CN111859249B - 一种基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法 - Google Patents

一种基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法：(1)构造目标函数并改写为与模式参数扰动量和广义演化算符有关的形式；(2)将模式参数初猜值加上服从正态分布的模式参数扰动量形成集合样本；(3)通过模式计算得到状态变量来自于模式参数扰动的扰动值；(4)求解广义演化算符；(5)求出最优模式参数扰动量的解析解；(6)多次迭代获得最优的模式参数；(7)根据最优的模式参数对海洋数值进行预报。本发明通过直接求取模式参数的最优扰动量解析解进行参数优化，保留了已有四维集合变分方法背景误差协方差矩阵更加精确且不需要编写伴随模式的优点，同时解决了已有四维集合变分方法不能应用于非线性较强的系统的问题。

Description

一种基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法
技术领域
本发明涉及海洋数据同化技术，特别涉及一种基于解析四维集合变分(Analytical four-dimensional ensemble-variational data assimilation,A-4DEnVar)的海洋数值预报方法。
背景技术
数据同化是利用时间演化规律和物理性质的一致性约束，将观测到的信息累积到模式状态的一种分析技术。四维变分数据同化方法作为一种比较先进的同化方法，被引入到气象和海洋学的研究领域中，广泛应用于国内外各个业务化系统中。
在数值预报的过程中，造成预报结果产生误差的原因主要是初始场有误差以及模式方程(Model equation)对物理过程的参数化方案有一定误差。假设初始场已经准确，通过四维变分方法对模式进行参数优化，减少模式误差，从而提高数值预报的准确率，是非常有效的。
背景误差协方差矩阵的精确定义是构建高水平数据同化系统的先决条件。传统四维变分方法通常对背景误差协方差模型进行简化和近似，使用静态的背景误差协方差矩阵，效果不是很好。此外，传统四维变分方法需要通过编写伴随模式求取目标函数的梯度，伴随模式的编写难度大，工作量高，对于特定的模式需要编写特定的伴随模式，可移植性差，而模式变动则伴随模式也必须相应的重新编写。四维集合变分方法利用集合同化的样本实时估计背景误差方差，能够精确估计流依赖背景误差协方差，而且四维集合变分方法不需要编写伴随模式。但是现有的四维集合变分方法应用于非线性较强的系统时效果会不如传统四维变分方法。
因此，在传统四维变分方法和已有四维集合变分方法的基础上，针对两种方法存在的问题，提出了一种新的基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法，不仅保留了已有四维集合变分方法的优点，还可以在在非线性较强的情况下较好地进行参数优化。
发明内容
本发明针对在数值预报时使用四维变分方法对模式参数进行优化，提出一种新的基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法。本方法中，通过直接求取模式参数的最优扰动量解析解进行参数优化，保留了已有四维集合变分方法背景误差协方差矩阵更加精确且不需要编写伴随模式的优点，同时解决了已有四维集合变分方法不能应用于非线性较强的系统的问题，具有较大的研究意义和广泛的应用前景。
本发明所采用的技术方案是：一种基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法，包括以下步骤：
步骤1，假设初始场和强迫场是准确的，构造目标函数，并将目标函数改写为与模式参数扰动量和广义演化算符有关的形式；
步骤2，设定模式参数初猜值，并将模式参数初猜值加上服从正态分布的模式参数扰动量形成集合样本；
步骤3，将模式参数初猜值以及步骤2获得的所有集合样本代入模式方程进行计算，得到状态变量来自于模式参数扰动的扰动值；
步骤4，根据步骤3计算得出的状态变量的扰动值以及已知的模式参数扰动量显式求解广义演化算符；
步骤5，令目标函数相对于模式参数扰动量的梯度为0，求出最优模式参数扰动量的解析解；
步骤6，在模式参数的相空间按最优模式参数扰动量解析解的方向以设定步长进行线性搜索，更新步骤2中的模式参数猜测值，循环步骤2至步骤6从而获得最优的模式参数；
步骤7，根据步骤6获得的最优的模式参数对海洋数值进行预报。
进一步地，步骤1中，所述的目标函数为：
Figure BDA0002529421110000021
式中，Hi是第i时刻的观测投影矩阵，Xi为第i时刻的状态变量，Yi为第i时刻的观测值，Ri是第i时刻观测误差协方差矩阵，Λ是模式参数；
其中，Hi,Yi和Ri是与Λ无关的常数矩阵，Xi和Λ的关系如式(2)所示：
Xi＝M(i-1)→i(Xi-1,Λ,F(i-1)→i) (2)
式中，M(i-1)→i[·]为从时刻(i-1)到时刻i的演化算符，与上一时刻的状态变量和模式参数有关，F(i-1)→i是与状态变量无关的外界强迫场。
