CN111507837A - 一种基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统 - Google Patents

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CN111507837A CN202010281026.3A CN202010281026A CN111507837A CN 111507837 A CN111507837 A CN 111507837A CN 202010281026 A CN202010281026 A CN 202010281026A CN 111507837 A CN111507837 A CN 111507837A
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Abstract

本发明公开了一种基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统，涉及期权价值评估技术领域，包括参数初始化模块、股票价格波动率计算模块、期权类型选择模块、期权价值计算模块、自适应网格生成模块和结果输出模块。本系统在自适应网格上构造了稳定有效的差分离散格式，有效处理了准确解的奇异性问题，解决了经典算法的数值精度低、计算结果不准确问题，提高了期权价值的计算精度。

Description

一种基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统
技术领域
本发明涉及期权价值评估技术领域，尤其涉及一种基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统。
背景技术
随着金融市场分形结构的发现，将传统模型中的标准Brownian运动替换成Lévy过程，再结合其他参数的泛化，就得到了一系列分数阶偏微分方程期权定价模型。这些模型中的分数阶导数项，可以很好地刻画市场的记忆特性。分数阶偏微分方程期权定价模型较难获得解析解，在实际应用中多采用数值方法求解。
分数阶期权定价模型具有历史依赖性与全域相关性、准确解可能会含有奇异性、美式期权是自由边界问题等特性，导致一些针对整数阶微分方程十分有效的数值计算方法对于分数阶偏微分方程期权定价模型不再适用，因此分数阶期权定价模型的计算难度要大大高于一般整数阶微分方程的数值计算。
常用的分数阶偏微分方程期权定价模型的求解方法包括有限差分法、有限元法和有限体积法，但是已有的方法都没有考虑准确解含有奇异性的特性。由于分数阶微分方程的准确解可能会存在奇异性，即准确解可能在某些区域的变化会比较剧烈，已有算法没能有效处理准确解的奇异性问题，导致这些算法的数值精度低、计算结果不准确。
因此，本领域的技术人员致力于开发一种基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统。
发明内容
有鉴于现有技术的上述缺陷，本发明所要解决的技术问题是设计一种基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统，以实现快速准确评估期权价值。
发明人首先对微分算子进行空间变量离散。考虑到微分算子在空间变量为零处附近具有退化性和对流占主等特点，所以构造分片等距网格来保证中心差分格式的稳定性。其次，对空间变量离散后的初值问题进行时间变量离散。由于期权定价模型含有时间分数阶导数项，所以该方程的准确解关于时间变量可能存在奇异性，也就是准确解关于时间的偏导数可能在时间为零处附近趋于无穷大。为有效处理准确解可能存在的奇异性，数值计算时用局部加密网格来拟合准确解的奇异性。由于时间分数阶期权定价模型的准确解性质较难获得，因此也就难以构造自适应先验网格。为避免这个困难，本发明构造基于后验误差估计的后验自适应网格，该后验自适应网格生成算法可以自动检测数值解的奇异性，以最终生成能够有效拟合准确解奇异性的局部加密网格。最后，输入模型中的各项参数，应用所构造的数值方法来求得期权价值。
本发明的一个实施例中，提供了一种基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统，包括参数初始化模块、股票价格波动率计算模块、期权类型选择模块、期权价值计算模块、自适应网格生成模块和结果输出模块，参数初始化模块用于输入期权定价参数；股票价格波动率计算模块用于获得股价波动率σ；期权类型选择模块用于选择计算期权的类型；期权价值计算模块构造有限差分格式离散时间分数阶期权定价模型，以计算期权价值；自适应网格生成模块根据网格等分布原理进行迭代计算，获得有效拟合准确解特性的局部加密网格；结果输出模块用于输出计算结果。
可选地，在上述实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统中，期权定价参数包括无风险利率r、股票连续分红率q、执行价E、到期时间T、分数阶参数α、股票最大价格Smax。
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统中，股票价格波动率计算模块包括第一计算单元和第二计算单元，第一计算单元选择直接输入波动率σ，第二计算单元以EXCELL表格式输入一段时间的股票历史收盘价格数据，提供股价波动率σ计算功能以获得波动率值。
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统中，上述所计算期权的类型包括欧式期权、美式期权、看涨期权、看跌期权。
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统中，期权价值计算模块对期权定价模型进行数值离散，并计算得到相应的期权价值。
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统中，期权价值计算模块包括欧式期权的价值计算单元和美式期权的价值计算单元，通过计算获得相应的最优执行边界。
