基本方法。利用随机规划或模糊规划解决参数不确定优化问题，常常需要掌握不确定参数的概率分布规律或隶属度函数，而实际工程中却很难准确获得这些信息。相反，获得这些参数的取值范围则要容易很多。区间规划就是研究不确定参数一区间形式给出的优化问题。

近年来关于模糊方程求解的文献非常多，提出了许多的求解方法限定模糊数的形式或限定模糊运算关系实现的。如Buckley的限定模糊方程中的模糊数为三角模糊数和构造神经网络来近似求解模糊方程问题。2002年胡劲松等将模糊数差值视为模糊方程的解，基于目的规划理论探讨了模糊方程的求解问题，给出了模糊方程的广义解定义。国外学者也已经作出模糊方程求解的较成熟的结果，如http://uivtx.cs.cas.cz/～rohn/matlab/上就有部分完整的区间数方程求解程序可以下载，但求解过程十分繁琐，而且对模糊数方程设定了限定条件，使得现有的求解模糊方程没有形成统一的方法，在理论研究和实际应用时十分不方便。针对上述关于模糊方程求解存在的问题，研究基于模糊结构元方法在实数域和复数域上系统的给出模糊线性方程求解方法，该解法遵循传统模糊运算定义，实现模糊方程中模糊数有较好的任意性和一般性。同时，提出双重模糊线性方程的定义，研究其求解问题。

模糊关系方程被用于电网规划中负荷不确定性表示为区间数时，计及发电机出力调整下的最小切负荷量计算问题。提出一种精确求解区间负荷下系统最小切负荷量区间数表示的区间最小切负荷计算方法。给出区间至多切负荷的定义并建立基于双层线性规划的区间至多切负荷模型，使用分支定界法求解此模型的全局最优解得到区间最小切负荷量的上限，进而确定系统的最危险状态。给出区间至少切负荷的定义并建立区间至少切负荷模型，通过求解模型得到区间最小切负荷量的下限，进而确定系统的最安全状态。该方法可有效避免使用蒙特卡罗模拟法求解此类问题时计算量大，结果一般不精确的缺点，为区间不确定信息下的系统安全性研究提供一条新的思路。这对于风电类不确定混杂系统的智能控制、优化，故障诊断中和电网规划方案的安全性，并进一步指导规划方案的制定，具有很高的理论意义和实用价值。

本发明针对上述关于模糊方程求解存在的问题，采用基于区间数的模糊方程求解，在充分分析方程解的性质后，提出一种控制算法，推导出风电系统的一种决策模型，进行仿真分析验证模糊控制算法的正确性和优越性，为用于实际风电控制系统打下基础。

双馈式风力发电系统中，由于发电机与电网直接相连，而且变流器容量相对较小，只能对发电机提供部分控制，因此该系统受电压跌落或骤升的影响非常大。电网发生故障会导致发电机机端电压跌落或骤升，进而造成发电机定子电流变化。如果不采取有效措施，仅靠定转子的漏抗并不足以抑制电压跌落或骤升产生的电流变化，因此可能会导致变流器和直流母线电容损坏，引发大规模风电机组脱网事故频繁发生。其中电网电压骤升会给电机带来一系列暂态过程，如出现转子过压过流或转速上升等，若仍采取传统的控制与解列保护，可能会增加整个系统的恢复难度，甚至加剧故障，最终导致系统其它机组全部解列，因此必须采取有效的高电压穿越措施来维护电网稳定。因此如何控制风力发电机在电网电压骤升时安全、稳定运行的研究逐渐成为当今世界的热点。

目前兆瓦级的双馈风力发电系统能否向电网或负载提供优质可靠的电能，控制算法处于至关重要的地位。对其进行参数估计通常是通过优化某一目标函数来实现的，而现有的模糊控制方法多是采用直接搜索算法因而容易陷入目标函数的局部极值点，从而不能保证得到待估参数的最优值。

发明内容

为解决上述现有技术存在的问题本发明的目的在于提供一种基于区间参数PID控制器的双馈风力发电系统电流控制方法，

为达到上述目的，本发明基于区间参数PID控制器的双馈风力发电系统电流控制方法，包括：

区间分析方法可以有效界定函数范围，缩小精确解范围，提供具体、直观的解答。由于区间在控制领域中有很大的发挥余地，控制系统的输入信号与干扰信号等不太可能是固定不变的定值，把输入信号设定为区间更有利于适应严酷的外界环境，使得控制系统的稳定性增强，控制领域的专家们已经对许多控制问题提出了基于区间分析的求解方法。我们知道经典控制系统依赖于被控对象的精确模型，但在实际工程中，模型参数确实时刻变化着的，在控制系统的调节过程中，要想得到一个良好的控制器就必须使得模型参数在变化时闭环系统仍能保持稳定并拥有良好的动态性能。

对于PID控制器的研究，已经有许多学者、专家提出了不同的方法，其中Kharitonov的方法更具说服力，之后经过Barmish将其引入控制领域、Anderson将其简化、Chapellat和Bhattacharyya基于此形成的广义Kharitonov定理(盒子定理)^[18]。国内学者宋春雷等将这些结论结合概率方法共同应用在鲁棒控制器设计中^[19]，取得了广泛的影响。

