CN112162038B - 从套管井声波测井中获取套管与水泥界面剪切耦合刚度的方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种从套管井声波测井中获取套管与水泥界面剪切耦合刚度的方法，采用滑移界面边界条件来描述套管与地层之间的这种非良好接触界面，将这一边界条件引入了固井声波测井领域，采用滑移界面表征的固井声波测井模型，用来有效地模拟套管与地层的各种复杂的耦合情况。本发明与现有的经典理论相比可以描述水泥界面从完全不胶结到完全胶结以及过渡状态的复杂胶结情况下的声波测井响应问题，为实际应用问题的求解提供了一条新的途径。
Description
技术领域
本发明属于地球物理测井及石油、天然气开采领域。
背景技术
固井是石油工业完井工程中必不可少的一环。固井质量的好坏关系到油气井的寿命、安全生产以及整体效益。为了准确评价固井的质量，各种检测技术的研发和应用形成了一个行业。声波测井是其中最重要的评价技术之一，主要利用沿套管传播声波的幅度或衰减来评价套管与水泥之间(第一界面)以及水泥与地层之间(第二界面)的胶结程度。在经典的弹性波动理论中，常采用分层模型，将套管、水泥和地层用一系列柱状分层体来表示；当第一或第二界面胶结不好时，常用一流体薄环来模拟套管与地层之间的解耦，层与层之间波的传播用传播矩阵方法来实现。但是，经典的理论和方法只能够描述理想条件下的波动现象(如套管与地层的完全胶结或无胶结的情况)，常常无法解释现场测量数据中套管波幅度的渐变现象。这是因为实际问题中的第一(或第二)界面的间隙(或微环)很不规则，一般不能模拟为形状规则的流体薄环。界面的粗糙性和不规则起伏使界面两侧介质有所接触，在波动过程中会产生错动与摩擦，产生非弹性效应，使得声波在传播中产生衰减。因此，鉴于经典弹性波理论在实际应用中的局限性，有必要将其拓展，以适应实际问题中的非弹性耦合效应。套管与地层之间的这种非良好接触界面，可以采用滑移界面边界条件来描述。
发明内容
本发明的目的是提供一种从套管井声波测井中获取套管与水泥界面剪切耦合刚度的方法，以解决通过套管波幅度反演得到套管与水泥或水泥与地层之间的剪切耦合刚度，用耦合刚度的大小来定量评价套管井的固井质量的技术问题。
为了实现上述发明目的，本发明所采用的技术方案如下：
从套管井声波测井中获取套管与水泥界面剪切耦合刚度的方法，包括如下步骤：
(1)在套管外径与厚度、井径、井内泥浆的密度与声波速度、水泥的纵横波速度与密度和地层的纵、横波速度与密度参数已知的情况下，利用在理想模型下，套管与水泥或水泥与地层界面加入一个很薄的流体层来模拟套管井胶结差的情况，套管与薄水环以及薄水环与水泥或地层之间的边界条件均按照理想的液固界面或固液界面给定，得到理想模型模拟自由套管模型下的全波波形及理论计算的自由套管模型下的套管波幅度Afree_casing；
(2)利用滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，确定此理论模型下套管波幅度取最大值时最大的剪切耦合刚度ηT_low；
(3)利用滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，找到此理论下全波波形与经典理论中胶结良好模型模拟的全波特征一致时的最小剪切耦合刚度ηT_high；
(4)在最大和最小剪切耦合刚度之间，均匀取n个剪切耦合刚度，模拟得到n个剪切耦合刚度下套管波的幅度，n取7～15；
(5)分别取ηT_low～ηT_high之间的共n+2个剪切耦合刚度下模拟得到的套管波幅度Ai(i＝1,2…n+2)，并与自由套模型下的套管波幅度Afree_casing做比值，得到此模型下套管波的相对幅度值Rai，如式(1)；
(6)拟合得到的n+2个套管波的相对幅度与n+2个剪切耦合刚度之间的关系式，见图4，剪切耦合刚度与套管波相对幅度Ra的函数关系可用f表示，见式(2)，可以是指数型或线性或多项式；
ηT＝f(Ra) (2)
(7)根据声波测井得到的套管波相对幅度Ra，利用以上关系式(2)预测套管与水泥间的剪切耦合刚度；
