CN111428250B - 采用基于pca的低维混沌序列改进算法的图像加密方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供一种采用基于PCA的低维混沌序列改进算法的图像加密方法。选取低维混沌系统，生成一维混沌序列x(n)；进行相空间重构，相空间重构需要两个参数：延迟时间τ和最佳嵌入维数m，其中，采用互信息法求延迟时间τ，用CAO方法求得最佳嵌入维数m，对重构的相空间进行PCA转换，取第一主分量作为改进序列yn；用Arnold映射置乱原图像P，得到已置乱的图像S；将置乱图像S转换成一维序列；由ki＝|xi‑[xi]|×1014mod 256，得到秘钥序列K＝{k1,k2,…,kN×N}，由
Figure DDA0002412262860000011
1≤i≤N×N，得到到加密序列C＝{c1,c2,…,cN×N}；将该加密序列重新排列成大小为N×N的图像，就得到加密图像。发明在保持了原系统的混沌特性的同时，同时增加了系统的复杂性，还可以克服低维混沌映射本身的结构缺陷。

Description

采用基于PCA的低维混沌序列改进算法的图像加密方法
技术领域
本发明属于数据加密领域，具体涉及一种采用基于PCA的低维混沌序列改进算法的图像加密方法。
背景技术
近些年来，为了使低维混沌系统，如Logistic映射和Tent映射应用到实际，涌现出一大批对低维混沌映射的改进方案。其中，Xuwei等提出的基于PCA混沌序列改进算法在去相关性和提高序列复杂度方面比较效果比较明显。该算法采用PCA技术，分别对重构相空间进行水平和垂直方向进行变换，使得数据之间的相关性降到最低。其算法如下：
利用混沌序列发生器得到Logistic混沌序列得到对应的Logistic二值序列(x1,x2,…,xN)。
对序列进行相空间重构，重构的依据是将序列平均分成Nm个子序列，重构成相空间
Figure GDA0003493345870000011
把每一列定义为一组向量，
Figure GDA0003493345870000012
可以表示为
Figure GDA0003493345870000013
其中矩阵中的Xi(i＝1,2,…,Nm)具有m个样本。其协方差矩阵为一个Nm×Nm的矩阵，这个协方差矩阵可表示为：
Figure GDA0003493345870000014
其中Z为实对称阵，矩阵中的每个元素cij(i,j＝1,2,…,Nm)为第i列与第j列的协方差
cij＝E{(Xi-MXi)(Xj-MXj)} (4)
其中平均向量定义如下：
Figure GDA0003493345870000015
协方差矩阵的特征值及特征向量分别λ为F和，则
|Z-λI|＝0 (6)
ZF＝λF (7)
其中，特征向量F为Nm维，由上式(6)、(7)就能够解出Nm个特征值并按照大小排序，得到
Figure GDA0003493345870000016
将这Nm个特征值分别代入(7)中，得到各个特征值对应的特征向量为
Figure GDA0003493345870000017
然后，将每个特征向量转置，构成变换矩阵Φ。
Figure GDA0003493345870000021
将转换矩阵带入等式(10)中，得到主成分矩阵B，
Figure GDA0003493345870000022
Figure GDA0003493345870000023
(4)按照公式(4)-(11)对转置后的矩阵BT进行变换得到矩阵C。
Figure GDA0003493345870000024
C为双重PCA变换后的矩阵。最后按照贡献率取值大于90％的个数后，将矩阵C还原成序列y，此序列y为双重PCA变换后的序列。