基于区间参数的闭环控制系统如下：

其中R(s)为参考输入信号，E(s)为误差信号，U(s)控制信号，Y(s)为被控量(输出量)。

具有区间参数的被控对象传递函数为

设系数为区间参数

都为正整数，m≤n。

具有区间参数的PID控制器传递函数

设PID控制器的参数k_p，k_i，k_d为区间数。

根据图7所示，可以获得具有区间参数系统的闭环传递函数为

那么根据式(4-7)我们可以得到其被控量Y(s)就是我们所控制的被控制量电流信号。

假设其输出表达式为模糊区间一元二次方程ax²+bx＝c，设方程中a，b，c，x为三角模糊区间数，那么其模糊区间一元二次方程进行求解就能得到被控量电流。

区间数定义

区间数产生于模糊数，所谓区间数就是指把一个区间[a,b]作为一个整体来考虑，一般都是闭区间。假定给一个区间a，它的隶属函数在该区间上取1而在区间外取0，如图2(a)所示。为了确定模糊区间形状，需要考虑二维空间，水平维度类似于在区间表示之中使用的方法，垂直维度则与隶属度的处理有关，因此受限于区间[0,1]，如图2(b)。

要想完全定义模糊区间需要支集(suppA)的信息，支集指的是水平维度上的区间

由此我们可以得到

λ∈[0,1]，表示垂直维度。

在这种情况下，给定一个模糊区间A的λ-截集，则可以得到一个传统区间A_λ

根据上述区间讲解，我们可以得到区间数定义如下：

定理1.5实数集R的子集{x∈R|a^-≤x≤a⁺,a^-、a⁺∈R}称为区间数,记为[a^-,a⁺]，一般用I(R)表示全部，也可用大写字母表示区间,比如A＝[a^-,a⁺]。

区间数在科学研究、数值计算等方面有着巨大的应用前景，又不像模糊数那样抽象，更接近于连接确定实数与模糊数的桥梁，有助于人们更好地理解模糊数。而对于本文的区间求解，区间数的使用是至关重要的，随着对区间方程的深入探究，研究定义在区间值上的方程也成为热门。现今，区间分析的研究大致分为以下几个方向：区间扩展函数构造、线性方程组求解、非线性方程组求解、区间全局优化等。对于区间扩展函数构造的产生，先是自然扩展函数形式，后来逐渐发展出了中值扩展形式、Taylor形式以及针对多项式的Horner形式和Bernstein形式，见文献[3]。在非线性方程求解与全局优化方面，区间计算已成为此类方程的最佳算法。在非线性方程中，有其它比较著名的算法如Moore提出的区间Newton法^[4]与Krawczyk提出的基于多维区间Newton法的Krawczyk法^[5]，不可否认的是，其他科学家也做出了不可磨灭的贡献，这些科学家的努力极大的简化了计算过程等研究工作。

在本论文中，为了操作和表达区间且适用于新的工具INTLAB，我们需要一个有效的表示法，很明显，若要定义一个区间，我们需要两个参数。对于区间，有许多种表示法，最常用的一个是EP(Endpoint)表示法，如区间A是R的一个连续有限子集，它由在端点之间一系列的元素组成，下限为a^-，上限为a⁺，A＝{x|a^-≤x≤a⁺,x∈R}，这个区间通常也写作[a^-,a⁺]。但是EP表示法并不能解决本论文的问题，因此我们引入MR(Midpoint-Radius)表示法^[6]，利用区间的中点和半径来解方程，它克服了与区间相关的不确定性与趋势没有分离的问题，从而可以利用中点-半径公式计算方程。在许多实际场景中，将一个区间的“标称”最大值(中点)与它的不确定度(半径)一起视为测量误差的上限，这是很自然的，这种方法的优点是将区间中的不确定性与中点脱离了关系。而且MR表示法更适合于随机算法和区间算法之间的匹配。

给定一个区间A，它的中点、半径和宽度是标量值，分别用m_A，r_A和w_A表示。

区间A可由其端点a^-和a⁺来表示，或者由它的中点m_A和半径r_A来表示。事实上，若用EP表示法，区间A可表示为A＝[a^-,a⁺]，同样也可以表示为(m_A,r_A)。在MR表示法中，r_A≥0，两种表示法之间也有联系如下：

若区间A与区间B相等，则可表示如下：

另有两种特殊情况需要区分

如果

A是薄(点)区间

如果

A是一个零对称区间

区间数运算

在传统的算术运算加法，减法，乘法和除法运算中都是自然运算。但别忘了在区间数(interval)为基础的环境中这些自然运算法就不符合，需要选择特殊的运算规律。

设I₁＝[a^-,a⁺]，I₂＝[b^-,b⁺]是区间数，*∈{+,-,×,÷,∨,∧}，且当*是除时，I₂是无零区间数，则I₁*I₂也是区间数，

(1)区间运算如下：

加法：I₁+I₂＝[a^-+b^-,a⁺+b⁺] (1-4)

减法：I₁-I₂＝[a^--b⁺,a⁺-b^-] (1-5)

乘法：I₁×I₂＝[c,d]。

其中

对于I₁÷I₂，当I₂＝[b^-,b⁺]无零时，区间数的除法与乘法可以转化，如下

除法：

数乘：若α∈R，则

(2)虽然不同于实数，但区间也有大小之分，如下：

区间I₁，I₂的最大值

max(I₁)＝max([a^-,a⁺])＝max{|a^-|,|a⁺|} (1-10)

max(I₂)＝max([b^-,b⁺])＝max{|b^-|,|b⁺|} (1-11)