(8)利用预测的套管与水泥间的剪切耦合刚度进行固井质量的定量评价。
从套管井声波测井中获取套管与水泥界面剪切耦合刚度的方法，包括如下步骤：
(1)在套管外径与厚度、井径、井内泥浆的密度与声波速度、水泥的纵横波速度与密度和地层的纵、横波速度与密度等参数已知的情况下，在理想模型下，套管与水泥或水泥与地层界面加入一个很薄的流体层来模拟套管井胶结差的情况，套管与薄水环以及薄水环与水泥或地层之间的边界条件均按照理想的液固界面或固液界面给定，得到理想模型模拟自由套管模型下的全波波形及套管波幅度A_modelfree_casing；
(2)利用滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，确定此理论模型下套管波幅度取最大值时最大的剪切耦合刚度ηT_low；
(3)利用滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，找到此理论下套管波幅度取最小值时的最小剪切耦合刚度ηT_high；
(4)对处理井段的声波测井测量的套管波幅度A做如下处理，得到经(1)步中理论计算得到的套管波幅度A_modelfree_casing刻度后的套管波幅度，刻度方法如式(3)所示；
式(3)中A_fieldfree_casing是处理井段中自由套管段的套管波幅度。
(5)选取处理深度下套管外径与厚度、井径、井内泥浆的密度与声波速度、水泥的纵横波速度与密度以及和地层的纵、横波速度及密度等参数，在ηT_low～ηT_high之间给定剪切耦合模量ηT，利用滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，得到套管波幅度Amodel；
(6)利用滑移界面表征的套管井模型理论计算的套管波幅度Amodel与处理井段某深度下的套管波幅度Aci的均方差构建如下式所示的目标函数：
E(ηT)＝[Amodel(ηT)-Aci]2 (4)
(7)观察该目标函数是否达到最小值。若不是，调节ηT，回到步骤(5)；
(8)输出目标函数为最小时的ηT作为此深度下预测的套管与水泥之间的剪切耦合刚度；
(9)利用预测的套管与水泥间的剪切耦合刚度进行固井质量的定量评价。
建立滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形方法如下：
套管内、外半径分别为r0和r1，水泥环的内、外半径分别为r2和r3，地层半径为r4；套管与水泥环之间的第一界面的胶结状况由第一界面法向耦合刚度
和切向耦合刚度
来表征，界面的几何厚度为d1＝r2-r1；水泥环与地层之间的第二界面的法向和切向耦合刚度分别为
和
界面的几何厚度为d2＝r4-r3，外侧与之相连的是无限大的地层介质；
其中，κ'和μ'分别为介质的体积模量和剪切模量，υ'为粘滞系数，ω为波动的圆频率。当υ'＝0时，法向和切向耦合刚度描述的为弹性效应导致的界面耦合问题；对于切向耦合刚度而言，当μ'＝0时，ηT描述的是滑移界面介质为牛顿流体时的粘滞耦合问题；
在柱坐标系(r,θ,z)下轴对称波动产生的位移-应力矢量
式中ur和uz分别是介质的径向和切向位移；σrr和σrz分别表示径向分层界面上的正应力和切应力，符号T表示矩阵的转置。
的表达式为
其中，Q*表示介质中传播纵波和SV波的振幅系数；T*(r)是关于频率和波数的系数矩阵，Medium可替换为Fluid、Casing、Cement和Formation，分别指井内流体、套管、水泥以及地层的位移-应力矢量；套管内壁r0处，套管(Casing)与井中流体(Fluid)的位移与应力满足的边界条件为
其中，
分别表示流体和套管介质在界面处的径向位移、应力和切向应力；
对套管外壁r1和水泥环(Cement)内半径r2之间的滑移界面应用边界条件可以得到
式中，M 1为套管与水泥环之间滑移界面边界条件的特征矩阵，表达式如下
采用类似地方法，我们可以得到水泥环外半径r3与地层(Formation)半径r4之间的边界条件为
式中，M2表示水泥环与地层介质之间滑移界面边界条件的特征矩阵，表达式为
