CN112147465B - 基于多重分形与极限学习机的gis局部放电光学诊断方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于多重分形与极限学习机的GIS光学局部放电识别方法。本发明采用的技术方案为：设计多种GIS典型绝缘缺陷模型并搭建实验室光学检测系统，采集光学局部放电信号，绘制GIS不同缺陷下的灰度化光学局放图谱；根据多重分形理论，提取灰度化光学局放图谱的差盒维数及信息维数的多重分形特征量；构造极限学习机作为分类器，通过线性参数模式寻找全局极小值；输入训练和测试样本，测试识别结果。本发明的多重分形特征能够提高GIS光学局放图谱的识别准确率，极限学习机能够提高GIS光学局放图谱的识别速度，两者结合能够保证GIS局部放电的光学诊断效率。
Description
技术领域
本发明属于GIS绝缘缺陷检测领域，涉及一种基于多重分形与极限学习机的GIS局部放电光学诊断方法，该方法能更高效准确地进行特征提取和模式识别。
背景技术
封闭式组合电器(Gas Insulated Switchgear，GIS)是一种以SF6气体作为绝缘介质的气体绝缘金属封闭开关设备。与传统的敞开式变电站相比，GIS具有绝缘强度高、运行稳定、占地面积少和维护工作量小等优点，因此在大中城市电网中得到广泛应用。但是从近十年的运行情况看，国内外的GIS在使用中都出现了许多事故，其中以绝缘故障为主。因此，对GIS进行局部放电在线检测故障诊断，对于准确掌握GIS内部的缺陷性质和特征有着重要意义。
其中，光学检测法因灵敏度优于其它检测方法而备受关注，成为目前局放检测领域一个重要的研究方向。但由于开展时间较晚，技术成熟度还不如其它检测方法。建立光学特征参数与局放缺陷类型之间的映射关系，是光学诊断的基础性也是关键性问题，目前相关研究报道甚少，需要重点深入研究。
发明内容
为克服现有技术存在的不足，本发明提供一种GIS光学局部放电识别方法，该方法基于多重分形特征与极限学习机，以实现GIS局部放电模式的智能识别，提高GIS局部放电光学检测系统的智能化水平。
为实现上述目的，本发明采用下述技术方案：基于多重分形与极限学习机的GIS光学局部放电识别方法，其包括下述步骤：
1)设计多种GIS典型绝缘缺陷模型并搭建实验室光学检测系统，采集光学局部放电信号，绘制GIS不同缺陷下的灰度化光学局放图谱；
2)根据多重分形理论，提取灰度化光学局放图谱的差盒维数、信息维数及其他更高维数的多重分形特征量；
3)构造极限学习机作为分类器，通过线性参数模式寻找全局极小值；
4)输入训练和测试样本，测试识别结果。
将识别结果与现有的分形维数特征的识别率进行对比，从而验证多重分形特征的优势；将其与现有的BP神经网络的运算速度对比，从而验证极限学习机的优势。
进一步地，步骤1)中，根据GIS设备绝缘缺陷放电形式和特点，分别设计4种GIS典型绝缘缺陷模型：高压电极上金属突出物缺陷模型、自由金属微粒缺陷模型、绝缘子表面固定金属污染物缺陷模型和气隙缺陷模型。
进一步地，所述4种GIS典型绝缘缺陷模型的制作过程分别为：
在内导体表面径向安装一根径向高度为15mm的银针，作为高压电极上金属突出物缺陷模型，模拟GIS中的高压电极上金属突出物缺陷；
在上下电极之间放置0.5×1mm2的矩形锡箔微粒，作为自由金属微粒缺陷模型，模拟GIS中的自由金属微粒缺陷；
在绝缘子表面粘附10×2mm2的锡箔纸，作为绝缘子表面固定金属污染物缺陷模型，模拟GIS中的绝缘子表面固定金属污染物缺陷；
在GIS内部绝缘子和内导体间的交界处设置Δr＝1mm的气隙，作为气隙缺陷模型，模拟GIS中的气隙缺陷。
进一步地，步骤1)中，
依次将4个绝缘缺陷模型放置在GIS试验腔中，按照荧光光纤局放光学检测系统接线图接好系统试验回路，给光学检测系统施加电压开始试验；以2kV/s的步长逐渐提高试验电压，观察局放仪和示波器，当有局部放电发生时，停止升压，记录此时光学检测系统上所加电压和视在放电量，并对光电转换后的电脉冲信号进行连续50个工频周期的采样；提取局放脉冲的幅值和相位信息，并统计各个相位和幅值区间内的放电次数，进而得到