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统中，自适应网格生成模块基于后验误差估计的后验自适应网格，自动检测数值解的奇异性，最终生成有效拟合准确解奇异性的局部加密网格。
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统中，计算结果包括对应时间t、股票价格S的期权价值V和美式期权的最优执行边界图。
基于上述任一实施例，本发明的另一个实施例中，提供了一种基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法，包括如下步骤：
步骤S100，参数初始化；
步骤S200，确定股票价格波动率；
步骤S300，选择计算期权的类型；
步骤S400，计算期权价值；
步骤S500，生成自适应网格；
步骤S600，获得自适应局部加密网格和期权价值；
步骤S700，输出计算结果。
可选地，在上述实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S100中参数初始化是指在参数初始化模块输入期权定价参数，期权定价参数包括无风险利率r、股票连续分红率q、执行价E、到期时间T、分数阶参数α、股票最大价格Smax。
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S200通过获取一段时间内的股票收盘价数据，计算得到股票价格的波动率σ。
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S200具体包括：
S201、获取一段时间的股票收盘价格数据Si(i＝0，1，...，n)，这里Si表示第i天的股票收盘价；
S202、计算股票收盘价的对数收益率
Figure BDA0002446571210000031
S203、计算vi的标准差
Figure BDA0002446571210000032
S204、得到该股票价格的波动率
Figure BDA0002446571210000033
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S300中计算期权的类型包括是欧式期权还是美式期权，看涨期权还是看跌期权。
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S300对于欧式看涨期权的时间分数阶期权定价模型，采用如下公式进行数值计算：
Figure BDA0002446571210000041
其中r为无风险利率，q为股票连续分红率，E为执行价，T为到期时间，α为分数阶参数，Smax为股票最大价格，u(S，t)＝V(S，T-t)，V(S，t)为对应时间t和股票价格S的期权价值。
对上述偏微分方程在离散网格ΩN×K＝{(Si，tj)|0≤i≤N，0≤j≤K}上应用如下中心差分格式进行离散：
Figure BDA0002446571210000042
其中，N为空间离散系数，K为时间离散系数，空间区域离散采用分片等距网格，即在r-q≠0的情况下
Figure BDA0002446571210000043
在r-q＝0的情况下
Figure BDA0002446571210000044
空间网格步长记为ΔSi＝Si-Si-1，时间网格步长记为Δtj＝tj-tj-1，
Figure BDA0002446571210000045
Figure BDA0002446571210000046
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S400包括：
S401、对定价模型的定义区域构造初始网格，其中空间定义区域的离散采用分片等距网格，时间定义区域的离散选取等距网格为初始网格；
S402、在离散网格上，对空间导数项构造中心差分离散格式；
S403、对时间分数阶导数项构造L1差分离散格式；
S404、结合所定价期权的类型，计算得到期权值和美式期权的最优执行边界。
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S400为有效处理准确解在时间t＝0附近可能存在奇异性的问题，对时间区域构造自适应局部加密网格，该自适应网格需要通过迭代计算来生成，记第n次迭代生成的离散网格为
Figure BDA0002446571210000051
Figure BDA0002446571210000052
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S500包括在求得期权值的基础上计算每个时间步上的最大弧长值，并计算每个时间步上的弧长值总和。
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S500在离散网格ΩN×K，(n)上应用上述中心差分格式可得第n次迭代计算的期权值
Figure BDA0002446571210000053
并计算各个时间步的最大弧长值
Figure BDA0002446571210000054
和弧长值总和
Figure BDA0002446571210000055
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S600包括：
S601、判断所有时间步中的最大弧长值是否达到迭代终止标准；
S602、如果没有达到迭代终止标准，那么按照网格调整公式产生新的网格，并回到步骤S500继续进行迭代计算；
S603、如果达到迭代终止标准，那么获得最终的自适应局部加密网格和期权价值。
进一步地，在上述实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S601包括判断第n次迭代结果中，所有时间步中的最大弧长值是否达到迭代终止标准