将套管内壁和地层外壁的位移-应力矢量可以用传播矩阵G连接，即
其中，G＝T*(r0)'T*(r1)-1M1T*(r2)T*(r3)-1M2，T*(r0)'为矩阵T*(r)去掉第二行得到的3×4的矩阵(去掉该行是因为(8)式所示的固-液边界条件不涉及切向位移)；T*(r1)、T*(r2)和T*(r3)分别为(6)式在r1、r2和r3处的取值；与理想弹性波动理论不同的是，此时的传递矩阵中包含了第一和第二界面滑移界面的特征矩阵M1和M2。从式(10)和(12)中可以看出，当第一或第二界面中任一耦合刚度趋于无穷时，该界面的滑移边界条件特征矩阵将会变成单位矩阵，界面的边界条件就会退化成经典的弹性边界条件，可以用来模拟任一界面胶结良好、另一界面胶结质量出现问题的模型；当两个界面的耦合刚度均趋于无穷时，可以求解第一和第二界面胶结均良好的套管井模型。
在地层内壁r4处的各位移和应力分量
的具体表达式为
其中，k为轴向波数；ρfm为井外地层的密度；
分别表示地层纵波、横波的径向波数；αfm、βfm分别为地层的纵、横波速度；Kn(n＝0,1)表示n阶第二类修正贝塞尔函数；(14)式中B和F分别为地层纵波和横波的振幅系数。
综合(5)和(14)式，得到一矩阵方程
求解方程(15)即可计算图1中所示的滑移界面表征的套管井模拟中的声波测井波形。
切向耦合刚度小于1e9Pa/m时，套管波的幅度和相位基本不变，随着剪切耦合刚度的增加套管波幅度逐渐减弱，剪切耦合刚度在1e9Pa/m～1.3e11Pa/m可以很好的模拟套管与水泥或水泥与地层之间胶结质量逐渐变化的趋势。
本发明的优点及积极效果：
本发明将边界条件引入了固井声波测井领域，提出了一种采用滑移界面表征的固井声波测井模型，可以用来有效地模拟套管与地层的各种复杂的(弹性或非弹性)耦合情况，并且简化了原有理论对固井问题模拟中的复杂性，为实际应用问题的求解提供了一条新的途径。在此发明的基础上，首次实现了预测套管与水泥或水泥与地层界面剪切耦合模量的方法，这将为水泥胶结质量的评价提供直接参考。
附图说明
图1-a是第一和第二界面均为不规则界面的套管井模型。
图1-b为第一和第二界面均为滑移界面的套管井模型。
图2-a是滑移界面理论与理想模型的套管与水泥界面对比图。
图2-b是滑移界面理论与理想模型的水泥与地层界面对比图。
图3是套管波幅度随着剪切耦合刚度的变化趋势。
图4是剪切耦合刚度与套管波相对幅度的关系。
图5是本发明第一方案的流程图。
图6是本发明第二方案的流程图。
图7是根据测井数据预测套管与水泥界面剪切耦合刚度曲线示意图。
图中编号：1、地层，2、水泥环，3、套管，4、套管与水泥环第一界面，5、套管与水泥环第二界面。
具体实施方式
本发明是利用滑移界面表征的套管井声波全波理论模拟和预测套管-水泥或水泥-地层界面的剪切耦合刚度，为从套管井声波测井数据中定量评价套管与地层之间水泥胶结质量提供一种实用可行的方法和途径。
根据下述5.1中描述的基于滑移界面表征的套管井声波测井理论，套管与水泥或水泥与地层之间的胶结状况可以用其界面的剪切耦合刚度表征。随着界面剪切耦合刚度的增加套管波幅度逐渐减弱。利用套管波幅度预测套管与水泥界面或水泥与地层界面之间剪切耦合刚度的具体方案有两个，以套管与水泥环之间的界面为例，参见该图5所述的方案1的具体步骤如下：
(1)在套管外径与厚度、井径、井内泥浆的密度与声波速度、水泥的纵横波速度与密度和地层的纵、横波速度与密度等参数已知的情况下，利用下述5.1.1中的经典模型模拟自由套管(套管和地层之间完全充填泥浆)模型下的全波波形，得到理论计算的自由套管模型下的套管波幅度Afree_casing；
(2)利用下述5.1.2描述的滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，确定此理论模型下套管波幅度取最大值时最大的剪切耦合刚度ηT_low；
(3)利用下述5.1.2描述的滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，找到此理论下全波波形与经典理论中胶结良好模型模拟的全波特征一致时的最小剪切耦合刚度ηT_high；