以上方案对于提高序列的复杂度，去除相关性方面确实有很大的改进。但是，该方案首先在进行相空间重构时没有考虑相空间重构的基本准则，如果随意对某一伪随机序列进行简单的平均分组，重构的相空间不一定会具有原混沌映射的随机性。其次，该方案在进行PCA转换后的序列长度不能达到一定的数量，经过水平和垂直两个方向上的变换，按照贡献率只能从所有的结果中取其中几个分量作为结果。在实际的图像加密或语音加密时，流密钥的长度根本达不到实际要求。最后，在选择几个分量作为结果时，需要将几个主分量进行还原拼接成一个序列，排列的顺序很难把握。同时，改善由软硬件的计算精度限制，及低维混沌映射，如Logistic映射和Tent映射等，由于本身系统结构等原因，离散混沌系统的轨道在某些周期附近会发生退化现象(崩溃效应)。特别是一些基于低维混沌理论的密码系统受到了攻击和破坏，因此以Logistic映射和Tent映射为代表的低维混沌映射从来没有在加密系统中单独使用过，尤其是图像加密系统。
发明内容
基于以上不足之处，本发明的目的是提出一种基于相空间重构和PCA的低维混沌序列改进算法，以解决相空间重构不足，以及序列长度不够造成的问题，并且使得低维混沌序列能够应用在实际的图像加密的过程中。
本发明所采用的技术方案如下：一种采用基于PCA的低维混沌序列改进算法的图像加密方法，步骤如下：
步骤一：选取低维混沌系统，设定混沌系统的初始状态和混沌系统参数，生成一维混沌序列x(n)；
步骤二：进行相空间重构，相空间重构需要两个参数：延迟时间τ和最佳嵌入维数m，其中，采用互信息法求延迟时间τ，用CAO方法求得最佳嵌入维数m，将初始序列x(n)，重构为相空间X(i)＝{x(i),x(i+τ),...,x(i+(m-1)τ)}；
步骤三：对重构的相空间进行PCA转换，取第一主分量作为改进序列yn；
步骤四：用Arnold映射置乱原图像P，得到已置乱的图像S；
步骤五：将置乱图像S转换成一维序列，表示为{s1,s2,…,sN×N}。
步骤六：由公式
Figure GDA0003493345870000031
得到秘钥序列K＝{k1,k2,…,kN×N}，此处
Figure GDA0003493345870000032
表示不大于xi的最大整数；
步骤七：由公式
Figure GDA0003493345870000033
得到到加密序列C＝{c1,c2,…,cN×N}，此处
Figure GDA0003493345870000034
表示按位异或运算；
步骤八：将所述的加密序列重新排列成大小为N×N的图像，就得到加密图像。
解密算法是加密算法的逆过程。
本发明的有益效果及优点：本混沌序列图像加密方法，在使用的混沌序列时采用了基于PCA的低维混沌序列改进算法，本发明的方法使低维混沌序列能够应用在实际的图像加密的过程中。本发明不仅去掉了由于原混沌系统结构及计算精度造成的相关性，并在保持了原系统的混沌特性的同时，同时增加了系统的复杂性，还可以克服低维混沌映射本身的结构缺陷。应用于实际的图像加密过程中，极大的加强了系统的安全性，加强抵抗统计攻击和查分攻击的能力。系统实现起来也非常方便，不需要特殊的设备，具有很强的实用性。
附图说明
图1为互信息函数图；
图2为最佳嵌入维数图；
图3为原灰度图像；
图4为采用基于PCA的改进序列对原始图像加密后的密文图像；
图5为采用错误秘钥x'＝x0+δ的解密图像；
图6为改进混沌系统分叉图；其中(a)μ∈(3,4)；(b)图(a)的一部分放大图；
图7为改进序列的最大Lyapunov指数图；
图8为改进序列相空间分布图；
图9为原序列自相关测试结果图；
图10为改进序列自相关测试结果图；
图11为原序列功率谱图；
图12为改进序列功率谱图；
图13为改进序列功率谱密度分布直方图图；
具体实施方式
下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。
实施例1
对于一个Logistic混沌序列{x(n)}本改进方案方案分两个步骤：相空间重构和主成成分分析变换
一、相空间重构：
