CN111565072B - 一种可见光通信网络中上行容量区域和最佳波速优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种可见光通信网络中上行容量区域和最佳波速优化方法，用于可见光通信物联网网络的非正交多址接入，并为5G和5G应用提供了系统设计。针对具有离散输入和连续输入的多个IoT设备的实际上行链路NOMA的容量区域，对于离散输入提出了熵近似方法来逼近通道容量并获得离散的内部和外部边界；对于连续输入，以封闭形式导出了内部和外部边界。提供了VLC IoT网络的多址接入信道的最佳接收器波束成形设计，以在接收器功率限制下最大化最小上行链路速率。通过利用可达到的速率表达式的结构，最优波束形成器是最大广义特征值对应的广义特征向量，结果表明所提出的容量区域的紧密性以及VLC IoT网络波束形成器的优越性。

Description

一种可见光通信网络中上行容量区域和最佳波速优化方法

技术领域

本发明涉及一种可见光通信网络中上行容量区域和最佳波速优化方法。

背景技术

截止目前，上行NOMA(non-orthogonal multiple-access，非正交多址接入)已经引起了广泛关注和研究。基于泊松聚类过程理论，Modeling and analysis of uplinknon-orthogonal multiple access in large-scale cellular networks using poissoncluster processes一文中的作者提供了一个框架来分析速率收敛概率。在On userpairing in uplink NOMA中，针对各种上行NOMA的场景提出了最优用户配对。在Enhanceduplink resource allocation in non-orthogonal multiple access systems中，作者研究了联合子信道分配和功率分配问题。在Interference balance power control foruplink non-orthogonal multiple access中，推导出干扰平衡功率控制方案。通过使用随机几何，A general MIMO framework for NOMA downlink and uplink transmissionbased on signal alignment针对多输入多输出(MIMO-NOMA)上下传输链路得出了基于信号对齐的框架。在Downlink and uplink non-orthogonal multiple access in a densewireless network中，提出了一个理论框架来分析NOMA中上下行多小区无线系统的中断概率和平均速率。在Joint detection of visible light communication signals undernon-orthogonal multiple access中，提出了相位预失真联合检测方法降低VLC系统(可见光通信技术，Visible Light Communication，VLC)中上行NOMA的误码率。上述研究工作大多集中在在射频上行链路NOMA上，而VLC上行链路NOMA没有很好的讨论。到目前为止，VLC上行NOMA的可达速率表达式仍然未知，这使得对VLC上行NOMA系统进行最优波束成形设计非常困难。

不同于RF通信(射频，Radio Frequency)，VLC通常采用强度调制和直接检测(IM/DD，Intensity Modulation/Direct Detection)，信息被调制为信号的密度。因此，传输的VLC信号是实的和非负的，与RF复数值信号不同。此外，由于眼睛安全标准和物理限制，VLC信号的峰值和平均幅度也受到限制。因此，A general MIMO framework for NOMAdownlink and uplink transmission based on signal alignment文中指出经典的香农高斯输入的容量公式无法量化VLC网络的容量。

发明内容

发明目的：本发明所要解决的问题在于补充现有工作的欠缺，推到出NOMA VLC上行链路的容量区域的内外界。由于峰值光功率限制，最佳输入遵循离散分布。通过设定离散输入，将找到NOMA VLC的容量区域并公式化为熵最大化混合离散优化问题，由于目标函数没有分析表达式，因此该问题是非凸的。本发明采用熵最大化近似方法来获得容量界。基于连续输入，本发明推导出NOMA VLC上行链路的可达速率闭式表达式。本发明提出的内外界是上行NOMA VLC网络的信道容量区域的第一个理论界。此外，根据获得的NOMA VLC结果，本发明进一步研究了最佳接收机波束成形设计。本发明具体提出一种可见光通信网络中上行容量区域和最佳波速优化方法，包括如下步骤：

