CN111400558A - 一种基于复杂网络严格目标可控的最少驱动节点辨识方法 - Google Patents

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CN111400558A CN202010157305.9A CN202010157305A CN111400558A CN 111400558 A CN111400558 A CN 111400558A CN 202010157305 A CN202010157305 A CN 202010157305A CN 111400558 A CN111400558 A CN 111400558A
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朱佳伟
陈飞
黄伯敏
武艳芝
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Abstract

本发明提供一种基于复杂网络严格目标可控的最少驱动节点辨识方法，涉及复杂网络可控性技术领域，本发明提供一种全新的辨识复杂网络严格目标控制所需最少驱动节点的方法。该方法利用控制论中的PBH秩判据和Kalman秩判据，分别估算出复杂网络严格目标可控时的驱动节点数目的上界和下界，并给出第一种方法驱动节点位置的辨识方法，在此基础上提供一种上界驱动节点数量和位置的快速辨识方法，这种基于严格目标可控的最少驱动节点辨识方法，适用范围更广，不仅能应用于生物网络的调控、交通网络的流量控制、社会网络的信息传播、智能电网的安全防护以及车联网的优化调度等领域，还能进一步推动机器学习与人工智能领域的发展，具有重要的经济和社会价值。

Description

一种基于复杂网络严格目标可控的最少驱动节点辨识方法
技术领域
本发明涉及复杂网络可控性技术领域，尤其涉及一种基于复杂网络严格目标可控的最少驱动节点辨识方法。
背景技术
对于一个动力学系统，如果存在容许控制输入，可以使系统的状态在有限时间内从任意初始状态到达任意所期望的状态，那么便称该系统是可控的。在过去十年里，复杂网络的可控性(Controllability)研究得到了广泛关注，已经成为网络科学研究中的热点问题。对于飞机的自动驾驶系统、卫星的运动轨迹控制等复杂的工程领域系统，完全可控十分重要。但是，许多生物、技术和社会系统在规模和复杂性上都是巨大的，控制整个网络既不可行也没有必要。相反，实现目标控制(Target Control)更为现实且更加必要。系统中被期望控制的状态，称为目标状态。若存在容许控制输入，使得目标状态在有限时间内从任意初始状态到达任意所期望的状态，那么便称该系统目标可控。目标可控性可以被看作一种特殊的输出可控性(Output Controllability)。
现有目标控制方法，例如，k-walk方法、基于离散时变系统结构可控的目标控制贪心算法(Greedy Algorithm)、基于优先匹配(Preferential Matching)的目标控制算法、基于目标导向优化(Objectives-guided Optimization)的目标控制算法等等，均是基于结构可控性理论。虽然这些方法可以解决大多数目标控制任务，但是需要注意的是，k-walk方法仅仅适用于单输入的有向树结构的网络。由于这些方法本质上还是基于结构可控性理论，因而对于无向网络具有局限性。因此，急需一种针对任意有向、无向、加权、不加权、带自环或不带自环的网络的普适性的目标控制方法，用以辨识网络系统中目标控制所需的最少驱动节点。
发明内容
针对现有技术存在的问题，本发明提供一种基于复杂网络严格目标可控的最少驱动节点辨识方法，提供了一种全新的辨识复杂网络严格目标控制所需最少驱动节点的方法。该方法利用控制论中的PBH秩判据和Kalman秩判据，分别估算出复杂网络严格目标可控时的驱动节点数目的上界和下界，并给出第一种方法驱动节点位置的辨识方法，在此基础上提供一种上界驱动节点数量和位置的快速辨识方法，这种基于严格目标可控的最少驱动节点辨识方法，适用范围更广，更具有现实意义。
本发明的技术方案为：
一种基于复杂网络严格目标可控的最少驱动节点辨识方法，包括下述步骤：
