CN111626422B - 一种用于求解集合交集的量子系统和算法 - Google Patents

一种用于求解集合交集的量子系统和算法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种用于求解集合交集的量子算法，包括以下步骤：S1：制备初始量子状态；S2：根据初始量子状态，设计Oracle量子函数；S3：对Oracle量子函数进行一次量子测量，解出集合交集。本发明提供一种用于求解集合交集的量子系统和算法，该量子算法用来求解集合交集问题，仅通过一次量子测量就能找出集合的交集，C＝AI B，其中A＝{a1,a2,a3,...,am}和B＝{b1,b2,b3,...,bn}，在经典算法中，需要在集合B中通过m次查询才能确定集合C中的所有元素，量子算法能达到m倍的加速。

Description

一种用于求解集合交集的量子系统和算法
技术领域
本发明涉及量子计算领域，更具体地，涉及一种用于求解集合交集的量子系统和算法。
背景技术
目前经典计算机的运算速度已经达到了非常高的水平，依据摩尔定律，集成电路技术也在逼近极限，很难再通过器件的改造来提升计算机的计算能力。于此同时，人们对于运算速度的需求没有停止，仍然有许多苦难型计算问题不能再有效的时间内的得到解决，或者说解决问题的计算代价过于庞大。
Deutsch-Jozsa量子算法的问题定义为：给定一个n比特的函数f(x)：{0，1}n→{0，1}，该函数如果是平衡函数，则有一半的输入输出结果为0，另一半输出结果为1，若是常数函数，则所有输出结果为0或1。在经典计算机中，在最坏情况下，我们需要计算2n/2+1次才能确定函数f(x)是平衡函数还是常数函数，该问题是Deutsch问题由1个比特到n个比特的拓展。相应的，Deutsch-Jozsa算法能够通过一次函数就能判定函数f(x)的性质，这相比于经典算法是一个指数级的加速，该量子算法的应用范围过于狭窄，只能解决平衡函数和常数函数这样特定的数学问题，没有应用到求解集合交集问题中，不能完全出发挥量子计算强大的并行计算能力。
发明内容
本发明为解决现有的量子算法没有应用到求解集合交集问题的技术缺陷，提供了一种用于求解集合交集的量子系统和算法。
为实现以上发明目的，采用的技术方案是：
一种用于求解集合交集的量子系统，包括数据输入模块，量子解析模块和数据输出模块；其中：所述数据输入模块的输出端与所述量子解析模块的输入端电性连接，所述量子解析模块的输出端与所述数据输出模块的输入端电性连接；
所述数据输入模块运用了以下算法：初始量子状态由m个初始状态为|0>量子比特和一个初始状态为|1>的量子比特组成，表示为所述的量子比特为辅助量子比特，所述初始量子状态是一个m+1维度的向量，m+1个量子比特作为整个量子算法的输入，所述初始量子状态经过m+1个Hadamard门转换之后得到状态/>状态/>为均衡叠加状态，公式为
表示m个H门的张量，公式为
所述量子解析模块运用了以下算法：Hadamard门作用为：
辅助量子比特|y>取值为1，经过H门后得到得到
叠加态的经过Uh函数之后，得到状态/>
对应的状态经过/>变换之后，其中I为单位矩阵，得到状态/>
定义一个函数如公式，当元素ai在集合B中，函数f(x)＝1，如果元素ai不在集合B中，f(x)＝0；目标就是遍历集合A中的所有元素ai，使得f(x)的值为1，即找到集合A中所有存在于集合B中的元素，公式为
将所述函数h(x)进行替换，即h(x)＝f(ai)·x，得到
当f(ai)≠z时，可知f(ai)+z＝1，当f(ai)＝z时，(f(ai)+z)∈{0，2}，所以得到公式
所述数据输出模块通过量子解析模块，得到f(a1)f(a2)…f(am)的所有状态，当对状态|f(a1)f(a2)…f(am)>进行测量，同时得到f(ai)的所有状态的值，仅需要一次量子测量，公式为f(aa)，f(a2)，f(a3)，...，f(am)，找到集合A和集合B的交集C＝A∩B。
一种用于求解集合交集的量子算法，应用于一种用于求解集合交集的量子系统，包括以下步骤：
S1：制备初始量子状态；
S2：根据初始量子状态，设计Oracle量子函数；
S3：对Oracle量子函数进行一次量子测量，解出集合交集。