根据Takens等提出嵌入定理：对于无限长、无噪声的d维混沌吸引子的标量时间序列{x(n)}，只要维数m≥2d+1，总可以在拓扑不变的意义上找到一个m维的嵌入空间。Takens定理保证了可以从一维混沌空间序列中重构一个与原动力系统在拓扑意义下等价的相空间，混沌时间序列的判定、分析与预测都是在这个重构的相空间中进行的，因此相空间重构是混沌时间序列研究的关键步骤。在重构的过程中首先考虑的问题就是延迟时间τ和最佳嵌入维数m及的选取。重构的相空间为
X(i)＝{x(i),x(i+τ),...,x(i+(m-1)τ)}
1、延迟时间τ的计算
延迟时间τ是相空间重构过程中重要的参数。作用是将一个一维Logistic时间序列按τ值分成一个空间中的多个子序列。目标是改变原序列的空间结构，同时最大限度的保留原序列的混沌特性。对于Logistic混沌映射，如果有延时τ，就是多个子序列向多个坐标轴投影，其中去相关性最好的一个子序列，也就是第一主分量作为结果被保留，其余混沌性质不好的部分被舍掉。如果没有延时，那么就是原序列向单一坐标轴投影，也可以，但是原序列中混沌特性不好的部分也被保留。
本实施例采用Fraser和Swinney提出的用互信息法来计算延时τ。即选取表示一个时间序列相继点之间一般依赖关系的互信息函数的第一个局部极小值点所对应的时间作为延迟时间。混沌系统是一个非线性系统，考虑两个离散信息系统S＝{s1,s2,…,sn}和Q＝{q1,q2,…,qn}构成的共同系统。由信息论，从两个系统测量中获得的平均信息量，即信息熵分别为：
Figure GDA0003493345870000051
Figure GDA0003493345870000052
其中，Ps(si)和Pq(qj)分别为S和Q中事件si和qj的概率。
在给定S的情况下，可得到的关于系统Q的信息，称为S和Q的互信息：
I(Q,S)＝H(Q)-H(Q|S)
其中
Figure GDA0003493345870000053
因此有
Figure GDA0003493345870000054
其中，Psq(si,qj)为事件si和事件qj的联合概率分布。
定义[s,q]＝[x(t),x(t+τ)]，即s代表时间序列x(t)，q为其延迟时间为τ的时间序列x(t+τ)，则I(Q,S)显然是与延迟时间有关的函数，记为I(τ)。I(τ)的大小代表了在已知系统S，即x(t)的情况下，系统Q也就是x(t+τ)的确定性大小。I(τ)＝0，表示x(t+τ)完全不可预测，即x(t)和x(t+τ)完全不相关；而I(τ)的极小值，则表示了x(t)和x(t+τ)是最大可能的不相关，因此重构时使用I(τ)的第一个极小值作为最优延迟时间τ。
2、最佳嵌入维数m的计算
Cao方法可以按照如下步骤实施：
在d维相空间中，每一个相点矢量为X(i)＝{x(i),x(i+τ),…,x(i+(d-1)τ)}，都有一个某距离内的最近点XNN(i)，其距离为
Figure GDA0003493345870000061
当相空间的维数从d增加到d+1维时，这两个相点的距离就会发生变化，两者的距离成为Rd+1(i)且有
Figure GDA0003493345870000062
如果Rd+1(i)比Rd(i)大很多，可以认为这是高维混沌吸引子中两个不相邻的点，投影到低维轨道上时变成相邻的两个点造成的，因此这样的临近点是虚假的。
Figure GDA0003493345870000063
若a1(i,d)＞Rτ，则XNN(i)是X(i)的虚假临近点，阈值Rτ可在[10,50]之间选取。将Rd(i)带入等式(1)后等式如下：
Figure GDA0003493345870000064
Cao将上式改写成为
Figure GDA0003493345870000065
其中Xd(i)和
Figure GDA0003493345870000066
为d维空间的第i个向量和它的最邻近点，Xd+1(i)和
Figure GDA0003493345870000067
是d+1维相空间的第i个向量和它的最临近点。定义
Figure GDA0003493345870000068