步骤1：建立线性时不变系统，如公式(1)所示：
Figure RE-GDA0002478720610000021
其中，
Figure RE-GDA0002478720610000022
分别表示系统的N维状态向量、M维输入向量和S维输出向量；
Figure RE-GDA0002478720610000023
和
Figure RE-GDA0002478720610000024
分别表示N×N维系统状态矩阵、N×M维系统输入矩阵和S×N维系统输出矩阵；所述系统状态矩阵A描述系统的结构；所述输入矩阵B定义系统中被施加控制信号的节点；所述目标矩阵C定义所需控制的目标节点，其中 C＝[IT(c1),IT(c2),...,IT(cs)]T，I(i)表示N×N维单位阵I的第i行，M、N、S为正整数；
步骤2、对目标控制所需最少驱动节点数目进行上下界计算；
所述上界计算，即上界算法，具体包括以下步骤：
步骤S1.1、对线性时不变系统中所有目标节点施加控制；
步骤S1.2、计算判别公式rank(B)＝max{μ(λi)}-r，其中，rank(B)表示目标控制所需最少驱动节点数；max{μ(λi)}表示A的最大几何重数，r＝N-rank(λiI-A,B)表示不可控节点的数目，λi(i＝1,2,...,N)为系统特征值，I为N×N维单位矩阵，当r＝0时，该判别公式退化为一般的严格可控性判据；
所述下界计算，即下界算法，具体包括以下步骤：
步骤S2.1、对网络中每个节点依次施加控制，并利用输出可控性判据分别判断每个节点可控制的目标状态的数目，将每个节点能控制节点的最大节点数称为该节点的控制能力；
所述输出可控性判据即系统输出完全可控的充要条件为rank(C[B AB ... AN- 1B])＝S，S 表示需要控制的输出的个数；
步骤S2.2、按照网络中节点的控制能力从高到低依次施加控制，直到所有目标节点均被控制，被施加控制的节点就是目标控制所需的近似最少数量的驱动节点；
步骤S2.3、对步骤S2.2中驱动节点进行剔除：利用输出可控性判据对驱动节点依次进行判断，判断一次系统是否输出可控，若可控则保留该驱动节点，反之则剔除；重复上述操作直到所有驱动节点均被遍历过一次，最终保留的驱动节点就是目标控制所需的最少数量的驱动节点；
步骤3、对目标控制上界算法的驱动节点辨识方法：
步骤S3.1、利用Kalman可控性系统结构分解，将公式(1)变换为公式(2)：
Figure RE-GDA0002478720610000031
其中，
Figure RE-GDA0002478720610000032
表示系统变换后的状态向量；
Figure RE-GDA0002478720610000033
和
Figure RE-GDA0002478720610000034
分别表示可控子系统和不可控子系统的状态矩阵，
Figure RE-GDA0002478720610000035
表示这两子系统之间的耦合矩阵，
Figure RE-GDA0002478720610000036
表示可控子系统的输入矩阵，
Figure RE-GDA0002478720610000037
表示可控子系统的输出矩阵，
Figure RE-GDA0002478720610000038
表示不可控子系统的输出矩阵，k为可控节点的数目；
步骤S3.2、选出矩阵
Figure RE-GDA0002478720610000039
线性相关行所对应的
Figure RE-GDA00024787206100000310
的非零行向量，选取的
Figure RE-GDA00024787206100000311
行向量中非零值对应的列数即需要施加控制的节点的标号；当A为稀疏矩阵时，由公式
Figure RE-GDA00024787206100000312
计算最少目标控制器的个数。
本发明的有益效果为：
本方法与现有的基于结构可控性理论的目标控制方法最大的不同，在于本方法可适用于任意有向、无向、加权、不加权、带自环和不带自环的网络系统，极大地扩充了目标可控的适用范围，是对现有基于结构可控性理论的目标控制方法的一个很好的补充。本发明的研究成果不仅能应用于生物网络的调控、交通网络的流量控制、社会网络的信息传播、智能电网的安全防护以及车联网的优化调度等领域，还能进一步推动机器学习与人工智能领域的发展，具有重要的经济和社会价值。