步骤1，建立一个典型的可见光通信VLC上行非正交多址接入NOMA系统，系统包含N个发射机和一个接收机；

步骤2，限制所述系统的峰值光功率和平均光功率；

步骤3，计算用户和基站之间的信道增益以及基站的接收信号；

步骤4，求解所述系统的具有离散输入的内界和外界；

步骤5，求解所述系统的具有离散输入的容量区域；

步骤6，设计所述系统的最优波速成形。

步骤1中，每个发射机安装一个发光二极管LED，接收机安装一个单光子探测器PD；设s_i是第i个用户所需要发送的信息。用户上安装发射机，因为是上行链路，每个用户发送信息给对应的基站接收。

步骤2包括：信号幅值满足|s_i|≤A_i，均值

满足

方差

满足

经过功率放大和加偏置之后，新的第i个用户实际发送的信息x_i为：

式中，p_i是第i个用户的发射功率，b_i是第i个用户的直流偏置，直流偏置需要满足

A_i是发射信号的幅度约束，ε_i是发射信号的方差。

步骤3包括：第i个用户和基站(基站是一个上行链路，用户发送信息给基站接收)之间的信道增益g_i为：

式中，τ为LED灯的朗勃阶数，

取决于半角φ_1/2，d_i代表第i个用户和接收机之间的距离，φ_k是反射角，ψ_i是入射角，ψ_FOV是接收机接收视场的半角，A_R为单光子探测器PD的有效面积；

基站的接收信号y为：

式中，z～N(0,σ²)代表散粒噪声和热噪声的和分布；

设定项

满足降序，即：

基站采用SIC技术来解码接收信号以降序，即从s₁到s_N，当基站解码s₁，它首先解码给用户s_k的信号，顺序为k≤i，然后从y中减去。这里的k是指第k个发送信号，具体是指：由于是降序排列，当解码信息s_i时，先解码前面的信息s_k，这里k≤i，然后再将前k个信息减掉，接着解码后面i个信息。

步骤4包括：

步骤4-1，设定信号s_i是一个离散随机变量，有M_i个实值

如下所示，信号s_i满足：

Pr{s_i＝a_i,m}＝p_i,m,m＝1,...,M_i, (4a)

式中，a_i,m代表第m个点，p_i,m代表a_i,m对应的概率；Pr{s_i＝a_i,m}是指当信号s_i取到a_i,m时的概率为p_i,m；其中，Pr是概率的数学表示形式；

步骤4-2，求解离散输入的内界：

R_i代表第i个用户的容量，1≤i≤N，R_i的容量写为：

式中，

是变量var(Q)的随机变量；I是互信息，h指信息熵，z是指所有信道的总噪声，

是接收到的第k个用户的信息，p_k是第k个用户的发射功率，ε_j是发送信息的方差；

指单个用户的信道的噪声；

基于(5d)，由信息熵的计算公式，离散输入的内界通过最大化熵

得到：

其中，

是接收信号的概率密度函数，dy是微分；

噪声

服从均值为0方差为

的高斯分布，K指用户数，f_Y(y)的概率密度函数pdf(probability density function)为：

则熵

最大化问题写为：

s.t.(4a)(4b)(4c)(4d)

定义如下向量：

其中，a_i、p_i、q_i均为自定义的向量；

将问题(8)重写为如下形式：

p_i≥0. (10e)

设定M_i个点在[-A_i,A_i]范围内等间隔划分：

通过熵

近似方法求解出最优的接收信号的信息熵

把

代入到(5d)，得出离散输入的的内界：

其中，R_i是指系统中的第i个用户的速率；

用

代表所述系统的可达速率域，由下式给出：

其中，r_i是通式，是第i个用户的速率；

是单个用户的速率集合，是用来形容系统的容量区域的；

是实向量空间；

步骤4-3，求解离散输入的外界：

式中，P(s_i)是指发送的第i个信号s_i的功率，f(s_i)是第i个信号s_i的概率密度函数；不等式(14a)服从熵幂不等EPI(Entropy power inequality)和