(4)在最大和最小剪切耦合刚度之间，均匀取n个剪切耦合刚度，模拟得到n(n一般取7～15)个剪切耦合刚度下套管波的幅度；
(5)分别取ηT_low～ηT_high之间的共n+2个剪切耦合刚度下模拟得到的套管波幅度Ai(i＝1,2…n+2)，并与自由套模型下的套管波幅度Afree_casing做比值，得到此模型下套管波的相对幅度值Rai，如式(1)；
(6)拟合得到的n+2个套管波的相对幅度与n+2个剪切耦合刚度之间的关系式，见图4，其中图4中的横坐标为套管波相对幅度Ra，纵坐标为剪切耦合刚度ηT/GPa/m。剪切耦合刚度与套管波相对幅度Ra的函数关系可用f表示，见式(2)，可以是指数型或线性或多项式等；
ηT＝f(Ra) (2)
(7)根据声波测井得到的套管波相对幅度Ra，利用以上关系式(2)预测套管与水泥间的剪切耦合刚度；
(8)利用预测的套管与水泥间的剪切耦合刚度进行固井质量的定量评价。
以套管与水泥环之间的界面为例，参见图6所示的方案2的具体步骤如下：
(1)在套管外径与厚度、井径、井内泥浆的密度与声波速度、水泥的纵横波速度与密度和地层的纵、横波速度与密度等参数已知的情况下，利用下述5.1.1描述的经典模型模拟自由套管(套管和地层之间完全充填泥浆)模型下的全波波形，得到套管波幅度A_modelfree_casing；
(2)利用下述5.1.2描述的滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，确定此理论模型下套管波幅度取最大值时最大的剪切耦合刚度ηT_low；
(3)利用下述5.1.2描述的滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，找到此理论下套管波幅度取最小值时的最小剪切耦合刚度ηT_high；
(4)对处理井段的声波测井测量的套管波幅度A做如下处理，得到经(1)步中理论计算得到的套管波幅度A_modelfree_casing刻度后的套管波幅度，刻度方法如式(3)所示；
式(3)中A_fieldfree_casing是处理井段中自由套管段的套管波幅度。
(5)选取处理深度下套管外径与厚度、井径、井内泥浆的密度与声波速度、水泥的纵横波速度与密度以及和地层的纵、横波速度及密度等参数，在ηT_low～ηT_high之间给定剪切耦合模量ηT，利用下述5.1.2描述的滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，得到套管波幅度Amodel；
(6)利用滑移界面表征的套管井模型理论计算的套管波幅度Amodel与处理井段某深度下的套管波幅度Aci的均方差构建如下式所示的目标函数：
E(ηT)＝[Amodel(ηT)-Aci]2 (4)
(7)观察该目标函数是否达到最小值。若不是，调节ηT，回到步骤(5)。具体的调节过程法有多种，可视具体需要而定，这里不再赘述；
(8)输出目标函数为最小时的ηT作为此深度下预测的套管与水泥之间的剪切耦合刚度；
(9)利用预测的套管与水泥间的剪切耦合刚度进行固井质量的定量评价。
所述的5.1滑移界面表征的固井声波测井模型，包括5.1.1和5.1.2两部分：
5.1.1经典(理想)理论下固井声波测井模型，该经典理论下固井声波测井模型为公知技术。
在经典模型下，套管与水泥或水泥与地层界面加入一个很薄的流体层来模拟套管井胶结差的情况。套管与薄水环以及薄水环与水泥或地层之间的边界条件均按照经典(理想)的液固界面或固液界面给定。《定量测井声学》(唐晓明，郑传汉等著，赵晓敏译，2004年12月，石油工业出版社)2.7节详细描述了套管井各种胶结情况下的井孔声场的计算过程，这里不再赘述。
5.1.2滑移界面表征的固井声波测井模型
在固井过程中，由于套管外壁和井壁的粗糙不均匀，水泥失水收缩，以及泥饼残留物，残留钻井液的污染，水泥中产生气泡等非均匀介质的影响，固井水泥并不能完全充填套管与水泥之间的环形空间，通常会在第一界面和第二界面形成一些不规则的界面。