E1(d)＝E(d+1)/E(d)
如果时间序列是确定的，则嵌入维数是存在的，即E1(d)将在d大于某一特定值d0不再变化。若时间序列是随机信号，则E1(d)应逐渐增加，但在实际应用中对有限长序列，很难判断出E1(d)是在逐渐增加还是已经稳定，因此补充一个判断准则为
Figure GDA0003493345870000069
E2(d)＝E*(d+1)/E*(d)
对于随机序列，数据间没有相关性，E2(d)将始终为1；对于确定性序列，相关关系是依赖于嵌入维d值是变化的，因此总存在一些d值使得E2(d)不等于1。因此当E1,E2基本保持不变时，第一个d值，即被认定为最佳嵌入维数m。
二、主成分分析(PCA)变换
在统计学中，主成分分析是一种简化数据集的技术，是利用随机数据中的正则性来提取和压缩该数据中的信息，将输入数据从原始的N维空间投影到m维输出空间，一般m＜＜N，所以能完成数据的降维和去掉相关性，但却保持了输入数据中的大多数内在信息，这就是主成分分析所要达到的目的。换句话说，PCA是将大量的具有相关性的数据变换为一个不相关的特征分量的集合。所以，它是统计数据分析、特征提取和数据压缩中的一种典型的统计分析方法，在图像处理、人脸识别和时间序列预测的有很好的应用。
对于由低维混沌系统生成的混沌序列，由于计算精度限制会增强序列中各个元素的相关性，使原有的混沌特性降低，产生短周期现象。PCA这种方法的特性，正适合混沌系统的这种有精度误差产生的相关性。目前，PCA的变换矩阵来自于协方差矩阵的特征向量。
本实施例中主成分分析的原理及过程如下：
(1)相空间重构：对由混沌系统生成的序列X(i)，用互信息法估计延迟时间τ，Cao方法确定最佳嵌入维数m，将一维数据重构为m相空间C。
Figure GDA0003493345870000071
C的各分量为分别为X1＝x(n)，X2＝x(n+τ)，…，Xm＝x(n+(m-1)τ)。
(2)数据标准化，对重构后的多维相空间进行标准化(中心化)，将数据按列减去平均值。表示为：
Figure GDA0003493345870000072
(3)求重构相空间的协方差矩阵Rx
Figure GDA0003493345870000073
其中为
Figure GDA0003493345870000081
(4)求协方差矩阵Rx的特征方程|R-λXp|＝0和特征值λ1,λ2,…,λp，并且λ1＞λ2＞…＞λp；设与特征值对应的标准正交的特征向量为u1,u2,…,up，根据协方差矩阵的性质可知，Rx为对称矩阵，对于一个对称矩阵，可以求得特征值，并具有正交基。因此，存在正交阵U＝(u1,u2,…,up)，其中ui＝(u1i,u2i,…,upi)。
(5)将构成相空间的各分量转换为主成分。
Figure GDA0003493345870000082
其中Y1称为第一主成分，Y2为第二主成分，以此类推。为了取得更好的去相关性结果，也便于生成有效的混沌序列，我们只取所有主成分里的第一主成分作为最终去相关性的结果。
另外，由于原Logistic混沌序列x(n)∈[0,1]，而经过PCA变换投影后，Y1(i)的值必定要超出原来范围，所以，在实际使用的过程中需要进行归一化处理。
实施例2
一种采用基于PCA的低维混沌序列改进算法的图像加密方法，步骤如下：
步骤一：选取Logistic方程为xn+1＝μxn(1+xn)，取初值x0＝0.711，μ＝3.97，迭代10000次后，得到长度为N＝512×512的Logistic序列xn。
步骤二：对序列应用互信息方法和Cao方法分别求得相空间重构的延迟时间τ，和嵌入维数m。图1，是Logistic系统互信息函数I(τ)随时间τ的变化关系图，图中可以看出，在τ＝15时出现第一个极小值，所以认为该序列空间重构的延迟时间为τ＝15。