矩阵，绘制其灰度图像，灰度级为0-255，所述的
为放电工频相位，Q为放电幅值，N为放电次数；最后，构造4种不同绝缘缺陷模型下的灰度化光学局放图谱。
进一步地，步骤2)的具体内容如下：
将灰度化光学局放图谱所在的三维空间平均划分成大小为r×r×r的盒字，灰度化光学局放图谱本身视为该三维空间中的一个曲面，将其数学表达式记为z＝f(x,y)，其中(x,y)代表像素点位置，z等于该像素点的灰度值；假如在xy平面的第(i,j)个格子中，灰度最大值落在第l个盒子，最小值落在第k个盒子，那么对于第(i,j)个网格而言，覆盖图像曲面的盒子数为：
nr(i,j)＝l-k+1 (1)
xy平面的所有网格中盒子总数则为：
由此计算差盒维数：
根据相位的正负性，将灰度化光学局放图谱分为正负半周两部分，分别计算两个半周图谱的差盒维数
和
作为前两个特征f1,f2；
引入多重分形维数表示具有各向异性和不均匀尺度属性的自相似分布；
多重分形维数Dq是总体上反映各局部区域奇异程度的统计量，局部区域奇异程度由概率计算得到；对于xy平面上第(i,j)个网格而言，出现放电的概率μr(i,j)等于覆盖图像曲面的盒子数与整个图像区域总盒子数之商：
μr(i,j)＝nr(i,j)/Nr (4)
此概率也称为奇异测度，若光学局放图谱空间共分为N个小区域，记第i个区域的线度大小为Li，那么该小区域的奇异测度Pi具有以下关系：
式中，αi为奇异性指数，又称为局部自相似因子；
N(q,L)是一个反映分形支集上奇异测度不均匀性的统计量，其定义为在几何支集F上奇异测度的q阶矩：
多重分形维数Dq通过空间各处奇异测度的q次方求和计算得到：
式中，L表示空间的线性长度；
将式(4)、(6)代入式(7)，则有：
Dq包含多重分形所涉及的全部维数，其中D0代表几何之集的盒维数，D1代表Renyi信息维数；与差盒维数
和
同样地，根据相位的正负性将灰度化光学局放图谱分为正负半周两部分，然后由上式分别计算出两个半周图谱的多重分形维数
作为多重分形特征f3～f8；
若存在临界指数τ(q)，使得
则称τ(q)为质量指数，由式(6)知N(q,L)～Lτ(q)，计算发现当q＝11时上式成立，说明Dq在图像正负半周的变化均趋于稳定，因此选取
作为另外两个分形特征f9～f10。
进一步地，步骤3)的具体内容如下：
首先，搭建一个极限学习机的框架；
输入层的神经元个数n等于特征个数，n＝10；假设隐藏层共有L个神经元，样本数为N，对于任意样本(Xi,ti)而言，有Xi＝[fi1,fi2,...,fin]T，ti代表样本的实际类型，fi1,fi2,...,fin分别表示第i个样本的n个特征，那么该极限学习机的输出结果oi即识别类型满足以下关系式：
式中，g(x)为激活函数，选择sigmoid函数：
W表示输入权重矩阵，有
Wk＝[Wk1,Wk2,...,Wkn]T (12)
β表示输出权重矩阵，有
bk表示第k个隐藏层神经元的偏置；Wk·Xi表示Wk和Xi的内积；下标k取值为1～L的整数；
输出层的神经元个数m等于类型个数，即m＝4，每个神经元分别代表高压电极上金属突出物缺陷、自由金属微粒缺陷、绝缘子表面固定金属污染物缺陷和气隙缺陷；
开始计算时，按照任意的连续概率分布随机生成参数，与输入数据独立；
然后训练极限学习机，训练目标是使得输出结果oi与实际所属类型ti的误差最小，定义损失函数Eloss为：
式中，H表示隐藏层的输出矩阵，代表N个输入样本对L个隐藏神经元的映射关系，有
T为期望输出，有
极限学习机仅需通过解方程组一次性求出输出权重矩阵β：
式中，
是矩阵H的Moore-Penrose广义逆：
式中，C为正则化系数，通过式(17)求得的解使损失函数具有唯一的最小值。