区间I₁，I₂的最小值

若区间I₁与I₂相等，则有a^-＝b^-，a⁺＝b⁺

(3)区间的“∩”、“∪”运算，区间I₁，I₂非空，则

I₁∪I₂＝[min(a^-,b^-),max(a⁺,b⁺)] (1-15)

模糊区间一元二次方程ax²+bx＝c的解

模糊数包含三角模糊数、梯形模糊数和一般模糊数，由于三类模糊数在解决问题时所使用的原理与方法都一样，因此我们只讨论三角模糊数的使用，假设给的参数为模糊数，利用模糊数求解方程已经有了很广泛的研究，考虑到三角模糊数可以经λ-截集转化为区间数^[13]，我们尝试利用此方法进行求解模糊区间一元一次方程。

定理3.2给定论域X，三角模糊数(triangular fuzzy number)是指对任何x∈X，都有一个数μ(x)∈[0,1]与之对应，μ(x)称为x对X的隶属度，μ称为x的隶属函数。

设q和w分别为模糊数的下限和上限，g为最有可能取得的值，那么模糊数就可用(q，g，w)表示。隶属函数可写为：

设方程中a，b，c，x为三角模糊数，三角模糊数的λ-截集也是一个区间数。我们用λ-截集将三角模糊数非模糊化，得到模糊区间，分别为

表示如图3所示

取λ-截集后取其中的四个数，分别是

利用λ-截集可以将方程转变成

由于a_λ、b_λ、c_λ正负变化时，方程的解也相应变化，为了更清晰地展现其算法步骤，我们对a_λ、b_λ、c_λ进行分类讨论。

(1)a_λ>0，b_λ>0，c_λ>0

仿照一般表达式

的解

①

时，当以下条件满足时成立

可以解得

③

时，有以下条件

④

时，有以下条件

(8)a_λ>0，b_λ<0，c_λ>0

④如果

则有

成立

⑤如果

则有

成立

⑥如果

则有

成立

(9)a_λ<0，b_λ>0，c_λ>0

④如果

则有以下条件

成立

⑤如果

则有

成立

⑥如果

则有以下条件

成立

(10)a_λ<0，b_λ<0，c_λ>0

④

当以下条件满足时成立

⑤

时，有以下条件

⑥

时，可以求出以下条件

(11)a_λ>0，b_λ>0，c_λ<0

④

当以下条件满足时成立

⑤

时，有以下条件

⑥

时，可以求出以下条件

(12)a_λ<0，b_λ>0，c_λ<0

④如果

则有以下条件

成立

⑤如果

则有

成立

⑥如果

则有以下条件

成立

(13)a_λ>0，b_λ<0，c_λ<0

④如果

则有

成立

⑤如果

则有

成立

⑥如果

则有

成立

(14)a_λ<0，b_λ<0，c_λ<0

④

当以下条件满足时成立

⑤

时，有以下条件

⑥

时，可以求出以下条件

模糊区间一元二次方程ax²+bx＝c，假设其系数为区间值，取初始区间为a＝[2,2]，b＝[5,6]，c＝[2,4]时可以得到其解为如图4所示：

图4一元二次模糊方程输出量y的最大最小输出响应，其仿真结果可知模糊方程的系数为区间数时，其输出响应不是一条线而是一簇区间，改变区间值可以获得最佳曲线，从而获得最优控制参数。

区间PI控制系统

区间分析方法可以有效界定函数范围，缩小精确解范围，提供具体、直观的解答。由于区间在控制领域中有很大的发挥余地，控制系统的输入信号与干扰信号等不太可能是固定不变的定值，把输入信号设定为区间更有利于适应严酷的外界环境，使得控制系统的稳定性增强，控制领域的专家们已经对许多控制问题提出了基于区间分析的求解方法。我们知道经典控制系统依赖于被控对象的精确模型，但在实际工程中，模型参数确实时刻变化着的，在控制系统的调节过程中，要想得到一个良好的控制器就必须使得模型参数在变化时闭环系统仍能保持稳定并拥有良好的动态性能。

区间控制系统如图5所示，我们取被控区间对象模型为一阶系统(水箱)，

实参数b∈[b^-,b⁺]，a∈[a^-,a⁺]，在实际场景中，参数的变化区间常以对象的工况范围或参数辨识误差确定。

PI控制器传递函数可写为

系统的开环传递函数为：

取T_i＝a，则(4-3)可以解出

由(4-4)可以求出系统的闭环传递函数为

由此可以得到输出响应的拉普拉斯变换为：

我们列举了三种典型信号进行实验，以此来分析系统输出响应的不同。

(1)单位阶跃信号r(t)＝1

因此

(2)单位斜坡信号r(t)＝t

取区间b＝[0.1,1.1]，a＝[1.5,1.8]，Kp＝3，用INTLAB编程，可得到单位阶跃、斜坡响应的变化规律。

b＝infsup(0.1,1.1)

a＝infsup(1.5,1.8)

Ti＝a

Kp＝3

t＝1:20

y1＝1-exp((-1)*Kp*b*t/Ti)

y2＝t-Ti/(b*Kp)+Ti/(b*Kp)*exp((-1)*(b*Kp)*t/Ti)

subplot(1,2,1)

plot(y1,'r'),title'单位阶跃响应'

hold off

subplot(1,2,2)

plot(y2,'r'),title'单位斜坡响应'

gtext'PI1'；

gtext'PI2'；

仿真实验结果如下：

图6(a)为闭环单位阶跃响应，各模型参数取上限时，得到PI2响应曲线，PI2比PI1快速性要好，响应曲线都呈单调上升，无超调，无振荡，因此峰值时间、超调量、振荡次数都不存在，其稳态误差也为零。