附图说明
图1为本发明的一般加权有向网络拓扑图；
图2为本发明上界算法流程图；
图3为本发明下界算法流程图；
图4为本发明实施例在无标度(Scale-Free)网络中随机选取30％目标节点的网络示意图；
图5为本发明实施例上界和下界算法效率对比图。
具体实施方式
下面将结合附图和具体实施方式，对本发明作进一步描述。
一种基于复杂网络严格目标可控的最少驱动节点辨识方法，首先我们将复杂网络抽象为由点和边构成的图拓扑G(V,E)，其中V为节点集合，E为边集合，边表示节点间耦合关系。被直接施加控制的节点称为驱动节点。我们将表示网络中节点耦合关系的矩阵称为邻接矩阵。
PBH秩判据：公式(1)所述线性时不变系统完全可控的充要条件为
rank(sI-A,B)＝N，
Figure RE-GDA0002478720610000041
或rank(λiI-A,B)＝N，i＝1,2,...,N；
其中，
Figure RE-GDA0002478720610000042
为复数域，λi(i＝1,2,...,N)为系统特征值。
Kalman秩判据：公式(1)所述线性时不变系统完全可控的充要条件为 rank(B AB... AN-1B)＝N。
输出可控性判据：公式(1)所述线性时不变系统完全输出可控的充要条件为 rank(C[B AB ... AN-1B])＝S，S表示需要控制的输出的个数。
步骤1：建立线性时不变系统，如公式(1)所示：
Figure RE-GDA0002478720610000043
其中，
Figure RE-GDA0002478720610000044
分别表示系统的N维状态向量、M维输入向量和S维输出向量；
Figure RE-GDA0002478720610000045
和
Figure RE-GDA0002478720610000046
分别表示N×N维系统状态矩阵、N×M维系统输入矩阵和S×N维系统输出矩阵；所述系统状态矩阵A描述系统的结构；所述输入矩阵B定义系统中被施加控制信号的节点；所述目标矩阵C定义所需控制的目标节点，其中 C＝[IT(c1),IT(c2),...,IT(cs)]T，I(i)表示N×N单位阵I的第i行；M、N、S为正整数；
步骤2、对目标控制所需最少驱动节点数目进行上下界计算；
步骤S1、对目标控制所需最少驱动节点数目进行上界计算，即上界算法：
步骤S1.1、对线性时不变系统中所有目标节点施加控制；
步骤S1.2、计算判别公式rank(B)＝max{μ(λi)}-r，其中，rank(B)表示目标控制所需最少驱动节点数；max{μ(λi)}表示A的最大几何重数，r＝N-rank(λiI-A,B)表示不可控节点的数目，λi(i＝1,2,...,N)为系统特征值。计算A的最大几何重数μ(λi)。最大几何重数具体计算公式为max{null(λiI-A)}，其中null(·)表示零度，即求解其齐次方程最大线性无关解。
步骤S2、目标控制所需最少驱动节点数目的下界计算方法，即下界算法：
步骤S2.1、对网络中每个节点依次施加控制，并利用输出可控性判据分别判断每个节点可控制的目标状态的数目，将每个节点能控制节点的最大节点数称为该节点的控制能力；
所述输出可控性判据即系统输出完全可控的充要条件为rank(C[B AB ... AN- 1B])＝S，S 表示需要控制的输出的个数；
步骤S2.2、按照网络中节点的控制能力从高到低依次施加控制，直到所有目标节点均被控制，被施加控制的节点就是目标控制所需的近似最少数量的驱动节点；
步骤S2.3、对步骤S2.2中驱动节点进行剔除：利用输出可控性判据对驱动节点依次进行判断，判断一次系统是否输出可控，若可控则保留该驱动节点，反之则剔除；重复上述操作直到所有驱动节点均被遍历过一次，最终保留的驱动节点就是目标控制所需的最少数量的驱动节点；
步骤3、目标控制上界算法的驱动节点辨识方法：
步骤S3.1、利用Kalman可控性系统结构分解，将公式(1)变换为公式(2)：
Figure RE-GDA0002478720610000051
其中，
Figure RE-GDA0002478720610000052
表示系统变换后的状态向量；