如图1–a、图1-b所示的第一和第二界面均为(a)不规则界面和(b)滑移界面的套管井模型。
一般这些界面附近的狭小空间内会填充有一些流体介质，通常这些因为胶结质量出现问题而形成的微环或者狭小空间，厚度都十分微小，阵列声波测井常用的频率约为104Hz，由此在图1-a、图1-b系统中激发的声波波长为数十厘米，远大于微环的厚度，十分符合滑移界面边界条件的适用条件。此外，在有些油气井的固井施工过程中，特别是水平井和大斜度井，会存在水泥环缺失的问题，水泥环的厚度一般为一到数厘米的量级，远小于声波波长，也满足滑移界面边界条件的应用条件。因此，我们可以将图1-a、图1-b所示模型中的第一界面和第二界面均处理为滑移界面边界条件。若处理界面胶结强度变低形成的微环问题，微环的厚度可以忽略不计，滑移界面可以等效为几何厚度为零的界面；若处理水泥环缺失的问题，滑移界面的几何厚度可以等效为缺失水泥环的厚度。
套管内、外半径分别为r0和r1，水泥环的内、外半径分别为r2和r3，地层半径为r4；套管与水泥环之间的第一界面的胶结状况由第一界面法向耦合刚度
和切向耦合刚度
来表征，界面的几何厚度为d1＝r2-r1；水泥环与地层之间的第二界面的法向和切向耦合刚度分别为
和
界面的几何厚度为d2＝r4-r3，外侧与之相连的是无限大的地层介质。
其中，κ'和μ'分别为介质的体积模量和剪切模量，υ'为粘滞系数，ω为波动的圆频率。当υ'＝0时，法向和切向耦合刚度描述的为弹性效应导致的界面耦合问题；对于切向耦合刚度而言，当μ'＝0时，ηT描述的是滑移界面介质为牛顿流体时的粘滞耦合问题。
在柱坐标系(r,θ,z)下轴对称波动产生的位移-应力矢量
式中ur和uz分别是介质的径向和切向位移；σrr和σrz分别表示径向分层界面上的正应力和切应力，符号T表示矩阵的转置。
的表达式为
其中，Q*表示介质中传播纵波和SV波的振幅系数；T*(r)是关于频率和波数的系数矩阵，Medium可替换为Fluid、Casing、Cement和Formation，分别指井内流体、套管、水泥以及地层的位移-应力矢量；套管内壁r0处，套管(Casing)与井中流体(Fluid)的位移与应力满足的边界条件为
其中，
分别表示流体和套管介质在界面处的径向位移、应力和切向应力。
对套管外壁r1和水泥环(Cement)内半径r2之间的滑移界面应用边界条件可以得到
式中，M1为套管与水泥环之间滑移界面边界条件的特征矩阵，表达式如下
采用类似地方法，我们可以得到水泥环外半径r3与地层(Formation)半径r4之间的边界条件为
式中，M2表示水泥环与地层介质之间滑移界面边界条件的特征矩阵，表达式为
将套管内壁和地层外壁的位移-应力矢量可以用传播矩阵G连接，即
其中，G＝T*(r0)'T*(r1)-1M1T*(r2)T*(r3)-1M2，T*(r0)'为矩阵T*(r)去掉第二行得到的3×4的矩阵(去掉该行是因为(8)式所示的固-液边界条件不涉及切向位移)；T*(r1)、T*(r2)和T*(r3)分别为(6)式在r1、r2和r3处的取值；与经典弹性波动理论不同的是，此时的传递矩阵中包含了第一和第二界面滑移界面的特征矩阵M1和M2。从式(10)和(12)中可以看出，当第一或第二界面中任一耦合刚度趋于无穷时，该界面的滑移边界条件特征矩阵将会变成单位矩阵，界面的边界条件就会退化成经典的弹性边界条件，可以用来模拟任一界面胶结良好、另一界面胶结质量出现问题的模型；当两个界面的耦合刚度均趋于无穷时，可以求解第一和第二界面胶结均良好的套管井模型。
在地层内壁r4处的各位移和应力分量
的具体表达式为
其中，k为轴向波数；ρfm为井外地层的密度；
分别表示地层纵波、横波的径向波数；αfm、βfm分别为地层的纵、横波速度；Kn(n＝0,1)表示n阶第二类修正贝塞尔函数；(14)式中B和F分别为地层纵波和横波的振幅系数。
综合(5)和(14)式，得到一矩阵方程
求解方程(15)即可计算图1中所示的滑移界面表征的套管井模拟中的声波测井波形。