Figure BDA0002446571210000056
进一步地，在上述实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S602包括如果没有达到迭代停止标准，那么按照网格调整公式
Figure BDA0002446571210000061
产生新的网格，并回到步骤500继续进行计算，上述迭代参数C0是大于1的参数。
可选地，在上述任一实施例中的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法中，步骤S700中输出结果包括对应时间t和股票价格S的期权价值V。
本发明区别于不考虑准确解奇异性的已有方法，构造了基于后验误差估计的后验自适应网格，在自适应网格上构造了稳定有效的差分离散格式，有效处理了准确解的奇异性问题，解决了经典算法的数值精度低、计算结果不准确问题，提高了期权价值的计算精度。
以下将结合附图对本发明的构思、具体结构及产生的技术效果作进一步说明，以充分地了解本发明的目的、特征和效果。
附图说明
图1是图示根据示例性实施例的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值评估流程图；
图2是图示根据示例性实施例的时间分数阶期权定价模型的计算系统结构图；
图3是图示根据示例性实施例的股票价格波动率计算模块的结构图；
图4是图示根据示例性实施例的期权价值计算模块的结构图；
图5是图示根据示例性实施例的期权价值图。
具体实施方式
以下参考说明书附图介绍本发明的多个优选实施例，使其技术内容更加清楚和便于理解。本发明可以通过许多不同形式的实施例来得以体现，本发明的保护范围并非仅限于文中提到的实施例。
在附图中，结构相同的部件以相同数字标号表示，各处结构或功能相似的组件以相似数字标号表示。附图所示的每一组件的尺寸和厚度是任意示出的，本发明并没有限定每个组件的尺寸和厚度。为了使图示更清晰，附图中有些地方示意性地适当夸大了部件的厚度。
发明人设计了一种基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统，如图2所示，包括参数初始化模块、股票价格波动率计算模块、期权类型选择模块、期权价值计算模块、自适应网格生成模块和结果输出模块，参数初始化模块用于输入期权定价参数，包括无风险利率r、股票连续分红率q、执行价E、到期时间T、分数阶参数α、股票最大价格Smax；股票价格波动率计算模块用于获得股票价格波动率σ，具体地，如图3所示，股票价格波动率计算模块包括第一计算单元和第二计算单元，在第一计算单元直接输入波动率σ，在第二计算单元以EXCELL表格式输入一段时间的股票历史收盘价格数据，提供股票价格波动率σ计算功能以获得波动率值；期权类型选择模块用于选择计算期权的类型，包括欧式期权、美式期权、看涨期权、看跌期权；期权价值计算模块构造有限差分格式离散时间分数阶期权定价模型以计算期权价值，对期权定价模型进行数值离散，并计算得到相应的期权价值，如图4所示，期权类型选择模块包括欧式期权的价值计算单元和美式期权的价值单元，并获得相应的最优执行边界；自适应网格生成模块根据网格等分布原理，自动检测数值解的奇异性，进行迭代计算，最终生成有效拟合准确解奇异性的局部加密网格；结果输出模块用于输出计算结果，包括对应时间t、股票价格S的期权价值V和美式期权的最优执行边界图。
基于上述实施例，发明人提供了一种基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算方法，如图1所示，包括如下步骤：
步骤S100，参数初始化，在参数初始化模块输入股权定价参数，期权定价参数包括无风险利率r、股票连续分红率q、执行价E、到期时间T、分数阶参数α、股票最大价格Smax；
步骤S200，确定股票价格波动率σ，通过获取一段时间内的股票收盘价数据，计算得到股票价格的波动率σ；
该步骤在股票价格波动率计算模块中执行，包括在第一计算单元直接输入波动率σ和在第二计算单元以EXCELL表格式输入一段时间的股票历史收盘价格数据，提供计算功能以获得股票价格波动率；具体包括：
S201、获取一段时间的股票收盘价格数据Si(i＝0，1，...，n)，这里Si表示第i天的股票收盘价；
S202、计算股票收盘价的对数收益率
Figure BDA0002446571210000071
S203、计算vi的标准差
Figure BDA0002446571210000072
S204、得到该股票价格的波动率
Figure BDA0002446571210000073
步骤S300，选择计算期权的类型，计算期权的类型包括是欧式期权还是美式期权，看涨期权还是看跌期权；
以欧式看涨期权的时间分数阶期权定价模型为例，进行数值计算
Figure BDA0002446571210000081
其中r为无风险利率，q为股票连续分红率，E为执行价，T为到期时间，α为分数阶参数，Smax为股票最大价格，u(S，t)＝V(S，T-t)，V(S，t)为对应时间t和股票价格S的期权价值。
对上述偏微分方程在离散网格ΩN×K＝{(Si，tj)|0≤i≤N，0≤j≤K}上应用如下中心差分进行离散：
Figure BDA0002446571210000082
其中，N为空间离散系数，K为时间离散系数，空间区域离散采用分片等距网格，即在r-q≠0的情况下
Figure BDA0002446571210000083
在r-q＝0的情况下
Figure BDA0002446571210000084
空间网格步长记为ΔSi＝Si-Si-1，时间网格步长记为Δtj＝tj-tj-1，
Figure BDA0002446571210000085
Figure BDA0002446571210000086
步骤S400，计算期权价值；
为有效处理准确解在时间t＝0附近可能存在奇异性的问题，对时间区域构造自适应局部加密网格，该自适应网格需要通过迭代计算来生成，记第n次迭代生成的离散网格为