代表所述系统的信道容量区域，由下式给出：

步骤4-2中，所述通过熵

近似方法求解出

包括如下步骤：

步骤4-2-1，初始化：设n＝0,h₀＝0，c₁为迭代停止参数，选择M_i≥2；

步骤4-2-2，n＝n+1，通过公式(11)计算a_i；

步骤4-2-3，通过解决问题(10a)～(10e)计算熵

可以采用现有的内点算法进行处理；

步骤4-2-4，如果|h_n-h_n-1|≤c₁，则停止，输出h_n，否则，M_i＝M_i+1，跳到步骤4-2-2。

步骤5包括：

步骤5-1，设定输入信号s_i服从连续分布，求解所述系统的ABG(closed-formachievable rate region，闭式可达速率区域)闭式内边界表达式：

f(s_i)代表信号s_i的pdf满足下列峰值光功率、均值光功率和电功率约束：

对于1≤i≤N，可达速率的内界为：

不等式(17c)成立由于熵幂不等式EPI，

不等式(17d)成立因为对应输入分布为ABG分布，最大化微分熵通过如下公式给出：

式中，参数α_i，β_i和γ_i是下列等式的解：

式中，函数

对于k＝N，系统中第k个用户的速率R_k的上界R_N通过如下公式给出：

用

代表所述系统的可达速率域，由下式给出：

步骤5-2，求解ABG外界：最大可达速率的外界R_i由下式给出：

式中，

等式(22c)成立因为服从ABG分布：

其中，

表示系统可达速率外界区域。

步骤6包括：

步骤6-1，设定所述系统是一个单输入多输出的上行网络，它包含N个单一LED用户和L个PD基站，让s_i代表来自第i个用户的发射信息，则在基站接收的信号y为：

式中，g_i∈R^L×1代表第i个用户和基站之间的信道向量，R^L×1代表L乘以1维的向量空间，z～N(0,σ²I)代表高斯白噪声向量；

对于第i个用户的发射信息s_i，基站调用线性接收第i个波束形成器w_i∈R^L到接收信号y，如下所示：

其中，

是经过接收波束成形器进一步处理得到的接收信号；

步骤6-2，设定项

满足一个降序排列，即

基站采用SIC技术去解码接收信号以降序，即从s₁到s_N；R_i代表解码信息s_i的可达速率；当1≤i≤N，R_i由下式给出：

式中，不等式(26d)成立由于熵幂不等式EPI，

等式(26e)成立因为服从ABG分布最大化微分熵，对于k＝N，R_N由下式给出：

因此，对于1≤i≤N，R_i下界表达式表达为：

式中，Γ_i是一个指示函数，如下所示：

步骤6-3，最优接收波束成形设计通过取最大化最小可达速率满足功率约束，优化问题如下：

s.t.||w_i||²≤1,1≤i≤N (30b)

步骤6-4，定义如下变量：

利用上述变量c、G_i、

和

将问题(30a)和(30b)重写为：

s.t.||w_i||²≤1,1≤i≤N (32b)

进一步表述为：

s.t.||w_i||²≤1,1≤i≤N (33b)

λ_i,max代表矩阵A_i和矩阵B_i的最大广义特征值，其中

I表示单位矩阵；

w_i,max表示最大特征值λ_i,max对应的广义特征向量，它满足Aw_i,max＝λ_i,maxBw_i,max，A和B都是根据自定义的变量得到的矩阵；对于所述系统上行链路，最优波束成形器w_i由下式给出：

其中，

是指最优的波束成形器，信息s_i的最大可达速率是log₂λ_i,max。

本发明方法具有如下有益效果：

1.基于离散输入，针对NOMA VLC上行链路网络，将容量区域公式化为熵最大问题，提出了一种熵最大化近似的方法获得了容量区域的内外界。

2.基于连续的输入，针对NOMA VLC上行链路网络，将信道容量近似为微分熵最大化问题，给出了VLC IoT网络的上行NOMA的可达到速率的闭式表达式，相应的最优连续分布是ABG分布。

3.基于获得的NOMA VLC结果，进一步为VLC IoT上行NOMA系统开发了最佳接收器波束成形设计,并表明最佳波束成形器是对应于最大广义特征值的广义特征向量。