图6(b)为闭环单位斜坡响应，单位斜坡响应的稳态分量与输入斜坡信号相同，但是时间上要滞后一个时间常数，当取参数下限时，响应速度明显下降，且误差不为零。

利用区间分析PID控制器鲁棒稳定性

对于PID控制器的研究，已经有许多学者、专家提出了不同的方法，其中Kharitonov的方法更具说服力，之后经过Barmish^[16]将其引入控制领域、Anderson将其简化^[17]、Chapellat和Bhattacharyya基于此形成的广义Kharitonov定理(盒子定理)^[18]。国内学者宋春雷等将这些结论结合概率方法共同应用在鲁棒控制器设计中^[19]，取得了广泛的影响。

被控区间对象传递函数为

实参数

都为正整数，m≤n。

PID控制器传递函数

取k_p，k_i，k_d为正。

闭环区间控制系统传递函数为

由此可得到闭环系统特征多项式

D(s)＝sR(s)+Y(s)(k_i+kps+k_ds²) (1-21)

我们利用广义Kharitonov定理进行分析，该区间系统稳定有一个必要条件和一个充要条件，解析如下：

(3)Kharitonov顶点对象(必要条件)

当参数变化时，将Kharitonov多项式整合表达出来就形成了Kharitonov顶点对象

其中

同理可写出

若16个顶点多项式

都稳定，则可判断出顶点对象能被稳定

(4)Kharitonov边对象(充要条件)

被控区间对象多项式如下

其中

同理可写出

则边对象多项式共有32个

上述多项式都稳定时才能满足系统鲁棒稳定性，因此当PID控制器能鲁棒稳定Kharitonov边对象时，此控制器将能鲁棒稳定区间控制系统。

仿真实例

假设被控区间对象模型为

其中b₃∈[3.5,4.8]，b₂∈[12,15]，b₁∈[9.5,11.5]

由(4-9)可得到

4个劳斯表，16个不等式，由于对该方程使用INTLAB过于复杂，我们使用SIVIA算法得出参数范围,我们取k_d＝0.01,则可得到k_p与k_i如图8所示

对于区间对象的参数在一定范围内波动的情况，使用广义Kharitonov定理及SIVIA算法，可有效判断PID控制器的鲁棒稳定性所需求的必要条件与充要条件，并且可求出k_p，k_i和k_d在PID控制器鲁棒稳定情况下的范围。

有益效果：相对于现有技术，本发明基于区间参数PID控制器的双馈风力发电系统电流控制方法的有益效果为：模糊关系方程在模糊数学的理论及其应用中占有十分重要的地位，许多综合决策的逆问题，都可归结为模糊关系方程的求解问题。对模糊区间数方程进行求解分析，提出一种新的参数优化方法，从而将新方法用于实际的控制对象进行应用情况的研究打下基础。

在控制器方面，区间应用有着广大的发展空间，区间在求解时域方程时能够发挥其优越的特性，通过修改参数可以逐渐逼近精确解，取得理想的控制范围，在分析PID控制器鲁棒稳定性时，解决了区间系统模型不确定情况下的复杂条件，在一定程度上缓解了某些系统必须要有精确数学模型的方式，得出了满足控制器鲁棒稳定的条件。

研究双馈电机在电网高电压故障时的电磁过程，并通过理论分析，推导出各种不同电网电压故障时的双馈电机定子磁链及转子感应电压的值，根据双馈风力发电系统的多参数不确定性特点，把模糊区间数引入双馈风力发电系统模型中，建立三相静止、两相旋转坐标系下的双馈风力发电机和变换器的模糊区间数数学模型。为双馈风力发电系统高电压穿越控制及保护策略的研究提供理论依据。

本课题拟从模糊区间数控制算法的角度研究双馈风力发电系统电压对称及非对称骤升时控制策略，分析当今双馈风力发电系统中的多参数不确定性因素和电网电压骤升期间风电机组网侧变换器(grid side converter，GSC)、转子侧变换器(rotor sideconverter，RSC)各自及其相互间有功、无功功率约束关系，因而满足并网导则对风电机组日益严格的入网及运行安全要求，对风电机组动态无功支持能力，提出一种区间最优穿越控制模型算法。为解决电网电压骤升故障会造成双馈感应发电机定子绕组中产生定子磁链的暂态直流分量，导致变流器和直流母线电容损坏、脱网等问题，对增强所并电网的稳定性奠定理论和技术基础。

附图说明

图1为：具有区间参数的闭环控制系统框图；

图2为：传统区间与三角模糊区间示意图；

图3为：模糊数区间化示意图；

图4为：一元二次模糊区间方程求解图；

图5为：PI控制器的系统方块图；

图6为：区间系统的响应曲线图其中：图6a.单位阶跃响应图；图6b.单位斜坡响应图；

图7为：图7闭环区间控制系统图。

图8为k_p与k_i关系图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明方案做进一步详细描述：

如图1-8所示，基于区间参数PID控制器的双馈风力发电系统电流控制方法，包括：

区间分析方法可以有效界定函数范围，缩小精确解范围，提供具体、直观的解答。由于区间在控制领域中有很大的发挥余地，控制系统的输入信号与干扰信号等不太可能是固定不变的定值，把输入信号设定为区间更有利于适应严酷的外界环境，使得控制系统的稳定性增强，控制领域的专家们已经对许多控制问题提出了基于区间分析的求解方法。我们知道经典控制系统依赖于被控对象的精确模型，但在实际工程中，模型参数确实时刻变化着的，在控制系统的调节过程中，要想得到一个良好的控制器就必须使得模型参数在变化时闭环系统仍能保持稳定并拥有良好的动态性能。