Figure RE-GDA0002478720610000053
和
Figure RE-GDA0002478720610000054
分别表示可控子系统和不可控子系统的状态矩阵，
Figure RE-GDA0002478720610000055
表示这两子系统之间的耦合矩阵，
Figure RE-GDA0002478720610000056
表示可控子系统的输入矩阵，
Figure RE-GDA0002478720610000057
表示可控子系统的输出矩阵，
Figure RE-GDA0002478720610000058
表示不可控子系统的输出矩阵，k为可控节点的数目；
步骤S3.2、选出矩阵
Figure RE-GDA0002478720610000059
线性相关行所对应的
Figure RE-GDA00024787206100000510
的非零行向量，选取的
Figure RE-GDA00024787206100000511
行向量中非零值对应的列数就是需要施加控制的节点的标号；当A为稀疏矩阵时，由公式
Figure RE-GDA00024787206100000512
计算最少目标控制器的个数。
为更好地阐述本发明上下界算法的差别，使用目标控制效率参数来定义目标控制的效率，即
Figure RE-GDA00024787206100000513
其中，PD代表目标控制所需的最少驱动节点数。当α＞0.5时目标控制效率较差，当α＜0.5时目标控制效率较好。
附图5为20次重复试验的均值结果。由实验结果，易知下界算法控制效率明显高于上界算法。需要指出的是，上界与下界算法效率差别不是很大，且下界算法相较上界算法复杂度更高，因此实际应用时更为推荐上界算法。
本实施例中对于附图1所示的一般加权有向网络，目标节点是{1,2,3,5}。根据节点间的耦合关系可得邻接矩阵A和目标矩阵C，分别表示为
Figure RE-GDA0002478720610000061
对于上界算法，如图2所示，对所有目标节点施加控制信号，可得输入矩阵B如下：
Figure RE-GDA0002478720610000062
计算r＝N-rank(λiI-A,B)＝1，邻接矩阵A的最大几何重数μ(0)＝3，因此目标控制所需驱动节点个数为μ(0)-r＝2。因为该邻接矩阵A为稀疏矩阵，所以可先将系统按可控性结构分解，然后利用快速计算公式可得目标控制所需驱动节点数目为
Figure RE-GDA0002478720610000063
对于下界算法，如图3所示，首先对节点1施加控制信号，即B＝[1 0 0 0 0 0]T。根据输出可控性判据，我们判断得到节点1对目标节点的控制能力为 rank(C[B AB ...A5B])＝3，即该节点控制能力为3。因为目标节点有3个，故直接停止搜索，节点1即为目标控制所需节点，控制目标节点{1,2,3,5}只需一个驱动节点。附图4在平均度为 3，γ为2.2，节点数为20的无标度(Scale-Free)网络中随机选取30％目标节点的网络示意图，黑色为目标节点。附图5为上界和下界算法在随机选取同等数量的目标节点的效率对比图，对于平均度为3，γ为2.2，节点数为20的无标度网络随机选取从5％至100％，随机选取19 次，每次增加5％的目标节点数量，其中五角星曲线为上界算法效率图，六角星曲线为下界算法效率图。
显然，上述实施例仅仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。上述实施例仅用于解释本发明，并不构成对本发明保护范围的限定。基于上述实施例，本领域技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，也即凡在本申请的精神和原理之内所作的所有修改、等同替换和改进等，均落在本发明要求的保护范围内。

Claims (3)

1.一种基于复杂网络严格目标可控的最少驱动节点辨识方法，其特征在于，包括下述步骤：
步骤1：建立线性时不变系统，如公式(1)所示：
Figure FDA0002404539240000011
其中，
Figure FDA0002404539240000012
分别表示系统的N维状态向量、M维输入向量和S维输出向量；