本发明具有的有益效果如下：制作GIS典型绝缘缺陷并搭建实验室光学检测系统，获取GIS不同缺陷下的光学局放图谱；以多重分形理论为基础，实现了灰度化光学局放图谱多重分形特征量的提取，该特征提取方法考虑了系统的局域行为及分形在其形成过程中不同层次的特征；构造极限学习机作为分类器，用于在保证学习精度的前提下提高传统识别算法的速度；经过大量训练样本的学习训练后，测试试验数据，结果验证了多重分形特征能够提高GIS光学局放图谱的识别准确率，极限学习机能够提高GIS光学局放图谱的识别速度，两者结合能够保证GIS局部放电的光学诊断效率。
附图说明
图1为本发明具体实施方式中高压电极上金属突出物缺陷模型的结构示意图；
图2为本发明具体实施方式中自由金属微粒缺陷模型的结构示意图；
图3为本发明具体实施方式中绝缘子表面固定金属污染物缺陷模型的结构示意图；
图4为本发明具体实施方式中气隙缺陷模型的结构示意图；
图5为本发明具体实施方式中荧光光纤局放光学检测系统的接线示意图；
图6为本发明具体实施方式中极限学习机结构的示意图。
具体实施方式
下面结合说明书附图和具体实施方式对本发明作进一步说明。
本发明为一种基于多重分形与极限学习机的GIS光学局部放电识别方法，其包括下述步骤：
1)设计多种GIS典型绝缘缺陷模型并搭建实验室光学检测系统，采集光学局部放电信号，绘制GIS不同缺陷下的灰度化光学局放图谱；
2)根据多重分形理论，提取灰度化光学局放图谱的差盒维数、信息维数及其他更高维数的多重分形特征量；
3)构造极限学习机作为分类器，通过线性参数模式寻找全局极小值；
4)输入训练和测试样本，测试识别结果。
所述步骤(1)的具体方法为：
首先，根据GIS设备绝缘缺陷放电形式和特点，分别设计4种GIS典型绝缘缺陷模型：高压电极上金属突出物缺陷模型、自由金属微粒缺陷模型、绝缘子表面固定金属污染物缺陷模型和气隙缺陷模型。其制作过程分别为：
1)在内导体表面径向安装一根径向高度为15mm的银针，模拟GIS中的高压电极上金属突出物缺陷。
2)在上下电极之间放置0.5×1mm2的矩形锡箔微粒，模拟GIS中的自由金属微粒缺陷。
3)在绝缘子表面粘附10×2mm2的锡箔纸，模拟GIS中的绝缘子表面固定金属污染物缺陷。
4)在GIS内部绝缘子和内导体间的交界处设置Δr＝1mm的气隙，模拟GIS中的气隙缺陷。
依次将4个绝缘缺陷模型放置在GIS试验腔中，按照图5所示的荧光光纤局放光学检测系统接线示意图接好检测系统试验回路，给装置施加电压开始试验。缓慢提高试验电压，观察哈弗莱局放仪和力科示波器。当有局部放电发生时，停止升压，记录此时检测系统上所加电压和视在放电量，并对光电转换后的电脉冲信号进行连续50个工频周期的采样。提取局放脉冲的幅值和相位信息，并统计各个相位和幅值区间内的放电次数，进而得到
(放电工频相位
放电幅值Q和放电次数N)矩阵，绘制其灰度图像，分辨率为128×256，灰度级为0-255。至此，4种不同缺陷模型下的灰度化光学局放图谱得以构造。
所述步骤(2)的具体方法为：
将局放图谱所在的三维空间平均划分成大小为r×r×r的盒字，那么灰度化光学局放图谱本身可视为是该三维空间中的一个曲面。将其数学表达式记为z＝f(x,y)，其中(x,y)代表像素点位置，z等于该像素点的灰度值。假如在xy平面的第(i,j)个格子中，灰度最大值落在第l个盒子，最小值落在第k个盒子，那么对于第(i,j)个网格而言，覆盖图像曲面的盒子数为：
nr(i,j)＝l-k+1(1)
xy平面的所有网格中盒子总数则为：
由此可计算差盒维数：
首先计算灰度化光学局放图谱正负半周的差盒维数
和
作为前两个特征f1,f2。
由于单一的分形维数从图像整体来揭示其本质，忽略了局部特征，所以对于不同的分形体其分形维数可能很接近，甚至完全相同，因此采用单一维数作为光学局放图谱的特征是不全面的，而且一般真实纹理都不属于理想分形，因此引入多重分形维数来表示具有各向异性和不均匀尺度属性的自相似分布。