4.本发明可为NOMA VLC系统的设计提供理论参考，具有一定的实际价值。

附图说明

下面结合附图和具体实施方式对本发明做更进一步的具体说明，本发明的上述和/或其他方面的优点将会变得更加清楚。

图1为VLC IoT网络的上行NOMA的系统模型图。

图2为VLC IoT网络的SIMO NOMA的系统模型图。

图3a为

时上行NOMA VLC的容量区域的内外界。

图3b为

时上行NOMA VLC的容量区域的内外界。

图3c为

时上行NOMA VLC的容量区域的内外界。

图4为

的条件下，离散内外界，ABG内外界以及均匀内外界随着SNR和速率r₁+r₂的变化曲线。

图5为不同发射功率下三个用户的可达速率。

具体实施方式

本发明提供了一种可见光通信网络中上行容量区域和最佳波速优化方法，考虑N个单LED用户同时发送自己的信息给单光子探测器PD的基站，如图1所示，s_i是第i个用户的信息，信号幅值满足|s_i|≤A_i，均值满足

方差满足

第i个用户的信息x_i由下式给出：

式中，p_i是第i个用户的发射功率，b_i是第i个用户的直流偏置。为了确保发射信号是非负的，直流偏置需要满足

考虑直射链路，散射链路可以忽略。用户i和基站之间的信道增益g_i为：

式中，τ为LED灯的朗勃阶数，

取决于半角φ_1/2，d_i代表第i个用户和接收机之间的距离，φ是反射角，ψ_i是入射角，ψ_FOV是接收机接收视场的半角，A_R为PD的有效面积。

基站的接收信号y为：

式中，z～N(0,σ²)代表散粒噪声和热噪声的和分布。

在基站，多个接收信号会造成对其他的干扰。为了减轻干扰，基站应用SIC来解码和去除部分干扰。不失一般性，设定项

满足降序，也就是，

基站采用SIC(successive interference cancellation，串行干扰消除)技术来解码接收信号以降序，也就是从s₁到s_N。特别的，当基站解码s₁，它首先解码给用户s_k的信号，顺序为k≤i，然后从y中减去。

因此，到目前为止，VLC网络NOMA上行链路的容量区域已是一个开放的问题，这对NOMA VLC上行链路进行信号处理是一个障碍。为了克服这一挑战，本发明得出了NOMA VLC上行链路的信道容量区域的内外界。

离散输入分布的信道容量：

设定所述信号s_i是一个离散随机变量有M_i实值

特别的，信号s_i满足：

Pr{s_i＝a_i,m}＝p_i,m,m＝1,...,M_i, (4a)

式中，a_i,m代表第m个点，p_i,m代表a_i,m对应的概率。

1)离散输入的内界

R_i代表第i个用户的容量，1≤i≤N，R_i写为：

式中，

由于熵功率不等式，不等式成立，

是变量var(Q)的随机变量。

基于(5d)，离散内界通过最大化熵

得到：

因为噪声

服从均值为0方差为

的高斯分布，f_Y(y)的pdf为：

因此，熵

最大化问题写为：

s.t.(4a)(4b)(4c)(4d)

问题(8)是一个混合离散非凸问题，是难以求解的。为了处理问题(8)，定义如下向量：

基于上面(9)提及的定义，重写问题(8)如下：

p_i≥0. (10e)