Figure FDA0002404539240000013
和
Figure FDA0002404539240000014
分别表示N×N维系统状态矩阵、N×M维系统输入矩阵和S×N维系统输出矩阵；所述系统状态矩阵A描述系统的结构；所述输入矩阵B定义系统中被施加控制信号的节点；所述目标矩阵C定义所需控制的目标节点，其中C＝[IT(c1),IT(c2),...,IT(cs)]T，I(i)表示N×N维单位阵I的第i行，M、N、S为正整数；
步骤2：对目标控制所需最少驱动节点数目进行上界计算以及下界计算；
步骤3：对目标控制上界算法的驱动节点辨识方法；
步骤S3.1、利用Kalman可控性系统结构分解，将公式(1)变换为公式(2)：
Figure FDA0002404539240000015
其中，
Figure FDA0002404539240000016
表示系统变换后的状态向量；
Figure FDA0002404539240000017
和
Figure FDA0002404539240000018
分别表示可控子系统和不可控子系统的状态矩阵，
Figure FDA0002404539240000019
表示这两子系统之间的耦合矩阵，
Figure FDA00024045392400000110
表示可控子系统的输入矩阵，
Figure FDA00024045392400000111
表示可控子系统的输出矩阵，
Figure FDA00024045392400000112
表示不可控子系统的输出矩阵，k为可控节点的数目；
步骤S3.2、选出矩阵
Figure FDA00024045392400000113
线性相关行所对应的
Figure FDA00024045392400000114
的非零行向量，选取的
Figure FDA00024045392400000115
行向量中非零值对应的列数即需要施加控制的节点的标号；当A为稀疏矩阵时，由公式
Figure FDA00024045392400000116
计算最少目标控制器的个数。
2.根据权利要求1所述的一种基于复杂网络严格目标可控的最少驱动节点辨识方法，其特征在于：步骤2中所述上界计算，即上界算法，具体步骤包括：
步骤S1.1、对线性时不变系统中所有目标节点施加控制；
步骤S1.2、计算判别公式rank(B)＝max{μ(λi)}-r，其中，rank(B)表示目标控制所需最少驱动节点数；max{μ(λi)}表示A的最大几何重数，r＝N-rank(λiI-A,B)表示不可控节点的数目，λi(i＝1,2,...,N)为系统特征值，I为N×N维单位矩阵，当r＝0时，该判别公式退化为一般的严格可控性判据。
3.根据权利要求1所述的一种基于复杂网络严格目标可控的最少驱动节点辨识方法，其特征在于：步骤2中所述下界计算，即下界算法，具体步骤包括：
步骤S2.1、对网络中每个节点依次施加控制，并利用输出可控性判据分别判断每个节点可控制的目标状态的数目，将每个节点能控制节点的最大节点数称为该节点的控制能力；
所述输出可控性判据即系统输出完全可控的充要条件为rank(C[B AB…AN-1B])＝S，S表示需要控制的输出的个数；
步骤S2.2、按照网络中节点的控制能力从高到低依次施加控制，直到所有目标节点均被控制，被施加控制的节点就是目标控制所需的近似最少数量的驱动节点；
步骤S2.3、对步骤S2.2中驱动节点进行剔除：利用输出可控性判据对驱动节点依次进行判断，判断一次系统是否输出可控，若可控则保留该驱动节点，反之则剔除；重复上述操作直到所有驱动节点均被遍历过一次，最终保留的驱动节点就是目标控制所需的最少数量的驱动节点。
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CN113361051A (zh) * 2021-06-02 2021-09-07 东北大学秦皇岛分校 一种基于可控性与重要度的路网控制方法
CN113361051B (zh) * 2021-06-02 2023-03-14 东北大学秦皇岛分校 一种基于可控性与重要度的路网控制方法

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