对于PID控制器的研究，已经有许多学者、专家提出了不同的方法，其中Kharitonov的方法更具说服力，之后经过Barmish将其引入控制领域、Anderson将其简化、Chapellat和Bhattacharyya基于此形成的广义Kharitonov定理(盒子定理)^[18]。国内学者宋春雷等将这些结论结合概率方法共同应用在鲁棒控制器设计中^[19]，取得了广泛的影响。

基于区间参数的闭环控制系统框图为如图1所示

图中R(s)为参考输入信号，E(s)为误差信号，U(s)控制信号，Y(s)为被控量(输出量)。

具有区间参数的被控对象传递函数为

设系数为区间参数

都为正整数，m≤n。

具有区间参数的PID控制器传递函数

设PID控制器的参数k_p，k_i，k_d为区间数。

根据图7所示，可以获得具有区间参数系统的闭环传递函数为

那么根据式(4-7)我们可以得到其被控量Y(s)就是我们所控制的被控制量电流信号。

假设其输出表达式为模糊区间一元二次方程ax²+bx＝c，设方程中a，b，c，x为三角模糊区间数，那么其模糊区间一元二次方程进行求解就能得到被控量电流。

区间数定义

区间数产生于模糊数，所谓区间数就是指把一个区间[a,b]作为一个整体来考虑，一般都是闭区间。假定给一个区间a，它的隶属函数在该区间上取1而在区间外取0，如图2(a)所示。为了确定模糊区间形状，需要考虑二维空间，水平维度类似于在区间表示之中使用的方法，垂直维度则与隶属度的处理有关，因此受限于区间[0,1]，如图2(b)。

要想完全定义模糊区间需要支集(suppA)的信息，支集指的是水平维度上的区间

由此我们可以得到

λ∈[0,1]，表示垂直维度。

在这种情况下，给定一个模糊区间A的λ-截集，则可以得到一个传统区间A_λ

根据上述区间讲解，我们可以得到区间数定义如下：

定理1.5实数集R的子集{x∈R|a^-≤x≤a⁺,a^-、a⁺∈R}称为区间数,记为[a^-,a⁺]，一般用I(R)表示全部，也可用大写字母表示区间,比如A＝[a^-,a⁺]。

区间数在科学研究、数值计算等方面有着巨大的应用前景，又不像模糊数那样抽象，更接近于连接确定实数与模糊数的桥梁，有助于人们更好地理解模糊数。而对于本文的区间求解，区间数的使用是至关重要的，随着对区间方程的深入探究，研究定义在区间值上的方程也成为热门。现今，区间分析的研究大致分为以下几个方向：区间扩展函数构造、线性方程组求解、非线性方程组求解、区间全局优化等。对于区间扩展函数构造的产生，先是自然扩展函数形式，后来逐渐发展出了中值扩展形式、Taylor形式以及针对多项式的Horner形式和Bernstein形式，见文献[3]。在非线性方程求解与全局优化方面，区间计算已成为此类方程的最佳算法。在非线性方程中，有其它比较著名的算法如Moore提出的区间Newton法^[4]与Krawczyk提出的基于多维区间Newton法的Krawczyk法^[5]，不可否认的是，其他科学家也做出了不可磨灭的贡献，这些科学家的努力极大的简化了计算过程等研究工作。

在本论文中，为了操作和表达区间且适用于新的工具INTLAB，我们需要一个有效的表示法，很明显，若要定义一个区间，我们需要两个参数。对于区间，有许多种表示法，最常用的一个是EP(Endpoint)表示法，如区间A是R的一个连续有限子集，它由在端点之间一系列的元素组成，下限为a^-，上限为a⁺，A＝{x|a^-≤x≤a⁺,x∈R}，这个区间通常也写作[a^-,a⁺]。但是EP表示法并不能解决本论文的问题，因此我们引入MR(Midpoint-Radius)表示法^[6]，利用区间的中点和半径来解方程，它克服了与区间相关的不确定性与趋势没有分离的问题，从而可以利用中点-半径公式计算方程。在许多实际场景中，将一个区间的“标称”最大值(中点)与它的不确定度(半径)一起视为测量误差的上限，这是很自然的，这种方法的优点是将区间中的不确定性与中点脱离了关系。而且MR表示法更适合于随机算法和区间算法之间的匹配。

给定一个区间A，它的中点、半径和宽度是标量值，分别用m_A，r_A和w_A表示。

区间A可由其端点a^-和a⁺来表示，或者由它的中点m_A和半径r_A来表示。事实上，若用EP表示法，区间A可表示为A＝[a^-,a⁺]，同样也可以表示为(m_A,r_A)。在MR表示法中，r_A≥0，两种表示法之间也有联系如下：