对于给定M_i和a_i时，问题(10)关于p_i是凸的，可以使用内点法。不失一般性，设定M_i个点在[-A_i,A_i]范围内等间隔划分：

这里指出当M_i大于最优值

中有冗余点存在。但是，冗余点的影响可以通过优化概率密度函数(pdf)p_i来减少。因此，对于一个足够大的M_i，则最大熵

可以近似通过在条件(11)下解决问题(10)。总之，所提出的熵

近似方法在算法1中列出。

算法1熵

近似方法包括如下步骤：

步骤1，初始化：设n＝0,h₀＝0，c₁为迭代停止参数，选择M_i≥2；

步骤2，n＝n+1，通过(11)计算a_i；

步骤3，通过解决问题(10)计算熵

步骤4，如果|h_n-h_n-1|≤c₁，则停止，输出h_n，否则，M_i＝M_i+1，跳到步骤2。

代表由算法1计算的

把

代入到(5d)，得出NOMA VLC的内界：

用

代表NOMA VLC的可达速率域，由下式给出：

2)离散输入的外界

在这一部分，NOMA VLC MAC网络的离散输入的信道容量的外界被提出。可达到率R_i的上限由下式给出：

式中，不等式(14a)服从EPI和

由算法1计算得出。

代表NOMA VLC信道容量区域，由下式给出：

连续输入的容量区域：

上面获得的离散的内界和外界不是闭式表达式。为此。设定输入信号s_i服从连续分布，推导出NOMA VLC的ABG闭式内边界表达式。

1)ABG内界

f(s_i)代表信号s_i的pdf满足下列峰值光功率，均值光功率，电功率约束。

对于1≤i≤N，可达速率的内界为：

不等式(17c)成立由于EPI，

不等式(17d)成立因为对应输入分布为ABG(closed-form achievable rate region，闭式可达速率区域)分布，最大化微分熵提供如下公式给出：

式中，参数α_i，β_i和γ_i是下列等式的解：

式中，函数

对于k＝N，R_k的上界如果如下公式给出：

代表NOMA VLC可达速率域，由下式给出：

2)ABG外界

得到上行NOMA VLC连续输入的ABG外界表达式，最大可达速率的外界R_i由下式给出：

式中，不等式(22)成立由于EPI，

等式(22c)成立因为服从ABG分布，

上行NOMA VLC最优波束成形设计：

在这一部分，进一步考虑一个单输入多输出(single-input multioutput SIMO)NOMA VLC上行网络，它包含N个单一LED用户和L个PD基站，如图2所示。让s_i代表来自用户i的发射信息。因此，在基站接收的信号y为：

式中，g_i∈R^L×1代表用户i和基站之间的信道向量，z～N(0,σ²I)代表高斯白噪声向量。

对于信息s_i，基站调用线性接收第i个波束形成器w_i∈R^L到接收信号y，如下所示：

不失一般性，设定项

满足一个降序排列，即

然后，基站采用SIC技术去解码接收信号以降序，即从s₁到s_N。特别地，R_i代表解码信息s_i(1≤i≤N)的可达速率。

当1≤i≤N，R_i由下式给出：

式中，不等式(26d)成立由于EPI，

等式(26e)成立因为服从ABG分布最大化微分熵，对于k＝N，R_N由下式给出：

因此，对于1≤i≤N，R_i下界表达式表达为：

式中，Γ_i是一个指示函数，如下所示：

基于(28)可达速率表达式，本发明提供了最优接收波束成形设计去最大化最小可达速率满足功率约束如下：

s.t.||w_i||²≤1,1≤i≤N (30b)

这里指出问题(30)是非凸的难以解决的，为了处理这个困难，定义如下变量：

利用(31)中引入的变量，等效地将问题(30)重写为简洁形式，如下所示：

s.t.||w_i||²≤1,1≤i≤N (32b)

这是二次约束二次规划问题(QCQP)。对数函数单调增加，将问题(32a)和(32b)进一步表述为：

s.t.||w_i||²≤1,1≤i≤N (33b)

λ_i,max代表矩阵A_i和矩阵B_i的最大广义特征值，其中

此外，w_i,max表示最大特征值λ_i,max对应的广义特征向量，它满足Aw_i,max＝λ_{i, max}Bw_i,max。因此，对于NOMA VLC上行链路，问题(33)的最优波束成形器w_i由下式给出：

信息s_i的最大可达速率是log₂λ_i,max。

实施例

设定g₁＝1，

和

令

表示幅度方差比率，并定义

此外，还提供了NOMA VLC MAC网络的均匀信道容量区域内外界的比较，其中输入信号遵循均匀分布。

图3a、图3b、图3c说明了SNR＝10dB，

6和8条件下，上行NOMA VLC的信道容量区域的内外界。图3a表明ABG内界与均匀分布有相同内界，外界也有类似的情形。这是因为在

时，ABG就是均匀分布。此外，离散输入的内界大于ABG内界，而离散的外界不能保证。图3b和图3c表明在三种类型中离散输入的内界是最高的。而ABG外界在三种外界中是最低的对于