多重分形维数Dq是总体上反映各局部区域奇异程度的统计量，局部区域奇异程度可由概率计算得到。对于xy平面上第(i,j)个网格而言，出现放电的概率μr(i,j)等于覆盖图像曲面的盒子数与整个图像区域总盒子数之商：
μr(i,j)＝nr(i,j)/Nr (4)
此概率也称为奇异测度。若光学局放图谱空间共分为N个小区域，记第i个区域的线度大小为Li，那么该小区域的奇异测度Pi具有以下关系：
式中，αi为奇异性指数，又称为局部自相似因子。
N(q,L)是一个反映分形支集上奇异测度不均匀性的统计量，其定义为在几何支集F上奇异测度的q阶矩：
多重分形维数Dq可通过空间各处奇异测度的q次方求和计算得到：
将式(4)(6)代入式(7)，则有：
Dq包含了多重分形所涉及的全部维数，其中D0代表几何之集的盒维数，D1代表Renyi信息维数。由上式计算出灰度化光学局放图谱的多重分形维数
作为多重分形特征f3～f8。
若存在临界指数τ(q)使得
则称τ(q)为质量指数，由式(6)可知N(q,L)～Lτ(q)。计算发现当q＝11时上式成立，说明Dq在图像正负半周的变化均趋于稳定，因此选取
作为另外两个分形特征f9～f10。
综上所述，步骤(2)共提取10个特征量：
所述步骤(3)的具体方法为：
首先按照图6所示结构搭建一个极限学习机的框架。
图中，输入层的神经元个数n等于特征个数，由步骤(2)可知n＝10。假设隐藏层共有L个神经元，样本数为N，对于任意样本(Xi,ti)而言，有Xi＝[fi1,fi2,...,fin]T，ti代表样本的实际类型，那么该极限学习机的输出结果oi即识别类型满足以下关系式：
式中，g(x)为激活函数，可选择sigmoid函数：
W表示输入权重矩阵，有
Wk＝[Wk1,Wk2,...,Wkn]T (12)
β表示输出权重矩阵，有
bk表示第k个隐藏层神经元的偏置；Wk·Xi表示Wk和Xi的内积。
输出层的神经元个数m等于类型个数，即m＝4，每个神经元分别代表高压电极上金属突出物缺陷、自由金属微粒缺陷、绝缘子表面固定金属污染物缺陷和气隙缺陷。
开始计算时，按照任意的连续概率分布(如高斯分布)随机生成参数，与输入数据独立。
然后训练极限学习机，训练目标是使得输出结果oi与实际所属类型ti的误差最小。定义损失函数Eloss为：
式中，H表示隐藏层的输出矩阵，代表N个输入样本对L个隐藏神经元的映射关系，有
T为期望输出，有
传统的BP神经网络基于梯度下降法求解损失函数Eloss的最小值，但问题在于梯度下降学习算法需要在迭代过程中调整所有参数，而极限学习机的优势在于一旦随机初始化输入权重矩阵W和隐藏层的偏置bk后，不用再调整其值的大小，因此可以减少BP神经网络一半的运算量。极限学习机仅需通过解方程组一次性求出输出权重矩阵β：
式中，
是矩阵H的Moore-Penrose广义逆：
式中，C为正则化系数。通过式(17)求得的解可以使损失函数具有唯一的最小值。
所述步骤(4)的具体方法为：
每种放电缺陷采集140个样本，对每个样本提取步骤(2)中的10个特征量，采用步骤(3)中构造的极限学习机作为分类器。每种缺陷取24个样本作为训练样本，其余116个作为测试样本。为了对比多重分形特征和单一分形特征的区分能力，对样本提取4个单一分形特征量，分别为正负半周的差盒维数和信息维数
同样采用极限学习机作为分类器，得到对比结果如表1所示。
表1多重分形特征与单一分形特征的识别正确率
| 绝缘缺陷类型 | 多重分形特征识别正确率 | 单一分形识别正确率 |
| 金属突出物 | 92.2％ | 88.7％ |
| 自由金属微粒 | 91.3％ | 87.0％ |
| 绝缘子金属污染 | 96.5％ | 92.2％ |
| 气隙 | 88.8％ | 83.6％ |
从表1可以看出，多重分形特征对各种缺陷的识别率都在85％以上，除了气隙缺陷，其余三种缺陷的识别率都高于90％。而且每种缺陷的识别正确率都高于单一分形特征，说明多重分形特征从系统的局部出发来研究局部放电谱图的整体特征，更加全面、有效的对分形结构进行描述，更能反映GIS光学局部放电图谱的本质特性。利用多重分形特征有助于提高GIS绝缘缺陷的识别准确率。