上述方案中，一种新的量子算法，该量子算法用来求解集合交集问题，仅通过一次量子测量就能找出集合的交集，C＝A∩B，其中A＝{a1，a2，a3，...，am}和B＝{b1，b2，b3，...，bn}，在经典算法中，需要在集合B中通过m次查询才能确定集合C中的所有元素。量子算法能达到m倍的加速。
在所述步骤S1中，初始量子状态由m个初始状态为|0>量子比特和一个初始状态为|1>的量子比特组成，表示为所述的量子比特为辅助量子比特。
所述初始量子状态是一个m+1维度的向量，m+1个量子比特作为整个量子算法的输入。
所述初始量子状态经过m+1个Hadamard门转换之后得到状态状态/>为均衡叠加状态，公式为
表示m个H门的张量，公式为
在步骤S2中，Hadamard门作用为：
辅助量子比特|y>取值为1，经过H门后得到得到
叠加态的经过Uh函数之后，得到状态/>
对应的状态经过/>变换之后，其中I为单位矩阵，得到状态/>
定义一个函数如公式，当元素ai在集合B中，函数f(x)＝1，如果元素ai不在集合B中，f(x)＝0；目标就是遍历集合A中的所有元素ai，使得f(x)的值为1，即找到集合A中所有存在于集合B中的元素，公式为
将所述函数h(x)进行替换，即h(x)＝f(ai)·x，得到
当f(ai)≠z时，可知f(ai)+z＝1，当f(ai)＝z时，(f(ai)+z)∈{0，2}，所以得到公式
在步骤S3中，通过步骤S2，得到f(a1)f(a2)…f(am)的所有状态，当对状态|f(a1)f(a2)…f(am)>进行测量，同时得到f(ai)的所有状态的值，仅需要一次量子测量，公式为f(aa)，f(a2)，f(a3)，...，f(am)，找到集合A和集合B的交集C＝A∩B。
量子比特的定义为：在经典计算机里，我们利用比特作为最小单位进行存储。一个比特只能是两种状态，要么为0，要么为1。而对应的在量子计算机里我们用量子比特进行存储。量子比特则用|0>和|1>来表示对应的0，1状态，记
与经典比特不同的是，量子比特可以是状态的线性组合，又被称为叠加态
其中α和β是复数，它们是量子状态|0>和|1>对应的幅值，且满足条件
|α|2+|β|2＝1。
同样的，对于多量子比特来说，当n＝2时，可如下表示
其中α，β，λ，γ是复数，且满足条件
|α|2+|β|2+|λ|2+|γ|2＝1。
其它的状态以此类推。
量子门的定义为：在量子世界里，运算操作是由量子逻辑门完成的。量子逻辑门(简称量子门)可以由酉矩阵及其组合来进行表示。每个酉矩阵都可以定义一个有效的量子门。根据输入的比特数的不同可以分为单比特量子门和多比特量子门。常用的单比特量子门有Hadamard门，Pauli门等。Hadamard门变换如下：
即量子比特|0>状态经过量子门H变换之后得到|0>和|1>的叠加态。
量子测量对于单量子比特可以定义观测量集合{M0，M1}，它们满足其中/>是Mi的共轭转置矩阵，i∈{0，1}，当对/>进行测量时，有的概率测量结果为|0>，此时量子比特变为/>有/>的概率测量结果为|1>，此时量子比特变为/>特别的，当M0＝|0><0|，M1＝|1><1|时，测量状态/>将以|α|2的概率得到|1>，以|β|2的概率得到1。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
本发明提供的一种用于求解集合交集的量子系统和算法，该量子算法用来求解集合交集问题，仅通过一次量子测量就能找出集合的交集，C＝A∩B，其中A＝{a1，a2，a3，...，am}和B＝{b1，b2，b3，...，bn}，在经典算法中，需要在集合B中通过m次查询才能确定集合C中的所有元素。量子算法能达到m倍的加速。
附图说明
图1为本发明的量子电路示意图。
具体实施方式
附图仅用于示例性说明，不能理解为对本专利的限制；
以下结合附图和实施例对本实用新型做进一步的阐述。
实施例1
如图1所示，一种用于求解集合交集的量子算法，包括以下步骤：
S1：制备初始量子状态；
S2：根据初始量子状态，设计Oracle量子函数；
S3：对Oracle量子函数进行一次量子测量，解出集合交集。