若区间A与区间B相等，则可表示如下：

另有两种特殊情况需要区分

如果

A是薄(点)区间

如果

A是一个零对称区间

区间数运算

在传统的算术运算加法，减法，乘法和除法运算中都是自然运算。但别忘了在区间数(interval)为基础的环境中这些自然运算法就不符合，需要选择特殊的运算规律。

设I₁＝[a^-,a⁺]，I₂＝[b^-,b⁺]是区间数，*∈{+,-,×,÷,∨,∧}，且当*是除时，I₂是无零区间数，则I₁*I₂也是区间数，

(1)区间运算如下：

加法：I₁+I₂＝[a^-+b^-,a⁺+b⁺] (1-4)

减法：I₁-I₂＝[a^--b⁺,a⁺-b^-] (1-5)

乘法：I₁×I₂＝[c,d]。

其中

对于I₁÷I₂，当I₂＝[b^-,b⁺]无零时，区间数的除法与乘法可以转化，如下

除法：

数乘：若α∈R，则

(2)虽然不同于实数，但区间也有大小之分，如下：

区间I₁，I₂的最大值

max(I₁)＝max([a^-,a⁺])＝max{|a^-|,|a⁺|} (1-10)

max(I₂)＝max([b^-,b⁺])＝max{|b^-|,|b⁺|} (1-11)

区间I₁，I₂的最小值

若区间I₁与I₂相等，则有a^-＝b^-，a⁺＝b⁺

(3)区间的“∩”、“∪”运算，区间I₁，I₂非空，则

I₁∪I₂＝[min(a^-,b^-),max(a⁺,b⁺)] (1-15)

模糊区间一元二次方程ax²+bx＝c的解

模糊数包含三角模糊数、梯形模糊数和一般模糊数，由于三类模糊数在解决问题时所使用的原理与方法都一样，因此我们只讨论三角模糊数的使用，假设给的参数为模糊数，利用模糊数求解方程已经有了很广泛的研究，考虑到三角模糊数可以经λ-截集转化为区间数^[13]，我们尝试利用此方法进行求解模糊区间一元一次方程^[14]。

定理3.2给定论域X，三角模糊数(triangular fuzzynumber)是指对任何x∈X，都有一个数μ(x)∈[0,1]与之对应，μ(x)称为x对X的隶属度，μ称为x的隶属函数。

设q和w分别为模糊数的下限和上限，g为最有可能取得的值，那么模糊数就可用(q，g，w)表示。隶属函数可写为：

设方程中a，b，c，x为三角模糊数，三角模糊数的λ-截集也是一个区间数。我们用λ-截集将三角模糊数非模糊化，得到模糊区间，分别为

表示如图3所示

取λ-截集后取其中的四个数，分别是

利用λ-截集可以将方程转变成

由于a_λ、b_λ、c_λ正负变化时，方程的解也相应变化，为了更清晰地展现其算法步骤，我们对a_λ、b_λ、c_λ进行分类讨论。

(1)a_λ>0，b_λ>0，c_λ>0

仿照一般表达式

的解

①

时，当以下条件满足时成立

可以解得

⑤

时，有以下条件

⑥

时，有以下条件

(15)a_λ>0，b_λ<0，c_λ>0

⑦如果

则有

成立

⑧如果

则有

成立

⑨如果

则有

成立

(16)a_λ<0，b_λ>0，c_λ>0

⑦如果

则有以下条件

成立

⑧如果

则有

成立

⑨如果

则有以下条件

成立

(17)a_λ<0，b_λ<0，c_λ>0

⑦

当以下条件满足时成立

⑧

时，有以下条件

⑨

时，可以求出以下条件

(18)a_λ>0，b_λ>0，c_λ<0

⑦

当以下条件满足时成立

⑧

时，有以下条件

⑨

时，可以求出以下条件

(19)a_λ<0，b_λ>0，c_λ<0

⑦如果

则有以下条件

成立

⑧如果

则有

成立

⑨如果

则有以下条件

成立

(20)a_λ>0，b_λ<0，c_λ<0

⑦如果

则有

成立

⑧如果

则有

成立

⑨如果

则有

成立

(21)a_λ<0，b_λ<0，c_λ<0

⑦

当以下条件满足时成立

⑧

时，有以下条件

⑨

时，可以求出以下条件

模糊区间一元二次方程ax²+bx＝c，假设其系数为区间值，取初始区间为a＝[2,2]，b＝[5,6]，c＝[2,4]时可以得到其解为如图4所示：

图4一元二次模糊方程输出量y的最大最小输出响应，其仿真结果可知模糊方程的系数为区间数时，其输出响应不是一条线而是一簇区间，改变区间值可以获得最佳曲线，从而获得最优控制参数。

区间PI控制系统

区间分析方法可以有效界定函数范围，缩小精确解范围，提供具体、直观的解答。由于区间在控制领域中有很大的发挥余地，控制系统的输入信号与干扰信号等不太可能是固定不变的定值，把输入信号设定为区间更有利于适应严酷的外界环境，使得控制系统的稳定性增强，控制领域的专家们已经对许多控制问题提出了基于区间分析的求解方法。我们知道经典控制系统依赖于被控对象的精确模型，但在实际工程中，模型参数确实时刻变化着的，在控制系统的调节过程中，要想得到一个良好的控制器就必须使得模型参数在变化时闭环系统仍能保持稳定并拥有良好的动态性能。