和8，比较图3a、图3b和图3c，可以看出随着

的值增加，离散输入的内界和ABG内界差距减小，并且ABG内界和ABG的外界差距也减小。

图4说明了在

的条件下，离散内外界，ABG内外界以及均匀内外界随着SNR和速率r₁+r₂的变化规律。如图4所示，随着SNR变大，每个界的和速率也越大，ABG内界高于离散输入和均匀的内界，而ABG的外界低于离散输入和均匀的外界。此外，可以观察到随着SNR的增加，提出的ABG内外界的差距也在增加。

图5说明了用户的速率随着发射功率增加而增加。此外，提出方法的每个用户的速率大于非SIC方法的用户。

本发明提供了一种可见光通信网络中上行容量区域和最佳波速优化方法，具体实现该技术方案的方法和途径很多，以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。本实施例中未明确的各组成部分均可用现有技术加以实现。

Claims (1)

1.一种可见光通信网络中上行容量区域和最佳波速优化方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，建立一个可见光通信VLC上行非正交多址接入NOMA系统，系统包含N个发射机和一个接收机；

步骤2，限制所述系统的峰值光功率和平均光功率；

步骤3，计算用户和基站之间的信道增益以及基站的接收信号；

步骤4，求解所述系统的具有离散输入的内界和外界；

步骤5，求解所述系统的具有离散输入的容量区域；

步骤6，设计所述系统的最优波速成形；

步骤1中，每个发射机安装一个发光二极管LED，接收机安装一个单光子探测器PD；设s_i是第i个用户所需要发送的信息；

步骤2包括：信号幅值满足|s_i|≤A_i，均值

满足

方差

满足

经过功率放大和加偏置之后，新的第i个用户实际发送的信息x_i为：

式中，p_i是第i个用户的发射功率，b_i是第i个用户的直流偏置，直流偏置需要满足

A_i是发射信号的幅度约束，ε_i是发送信息的方差；

步骤3包括：第i个用户和基站之间的信道增益g_i为：

式中，τ为LED灯的朗勃阶数，

取决于半角φ_1/2，d_i代表第i个用户和接收机之间的距离，φ_k是反射角，ψ_i是入射角，ψ_FOV是接收机接收视场的半角，A_R为单光子探测器PD的有效面积；

基站的接收信号y为：

式中，z～N(0,σ²)代表散粒噪声和热噪声的和分布；

设定项

满足降序，即：

基站采用SIC技术来解码接收信号以降序，即从s₁到s_N，当基站解码s_i，它首先解码给用户s_k的信号，顺序为k≤i，然后从y中减去；

步骤4包括：

步骤4-1，设定信号s_i是一个离散随机变量，有M_i个实值

如下所示，信号s_i满足：

Pr{s_i＝a_i,m}＝p_i,m,m＝1,...,M_i, (4a)

式中，a_i,m代表第m个点，p_i,m代表a_i,m对应的概率；Pr{s_i＝a_i,m}是指当信号s_i取到a_i,m时的概率为p_i,m；其中，Pr是概率的数学表示形式；

步骤4-2，求解离散输入的内界：

R_i代表第i个用户的容量，1≤i≤N，R_i写为：

式中，

是变量var(Q)的随机变量；I是互信息，h指信息熵，z是指所有信道的总噪声，

是接收到的第k个用户的信息，p_k是第k个用户的发射功率，ε_j是发送信息的方差；

指单个用户的信道的噪声；

基于(5d)，离散输入的内界通过最大化熵

得到：

其中，

是接收信号的概率密度函数，dy是微分；

噪声

服从均值为0方差为

的高斯分布，K指用户数，f_Y(y)的概率密度函数pdf为：

则熵

最大化问题写为：

s.t.(4a)(4b)(4c)(4d)

定义如下向量：

其中，a_i、p_i、q_i均为自定义的向量；

将问题(8)重写为如下形式：

p_i≥0 (10e)