进一步地，步骤3中，所述的状态变量来自于参数扰动的扰动值为
Figure BDA0002529421110000031
的演化方程满足式(5)：
Figure BDA0002529421110000032
式中，
Figure BDA0002529421110000033
是M(i-1)→i[·]算符在Xi-1和Λ对状态变量的一阶偏导数，依赖于Xi-1和Λ；
Figure BDA0002529421110000034
是M(i-1)→i[·]算符在Xi-1和Λ对模式参数的一阶偏导数，同样依赖于Xi-1和Λ；
Figure BDA0002529421110000035
为模式参数扰动量；
其中，
Figure BDA0002529421110000036
和
Figure BDA0002529421110000037
的矩阵元素的数值取决于以Λ为模式参数和以X0为初始场在F驱动下积分得到的状态变量值，因此，假设n<m，则定义：
Figure BDA00025294211100000314
Figure BDA0002529421110000038
式中，X0为初始场，F为强迫场，
Figure BDA0002529421110000039
表示由于第n步状态变量的扰动导致第m步状态变量的扰动的演化矩阵，
Figure BDA00025294211100000310
表示由于第n步的参数扰动导致第n+1步的状态变量扰动的演化矩阵；
则，式(5)改写为：
Figure BDA00025294211100000311
进一步地，步骤4中，所述的广义演化算符定义为：
Figure BDA00025294211100000312
式中，
Figure BDA00025294211100000313
为广义演化算符；
则，
Figure BDA0002529421110000041
在最小二乘意义下，显式地求解出广义演化算符的具体形式，即：
Figure BDA0002529421110000042
进一步地，步骤5包括：
设最优模式参数扰动量为δΛ，对M(i-1)→i[…M0→1(X0,Λ,F0→1)…,F(i-1)→i]在当前模式参数Λ附近进行展开，并在忽略高阶项后得到：
Figure BDA0002529421110000043
将式(11)代入式(1)有：
Figure BDA0002529421110000044
将式(12)对最优模式参数扰动量δΛ求导得到目标函数的梯度
Figure BDA0002529421110000045
Figure BDA0002529421110000046
令
Figure BDA0002529421110000047
求出最优模式参数扰动量δΛ的解析表达式为：
Figure BDA0002529421110000048
本发明的有益效果是：本发明一种基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法，通过直接求取最优参数扰动量的解析解进行参数优化，在海洋数值预报时，在模式参数有误差的情况下，采用优化后的参数进行预报，减小预报误差。与传统四维变分方法相比，本方法不需要编写伴随模式，节省大量的工作量，可移植性强，并且可以生成更加精确的背景误差协方差矩阵；而与已有的四维集合变分方法相比，本方法可以应用在非线性较强的系统上，极大提高了四维集合变分方法的适用性，具有较大的研究意义和广泛的应用前景。
附图说明
图1：本发明方法流程图；
图2a：Lorenz63模式参数σ的优化效果；
图2b：Lorenz63模式参数β的优化效果；
图2c：Lorenz63模式参数b的优化效果；
图3：采用本发明方法进行预报的结果与真实场的对比图。
具体实施方式
为能进一步了解本发明的发明内容、特点及功效，兹例举以下实施例，并配合附图详细说明如下：
如附图1所示，一种基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法，该方法主要是在使用四维集合变分数据同化方法对海洋数值预报中的参数进行优化时，通过求取最优参数估计解析解的方法，寻找模式的最优参数，降低模式误差。具体包括以下步骤：
步骤1，假设初始场和强迫场是准确的，构造目标函数，并将目标函数改写为与模式参数扰动量和广义演化算符有关的形式；
步骤2，设定模式参数初猜值，并将模式参数初猜值加上服从正态分布的模式参数扰动量形成集合样本；
步骤3，将模式参数初猜值以及步骤2获得的所有集合样本代入模式方程进行计算，得到状态变量来自于模式参数扰动的扰动值；
步骤4，根据步骤3计算得出的状态变量的扰动值以及已知的模式参数扰动量显式求解广义演化算符；
步骤5，令目标函数相对于模式参数扰动量的梯度为0，求出最优模式参数扰动量的解析解；
步骤6，在模式参数的相空间按最优模式参数扰动量解析解的方向以设定步长进行线性搜索，更新步骤2中的模式参数猜测值，循环步骤2至步骤6从而获得最优的模式参数；
步骤7，根据步骤6获得的最优的模式参数对海洋数值进行预报。
实施例1
下面结合具体公式对本发明方法作进一步说明。
假设初始场和强迫场准确，只优化模式参数时，目标函数为：