图2-a和图2-b将经典的流体环套管井模型和滑移界面表征的套管井模型计算结果进行了对比，图中横轴是时间，单位ms，纵轴是波的幅度，无量纲，图中实线是经典模型计算的套管与水泥(图2-a)或水泥与地层(图2-b)之间存在1mm流体环的结果，图中离散的星星
线是滑移界面表征的套管井模拟计算的结果，剪切耦合刚度值为1e9Pa/m。图2-a是套管与水泥界面不胶结，图2-b是水泥与地层界面不胶结。滑移界面表征的套管井模型可以描述这种不胶结的套管模型，也可以描述从胶结好到不胶结的过度状态，见图3。但经典模型无法描述这种过度状态。图3展示了剪切耦合刚度在1e8Pa/m～13e10Pa/m(曲线从下向上剪切刚度依次增加)之间变化时套管波幅度的变化趋势，图中纵轴标注的是此波形曲线对应的剪切耦合刚度值，横轴是时间，单位ms,从图中可以看出，切向耦合刚度小于1e9Pa/m时，套管波的幅度和相位基本不变，随着剪切耦合刚度的增加套管波幅度逐渐减弱，剪切耦合刚度在1e9Pa/m～13e10Pa/m可以很好的模拟套管与水泥或水泥与地层之间胶结质量逐渐变化的趋势。
从理论模拟可知滑移界面表征的套管井模型可以描述界面不胶结到完全胶结的过度状态，因此本发明应用这种模型实现了从实际井测量的套管波幅度预测界面剪切耦合刚度的方法，反演的刚度曲线图参见图7所示。
Claims (2)
1.从套管井声波测井中获取套管与水泥界面剪切耦合刚度的方法，包括如下步骤：
(1)在套管外径与厚度、井径、井内泥浆的密度与声波速度、水泥的纵横波速度与密度和地层的纵、横波速度与密度参数已知的情况下，利用在理想经典模型下，套管与水泥或水泥与地层界面加入一个很薄的流体层来模拟套管井胶结差的情况，套管与薄水环以及薄水环与水泥或地层之间的边界条件均按照理想的液固界面或固液界面给定，得到理想模型模拟自由套管模型下的全波波形及理论计算的自由套管模型下的套管波幅度Afree_casing；
(2)利用滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，确定此理论模型下套管波幅度取最大值时最大的剪切耦合刚度ηT_low；
其中建立滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形方法如下：
套管内、外半径分别为r0和r1，水泥环的内、外半径分别为r2和r3，地层半径为r4；套管与水泥环之间的第一界面的胶结状况由第一界面法向耦合刚度
和切向耦合刚度
来表征，界面的几何厚度为d1＝r2-r1；水泥环与地层之间的第二界面的法向和切向耦合刚度分别为
和
界面的几何厚度为d2＝r4-r3，外侧与之相连的是无限大的地层介质；
其中，κ'和μ'分别为介质的体积模量和剪切模量，υ'为粘滞系数，ω为波动的圆频率；当υ'＝0时，法向和切向耦合刚度描述的为弹性效应导致的界面耦合问题；对于切向耦合刚度而言，当μ'＝0时，ηT描述的是滑移界面介质为牛顿流体时的粘滞耦合问题；
在柱坐标系(r,θ,z)下轴对称波动产生的位移-应力矢量
式中ur和uz分别是介质的径向和切向位移；σrr和σrz分别表示径向分层界面上的径向正应力和切应力，符号T表示矩阵的转置；
的表达式为
其中，Q*表示介质中传播纵波和SV波的振幅系数；T*(r)是关于频率和波数的系数矩阵，Medium可替换为Fluid、Casing、Cement或Formation，分别指井内流体、套管、水泥以及地层的位移-应力矢量；套管内壁r0处，套管(Casing)与井中流体(Fluid)的位移与应力满足的边界条件为
其中，
分别表示流体和套管介质在界面处的径向位移、径向正应力和切向应力；
对套管外壁r1和水泥环Cement内半径r2之间的滑移界面应用边界条件可以得到
式中，M1为套管与水泥环之间滑移界面边界条件的特征矩阵，表达式如下
采用类似地方法，可以得到水泥环外半径r3与地层Formation半径r4之间的边界条件为
式中，M2表示水泥环与地层介质之间滑移界面边界条件的特征矩阵，表达式为
将套管内壁和地层外壁的位移-应力矢量可以用传播矩阵G连接，即