步骤三：是Cao方法求得的最佳嵌入维数，在图2中，E1，E2都在m大于8后就变化不大了，所以得到该序列的最佳嵌入维数为m＝8。将原序列重构为9895×8的相空间，然后，对其进行主分量分析。取第一个主分量作为PCA的结果。由于进行的是向坐标轴投影操作，那么得到的投影结果必然会超出原有[0,1]范围，因此，在实际应用时，需有归一化操作，为使所得序列的值保持在[0,1]区间，得到去相关性的改进序列yn。由公式ki＝|xi-[xi]|×1014mod256得到秘钥序列ki；
步骤四：使用Arnold映射置乱图像P，迭代次数n＝100，图3为原始灰度图像，得到置乱图像S，并将置乱图像转化为一维序列si＝{s1,s2,…,sN×N}
步骤五：由公式
Figure GDA0003493345870000091
得到到加密序列C＝{c1,c2,…,cN×N}，然后将其重新排成N×N的图像，得到加密图像，如图4所示。
本改进序列对在加密过程中具有良好敏感性，图5为使用初值x0＝0.711+δ，δ＝10-16，进行攻击获得的图像，可以看出与原图完全不相关。
下面对改进序列yn进行测试。以下证明改进序列与原序列的对比，以证明改进序列的优于原序列
1、混沌序列分布和最大李雅普诺夫指数
图6为改进后的混沌系统的分岔图，(a)中显示，(b)是图6(a)其中的一个放大的部分。从实验结果分析改进算法不仅消除了数据点之间的相关性，而且改善了原始混沌系统的随机性。如图6(b)所示，当μ∈(3,3.57)时，此时系统已经处于相空间点已经呈现混沌状态，只是复杂度较低，所以李亚普诺夫指数为正值，如图4所示。在图7中，最大李雅普诺夫指数在相空间中均大于零，表明该系统经PCA变换后依然保留了原系统的混沌特性。经过归一化处理后，从图8中可以看出，当初始值为0.7时，改进后的系统生成的序列在相空间中均匀分布，在特殊区域内没有点的集中，具有很强的混沌性和良好的遍历性。
2、自相关性测试
性能良好的自相关函数的波形应为一根尖细的针形，没有突出的副瓣，实际运用起来有利于信号的准确检测和识别。本文将原序列和改进后的序列进行自相关性测试，其中图9原序列的自相关测试结果。图10为改进序列归一化前的自相关测试结果。在图9中，自相关系统不平坦并且集中在0.3附近，表明有Logistic生成的序列间是存在一定的相关性的。在图10中，可见改进序列的自相关函数要更加平坦，随机性更好，并相关系数更集中于0，更类似于高斯白噪声，表明该方法可以去除由计算精度造成的部分相关性，达到了使用PCA去除相关性的目的。
3、功率谱密度测试
谱分析是研究振动和混沌的一个重要手段。对于随机信号的样本函数，x(t)的功率谱密度函数定义为
Figure GDA0003493345870000092
式中，Rx(τ)为x(t)的自相关函数，即
Figure GDA0003493345870000101
Figure GDA0003493345870000102
式中，τ为采样间隔。准周期运动，对应的功率谱在几个不可约的基频以及他们叠加的频率会处出现尖峰，混沌运动和白噪声都是非周期运动，它们的功率谱为连续的谱。图12为改进序列的功率谱，它在频率域内与高斯白噪声的频率谱基本相似，能量分布均匀，所有频率具有相同能量。而图11为原序列的功率谱，在图中可明显的看出该谱有明显的逆向剑锋，并且分布不均匀。图13是该改进序列的功率谱密度直方图，是一个标准的正态分布，是与高斯分布相似。
4、NIST统计测试
对于NIST套件中的16项测试，其显著性水平设置为1％。当P-value＞0.01，这个二进制序列就被认为是随机的，且其置信度为99％，否则被认为是非随机的。为了进行这个测试，我们在原初值的基础上生成了长度为106的序列，将该序列经量化后转换为二值序列，并对该序列进行了NIST测试，测试结果见表1。所有16个测试均测试成功。表明了这个改进后的序列具有很强的随机性。说明该改进序列相对于NIST套件的16个测试来讲是随机的。
表1.NIST测试结果
No. Test name P-value Results
1 Frequency 0.089131 Success