Figure BDA0002446571210000087
步骤S500，生成自适应网格，具体包括计算每个时间步上的最大弧长和弧长值总和，在离散网格ΩN×K，(n)上应用上述中心差分格式可得第n次迭代计算的期权值
Figure BDA0002446571210000091
并计算各个时间步的最大弧长值
Figure BDA0002446571210000092
和弧长值总和
Figure BDA0002446571210000093
步骤S600、获得自适应局部加密网格和期权价值。具体包括：
S601、判断网格是否达到迭代终止标准，判断第n次迭代结果中，所有时间步中的最大弧长值是否达到迭代终止标准
Figure BDA0002446571210000094
S602、如果没有达到迭代停止标准，那么按照网格调整公式
Figure BDA0002446571210000095
产生新的网格，并回到步骤500继续进行计算，上述迭代参数C0是大于1的参数；
S603、如果达到迭代终止标准，那么获得最终离散网格和期权价值。
步骤S700、输出计算结果；迭代计算直至数值结果满足迭代终止标准，最终输出对应时间t和股票价格S的期权价值。
在本实施例中，输入期权定价模型的参数r＝0.07，q＝0，E＝10，T＝1，Smax＝40，σ＝0.2，α＝0.1，可以得到每个股票价格S和时间t都对应着的欧式看涨期权预测值如表1所示，并可以画出期权价值图，如附图5所示。
表1
Figure BDA0002446571210000096
Figure BDA0002446571210000101
以上详细描述了本发明的较佳具体实施例。应当理解，本领域的普通技术人员无需创造性劳动就可以根据本发明的构思作出诸多修改和变化。因此，凡本技术领域中技术人员依本发明的构思在现有技术的基础上通过逻辑分析、推理或者有限的实验可以得到的技术方案，皆应在由权利要求书所确定的保护范围内。

Claims (10)

1.一种基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统，其特征在于，包括参数初始化模块、股票价格波动率计算模块、期权类型选择模块、期权价值计算模块、自适应网格生成模块和结果输出模块，所述参数初始化模块用于输入期权定价参数；所述股票价格波动率计算模块用于获得股价波动率；所述期权类型选择模块用于选择所计算期权的类型；所述期权价值计算模块构造有限差分格式离散时间分数阶期权定价模型，以计算期权价值；所述自适应网格生成模块根据网格等分布原理进行迭代计算，获得有效拟合准确解特性的局部加密网格；所述结果输出模块用于输出计算结果。
2.如权利要求1所述的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统，其特征在于，所述期权定价参数包括无风险利率r、股票连续分红率q、执行价E、到期时间T、分数阶参数α、股票最大价格Smax。
3.如权利要求1所述的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统，其特征在于，所述股票价格波动率计算模块包括第一计算单元和第二计算单元，所述第一计算单元选择直接输入波动率σ，所述第二计算单元以EXCELL表格式输入一段时间的股票历史收盘价格数据，提供股价波动率σ计算功能以获得波动率值。
4.如权利要求1所述的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统，其特征在于，所述计算期权的类型包括欧式期权、美式期权、看涨期权、看跌期权。
5.如权利要求1所述的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统，其特征在于，所述期权价值计算模块包括欧式期权的价值计算单元和美式期权的价值计算单元，通过计算获得相应的最优执行边界。
6.如权利要求1所述的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统，其特征在于，所述自适应网格生成模块基于后验误差估计的后验自适应网格，自动检测数值解的奇异性，最终生成有效拟合准确解奇异性的局部加密网格。
7.一种使用如权利要求1-6任一所述的基于时间分数阶期权定价模型的期权价值计算系统的期权价值计算方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤S100，参数初始化；
步骤S200，确定股票价格波动率；
步骤S300，选择所计算期权的类型；
步骤S400，计算期权价值；
步骤S500，生成自适应网格；
步骤S600，获得自适应局部加密网格和期权价值；
步骤S700，输出计算结果。
8.一种使用如权利要求7的期权价值计算方法，其特征在于，所述步骤S400包括：
S401、对定价模型的定义区域构造初始网格，其中空间定义区域的离散采用分片等距网格，时间定义区域的离散选取等距网格为初始网格；
S402、在离散网格上，对空间导数项构造中心差分格式；
S403、对时间分数阶导数项构造L1差分离散格式；
S404、结合所定价期权的类型，计算得到期权值和美式期权的最优执行边界。
9.一种使用如权利要求7或8的期权价值计算方法，其特征在于，所述步骤S500包括在求得期权值的基础上计算每个时间步上的最大弧长值，并计算每个时间步上的弧长值总和。
10.一种使用如权利要求9的期权价值计算方法，其特征在于，所述步骤S600包括：
S601、判断所有时间步中的最大弧长值是否达到迭代终止标准；
S602、如果没有达到迭代终止标准，那么按照网格调整公式产生新的网格，并回到所述步骤S500继续进行迭代计算；
S603、如果达到迭代终止标准，那么获得最终的自适应局部加密网格和期权价值。
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