其中，G＝T*(r0)'T*(r1)-1M1T*(r2)T*(r3)-1M2，T*(r0)'为矩阵T*(r)去掉第二行得到的3×4的矩阵；T*(r1)、T*(r2)和T*(r3)分别为(8)式在r1、r2和r3处的取值；与理想弹性波动理论不同的是，此时的传递矩阵中包含了第一和第二界面滑移界面的特征矩阵M1和M2；从式(10)和(12)中可以看出，当第一或第二界面中任一耦合刚度趋于无穷时，该界面的滑移边界条件特征矩阵将会变成单位矩阵，界面的边界条件就会退化成经典的弹性边界条件，可以用来模拟任一界面胶结良好、另一界面胶结质量出现问题的模型；当两个界面的耦合刚度均趋于无穷时，可以求解第一和第二界面胶结均良好的套管井模型；
在地层内壁r4处的各位移和应力分量
的具体表达式为
其中，k为轴向波数；ρfm为井外地层的密度；
分别表示地层纵波、横波的径向波数；αfm、βfm分别为地层的纵、横波速度；Kn(n＝0,1)表示n阶第二类修正贝塞尔函数；(14)式中B和F分别为地层纵波和横波的振幅系数；
综合(5)和(14)式，得到一矩阵方程
求解方程(15)即可计算滑移界面表征的套管井模拟中的声波测井波形；
切向耦合刚度小于1e9Pa/m时，套管波的幅度和相位基本不变，随着剪切耦合刚度的增加套管波幅度逐渐减弱，剪切耦合刚度在1e9Pa/m～1.3e11Pa/m可以很好的模拟套管与水泥或水泥与地层之间胶结质量逐渐变化的趋势；
(3)利用滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，找到此理论下全波波形与经典理论中胶结良好模型模拟的全波特征一致时的最小剪切耦合刚度ηT_high；
(4)在最大和最小剪切耦合刚度之间，均匀取n个剪切耦合刚度，模拟得到n个剪切耦合刚度下套管波的幅度，n取7～15；
(5)分别取ηT_low～ηT_high之间的共n+2个剪切耦合刚度下模拟得到的套管波幅度Ai(i＝1,2…n+2)，并与自由套模型下的套管波幅度Afree_casing做比值，得到此模型下套管波的相对幅度值Rai，如式(1)；
(6)拟合得到的n+2个套管波的相对幅度与n+2个剪切耦合刚度之间的关系式，剪切耦合刚度与套管波相对幅度Ra的函数关系可用f表示，见式(2)，可以是指数型或线性或多项式；
ηT＝f(Ra) (2)
(7)根据声波测井得到的套管波相对幅度Ra，利用以上关系式(2)预测套管与水泥间的剪切耦合刚度；
(8)利用预测的套管与水泥间的剪切耦合刚度进行固井质量的定量评价。
2.从套管井声波测井中获取套管与水泥界面剪切耦合刚度的方法，包括如下步骤：
(1)在套管外径与厚度、井径、井内泥浆的密度与声波速度、水泥的纵横波速度与密度和地层的纵、横波速度与密度等参数已知的情况下，在理想模型下，套管与水泥或水泥与地层界面加入一个很薄的流体层来模拟套管井胶结差的情况，套管与薄水环以及薄水环与水泥或地层之间的边界条件均按照理想的液固界面或固液界面给定，得到理想模型模拟自由套管模型下的全波波形及套管波幅度A_modelfree_casing；
(2)利用滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，确定此理论模型下套管波幅度取最大值时最大的剪切耦合刚度ηT_low；
其中建立滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形方法如下：
套管内、外半径分别为r0和r1，水泥环的内、外半径分别为r2和r3，地层半径为r4；套管与水泥环之间的第一界面的胶结状况由第一界面法向耦合刚度
和切向耦合刚度
来表征，界面的几何厚度为d1＝r2-r1；水泥环与地层之间的第二界面的法向和切向耦合刚度分别为
和
界面的几何厚度为d2＝r4-r3，外侧与之相连的是无限大的地层介质；
其中，κ'和μ'分别为介质的体积模量和剪切模量，υ'为粘滞系数，ω为波动的圆频率；当υ'＝0时，法向和切向耦合刚度描述的为弹性效应导致的界面耦合问题；对于切向耦合刚度而言，当μ'＝0时，ηT描述的是滑移界面介质为牛顿流体时的粘滞耦合问题；
在柱坐标系(r,θ,z)下轴对称波动产生的位移-应力矢量