上述方案中，一种新的量子算法，该量子算法用来求解集合交集问题，仅通过一次量子测量就能找出集合的交集，C＝A∩B，其中A＝{a1，a2，a3，...，am}和B＝{b1，b2，b3，...，bn}，在经典算法中，需要在集合B中通过m次查询才能确定集合C中的所有元素。量子算法能达到m倍的加速。
在所述步骤S1中，初始量子状态由m个初始状态为|0>量子比特和一个初始状态为|1>的量子比特组成，表示为所述的量子比特为辅助量子比特。
所述初始量子状态是一个m+1维度的向量，m+1个量子比特作为整个量子算法的输入。
所述初始量子状态经过m+1个Hadamard门转换之后得到状态状态/>为均衡叠加状态，公式为
表示m个H门的张量，公式为
在步骤S2中，Hadamard门作用为：
辅助量子比特|y>取值为1，经过H门后得到得到
叠加态的经过Uh函数之后，得到状态/>
对应的状态经过/>变换之后，其中I为单位矩阵，得到状态/>
定义一个函数如公式，当元素ai在集合B中，函数f(x)＝1，如果元素ai不在集合B中，f(x)＝0；目标就是遍历集合A中的所有元素ai，使得f(x)的值为1，即找到集合A中所有存在于集合B中的元素，公式为
将所述函数h(x)进行替换，即h(x)＝f(ai)·x，得到
当f(ai)≠z时，可知f(ai)+z＝1，当f(ai)＝z时，(f(ai)+z)∈{0，2}，所以得到公式
在步骤S3中，通过步骤S2，得到f(a1)f(a2)…f(am)的所有状态，当对状态|f(a1)f(a2)…f(am)>进行测量，同时得到f(ai)的所有状态的值，仅需要一次量子测量，公式为f(aa)，f(a2)，f(a3)，...，f(am)，找到集合A和集合B的交集C＝A∩B。
实施例2
一种用于求解集合交集的量子系统，包括数据输入模块，量子解析模块和数据输出模块；其中：所述数据输入模块的输出端与所述量子解析模块的输入端电性连接，所述量子解析模块的输出端与所述数据输出模块的输入端电性连接；
所述数据输入模块运用了以下算法：初始量子状态由m个初始状态为|0>量子比特和一个初始状态为|1>的量子比特组成，表示为所述的量子比特为辅助量子比特，所述初始量子状态是一个m+1维度的向量，m+1个量子比特作为整个量子算法的输入，所述初始量子状态经过m+1个Hadamard门转换之后得到状态/>状态/>为均衡叠加状态，公式为
表示m个H门的张量，公式为
所述量子解析模块运用了以下算法：Hadamard门作用为：
辅助量子比特|y>取值为1，经过H门后得到得到
叠加态的经过Uh函数之后，得到状态/>
对应的状态经过/>变换之后，其中I为单位矩阵，得到状态/>
定义一个函数如公式，当元素ai在集合B中，函数f(x)＝1，如果元素ai不在集合B中，f(x)＝0；目标就是遍历集合A中的所有元素ai，使得f(x)的值为1，即找到集合A中所有存在于集合B中的元素，公式为
将所述函数h(x)进行替换，即h(x)＝f(ai)·x，得到
当f(ai)≠z时，可知f(ai)+z＝1，当f(ai)＝z时，(f(ai)+z)∈{0，2}，所以得到公式
所述数据输出模块通过量子解析模块，得到f(a1)f(a2)…f(am)的所有状态，当对状态|f(a1)f(a2)…f(am)>进行测量，同时得到f(ai)的所有状态的值，仅需要一次量子测量，公式为f(aa)，f(a2)，f(a3)，...，f(am)，找到集合A和集合B的交集C＝A∩B。
实施例3
如图1所示，该发明算法的量子线路主要包括三个单元，初始量子态的制备，量子函数Oracle单元设计，它是一个可以计算多个比特的输入的布尔函数f：{0，1}n→{0，1}，经过Oracle标记单元，称为是对Oracle的一次查询，最后一个单元为量子测量单元，是对处于叠加态的量子状态进行测量，从而得到问题的解。
本发明设计的关键点为Oracle电路单元定义和设计，首先需要存储集合B中的所有元素，用来查找判定需要查找的元素是否在集合B中，进一步设计出函数h(x)，将所有需要查找的元素f(ai)与量子状态|x>记性内积运算。从而在最后的测量中可以根据测量|x>的量子状态得到对应的f(ai)的值，进而确定f(ai)的值，为0则表明不在集合B中，为1则表明在集合B中。