2 Block-frequency 0.431939 Success
3 Runs 0.543923 Success
4 Long runs of ones 0.918779 Success
5 Rank 0.294177 Success
6 FFT 0.112387 Success
7 Non-overlapping template 0.539347 Success
8 Overlapping template 0.765868 Success
9 Universal 0.058371 Success
10 10Linear complexity 0.808638 Success
11 Serial 0.139513 Success
12 Approximate entropy 0.244123 Success
13 Cumulative sums forware 0.086353 Success
14 Random excursions 0.132033 Success
15 Random excursions 0.529544 Success
16 Lempel ziv complexity 0.436011 Success
5、近似熵测试The entropy test
熵(例如K-S熵、信息熵、近似熵)是随机性最重要的特征之一。信息理论是有关数据通信和存储的数学理论，于1949由香农提出。信源s的熵值H(s)的公式为
计算信息熵的公式如下
Figure GDA0003493345870000111
其中，P(si)表示序列信源si出现的概率，对于一个具有个2M个信源的完全随机序列的信息熵最大值为H(s)＝M。原序列的信息熵值为7.7350，改进序列的信息熵经过计算后为7.9734。对同一序列再进行近似熵测试，原序列的近似熵值为0.6434，改进序列为2.5557。因此，我们认为在复杂度方面，改进序列也是优于原Logistic序列的。
由以上结果可以证明经过该方案改进过的序列，不仅去掉了由于原混沌系统结构及计算精度造成的相关性，并在保持了原系统的混沌特性的同时，增加了系统的复杂性。由于该方案是独立于混沌系统结构的，该方案除可以应用在Logistic混沌系统之外，还可以应用在Tent、Henon等低维的混沌系统上，去掉数据点之间的相关性同时增加系统的复杂性。

Claims (2)

1.一种采用基于PCA的低维混沌序列改进算法的图像加密方法，其特征在于，步骤如下：
步骤一：选取低维混沌系统，设定混沌系统的初始状态和混沌系统参数，生成一维混沌序列x(n)；
步骤二：进行相空间重构，相空间重构需要两个参数：延迟时间τ和最佳嵌入维数m，其中，采用互信息法求延迟时间τ，用CAO方法求得最佳嵌入维数m，将初始序列x(n)，重构为相空间X(i)＝{x(i),x(i+τ),...,x(i+(m-1)τ)}；
步骤三：对重构的相空间进行PCA转换，取第一主分量作为改进序列yn；
步骤四：用Arnold映射置乱原图像P，得到已置乱的图像S；
步骤五：将置乱图像S转换成一维序列，表示为{s1,s2,…,sN×N}；
步骤六：由公式
Figure FDA0003493345860000011
得到秘钥序列K＝{k1,k2,…,kN×N}，此处
Figure FDA0003493345860000012
表示不大于xi的最大整数；
步骤七：由公式
Figure FDA0003493345860000013
得到加密序列C＝{c1,c2,…,cN×N}，此处
Figure FDA0003493345860000014
表示按位异或运算；
步骤八：将所述的加密序列重新排列成大小为N×N的图像，就得到加密图像。
2.根据权利要求1所述的一种采用基于PCA的低维混沌序列改进算法的图像加密方法，其特征在于，其解密算法是加密算法的逆过程。
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