式中ur和uz分别是介质的径向和切向位移；σrr和σrz分别表示径向分层界面上的径向正应力和切应力，符号T表示矩阵的转置；
的表达式为
其中，Q*表示介质中传播纵波和SV波的振幅系数；T*(r)是关于频率和波数的系数矩阵，Medium可替换为Fluid、Casing、Cement或Formation，分别指井内流体、套管、水泥以及地层的位移-应力矢量；套管内壁r0处，套管(Casing)与井中流体(Fluid)的位移与应力满足的边界条件为
其中，
分别表示流体和套管介质在界面处的径向位移、径向正应力和切向应力；
对套管外壁r1和水泥环Cement内半径r2之间的滑移界面应用边界条件可以得到
式中，M1为套管与水泥环之间滑移界面边界条件的特征矩阵，表达式如下
采用类似地方法，可以得到水泥环外半径r3与地层Formation半径r4之间的边界条件为
式中，M2表示水泥环与地层介质之间滑移界面边界条件的特征矩阵，表达式为
将套管内壁和地层外壁的位移-应力矢量可以用传播矩阵G连接，即
其中，G＝T*(r0)'T*(r1)-1M1T*(r2)T*(r3)-1M2，T*(r0)'为矩阵T*(r)去掉第二行得到的3×4的矩阵；T*(r1)、T*(r2)和T*(r3)分别为(8)式在r1、r2和r3处的取值；与理想弹性波动理论不同的是，此时的传递矩阵中包含了第一和第二界面滑移界面的特征矩阵M1和M2；从式(10)和(12)中可以看出，当第一或第二界面中任一耦合刚度趋于无穷时，该界面的滑移边界条件特征矩阵将会变成单位矩阵，界面的边界条件就会退化成经典的弹性边界条件，可以用来模拟任一界面胶结良好、另一界面胶结质量出现问题的模型；当两个界面的耦合刚度均趋于无穷时，可以求解第一和第二界面胶结均良好的套管井模型；
在地层内壁r4处的各位移和应力分量
的具体表达式为
其中，k为轴向波数；ρfm为井外地层的密度；
分别表示地层纵波、横波的径向波数；αfm、βfm分别为地层的纵、横波速度；Kn(n＝0,1)表示n阶第二类修正贝塞尔函数；(14)式中B和F分别为地层纵波和横波的振幅系数；
综合(5)和(14)式，得到一矩阵方程
求解方程(15)即可计算滑移界面表征的套管井模拟中的声波测井波形；
切向耦合刚度小于1e9Pa/m时，套管波的幅度和相位基本不变，随着剪切耦合刚度的增加套管波幅度逐渐减弱，剪切耦合刚度在1e9Pa/m～1.3e11Pa/m可以很好的模拟套管与水泥或水泥与地层之间胶结质量逐渐变化的趋势；
(3)利用滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，找到此理论下套管波幅度取最小值时的最小剪切耦合刚度ηT_high；
(4)对处理井段的声波测井测量的套管波幅度A做如下处理，得到经(1)步中理论计算得到的套管波幅度A_modelfree_casing刻度后的套管波幅度，刻度方法如式(3)所示；
式(3)中A_fieldfree_casing是处理井段中自由套管段的套管波幅度；
(5)选取处理深度下套管外径与厚度、井径、井内泥浆的密度与声波速度、水泥的纵横波速度与密度和地层的纵、横波速度与密度等参数，在ηT_low～ηT_high之间给定剪切耦合模量ηT，利用滑移界面表征的套管井模型模拟计算全波波形，得到套管波幅度Amodel；
(6)利用滑移界面表征的套管井模型理论计算的套管波幅度Amodel与处理井段某深度下的套管波幅度Aci的均方差构建如下式所示的目标函数：
E(ηT)＝[Amodel(ηT)-Aci]2 (4)
(7)观察该目标函数是否达到最小值；若不是，调节ηT，回到步骤(5)；
(8)输出目标函数为最小时的ηT作为此深度下预测的套管与水泥之间的剪切耦合刚度；
(9)得到整个处理井段预测的剪切耦合刚度，利用预测的套管与水泥间的剪切耦合刚度进行固井质量的定量评价。
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-
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