设定M_i个点在[-A_i,A_i]范围内等间隔划分：

通过熵

近似方法求解出最优的接收信号的信息熵

把

代入到(5d)，得出离散输入的的内界：

用

代表所述系统的可达速率域，由下式给出：

其中，r_i是通式，是第i个用户的速率；

是实向量空间；

步骤4-3，求解离散输入的外界：

式中，P(s_i)是指发送的第i个信号s_i的功率，f(s_i)是第i个信号s_i的概率密度函数；不等式(14b)服从熵幂不等式EPI和

代表所述系统的容量区域，由下式给出：

步骤4-2中，所述通过熵

近似方法求解出

包括如下步骤：

步骤4-2-1，初始化：设n＝0,h₀＝0，c₁为迭代停止参数，选择M_i≥2；

步骤4-2-2，n＝n+1，通过公式(11)计算a_i；

步骤4-2-3，通过解决问题(10a)～(10e)计算熵

步骤4-2-4，如果|h_n-h_n-1|≤c₁，则停止，输出h_n，否则，M_i＝M_i+1，跳到步骤4-2-2；

步骤5包括：

步骤5-1，设定第i个用户所需要发送的信息s_i服从连续分布，求解所述系统的ABG闭式内边界表达式：

f(s_i)代表信号s_i的pdf满足下列峰值光功率、均值光功率和电功率约束：

对于1≤i≤N，可达速率的内界为：

不等式(17c)成立由于熵幂不等式EPI，

不等式(17d)成立因为对应输入分布为ABG分布，最大化微分熵通过如下公式给出：

式中，参数α_i，β_i和γ_i是下列等式的解：

式中，函数

对于k＝N，系统中第k个用户的速率R_k的上界R_N通过如下公式给出：

用

代表所述系统的可达速率域，由下式给出：

步骤5-2，求解ABG外界：最大可达速率的外界R_i由下式给出：

式中，

等式(22c)成立因为服从ABG分布：

其中，

表示系统可达速率外界区域；

步骤6包括：

步骤6-1，设定所述系统是一个单输入多输出的上行网络，它包含N个单一LED用户和L个PD基站，让s_i代表来自第i个用户的发射信息，则在基站接收的信号y为：

式中，g_i∈R^L×1代表第i个用户和基站之间的信道向量，R^L×1代表L乘以1维的向量空间，z～N(0,σ²I)代表高斯白噪声向量；

对于第i个用户的发射信息s_i，基站在收到接收信号y时，调用第i个波束形成器w_i∈R^L来进一步处理，如下所示：

其中，

是经过接收波束成形器进一步处理得到的接收信号；

步骤6-2，设定项

满足一个降序排列，即

基站采用SIC技术去解码接收信号以降序，即从s₁到s_N；R_i代表解码信息s_i的可达速率；当1≤i≤N，R_i由下式给出：

式中，不等式(26d)成立由于熵幂不等式EPI，

等式(26e)成立因为服从ABG分布最大化微分熵，对于k＝N，R_N由下式给出：

因此，对于1≤i≤N，R_i下界表达式表达为：

式中，Γ_i是一个指示函数，如下所示：

步骤6-3，最优接收波束成形设计通过取最大化最小可达速率满足功率约束，优化问题如下：

s.t.||w_i||²≤1,1≤i≤N (30b)

步骤6-4，定义如下变量：

利用上述变量c、G_i、

和

将问题(30a)和(30b)重写为：

s.t.||w_i||²≤1,1≤i≤N (32b)

进一步表述为：

s.t.||w_i||²≤1,1≤i≤N (33b)

λ_i,max代表矩阵A_i和矩阵B_i的最大广义特征值，其中

I表示单位矩阵；

w_i,max表示最大特征值λ_i,max对应的广义特征向量，它满足Aw_i,max＝λ_i,maxB w_i,max，A和B都是根据自定义的变量得到的矩阵；对于所述系统上行链路，最优波束成形器

由下式给出：

其中，

是指最优的波束成形器，信息s_i的最大可达速率是log₂λ_i,max。

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