区间控制系统如图5所示，我们取被控区间对象模型为一阶系统(水箱)，

实参数b∈[b^-,b⁺]，a∈[a^-,a⁺]，在实际场景中，参数的变化区间常以对象的工况范围或参数辨识误差确定。

PI控制器传递函数可写为

系统的开环传递函数为：

取T_i＝a，则(4-3)可以解出

由(4-4)可以求出系统的闭环传递函数为

由此可以得到输出响应的拉普拉斯变换为：

我们列举了三种典型信号进行实验，以此来分析系统输出响应的不同。

(3)单位阶跃信号r(t)＝1

因此

(4)单位斜坡信号r(t)＝t

取区间b＝[0.1,1.1]，a＝[1.5,1.8]，Kp＝3，用INTLAB编程，可得到单位阶跃、斜坡响应的变化规律。

b＝infsup(0.1,1.1)

a＝infsup(1.5,1.8)

Ti＝a

Kp＝3

t＝1:20

y1＝1-exp((-1)*Kp*b*t/Ti)

y2＝t-Ti/(b*Kp)+Ti/(b*Kp)*exp((-1)*(b*Kp)*t/Ti)

subplot(1,2,1)

plot(y1,'r'),title'单位阶跃响应'

hold off

subplot(1,2,2)

plot(y2,'r'),title'单位斜坡响应'

gtext'PI1'；

gtext'PI2'；

仿真实验结果如下：

图6(a)为闭环单位阶跃响应，各模型参数取上限时，得到PI2响应曲线，PI2比PI1快速性要好，响应曲线都呈单调上升，无超调，无振荡，因此峰值时间、超调量、振荡次数都不存在，其稳态误差也为零。

图6(b)为闭环单位斜坡响应，单位斜坡响应的稳态分量与输入斜坡信号相同，但是时间上要滞后一个时间常数，当取参数下限时，响应速度明显下降，且误差不为零。

利用区间分析PID控制器鲁棒稳定性

对于PID控制器的研究，已经有许多学者、专家提出了不同的方法，其中Kharitonov的方法更具说服力，之后经过Barmish^[16]将其引入控制领域、Anderson将其简化^[17]、Chapellat和Bhattacharyya基于此形成的广义Kharitonov定理(盒子定理)^[18]。国内学者宋春雷等将这些结论结合概率方法共同应用在鲁棒控制器设计中^[19]，取得了广泛的影响。

被控区间对象传递函数为

实参数

都为正整数，m≤n。

PID控制器传递函数

取k_p，k_i，k_d为正。

闭环区间控制系统传递函数为

由此可得到闭环系统特征多项式

D(s)＝sR(s)+Y(s)(k_i+kps+k_ds²) (1-21))

我们利用广义Kharitonov定理进行分析，该区间系统稳定有一个必要条件和一个充要条件，解析如下：

(5)Kharitonov顶点对象(必要条件)

当参数变化时，将Kharitonov多项式整合表达出来就形成了Kharitonov顶点对象

其中

同理可写出

若16个顶点多项式

都稳定，则可判断出顶点对象能被稳定

(6)Kharitonov边对象(充要条件)

被控区间对象多项式如下

其中

同理可写出

则边对象多项式共有32个

上述多项式都稳定时才能满足系统鲁棒稳定性，因此当PID控制器能鲁棒稳定Kharitonov边对象时，此控制器将能鲁棒稳定区间控制系统。

仿真实例

假设被控区间对象模型为

其中b₃∈[3.5,4.8]，b₂∈[12,15]，b₁∈[9.5,11.5]

由(4-9)可得到

4个劳斯表，16个不等式，由于对该方程使用INTLAB过于复杂，我们使用SIVIA算法得出参数范围,我们取k_d＝0.01,则可得到k_p与k_i如图8所示

对于区间对象的参数在一定范围内波动的情况，使用广义Kharitonov定理及SIVIA算法，可有效判断PID控制器的鲁棒稳定性所需求的必要条件与充要条件，并且可求出k_p，k_i和k_d在PID控制器鲁棒稳定情况下的范围。

Claims (1)

1.一种基于区间参数PID控制器的双馈风力发电系统电流控制方法，其特征在于，

1)建立三相静止、两相旋转坐标系下的双馈风力发电机和变换器的模糊区间数数学模型

研究双馈电机在电网高电压故障时的电磁过程，并通过理论分析，推导出各种不同电网电压故障时的双馈电机定子磁链及转子感应电压的值，根据双馈风力发电系统的多参数不确定性特点，把模糊区间数引入双馈风力发电系统模型中，建立三相静止、两相旋转坐标系下的双馈风力发电机和变换器的模糊区间数数学模型；为双馈风力发电系统高电压穿越控制及保护策略的研究提供理论依据；

基于区间参数的闭环控制系统如下：

其中R(s)为参考输入信号，E(s)为误差信号，U(s)控制信号，Y(s)为被控量，即：输出量；

具有区间参数的被控对象传递函数为

设系数为区间参数

a_n≠0，

m都为正整数，m≤n；

具有区间参数的PID控制器传递函数

设PID控制器的参数k_p，k_i，k_d为区间数；

获得具有区间参数系统的闭环传递函数为

那么根据式(1-3)我们可以得到其被控量Y(s)就是我们所控制的被控制量电流信号；

假设其输出表达式为模糊区间一元二次方程ax²+bx＝c，设方程中a，b，c，x为三角模糊区间数，那么其模糊区间一元二次方程进行求解就能得到被控量电流；

区间数运算

在传统的算术运算加法，减法，乘法和除法运算中都是自然运算，但别忘了在区间数(interval)为基础的环境中这些自然运算法就不符合，需要选择特殊的运算规律；

设I₁＝[a^-，a⁺]，I₂＝[b^-，b⁺]是区间数，*∈{+，-，×，÷，∨，∧}，且当*是除时，I₂是无零区间数，则I₁*I₂也是区间数，

(1)区间运算如下：

加法：I₁+I₂＝[a^-+b^-，a⁺+b⁺] (1-4)