Figure BDA0002529421110000061
式中，Hi是第i时刻的观测投影矩阵，Xi为第i时刻的状态变量，Yi为第i时刻的观测值，Ri是第i时刻观测误差协方差矩阵，Λ是模式参数。其中，Hi,Yi和Ri是与Λ无关的常数矩阵，下面讨论Xi和Λ的关系。
设动力系统为：
Xi＝M(i-1)→i(Xi-1,Λ,F(i-1)→i) (2)
式中，M(i-1)→i[·]为从时刻(i-1)到时刻i的演化算符，与上一时刻的状态变量和模式参数有关，F(i-1)→i是与状态变量无关的外界强迫场。
以Lorenz63模式为例，Lorenz63模式的方程为：
Figure BDA0002529421110000062
式中，σ、γ和b分别表示Prantl数、Rayleigh数和对流尺度联系的参数，是三个参数；x是对流强度，y是最大温度差，z是对流引起的层变化，是三个状态变量；t是时间。参数的取值为σ＝10，γ＝28，b＝8/3。
在这个模式中，状态变量Xi＝[x y z]T，参数Λ＝[σ γ b]T，没有强迫场。式(3)代表了一个动力系统，给定初始值和参数就可以计算状态变量随时间变化的值。
在模式参数Λ里加入一个小扰动，则有：
Figure BDA0002529421110000071
式中，λ为加扰动后的模式参数，
Figure BDA0002529421110000072
为模式参数扰动量。
受模式参数扰动量影响，状态变量也会产生扰动量
Figure BDA0002529421110000073
的演化方程满足式(5)：
Figure BDA0002529421110000074
式中，
Figure BDA0002529421110000075
是M(i-1)→i[·]算符在Xi-1和Λ对状态变量的一阶偏导数，依赖于Xi-1和Λ；
Figure BDA0002529421110000076
是M(i-1)→i[·]算符在Xi-1和Λ对模式参数的一阶偏导数，同样依赖于Xi-1和Λ。
Figure BDA0002529421110000077
和
Figure BDA0002529421110000078
的矩阵元素的数值虽然取决于状态变量Xi-1、模式参数Λ和强迫场F(i-1)→i的数值，但根据递推关系，其归根到底都取决于以Λ为模式参数和以X0为初始场在F驱动下积分得到的状态变量值，因此，假设n<m，则定义：
Figure BDA0002529421110000079
Figure BDA00025294211100000710
式中，X0为初始场，F为强迫场，
Figure BDA00025294211100000711
表示由于第n步状态变量的扰动导致第m步状态变量的扰动的演化矩阵，
Figure BDA00025294211100000712
表示由于第n步的参数扰动导致第n+1步的状态变量扰动的演化矩阵。
则，演化公式式(5)可以改写为：
Figure BDA00025294211100000713
定义广义演化算符为：
Figure BDA0002529421110000081
式中，
Figure BDA0002529421110000082
为广义演化算符。
则，
Figure BDA0002529421110000083
只通过扰动参数构造集合，可以在最小二乘意义下，显式地求解出广义演化算符的具体形式，即：
Figure BDA0002529421110000084
在使用传统四维变分方法对模式参数进行优化的时候，是使用求伴随模式的方法，将目标函数对模式参数Λ求梯度，通过梯度下降法或其他最优化算法进行迭代和线性搜索，最终获得最优参数值。仿照这一过程，我们可以在当前模式参数Λ附近进行扰动展开，推导Λ附近使得目标函数取极小值的最优扰动量，设最优模式参数扰动量为δΛ，对M(i-1)→i[…M0→1(X0,Λ,F0→1)…,F(i-1)→i]在当前模式参数Λ附近进行展开，由于扰动量是小量，忽略高阶项后得到：
Figure BDA0002529421110000085
将式(12)代入式(1)有：
Figure BDA0002529421110000086
将式(13)对最优模式参数扰动量δΛ求导得到目标函数的梯度
Figure BDA0002529421110000087
Figure BDA0002529421110000088
令
Figure BDA0002529421110000089
求出最优模式参数扰动量δΛ的解析表达式为：
Figure BDA0002529421110000091
这里的δΛ是在Λ为初始场的情况下得到的，对于线性系统，该方法可以一步直接求得最优增量，而对于非线性动力系统则一步无法直接获得最优增量。需要引入松弛因子β，并进行多次迭代，每次迭代完成后将Λ+βδΛ作为下一次迭代的猜测值代入目标函数，继续计算解析解，循环往复上述过程从而获得最优的模式参数。
图2a至图2c为以Lorenz63模式为例，采用本发明方法对三个参数σ、γ和b进行参数优化的效果与真实值的对比。
图3为使用本发明方法进行预报的结果与真实场的对比图。