另一方面，为了验证极限学习机的运算效率，将多重分形特征分别输入极限学习机和传统BP网络，比较训练时间，得到对比结果如表2所示。
表2极限学习机与BP神经网络的训练效率
| 绝缘缺陷类型 | 极限学习机训练时间(ms) | BP神经网络训练时间(ms) |
| 金属突出物 | 7.64 | 12.75 |
| 自由金属微粒 | 6.74 | 11.62 |
| 绝缘子金属污染 | 5.89 | 10.35 |
| 气隙 | 8.12 | 13.83 |
通过对比两种分类器的训练时间，可以发现极限学习机的运算效率明显优于BP神经网络，说明同迭代算法相比，极限学习机极大地提高了分类器的泛化能力和学习速度。利用极限学习机有助于提高GIS绝缘缺陷的识别效率。
综上所述，基于多重分形与极限学习机的GIS局部放电光学诊断方法可以更加准确、高效地识别实验室模拟的高压电极上金属突出物、自由金属微粒、绝缘子表面固定金属污染物和气隙4种GIS绝缘缺陷，在GIS光学检测系统中有很强的实用价值。
上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。
Claims (6)
1.基于多重分形与极限学习机的GIS光学局部放电识别方法，其特征在于，包括下述步骤：
1)设计多种GIS典型绝缘缺陷模型并搭建实验室光学检测系统，采集光学局部放电信号，绘制GIS不同缺陷下的灰度化光学局放图谱；
2)根据多重分形理论，提取灰度化光学局放图谱的差盒维数和信息维数多重分形特征量；
3)构造极限学习机作为分类器，通过线性参数模式寻找全局极小值；
4)输入训练和测试样本，测试识别结果；
步骤2)中，根据相位的正负性将灰度化光学局放图谱分为正负半周两部分，然后分别计算两个半周图谱的差盒维数
和
作为前两个特征f1,f2；
与差盒维数
和
同样地，根据相位的正负性将灰度化光学局放图谱分为正负半周两部分，然后分别计算出两个半周图谱的多重分形维数
作为多重分形特征f3～f8；
当多重分形维数Dq在图像正负半周的变化均趋于稳定时，选取
作为另外两个分形特征f9～f10。
2.根据权利要求1所述的基于多重分形与极限学习机的GIS光学局部放电识别方法，其特征在于，步骤1)中，根据GIS设备绝缘缺陷放电形式和特点，分别设计4种GIS典型绝缘缺陷模型：高压电极上金属突出物缺陷模型、自由金属微粒缺陷模型、绝缘子表面固定金属污染物缺陷模型和气隙缺陷模型。
3.根据权利要求2所述的基于多重分形与极限学习机的GIS光学局部放电识别方法，其特征在于，所述4种GIS典型绝缘缺陷模型的制作过程分别为：
在内导体表面径向安装一根径向高度为15mm的银针，作为高压电极上金属突出物缺陷模型，模拟GIS中的高压电极上金属突出物缺陷；
在上下电极之间放置0.5×1mm2的矩形锡箔微粒，作为自由金属微粒缺陷模型，模拟GIS中的自由金属微粒缺陷；
在绝缘子表面粘附10×2mm2的锡箔纸，作为绝缘子表面固定金属污染物缺陷模型，模拟GIS中的绝缘子表面固定金属污染物缺陷；
在GIS内部绝缘子和内导体间的交界处设置Δr＝1mm的气隙，作为气隙缺陷模型，模拟GIS中的气隙缺陷。
4.根据权利要求2或3所述的基于多重分形与极限学习机的GIS光学局部放电识别方法，其特征在于，步骤1)中，
依次将4个绝缘缺陷模型放置在GIS试验腔中，按照荧光光纤局放光学检测系统接线图接好系统试验回路，给光学检测系统施加电压开始试验；以2kV/s的步长逐渐提高试验电压，观察局放仪和示波器，当有局部放电发生时，停止升压，记录此时光学检测系统上所加电压和视在放电量，并对光电转换后的电脉冲信号进行连续50个工频周期的采样；提取局放脉冲的幅值和相位信息，并统计各个相位和幅值区间内的放电次数，进而得到
矩阵，绘制其灰度图像，灰度级为0-255，所述的