减法：I₁-I₂＝[a^--b⁺，a⁺-b^-] (1-5)

乘法：I₁×I₂＝[c，d]；

其中

对于I₁÷I₂，当I₂＝[b^-，b⁺]无零时，区间数的除法与乘法可以转化，如下

除法：

数乘：若α∈R，则

(2)虽然不同于实数，但区间也有大小之分，如下：

区间I₁，I₂的最大值

max(I₁)＝max([a^-，a⁺])＝max{|a^-|，|a⁺|} (1-10)

max(I₂)＝max([b^-，b⁺])＝max{|b^-|，|b⁺|} (1-11)

区间I₁，I₂的最小值

若区间I₁与I₂相等，则有a^-＝b^-，a⁺＝b⁺

(3)区间的“∩”、“∪”运算，区间I₁，I₂非空，则

I₁∪I₂＝[min(a^-，b^-)，max(a⁺，b⁺)] (1-15)

模糊区间一元二次方程ax²+bx＝c的解

模糊数包含三角模糊数、梯形模糊数和一般模糊数，由于三类模糊数在解决问题时所使用的原理与方法都一样，因此我们只讨论三角模糊数的使用，假设给的参数为模糊数，利用模糊数求解方程已经有了很广泛的研究，考虑到三角模糊数可以经λ-截集转化为区间数，我们尝试利用此方法进行求解模糊区间一元二次方程；

定理3.2给定论域X，三角模糊数是指对任何x∈X，都有一个数μ(x)∈[0，1]与之对应，μ(x)称为x对X的隶属度，μ称为x的隶属函数；

设q和w分别为模糊数的下限和上限，g为最有可能取得的值，那么模糊数就可用(q，g，w)表示，隶属函数可写为：

设方程中a，b，c，x为三角模糊数，三角模糊数的λ-截集也是一个区间数，我们用λ-截集将三角模糊数非模糊化，得到模糊区间，分别为

取λ-截集后取其中的四个数，分别是

利用λ-截集可以将方程转变成

由于a_λ、b_λ、c_λ正负变化时，方程的解也相应变化，为了更清晰地展现其算法步骤，我们对a_λ、b_λ、c_λ进行分类讨论，

(1)a_λ＞0，b_λ＞0，c_λ＞0

仿照一般表达式

的解

①

时，当以下条件满足时成立

可以解得

①

时，有以下条件

②

时，有以下条件

(1)a_λ>0，b_λ<0，c_λ>0

①如果

则有

成立

②如果

则有

成立

③如果

则有

成立

(2)a_λ<0，b_λ>0，c_λ>0

①如果

则有以下条件

成立

②如果

则有

成立

③如果

则有以下条件

成立

(3)a_λ<0，b_λ<0，c_λ>0

①

当以下条件满足时成立

②

时，有以下条件

③

时，可以求出以下条件

(4)a_λ>0，b_λ>0，c_λ<0

①

当以下条件满足时成立

②

时，有以下条件

③

时，可以求出以下条件

(5)a_λ<0，b_λ>0，c_λ<0

①如果

则有以下条件

成立

②如果

则有

成立

③如果

则有以下条件

成立

(6)a_λ>0，b_λ<0，c_λ<0

①如果

则有

成立

②如果

则有

成立

③如果

则有

成立

(7)a_λ<0，b_λ<0，c_λ<0

①

当以下条件满足时成立

②

时，有以下条件

③

时，可以求出以下条件

模糊区间一元二次方程ax²+bx＝c，假设其系数为区间值，取初始区间为a＝[2,2]，b＝[5,6]，c＝[2,4]时可以得到其输出响应不是一条线而是一簇区间，改变区间值可以获得最佳曲线，从而获得最优控制参数，

利用区间分析PID控制器鲁棒稳定性

对于PID控制器的研究，已经有许多学者、专家提出了不同的方法，其中Kharitonov的方法更具说服力，之后经过Barmish将其引入控制领域、Anderson将其简化、Chapellat和Bhattacharyya基于此形成的广义Kharitonov，国内学者宋春雷将这些结论结合概率方法共同应用在鲁棒控制器设计中，取得了广泛的影响；

被控区间对象传递函数为

实参数

a_n≠0，

都为正整数，m≤n；

PID控制器传递函数

取k_p，k_i，k_d为正；

闭环区间控制系统传递函数为

由此可得到闭环系统特征多项式

D(s)＝sR(s)+Y(s)(k_i+k_ps+k_ds²) (1-21)

我们利用广义Kharitonov定理进行分析，该区间系统稳定有一个必要条件和一个充要条件，解析如下：

(1)必要条件：Kharitonov顶点对象

当参数变化时，将Kharitonov多项式整合表达出来就形成了Kharitonov顶点对象

其中

同理可写出

若16个顶点多项式

都稳定，则可判断出顶点对象能被稳定

(2)充要条件：Kharitonov边对象

被控区间对象多项式如下

其中

同理可写出

则边对象多项式共有32个

上述多项式都稳定时才能满足系统鲁棒稳定性，因此当PID控制器能鲁棒稳定Kharitonov边对象时，此控制器将能鲁棒稳定区间控制系统。

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