尽管上面结合附图对本发明的优选实施例进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，并不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，还可以做出很多形式，这些均属于本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，假设初始场和强迫场是准确的，构造目标函数，并将目标函数改写为与模式参数扰动量和广义演化算符有关的形式；
其中，所述的目标函数为：
Figure FDA0003619453170000011
式中，Hi是第i时刻的观测投影矩阵，Xi为第i时刻的状态变量，Yi为第i时刻的观测值，Ri是第i时刻观测误差协方差矩阵，Λ是模式参数；
其中，Hi,Yi和Ri是与Λ无关的常数矩阵，Xi和Λ的关系如式(2)所示：
Xi＝M(i-1)→i(Xi-1,Λ,F(i-1)→i) (2)
式中，M(i-1)→i[·]为从时刻(i-1)到时刻i的演化算符，与上一时刻的状态变量和模式参数有关，F(i-1)→i是与状态变量无关的外界强迫场；
步骤2，设定模式参数初猜值，并将模式参数初猜值加上服从正态分布的模式参数扰动量形成集合样本；
步骤3，将模式参数初猜值以及步骤2获得的所有集合样本代入公式(2)进行计算，得到状态变量来自于模式参数扰动的扰动值；
步骤4，根据步骤3计算得出的状态变量的扰动值以及已知的模式参数扰动量显式求解广义演化算符；
步骤5，令目标函数相对于模式参数扰动量的梯度为0，求出最优模式参数扰动量的解析解；
步骤6，在模式参数的相空间按最优模式参数扰动量解析解的方向以设定步长进行线性搜索，更新步骤2中的模式参数猜测值，循环步骤2至步骤6从而获得最优的模式参数；
步骤7，根据步骤6获得的最优的模式参数对海洋数值进行预报。
2.根据权利要求1所述的一种基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法，其特征在于，步骤3中，所述的状态变量来自于参数扰动的扰动值为
Figure FDA0003619453170000021
的演化方程满足式(5)：
Figure FDA0003619453170000022
式中，
Figure FDA0003619453170000023
是M(i-1)→i[·]算符在Xi-1和Λ对状态变量的一阶偏导数，依赖于Xi-1和Λ；
Figure FDA0003619453170000024
是M(i-1)→i[·]算符在Xi-1和Λ对模式参数的一阶偏导数，同样依赖于Xi-1和Λ；
Figure FDA0003619453170000025
为模式参数扰动量；
其中，
Figure FDA0003619453170000026
和
Figure FDA0003619453170000027
的矩阵元素的数值取决于以Λ为模式参数和以X0为初始场在F驱动下积分得到的状态变量值，因此，假设n<m，则定义：
Figure FDA0003619453170000028
Figure FDA0003619453170000029
式中，X0为初始场，F为强迫场，
Figure FDA00036194531700000210
表示由于第n步状态变量的扰动导致第m步状态变量的扰动的演化矩阵，
Figure FDA00036194531700000211
表示由于第n步的参数扰动导致第n+1步的状态变量扰动的演化矩阵；
则，式(5)改写为：
Figure FDA00036194531700000212
3.根据权利要求1所述的一种基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法，其特征在于，步骤4中，所述的广义演化算符定义为：
Figure FDA00036194531700000213
式中，
Figure FDA00036194531700000214
为广义演化算符；
则，
Figure FDA0003619453170000031
在最小二乘意义下，显式地求解出广义演化算符的具体形式，即：
Figure FDA0003619453170000032
4.根据权利要求1所述的一种基于解析四维集合变分的海洋数值预报方法，其特征在于，步骤5包括：
设最优模式参数扰动量为δΛ，对M(i-1)→i[…M0→1(X0,Λ,F0→1)…,F(i-1)→i]在当前模式参数Λ附近进行展开，并在忽略高阶项后得到：
Figure FDA0003619453170000038
将式(12)代入式(1)有：
Figure FDA0003619453170000033
将式(13)对最优模式参数扰动量δΛ求导得到目标函数的梯度
Figure FDA0003619453170000034
Figure FDA0003619453170000035
令
Figure FDA0003619453170000036
求出最优模式参数扰动量δΛ的解析表达式为：
Figure FDA0003619453170000037
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