显然，本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种用于求解集合交集的量子系统，其特征在于，包括数据输入模块，量子解析模块和数据输出模块；其中：所述数据输入模块的输出端与所述量子解析模块的输入端电性连接，所述量子解析模块的输出端与所述数据输出模块的输入端电性连接；
所述数据输入模块运用了以下算法：初始量子状态由m个初始状态为|0>量子比特和一个初始状态为|1>的量子比特组成，表示为所述的量子比特为辅助量子比特，所述初始量子状态是一个m+1维度的向量，m+1个量子比特作为整个量子算法的输入，所述初始量子状态经过m+1个Hadamard门转换之后得到状态/>状态/>为均衡叠加状态，公式为
表示m个H门的张量，公式为
所述量子解析模块运用了以下算法：Hadamard门作用为：
Uh：
辅助量子比特|y>取值为1，经过H门后得到得到
叠加态的经过Uh函数之后，得到状态/>
对应的状态经过/>变换之后，其中I为单位矩阵，得到状态/>
定义一个函数公式，当元素ai在集合B中，函数f(x)＝1，如果元素ai不在集合B中，f(x)＝0；目标就是遍历集合A中的所有元素ai，使得f(x)的值为1，即找到集合A中所有存在于集合B中的元素，公式为
将函数h(x)进行替换，即h(x)＝f(ai)·x，得到
当f(a)≠z时，可知f(a)+z＝1，当f(a)＝z时，(f(a)+z)∈{0,2}，所以得到公式
所述数据输出模块通过量子解析模块，得到f(a1)f(a2)…f(am)的所有状态，当对状态|f(a1)f(a2)…f(am)>进行测量，同时得到f(a)的所有状态的值，仅需要一次量子测量，为f(a1)，f(a2)，f(a3)，...，f(am)，找到集合A和集合B的交集C＝A∩B。
2.一种用于求解集合交集的量子算法，应用于权利要求1所述的一种用于求解集合交集的量子系统，其特征在于，包括以下步骤：
S1：制备初始量子状态；
S2：根据初始量子状态，设计Oracle量子函数；
S3：对Oracle量子函数进行一次量子测量，解出集合交集。
3.根据权利要求2所述的一种用于求解集合交集的量子算法，，其特征在于，在所述步骤S1中，初始量子状态由m个初始状态为|0>量子比特和一个初始状态为|1>的量子比特组成，表示为所述的量子比特为辅助量子比特；所述初始量子状态是一个m+1维度的向量，m+1个量子比特作为整个量子算法的输入。
4.根据权利要求3所述的一种用于求解集合交集的量子算法，，其特征在于，所述初始量子状态经过m+1个Hadamard门转换之后得到状态状态/>为均衡叠加状态，公式为
5.根据权利要求4所述的一种用于求解集合交集的量子算法，，其特征在于，表示m个H门的张量，公式为
6.根据权利要求5所述的一种用于求解集合交集的量子算法，，其特征在于，在步骤S2中，Hadamard门作用为：
Uh：
辅助量子比特|y>取值为1，经过H门后得到得到
7.根据权利要求6所述的一种用于求解集合交集的量子算法，，其特征在于，叠加态的经过Uh函数之后，得到状态/>
8.根据权利要求7所述的一种用于求解集合交集的量子算法，其特征在于，对应的状态经过/>变换之后，其中I为单位矩阵，得到状态/>
9.根据权利要求8所述的一种用于求解集合交集的量子算法，其特征在于，定义一个函数公式，当元素ai在集合B中，函数f(x)＝1，如果元素ai不在集合B中，f(x)＝0；目标就是遍历集合A中的所有元素ai，使得f(x)的值为1，即找到集合A中所有存在于集合B中的元素，公式为
将函数h(x)进行替换，即h(x)＝f(a)·x，得到
当f(a)≠z时，可知f(a)+z＝1，当f(a)＝z时，(f(a)+z)∈{0,2}，所以得到公式
10.根据权利要求9所述的一种用于求解集合交集的量子算法，其特征在于，在步骤S3中，通过步骤S2，得到f(a1)f(a2)…f(am)的所有状态，当对状态|f(a1)f(a2)…f(am)>进行测量，同时得到f(a)的所有状态的值，仅需要-次量子测量，为f(a1)，f(a2)，f(a3)，...，f(am)找到集合A和集合B的交集C＝A∩B。
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