为放电工频相位，Q为放电幅值，N为放电次数；最后，构造4种不同绝缘缺陷模型下的灰度化光学局放图谱。
5.根据权利要求2或3所述的基于多重分形与极限学习机的GIS光学局部放电识别方法，其特征在于，步骤2)的具体内容如下：
将灰度化光学局放图谱所在的三维空间平均划分成大小为r×r×r的盒字，灰度化光学局放图谱本身视为该三维空间中的一个曲面，将其数学表达式记为z＝f(x,y)，其中(x,y)代表像素点位置，z等于该像素点的灰度值；假如在xy平面的第(i,j)个格子中，灰度最大值落在第l个盒子，最小值落在第k个盒子，那么对于第(i,j)个网格而言，覆盖图像曲面的盒子数为：
nr(i,j)＝l-k+1 (1)
xy平面的所有网格中盒子总数则为：
由此计算差盒维数：
根据相位的正负性将灰度化光学局放图谱分为正负半周两部分，然后按照式(1)～(3)分别计算两个半周图谱的差盒维数
和
作为前两个特征f1,f2；
引入多重分形维数表示具有各向异性和不均匀尺度属性的自相似分布；
多重分形维数Dq是总体上反映各局部区域奇异程度的统计量，局部区域奇异程度由概率计算得到；对于xy平面上第(i,j)个网格而言，出现放电的概率μr(i,j)等于覆盖图像曲面的盒子数与整个图像区域总盒子数之商：
μr(i,j)＝nr(i,j)/Nr (4)
此概率也称为奇异测度，若光学局放图谱空间共分为N个小区域，记第i个区域的线度大小为Li，那么该小区域的奇异测度Pi具有以下关系：
式中，αi为奇异性指数，又称为局部自相似因子；
N(q,L)是一个反映分形支集上奇异测度不均匀性的统计量，其定义为在几何支集F上奇异测度的q阶矩：
多重分形维数Dq通过空间各处奇异测度的q次方求和计算得到：
式中，L表示空间的线性长度；
将式(4)、(6)代入式(7)，则有：
Dq包含多重分形所涉及的全部维数，其中D0代表几何之集的盒维数，D1代表Renyi信息维数；与差盒维数
和
同样地，根据相位的正负性将灰度化光学局放图谱分为正负半周两部分，然后由上式分别计算出两个半周图谱的多重分形维数
作为多重分形特征f3～f8；
若存在τ(q)，使得
则称τ(q)为质量指数，由式(6)知N(q,L)～Lτ(q)，计算发现当q＝11时上式成立，说明Dq在图像正负半周的变化均趋于稳定，因此选取
作为另外两个分形特征f9～f10。
6.根据权利要求2或3所述的基于多重分形与极限学习机的GIS光学局部放电识别方法，其特征在于，步骤3)的具体内容如下：
首先，搭建一个极限学习机的框架；
输入层的神经元个数n等于特征个数，n＝10；假设隐藏层共有L个神经元，样本数为N，对于任意样本(Xi,ti)而言，有Xi＝[fi1,fi2,...,fin]T，ti代表样本的实际类型，fi1,fi2,...,fin分别表示第i个样本的n个特征，那么该极限学习机的输出结果oi即识别类型满足以下关系式：
式中，g(x)为激活函数，选择sigmoid函数：
W表示输入权重矩阵，有
Wk＝[Wk1,Wk2,...,Wkn]T (12)
β表示输出权重矩阵，有
bk表示第k个隐藏层神经元的偏置；Wk·Xi表示Wk和Xi的内积；下标k取值为1～L的整数；
输出层的神经元个数m等于类型个数，即m＝4，每个神经元分别代表高压电极上金属突出物缺陷、自由金属微粒缺陷、绝缘子表面固定金属污染物缺陷和气隙缺陷；
开始计算时，按照任意的连续概率分布随机生成参数，与输入数据独立；
然后训练极限学习机，训练目标是使得输出结果oi与实际所属类型ti的误差最小，定义损失函数Eloss为：
式中，H表示隐藏层的输出矩阵，代表N个输入样本对L个隐藏神经元的映射关系，有
T为期望输出，有
极限学习机仅需通过解方程组一次性求出输出权重矩阵β：
式中，
是矩阵H的Moore-Penrose广义逆：
式中，C为正则化系数，通过式(17)求得的解使损失函数具有唯一的最小值。
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